郭金運(yùn)，金 鑫，邊少鋒，常曉濤

1. 山東科技大學(xué)測(cè)繪與空間信息學(xué)院，山東 青島 266590; 2. 海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程教研室，湖北 武漢 430033; 3. 自然資源部國(guó)土衛(wèi)星遙感應(yīng)用中心，北京 100048

垂線偏差是鉛垂線與參考方向(如參考橢球面法線或正常重力方向)之間的夾角，表示大地水準(zhǔn)面相對(duì)于參考橢球面的傾斜程度，表征了地球內(nèi)部質(zhì)量分布的水平時(shí)空不均勻性。垂線偏差給出了重力矢量的方向，是大地測(cè)量學(xué)和地球物理學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科領(lǐng)域的基本觀測(cè)量[1]，含有豐富的地球重力場(chǎng)高頻信息，它可以很好地反映重力場(chǎng)的精細(xì)結(jié)構(gòu)，在大地測(cè)量應(yīng)用、地球物理反演、資源勘探、地震和火山監(jiān)測(cè)、衛(wèi)星發(fā)射和精密定軌，以及輔助導(dǎo)航等領(lǐng)域有非常重要的應(yīng)用[2-6]。

天文大地測(cè)量是最常用的高精度垂線偏差測(cè)量方法，一般使用高精度經(jīng)緯儀、全站儀或數(shù)字天頂相機(jī)系統(tǒng)對(duì)低星等的恒星進(jìn)行觀測(cè)，實(shí)現(xiàn)高精度垂線偏差測(cè)量[7-9]。目前，國(guó)外具有代表性的數(shù)字天頂相機(jī)系統(tǒng)主要有瑞士蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院研制的DIADEM和德國(guó)漢諾威大學(xué)研制的TZK2-D[10-11]，通過(guò)20～30 min的觀測(cè)，垂線偏差測(cè)量精度達(dá)到0.08″[12]。為了使儀器輕型化，蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院還研發(fā)了基于全站儀和CCD相機(jī)的QDaedalus交互式測(cè)量系統(tǒng)，經(jīng)過(guò)約15 min測(cè)量，垂線偏差精度可達(dá)到0.20～0.25″[13]。中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái)和山東科技大學(xué)聯(lián)合研發(fā)了我國(guó)第一臺(tái)數(shù)字天頂測(cè)量系統(tǒng)DZT-1，天文經(jīng)緯度測(cè)量精度也達(dá)到了我國(guó)一等天文精度要求[14-15]。信息工程大學(xué)研制出了基于全站儀和衛(wèi)星天文計(jì)時(shí)器的Y/JGT-01型天文大地測(cè)量系統(tǒng)，天文定位精度也可達(dá)到0.3″，符合我國(guó)一等天文精度要求[16]。但這些高精度的垂線偏差測(cè)量都沒(méi)有考慮引潮力的影響。

為了更好地利用垂線偏差測(cè)量成果，就須對(duì)其成果進(jìn)行科學(xué)、準(zhǔn)確地處理，以便使垂線偏差成果真正達(dá)到高精度的標(biāo)準(zhǔn)。而潮汐影響是高精度重力測(cè)量成果中必須考慮的一個(gè)重要因素[17]，這主要是由于日、月等天體的引潮力使地球發(fā)生形變?cè)斐傻?。因此，研究基于固體潮和海潮的垂線偏差改正，是高精度垂線偏差測(cè)量和廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)。

目前絕對(duì)重力測(cè)量結(jié)果的潮汐改正方法等相對(duì)成熟[18]，但垂線偏差測(cè)量改正仍未系統(tǒng)地研究討論。本文基于引力場(chǎng)球諧展開(kāi)理論，推導(dǎo)固體潮和海潮對(duì)垂線偏差的改正公式，分析垂線偏差潮汐改正的時(shí)空變化規(guī)律。

1 理論方法

1.1 垂線偏差的計(jì)算

地球外部重力場(chǎng)可以表示為球諧級(jí)數(shù)形式，通過(guò)不同階次的球諧展開(kāi)，表達(dá)出地球重力場(chǎng)特征[19-20]。假設(shè)點(diǎn)A(r,θ,λ)處的擾動(dòng)位T展開(kāi)為Nmax階球諧函數(shù)為

