萬良琪，歐陽林寒

(1.南京財經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210023； 2.南京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇 南京 211106)

0 引言

Kriging[1]代理模型方法作為一種距離加權(quán)的插值技術(shù)，具有靈活性強(qiáng)、模型精度高、計算效率高、適用低維非線性工程問題等優(yōu)點(diǎn)，因此，Kriging模型得到廣泛關(guān)注與應(yīng)用。復(fù)雜機(jī)械產(chǎn)品質(zhì)量特性建模過程中存在非線性工程難題，Kriging模型是解決這類問題的有效方法?，F(xiàn)有大部分復(fù)雜機(jī)械產(chǎn)品質(zhì)量特性Kriging模型建模研究主要集中在單個Kriging建模，即選擇特定假設(shè)的相關(guān)函數(shù)進(jìn)行Kriging建模，并用于后續(xù)優(yōu)化設(shè)計階段。KLEIJNE[2]對Kriging模型計算機(jī)仿真方面的研究工作進(jìn)行了歸納總結(jié)，指出了Kriging模型后續(xù)研究方向。DUBOURG等[3]采用Kriging模型解決可靠性優(yōu)化設(shè)計與可靠性分析中極限功能函數(shù)建模效率和精確問題。張建俠等[4]針對并行仿真的復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計難題，提出一種基于Kriging模型的多加點(diǎn)準(zhǔn)則和并行代理優(yōu)化算法，并通過工程算例驗證了該方法具有較好的精確性、較高的效率和穩(wěn)健性。王娟等[5]針對可靠性靈敏度分析中功能函數(shù)建模精度和效率難題，提出一種基于Kriging模型與重要性抽樣的可靠性靈敏度分析方法，并通過算例驗證了該方法具有較高的計算效率和精度。馮澤彪等[6]針對模型預(yù)測偏差和波動的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計問題，提出一種多變量高斯過程模型的貝葉斯建模方法。該方法解決了預(yù)測偏差和預(yù)測波動引起的不確定性問題。近年來，部分學(xué)者針對Kriging組合建模研究進(jìn)行了探索并取得了一定的成果。YANG[7]提出一種考慮地質(zhì)統(tǒng)計及方格數(shù)據(jù)的Kriging組合模型，該方法相比單個Kriging模型，具有更好的預(yù)測性能。SHI[8]提出一種面向機(jī)械結(jié)構(gòu)時變可靠性分析的自適應(yīng)Kriging組合模型，并通過工程實例驗證了該方法的精確性。由于Kriging建模過程中存在多種相關(guān)函數(shù)形式選擇不確定性問題，不同相關(guān)函數(shù)形式的Kriging模型預(yù)測精度各異，忽略相關(guān)函數(shù)選擇不確定性可能會導(dǎo)致Kriging組合模型預(yù)測性能不佳。相關(guān)函數(shù)的不確定性通常指客觀上工程設(shè)計人員在建模過程中難以判斷Kriging模型的相關(guān)函數(shù)準(zhǔn)確模型形式[9]。在實際工程建模過程中，Kriging建模精度不足往往會使后續(xù)可靠性優(yōu)化設(shè)計方案失敗，從而嚴(yán)重制約其在高尖端領(lǐng)域的應(yīng)用。

綜上國內(nèi)外文獻(xiàn)研究分析，現(xiàn)有Kriging建模過程主要是假設(shè)特定相關(guān)函數(shù)進(jìn)行Kriging建模。在實際建模中，引入預(yù)測不恰當(dāng)?shù)南嚓P(guān)函數(shù)會導(dǎo)致Kriging模型預(yù)測精度和穩(wěn)健性偏低。為解決這一難題，以復(fù)雜機(jī)械產(chǎn)品為研究載體，基于不同相關(guān)函數(shù)下的Kriging模型，采用0-1規(guī)劃模型篩選策略構(gòu)建Kriging組合模型。與現(xiàn)有Kriging建模方法相比，本文所提出的Kriging組合模型在建模過程中引入自適應(yīng)動態(tài)加點(diǎn)準(zhǔn)則，據(jù)此提高候選模型的預(yù)測性能；在此基礎(chǔ)上，采用0-1規(guī)劃模型篩選策略對候選模型進(jìn)行優(yōu)化篩選，進(jìn)一步提高Kriging組合模型建模精度和穩(wěn)健性。

