伍彩云，翁晶晶

(沈陽理工大學 裝備工程學院，沈陽110159)

在噪聲控制中，自適應噪聲抵消系統(tǒng)在外部干擾源特性未知、傳遞途徑不斷變化以及待測對象和背景噪聲波形相近的情況下，能夠有效地消除外界噪聲信號的干擾，從而提高信噪比[1]。傳統(tǒng)最小均方(Least Mean Square，LMS)算法是目前最基礎的自適應濾波算法，其結構簡單，易于實現(xiàn)，應用廣泛。算法的步長因子為定值，需要人為提前設定其大小。步長因子取值小，穩(wěn)態(tài)誤差小，但收斂速度差；步長因子取值大，收斂速度好，但穩(wěn)態(tài)誤差大[2-4]。鑒于此，國內(nèi)外學者提出了多種變步長 LMS 算法。各學者通過不同的函數(shù)形式建立誤差信號與步長因子間的特定關系，使變步長LMS算法在收斂初期有較大的步長因子，以得到較快的收斂速度；在要進入穩(wěn)態(tài)階段時，步長因子減少至較小值，獲得更好的穩(wěn)態(tài)性能。文獻[5]基于Sigmoid函數(shù)提出了變步長最小均方(Sigmoid Variable Step Least Mean Square，SVSLMS)算法，相比傳統(tǒng)的LMS算法，其收斂速度更快，但在完成收斂階段時，步長因子值仍較大，導致穩(wěn)態(tài)誤差較大，穩(wěn)定性能差。文獻[6]針對文獻[5]的缺點，給出了改進的SVSLMS算法，該算法將步長因子和誤差信號構造為非線性函數(shù)關系，其在收斂速度和抗噪性能方面得到了提升，且具有偏小的穩(wěn)態(tài)誤差。除此之外，針對步長因子的其他函數(shù)形式，文獻[7]提出了基于t分布的變步長(Based on Various T-distribution Least Mean Square，BVTLMS)算法，該算法在t分布概率密度函數(shù)的基礎上對步長因子進行調(diào)整，實驗結果表明，在收斂速度和抗噪性能上，BVTLMS算法都有大幅度提升，但步長因子函數(shù)復雜，占用較多存儲空間。

現(xiàn)有的變步長LMS算法在一定程度上解決了收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差間的矛盾，為進一步提升算法性能，本文提出了一種新的基于Softsign函數(shù)的變步長LMS算法，該算法采用新Softsign函數(shù)對步長因子進行調(diào)整，并加入了絕對估計誤差的擾動量，使權向量更新后始終保持在最優(yōu)值。同時設計了一款自適應噪聲抵消系統(tǒng)仿真平臺，該平臺具有噪聲疊加、去噪處理等功能，操作界面友好。利用該仿真平臺對傳統(tǒng)LMS算法、已有變步長LMS算法和本文提出算法的噪聲抵消特性進行了對比實驗。

1 自適應噪聲抵消系統(tǒng)

圖1所示為自適應噪聲抵消系統(tǒng)的原理圖。

圖1 自適應噪聲抵消系統(tǒng)原理圖

圖1中，主通道的n時刻含噪信號d(n)包括有用信號s(n)與噪聲信號n0(n)，參考信號x(n)是與噪聲信號相關的參考通道輸入信號，該信號經(jīng)過自適應濾波器后得到輸出信號y(n)與主通道的含噪信號相抵消，此時誤差信號e(n)變?yōu)橛杏眯盘杝(n)，從而達到去噪的效果[8]。

2 自適應濾波算法設計

2.1 LMS算法

傳統(tǒng)LMS算法屬于隨機梯度算法，基本思想是在運算過程中沿濾波權系數(shù)的負梯度方向搜索至其最優(yōu)值，即期望信號和輸出信號間的均方誤差(Mean Square Error，MSE)達到最小。自適應濾波器基本原理如圖2所示[9]。

圖2 自適應濾波器基本原理

圖2中a(n)為n時刻濾波器的輸入信號；v(n)為干擾信號；f(n)為期望信號；y(n)為輸出信號；e(n)為誤差信號。

LMS算法的迭代算式為

y(n)=wT(n)a(n)