(1)

根據(jù)布隆斯公式N=T/γ，大地水準(zhǔn)面差距N表示為

(2)

式中，γ為正常重力。

根據(jù)大地水準(zhǔn)面差距與垂線偏差之間的關(guān)系，則垂線偏差子午和卯酉分量分別表示為

(3)

將式(2)代入式(3)中，得到垂線偏差子午和卯酉分量，即

(4)

式中，ξ向南為正；η向西為正。

(5)

1.2 引潮位對(duì)垂線偏差的直接改正

通常，固體潮改正主要包含天體引潮位直接引起的垂線偏差變化，以及導(dǎo)致地球形變而產(chǎn)生附加位的間接影響變化。重力方向(垂線偏差)會(huì)受到日、月所產(chǎn)生的引潮位的直接影響。首先進(jìn)行引潮位對(duì)垂線偏差的直接影響改正研究。

基于美國(guó)宇航局噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室(jet propulsion laboratory，JPL)的DE421星歷[21]，計(jì)算引潮天體在t歷元的地心天球坐標(biāo)。根據(jù)極移參數(shù)(IERS)、歲差(IAU 2006)和章動(dòng)(IAU 2000A)模型，將坐標(biāo)從地心天球參考系(geocentric celestial reference system，GCRS)轉(zhuǎn)換到國(guó)際地球參考系(international terrestrial reference system，ITRS)，轉(zhuǎn)換公式為

[ITRS]=W(t)R(t)Q(t)[GCRS]

(6)

式中，[ITRS]為引潮天體地固坐標(biāo)；[GCRS]為引潮天體地心天球坐標(biāo)；t為對(duì)應(yīng)的歷元；W(t)為極移矩陣；R(t)為地球旋轉(zhuǎn)矩陣；Q(t)為歲差—章動(dòng)偏移矩陣，詳細(xì)轉(zhuǎn)換原理見(jiàn)文獻(xiàn)[22—23]等。

根據(jù)引潮天體在t歷元的地固坐標(biāo)，計(jì)算日、月引潮位對(duì)擾動(dòng)位系數(shù)的影響改正[24]

(7)

式中，GM為地心引力常數(shù)；GMj為引潮天體j引力常數(shù)；rj為引潮天體的地心距；j=2，3分別代表月球和太陽(yáng)；φj為地固坐標(biāo)系下引潮天體的地心緯度；λj為地固坐標(biāo)系下引潮天體的地心經(jīng)度。

1.3 附加位對(duì)垂線偏差的改正

引潮位不僅會(huì)對(duì)垂線偏差造成直接影響[25-26]，還會(huì)使固體地球產(chǎn)生周期性漲落，導(dǎo)致地球內(nèi)部質(zhì)量分布隨時(shí)間發(fā)生變化，進(jìn)而影響地球重力場(chǎng)信息，產(chǎn)生附加位。附加位的貢獻(xiàn)，也是垂線偏差固體潮改正的重要組成[27-28]。附加位引起的擾動(dòng)位的變化通常通過(guò)勒夫理論建立[24，29]。實(shí)際改正計(jì)算分為兩個(gè)步驟進(jìn)行。

第一步：使用與頻率無(wú)關(guān)的勒夫數(shù)計(jì)算2階和3階引潮位對(duì)擾動(dòng)位系數(shù)的影響

(8)

式中，knm是與頻率無(wú)關(guān)的標(biāo)稱(chēng)勒夫數(shù)，取值見(jiàn)表1；(rj,φj,λj)是引潮天體在地心極坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

表1 固體潮外部附加位的標(biāo)稱(chēng)勒夫數(shù)[24]

第二步：利用修正相關(guān)頻率的勒夫數(shù)改正擾動(dòng)位系數(shù)。

e-imλj(m=0,1,2)

(9)

② 對(duì)2階位勒夫數(shù)k2m進(jìn)行偏差校正。長(zhǎng)周期潮汐對(duì)ΔC20的改正為

(10)

全日潮對(duì)ΔC21、ΔS21的影響以及半日潮對(duì)ΔC22、ΔS22的影響為

(m=1,2)

(11)

(12)