1 構(gòu)建復(fù)雜機(jī)械產(chǎn)品質(zhì)量特性Kriging模型

1.1 Kriging模型

Kriging模型是一種基于無偏差估計與方差估計的插值近似模型。該模型依據(jù)已知樣本數(shù)據(jù)之間相互關(guān)聯(lián)程度信息，賦予每個樣本點(diǎn)不同的權(quán)重，并予以滑動加權(quán)平均，據(jù)此預(yù)測待測樣本點(diǎn)信息。Kriging模型本質(zhì)上是一種半?yún)?shù)化的插值技術(shù)，主要由回歸模型(模擬全局的近似)和高斯隨機(jī)過程(模擬局部偏差的近似)組成，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下[10]：

(1)

式中：F(β,x)為多項式函數(shù);f(x)為基函數(shù);β=(β1,…,βp)T為基函數(shù)的權(quán)重系數(shù);z(x)為回歸項與響應(yīng)之間的系統(tǒng)偏差，是一個均值為零且協(xié)方差為Cov[Z(xi),Z(xj)]=σ2R(θ,xi,xj)的隨機(jī)過程；σ2為z(x)的方差，R(θ,xi,xj)是以θ為未知參數(shù)的相關(guān)函數(shù)，表示樣本點(diǎn)xi和xj之間的空間相關(guān)關(guān)系，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(2)

(3)

(4)

Kriging模型中常用相關(guān)函數(shù)R(θ,xi,xj)模型形式有指數(shù)函數(shù)(Exp)、高斯函數(shù)(Gaussian)、三次函數(shù)(Cubic)、球函數(shù)(Spherical)、樣條函數(shù)(Spline)等。

1.2 建立期望提高加點(diǎn)準(zhǔn)則的自適應(yīng)Kriging候選模型

Kriging模型在解決低維非線性工程問題時具有良好的預(yù)測精度，但也存在不足。當(dāng)Kriging模型訓(xùn)練過程中，僅一次性利用初始樣本往往難以獲得高精度的代理模型，且由于計算成本等限制又無法提供大規(guī)模樣本數(shù)量。因此，通過期望提高加點(diǎn)準(zhǔn)則[11]來構(gòu)建不同相關(guān)函數(shù)下自適應(yīng)Kriging模型作為候選模型。該方法通過引入高效全局優(yōu)化(Efficient Global Optimization, EGO)算法[12]來探尋Kriging模型更新點(diǎn)。該算法的核心是基于期望提高加點(diǎn)準(zhǔn)則，通過Kriging模型的預(yù)測值和預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差以構(gòu)造期望函數(shù)，描述Kriging模型樣本點(diǎn)的空間分布和分布密度之間的關(guān)系。據(jù)此，確保算法對樣本稀疏區(qū)域進(jìn)行搜索，防止陷入局部最優(yōu)?；谄谕岣呒狱c(diǎn)準(zhǔn)則，假設(shè)給定待測點(diǎn)x，樣本集合中的函數(shù)最優(yōu)響應(yīng)值為ymin，可將待測點(diǎn)的響應(yīng)值增量定義為：

I(x)=max(ymin-y(x),0)。

(5)

(6)

由式(1)可知，增量函數(shù)是一個隨機(jī)變量，可將I(x)的期望增量表示為：

(7)

式中，Φ和φ分別表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)和密度函數(shù)。

2 構(gòu)建0-1規(guī)劃模型篩選策略的Kriging組合模型

本文所提出的方法思路是在獲得不同相關(guān)函數(shù)下Kriging模型的基礎(chǔ)上，通過0-1規(guī)劃模型篩選策略對候選模型進(jìn)行篩選。依據(jù)0-1規(guī)劃模型思想[13]，將不同相關(guān)函數(shù)的Kriging模型作為決策變量，以Kriging組合模型的最小預(yù)測誤差作為0-1規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)。假設(shè)Ci為決策變量(Ci為1表示選擇第i個模型；Ci為0表示不選第i個模型)。

根據(jù)基于Kriging模型的0-1規(guī)劃優(yōu)化模型的思想，則0-1規(guī)劃優(yōu)化模型目標(biāo)函數(shù)可表示為：

(8)

(9)

式中Num表示Ci決策變量個數(shù)之和。

再完成Kriging組合模型構(gòu)建，采用3種代理模型精度評估準(zhǔn)則[14]：均方根誤差(RMSE)、最大絕對誤差(MAE)及平均絕對誤差(AAE)對模型精度進(jìn)行檢驗。

3 構(gòu)建基于Kriging組合模型的可靠性優(yōu)化設(shè)計模型

現(xiàn)有基于Kriging模型的可靠性優(yōu)化設(shè)計過程往往忽略了相關(guān)函數(shù)選擇不確定性問題，容易導(dǎo)致最優(yōu)設(shè)計方案失敗，在基于可靠性優(yōu)化設(shè)計(Reliability-Based Design Optimization, RBDO)方法[15]的基礎(chǔ)上，以滿足功能函數(shù)失效概率不超過期望失效概率為約束、以最大化多質(zhì)量特性滿意度函數(shù)為目標(biāo)，建立一種基于Kriging組合模型的可靠性優(yōu)化設(shè)計模型：

Findx,d

s.t.