(1)

e(n)=f(n)-y(n)

(2)

w(n+1)=w(n)+2μa(n)e(n)

(3)

0<μ<1/λmax

(4)

式中：w(n)為n時刻濾波器的權向量；μ為控制算法性能的重要參量，稱為步長因子，其收斂條件為式(4)；λmax是輸入信號自相關矩陣的最大特征值。

由上述迭代算法可知，LMS算法在步長因子的選擇中不斷顯現(xiàn)出收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差間不協(xié)調(diào)的問題。

2.2 Softsign函數(shù)的新變步長LMS算法

為解決LMS算法存在的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差間不協(xié)調(diào)的問題，在保證算法性能的前提下，采用新Softsign函數(shù)建立步長因子μ′(n)與誤差信號e(n)間的函數(shù)關系。

Softsign函數(shù)具有反比例中心對稱，能夠微分、去中心等特點，返回值介于-1和1之間，其計算表達式為

(5)

式中：y為函數(shù)的因變量；x為函數(shù)的自變量。

將標準Softsign函數(shù)經(jīng)過求導、自變量取倒數(shù)以及向上平移1個單位的方式，得到新Softsign 函數(shù)表達式為

(6)

現(xiàn)用μ′(n)和e(n)分別代替y和x，得到步長因子μ′(n)和誤差信號e(n)間的新函數(shù)關系為

(7)

式(7)對應的函數(shù)關系如圖3所示。

圖3 μ′(n)和e(n)的函數(shù)關系

分析式(7)和圖3可知，在算法收斂初始階段(誤差信號較大)，步長因子的調(diào)整函數(shù)可保持較大的步長因子值，從而提高算法的收斂速度。在收斂完成階段(誤差信號趨近于零)，步長因子的調(diào)整函數(shù)可選擇較小的步長因子值，從而提高算法的穩(wěn)定性能。

2.2.1 參數(shù)對步長因子的影響分析

為提高本文算法的可控性，在式(7)中加入?yún)?shù)α>0、β>0，得到步長因子μ(n)和誤差信號e(n)間的新函數(shù)表達式為

(8)

式中：α用于保持函數(shù)形狀；β用于限定函數(shù)的取值范圍。

利用步長因子μ′(n)和誤差信號e(n)間的關系曲線定性分析引入的參數(shù)α、β對算法性能的影響如下。

(1)參數(shù)α對算法性能的影響

選擇β=1，α分別取值為2、3、4，得到μ′(n)與e(n)的關系曲線如圖4所示。

圖4 μ′(n)與e(n)的關系曲線(β=1，α不同)

由圖4可見，對于同一初始誤差，當α越大時，算法在收斂初期提供的步長因子值越大，但算法在完成收斂階段的穩(wěn)定性能下降。當α越小時，算法在完成收斂階段的穩(wěn)定性能越好，但算法的收斂速度較慢。

(2)參數(shù)β對算法性能的影響

選擇α=3，β分別取值為0.9、1、1.1，得到μ′(n)與e(n)的關系曲線如圖5所示。

圖5 μ′(n)與e(n)的關系曲線(α=3，β不同)

由圖5可見，對于同一初始誤差，β值越大，在初始收斂階段，算法的收斂速度越快。但β值過大，會導致步長因子不滿足式(4)的收斂條件，算法發(fā)散。當β取值過小時，步長因子μ′(n)的迭代變化區(qū)間較小，此時收斂速度不會有很大提高。

參數(shù)α、β變化對收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的影響如表1所示。本文選擇α=3、β=1。

表1 參數(shù)變化對收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的影響

2.2.2 引入絕對估計誤差的擾動量Q(n)

為提高算法在未知系統(tǒng)突變時的跟蹤速度和抗噪性能，基于上述步長因子μ′(n)與誤差信號e(n)間的函數(shù)關系，本文在權向量w(n)的更新過程中引入絕對估計誤差的擾動量Q(n)，此時權向量w(n)的更新公式為

w(n+1)=w(n)+2μ′(n)e(n)a(n)+Q(n)

(9)

Q(n)=kγ(n)(|e(n)|-|e(n-1)|)