1.4 海潮對(duì)垂線偏差的改正

海潮會(huì)使海洋的質(zhì)量分布隨時(shí)間發(fā)生變化，引起地球形變。根據(jù)IERS規(guī)范[24，30]，海潮對(duì)擾動(dòng)位系數(shù)的動(dòng)力學(xué)影響表示為

(13)

2 垂線偏差改正的空間分析

全球區(qū)域地理地貌特征復(fù)雜，地球內(nèi)部質(zhì)量分布不勻，為了更好、更精確地討論垂線偏差在空間域上的變化，本文選擇Nevada geodetic laboratory(NGL)機(jī)構(gòu)提供的全球19 570個(gè)GNSS站點(diǎn)坐標(biāo)[31]，利用推導(dǎo)的垂線偏差改正公式分別計(jì)算2021年4月1日12時(shí)(universal time coordinated，UTC)垂線偏差固體潮和海潮改正，其中參考橢球選擇CGCS2000，行星星歷選擇JPL提供的DE421[21]，海潮模型選擇IERS提供的EOT11A模型[32]。

2.1 全球區(qū)域垂線偏差的引潮位直接改正

圖1、表2分別表示日、月引潮位對(duì)測(cè)站處垂線偏差的直接影響，子午分量的改正大小為-24～24 mas，全球測(cè)站平均改正值為3.15 mas；卯酉分量的改正大小在-22～20 mas之間，測(cè)站平均改正值為-1.07 mas。

圖1 垂線偏差引潮位直接改正

表2 垂線偏差引潮位直接改正統(tǒng)計(jì)

對(duì)于子午分量改正，各個(gè)板塊改正大小與方向基本一致，北半球數(shù)值大多區(qū)域?yàn)檎?，改正方向朝西，歐洲與北美板塊改正量級(jí)較大，達(dá)到23 mas；歐洲與非洲板塊改正方向不同，與南北美洲改正方向一致存在差異；赤道附近改正值大小在0附近波動(dòng)。

對(duì)于卯酉分量改正，各個(gè)板塊改正大小與方向也基本一致，但是相對(duì)于子午分量，歐洲與北美板塊改正方向相反；赤道附近改正值也出現(xiàn)兩極分化，南北美洲交界處改正為正，非洲板塊為負(fù)。

2.2 全球區(qū)域垂線偏差的附加位改正

圖2、表3表示垂線偏差的附加位間接影響。由圖2、表3可以看出，測(cè)站處垂線偏差的附加位改正與引潮位的直接改正保持一致，只是大小存在差異。子午分量的改正大小為-8～8 mas；卯酉分量的改正大小在-7～6 mas之間。

圖2 垂線偏差附加位改正

表3 垂線偏差附加位改正統(tǒng)計(jì)

2.3 全球區(qū)域垂線偏差的海潮改正

圖3、表4表示海潮對(duì)測(cè)站處垂線偏差的影響，子午分量的改正大小為-14～19 mas，全球測(cè)站平均改正值為-0.01 mas；卯酉分量的改正大小在-19～13 mas之間，測(cè)站平均改正值為-0.64 mas。

圖3 垂線偏差的海潮改正

表4 垂線偏差的海潮改正統(tǒng)計(jì)

海潮對(duì)垂線偏差的改正在子午、卯酉分量上規(guī)律較為一致，對(duì)沿海地區(qū)造成的影響改正較大，向內(nèi)陸地區(qū)逐漸減小。

3 垂線偏差的時(shí)變改正分析

為了更好地說(shuō)明垂線偏差改正在時(shí)間域上的變化，本文選擇北京房山站(空間直角坐標(biāo)XYZ為-2 148 744.588 9、4 426 641.171 7 、4 044 655.810 0 m)，利用推導(dǎo)的垂線偏差改正公式以1 h為間隔，分別計(jì)算2020—2021年間垂線偏差的固體潮和海潮改正，并進(jìn)行周期信號(hào)的提取與分析。鑒于北京房山站靠近內(nèi)陸，導(dǎo)致海潮對(duì)垂線偏差的影響并不明顯，為了更好地說(shuō)明海潮對(duì)沿海地區(qū)的時(shí)變改正大小，筆者選擇上海佘山站(空間直角坐標(biāo)XYZ為-2 831 733.996 7、4 675 665.751 7 、3 275 369.239 9 m)進(jìn)行進(jìn)一步分析討論。