(10)

在模型優(yōu)化結(jié)果的基礎(chǔ)上，通過采用歐式距離[13]來測度Kriging組合模型在可靠性優(yōu)化設(shè)計中的有效性。該方法的思想是通過假設(shè)代理模型的優(yōu)化設(shè)計方案與真實代理模型的優(yōu)化設(shè)計方案之間的歐式距離大小來測度Kriging模型的穩(wěn)健性和精確性。

4 案例研究

4.1 柔性橋式放大機(jī)構(gòu)試驗設(shè)計

柔性橋式放大機(jī)構(gòu)作為精密機(jī)械產(chǎn)品的關(guān)鍵零部件，是各種先進(jìn)精密微機(jī)械裝置的重要組成單元，該機(jī)構(gòu)要求能在微小空間內(nèi)具有能量傳遞、運(yùn)動轉(zhuǎn)換等功能，以實現(xiàn)規(guī)定的動作和精度。如圖1所示，該機(jī)構(gòu)主要依靠彈性變形來實現(xiàn)力、運(yùn)動和能量的傳遞或轉(zhuǎn)換，在未來尖端領(lǐng)域具有極大的應(yīng)用潛力。在實際工程中，柔性橋式放大機(jī)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計存在兩個問題：①平臺質(zhì)量特性與設(shè)計變量之間非線性函數(shù)關(guān)系難以通過理論推導(dǎo)獲?。虎谄脚_采用柔性鉸鏈進(jìn)行力和運(yùn)動傳遞，柔性鉸鏈往往厚度很小變形很大，容易發(fā)生應(yīng)力集中現(xiàn)象而導(dǎo)致鉸鏈斷裂，平臺失效，致使其可靠性和性能指標(biāo)往往很難得到安全保障。因此，通過采用Kriging組合模型構(gòu)建其質(zhì)量特性代理模型，并進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計。

由于機(jī)構(gòu)高度對稱，選取其四分之一結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。依據(jù)現(xiàn)有研究成果，選取5個結(jié)構(gòu)參數(shù)：鉸鏈半徑x1、梁長度x2、梁寬度x3、鉸鏈寬度x4和鉸鏈厚度x5作為輸入設(shè)計變量；選取2個質(zhì)量特性：放大倍數(shù)yAM和重量yWT作為輸出響應(yīng)變量。根據(jù)實際工程經(jīng)驗和設(shè)計要求，各設(shè)計變量設(shè)計空間如表1所示。依據(jù)設(shè)計空間范圍，采用拉丁超立方試驗設(shè)計(Latin Hypercube Design, LHD)方法構(gòu)建45組試驗設(shè)計組合。通過有限元數(shù)值仿真獲取各試驗設(shè)計組合質(zhì)量特性值如表2所示。試驗設(shè)計數(shù)據(jù)共劃分為兩組：前40組作為模型訓(xùn)練集，剩下5組作為模型測試集。

表1 柔性橋式放大機(jī)構(gòu)設(shè)計變量及設(shè)計空間

表2 柔性橋式放大機(jī)構(gòu)試驗設(shè)計組合

續(xù)表2

4.2 構(gòu)建柔性橋式放大機(jī)構(gòu)質(zhì)量特性Kriging組合模型

表3 放大倍數(shù)和重量的0-1規(guī)劃優(yōu)化篩選結(jié)果

表3第1行中第1列0-1規(guī)劃模型優(yōu)化結(jié)果為1，表示基于高斯相關(guān)函數(shù)(GUA)的Kriging模型被納入放大倍數(shù)Kriging組合模型。第1行中第2列0-1規(guī)劃模型優(yōu)化結(jié)果為0，表示基于球相關(guān)函數(shù)(SPH)的Kriging模型拒絕納入放大倍數(shù)Kriging組合模型。第3行數(shù)值表示已篩選出的Kriging模型權(quán)重。通過采用均方根誤差(RMSE)、最大絕對誤差(MAE)及平均絕對誤差(AAE)對Kriging組合模型進(jìn)行預(yù)測性能評估。放大倍數(shù)Kriging組合模型的RMSE、MAE和AAE分別為0.000 4、0.001 3和0.007 4。重量Kriging組合模型的RMSE、MAE和AAE分別為0.034 4、0.127 2和0.012 0。預(yù)測性能評估表明，放大倍數(shù)和重量Kriging組合模型都滿足實際工程精度要求。