3.1 房山站垂線偏差的引潮位直接改正

圖4為引潮位直接影響引起的北京房山站垂線偏差兩年的時(shí)變信號(hào)，由圖4可以看出，子午、卯酉分量的改正大小分別在-6～30 mas和-30～30 mas之間。

圖4 房山站垂線偏差的引潮位直接改正

奇異譜分析(singular spectrum analysis，SSA)是一種廣義的功率譜分析方法，可以很好地從未知先驗(yàn)信息的時(shí)間序列中提取變振幅的周期信號(hào)[33-34]。因此，利用奇異譜分析和快速傅里葉變換(fast Fourier transform，F(xiàn)FT)分別對(duì)子午和卯酉分量方向的時(shí)變信號(hào)進(jìn)行分解[28,35]，子午分量改正前13重構(gòu)成分(restructured component，RC)和卯酉分量改正前12RC的方差貢獻(xiàn)率分別達(dá)到99.35%和99.41%，可以很好地表示原始時(shí)變信號(hào)信息，遂選作為主成分進(jìn)行分析，如圖5和圖6所示。

圖5 垂線偏差子午分量的引潮位直接改正周期性分析

圖6 垂線偏差卯酉分量的引潮位直接改正周期性分析

由圖5和6可以看出，垂線偏差子午和卯酉分量改正大部分周期項(xiàng)相同，都存在0.52、1.00、0.50、1.08和0.53 d等主要周期項(xiàng)，但在子午分量上還存在周期分別為195.01和13.65 d的顯著周期項(xiàng)。

對(duì)于子午分量改正，195.01 d的周期項(xiàng)(RC1)方差貢獻(xiàn)率為66.30%，占主導(dǎo)地位，周期表現(xiàn)最為明顯，幅度約為2 mas。對(duì)于卯酉分量改正，0.52 d的周期項(xiàng)(RC1+RC2)方差貢獻(xiàn)率為59.27%，占主導(dǎo)地位，其振蕩較為平穩(wěn)，幅度約為18 mas。

3.2 房山站垂線偏差的附加位改正

圖7為附加位引起的北京房山站垂線偏差兩年的時(shí)變信號(hào)，由圖中可以看出，子午、卯酉分量的改正大小分別在-2～9 mas和-9～9 mas區(qū)間。利用SSA和FFT分別對(duì)子午和卯酉分量方向時(shí)變信號(hào)進(jìn)行分解，子午分量改正前13RC和卯酉分量改正前12RC的方差貢獻(xiàn)率分別達(dá)到99.31%和99.38%，遂選作為主成分進(jìn)行分析，如圖8和圖9所示。由圖中可以看出，垂線偏差附加位改正信號(hào)分解主成分與引潮位直接改正保持一致，這也就印證了引潮位的附加位效應(yīng)。

圖7 房山站的垂線偏差附加位改正

圖8 垂線偏差子午分量的附加位改正周期性分析

圖9 垂線偏差卯酉分量的附加位改正周期性分析

3.3 房山站垂線偏差的海潮改正

圖10為海潮引起的北京房山站垂線偏差兩年的時(shí)變信號(hào)，由圖中可以看出，子午、卯酉分量的改正大小分別在-1～1 mas和-2～2 mas之間。利用SSA和FFT分別對(duì)子午和卯酉分量方向時(shí)變信號(hào)進(jìn)行分解，子午和卯酉分量改正前10RC的方差貢獻(xiàn)率分別達(dá)到98.62%和99.15%，遂選作為主成分進(jìn)行分析，如圖11和圖12所示。

圖10 房山站的垂線偏差海潮改正

圖11 垂線偏差子午分量的海潮改正周期性分析

圖12 垂線偏差卯酉分量的海潮改正周期性分析

由圖11和12可以看出，垂線偏差子午和卯酉分量上的改正周期項(xiàng)一致，都存在0.52、0.50、1.00、1.08和0.53 d等周期項(xiàng)，只是方差貢獻(xiàn)率位次存在差異。前四項(xiàng)分別對(duì)應(yīng)海潮的M2、S2、K1、O1潮波。

對(duì)于子午和卯酉分量改正第一主成分(RC1+RC2)，都是周期為0.52 d的周期項(xiàng)，方差貢獻(xiàn)率分別為76.28%和38.97%；子午方向第一主成分占該方向主導(dǎo)地位，其振蕩較為平穩(wěn)，周期表現(xiàn)最為明顯，幅度約為0.5 mas。但卯酉分量改正第二主成分(RC3+RC4)方差貢獻(xiàn)率為38.50%，與第一主成分占比相當(dāng)，兩者周期性都較為明顯，振幅都約為0.6 mas。

總體而言，垂線偏差在子午和卯酉分量上的海潮改正信號(hào)周期性較為一致。

3.4 佘山站垂線偏差的海潮改正討論

針對(duì)海潮的影響改正，引入沿海區(qū)域的上海佘山站，利用相同的方法，以1 h為間隔，分別計(jì)算2020—2021年期間海潮對(duì)上海佘山站處垂線偏差的時(shí)變影響，如圖13所示。

圖13 佘山站的垂線偏差海潮改正

由圖13可以看出，子午、卯酉分量的改正大小分別為-9～9 mas和-12～10 mas，改正量級(jí)，大約是北京房山站的10倍。子午和卯酉分量方向SSA和FFT分析如圖11和圖12所示，由圖中可以看出，垂線偏差子午和卯酉方分量改正的周期項(xiàng)與北京房山站也基本一致，都存在0.52、0.50、1.00、1.08和0.53 d等周期項(xiàng)，也只是在方差貢獻(xiàn)率位次上存在差異。

圖14 佘山站垂線偏差子午分量的海潮改正周期性分析

對(duì)于子午和卯酉分量改正的第一主成分(RC1+RC2)，都是周期為0.52 d的周期項(xiàng)，方差貢獻(xiàn)率分別為80.57%和64.18%，占主導(dǎo)地位，其振蕩較為平穩(wěn)，周期表現(xiàn)最為明顯，幅度都約為5 mas。

圖15 上海佘山站垂線偏差卯酉分量的海潮改正周期性分析

總體而言，由于海潮是海洋對(duì)日、月等天體引潮力的反應(yīng)，其變化規(guī)律與引潮位的變化是一致的。

4 結(jié) 論

本文基于引力場(chǎng)球諧展開(kāi)理論，推導(dǎo)了固體潮和海潮對(duì)垂線偏差的改正公式，分析了垂線偏差潮汐改正的時(shí)空變化規(guī)律。通過(guò)對(duì)全球19 570個(gè)GNSS站處的垂線偏差潮汐改正值進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，垂線偏差固體潮改正的引潮位直接影響與其附加位的間接影響變化規(guī)律一致。在全球尺度上，2021年4月1日12時(shí)日、月引潮位及附加位對(duì)垂線偏差子午和卯酉分量的改正分別在-24～24 mas和-22～20 mas、-8～8 mas和-7～6 mas區(qū)間，海潮的改正分別在-14～19 mas和-19～13 mas區(qū)間。

對(duì)北京房山站處的垂線偏差進(jìn)行了兩年的時(shí)變改正研究，發(fā)現(xiàn)固體潮改正的引潮位直接影響和其附加位的間接影響，與海潮引起的垂線偏差改正在子午和卯酉分量上大部分周期項(xiàng)相同，主要受周日、半日周期的影響，其中半日周期占主導(dǎo)地位。在時(shí)間分辨率上，引潮位及附加位對(duì)垂線偏差子午和卯酉分量的改正分別在-6～30 mas和-30～30 mas、-2～9 mas和-9～9 mas區(qū)間，海潮的改正分別在-1～1 mas和-2～2 mas區(qū)間。針對(duì)海潮影響改正，引入沿海區(qū)域的上海佘山站，改正大小在子午和卯酉分量上分別在-9～9 mas和-12～10 mas區(qū)間。

總體而言，固體潮和海潮對(duì)垂線偏差的改正總量級(jí)約占我國(guó)一等天文規(guī)定精度(0.3″)的17%，而現(xiàn)有高精度垂線偏差測(cè)量精度已達(dá)到0.1″，因此在高精度的垂線偏差應(yīng)用中必須顧及潮汐改正。