4.3 不同Kriging模型的可靠性優(yōu)化設(shè)計方案對比分析

為了驗證Kriging組合模型在可靠性優(yōu)化設(shè)計方法中的有效性，通過采用基于不同相關(guān)函數(shù)下Kriging模型的可靠性優(yōu)化設(shè)計方案進(jìn)行對比分析。由表4不同相關(guān)函數(shù)下Kriging模型和Kriging組合模型的可靠性優(yōu)化設(shè)計結(jié)果可知，相比單個Kriging模型的可靠性優(yōu)化設(shè)計結(jié)果，盡管放大倍數(shù)和重量兩個目標(biāo)未能同時達(dá)到最佳，但Kriging組合模型的可靠性優(yōu)化設(shè)計方案可獲得最佳綜合滿意度0.893 2。

表4 不同Kriging模型可靠性優(yōu)化設(shè)計結(jié)果對比

由表5不同Kriging模型的可靠性優(yōu)化設(shè)計方案之間的歐式距離對比結(jié)果可知，Kriging組合模型的可靠性優(yōu)化設(shè)計方案比所有單個Kriging模型的可靠性優(yōu)化設(shè)計方案的歐氏距離方差都小，表明Kriging組合模型預(yù)測穩(wěn)健性最好。例如，指數(shù)相關(guān)函數(shù)Kriging模型(EXP)，假設(shè)其對應(yīng)的Kriging模型為實際真實Kriging模型，若實際真實Kriging模型為高斯相關(guān)函數(shù)“GUA”對應(yīng)的Kriging模型，則假設(shè)的真實相關(guān)函數(shù)“EXP”對應(yīng)的Kriging模型的可靠性優(yōu)化設(shè)計方案(3.112 3,10.627 1,9.034 2,0.567 5,9.867 7)與實際真實相關(guān)函數(shù)“GUA”對應(yīng)的Kriging模型可靠性優(yōu)化設(shè)計方案(3.160 0,10.440 0,9.260 0,0.660 0,9.740 0)之間的歐式距離是0.336 3。同理可知其他模型之間的歐式距離。綜上分析可知，Kriging組合模型的可靠性優(yōu)化設(shè)計方案具有較好的精度性和穩(wěn)健性。

表5 不同Kriging模型可靠性優(yōu)化設(shè)計結(jié)果歐式距離對比

5 結(jié)束語

復(fù)雜精密機(jī)械產(chǎn)品質(zhì)量特性建模是保障復(fù)雜裝備可靠性優(yōu)化設(shè)計方案可行的重要前提。本文以復(fù)雜精密機(jī)械產(chǎn)品的關(guān)鍵零部件為研究載體，研究相關(guān)函數(shù)選擇不確定性情形下Kriging組合建模問題，采用0-1規(guī)劃模型篩選策略對不同相關(guān)性函數(shù)下的Kriging模型進(jìn)行篩選研究。同時該方法的思想適用于其他模型的核函數(shù)篩選和工程應(yīng)用領(lǐng)域。本文主要結(jié)論如下：

(1)基于期望提高加點(diǎn)準(zhǔn)則，采用0-1規(guī)劃模型篩選策略對復(fù)雜精密機(jī)械產(chǎn)品質(zhì)量特性進(jìn)行建模，解決了相關(guān)函數(shù)不確定性情形下Kriging組合建模問題，解析了相關(guān)函數(shù)選擇不確定性對Kriging組合模型預(yù)測精度的影響規(guī)律。

(2)基于Kriging組合模型，采用RBDO方法對復(fù)雜精密機(jī)械產(chǎn)品進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計，解決了代理模型在可靠性優(yōu)化設(shè)計中精度不足的問題。研究結(jié)果表明，基于Kriging組合模型的可靠性優(yōu)化設(shè)計方案更加精確和穩(wěn)健。

本文所提出的Kriging組合建模方法是假設(shè)單個Kriging代理模型為等權(quán)重，未來進(jìn)一步考慮不同實際工況下不同權(quán)重分配對Kriging組合建模精度和穩(wěn)健性的影響。