(10)

γ(n)=pγ(n-1)=…=pnγ(0)

(11)

式中：k為單位列向量，維數(shù)與權向量w(n)相同；γ(n)>0，定義為擾動量的幅度因子，按式(11)的形式衰減，其衰減系數(shù)|p|<1。

算法利用幅度因子γ(n)把擾動量Q(n)對權向量w(n)的調(diào)節(jié)保持在一個最優(yōu)值。同時，選用絕對估計誤差|e(n)|表征估計信號偏離期望信號的程度。

在算法初次迭代時，擾動量Q(n)的幅度因子γ(n)較大，因此擾動量Q(n)對權向量w(n)的更新影響明顯。隨著迭代次數(shù)的增加，γ(n)逐漸減小并逼近于0，e(n)的輕微波動將不會對權向量w(n)的變化造成影響，從而使穩(wěn)態(tài)誤差處于較低水平。當系統(tǒng)發(fā)生突變時，擾動量Q(n)通過對權向量w(n)進行正反向調(diào)節(jié)提高收斂速度，即無論干擾信號多大，算法都保持良好的跟蹤速度，快速達到較小的穩(wěn)態(tài)誤差，擁有較強的抗噪性能。

2.2.3 算法的收斂速度及抗噪性能分析

為檢驗本文算法同其他算法在收斂速度和抗噪性能方面的優(yōu)劣，對算法進行仿真實驗，并選取傳統(tǒng)LMS算法、文獻[6]和文獻[7]中不同算法作對比實驗。

文獻[6]提出的改進SVSLMS算法為

(12)

文獻[7]提出的基于t分布的改進LMS算法BVTLMS為

(13)

具體實驗條件為：

(1)自適應濾波器的階數(shù)M=2；

(2)參考輸入信號a(n)是均值為0、方差為1的白噪聲；

(3)干擾信號v(n)是均值為0、方差為0.04的白噪聲，且與參考輸入信號不相關；

(4)每次的迭代次數(shù)為600，分別做100次獨立的仿真，求其統(tǒng)計平均得出學習曲線；

(5)設定未知系統(tǒng)濾波器的抽頭參數(shù)為[0.8，0.5]，在第300次迭代時刻未知系統(tǒng)發(fā)生突變，抽頭參數(shù)變化為[0.4，0.2]；

(6)傳統(tǒng)LMS算法中取μ=0.001，改進的SVSLMS算法中取α=5、β=1、γ=2，BTVLMS算法中取α=3、β=2、η=0.0001，本文算法中取α=3、β=1、γ(0)=0.4、p=0.4。

由文獻[10]可知，算法的收斂速度可由均方誤差與迭代次數(shù)的關系曲線表示。算法達到穩(wěn)態(tài)時的迭代次數(shù)越少，則其收斂速度越快。傳統(tǒng)LMS算法、文獻[6]算法、文獻[7]算法和本文算法迭代0到600次時的學習曲線對比如圖6所示。

圖6 不同算法的學習曲線

由圖6可見，文獻[6]算法和文獻[7]算法的學習曲線幾乎重合。隨著迭代次數(shù)的增加，傳統(tǒng)LMS算法由于其步長固定，在迭代250次左右完成收斂過程，收斂速度最慢。文獻[6]和文獻[7]算法在第90次和第80次迭代后完成收斂。本文算法收斂速度最快，在迭代50次左右完成算法的收斂過程，且在算法收斂后，具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差值。

為檢驗本文算法的抗噪性能，即檢驗收斂后算法在非平穩(wěn)環(huán)境(未知系統(tǒng)發(fā)生突變)下的跟蹤能力，設定未知系統(tǒng)初始的抽頭參數(shù)為[0.8，0.5]，在第300次迭代時系統(tǒng)的抽頭參數(shù)變化為[0.4，0.2]。

抗噪性能測試實驗的前提為算法收斂后，未知系統(tǒng)發(fā)生突變。由上述收斂速度測試實驗結果可知，四種算法均在300次前收斂，滿足該前提條件。由圖6可知，在未知系統(tǒng)發(fā)生突變后，傳統(tǒng)LMS算法在第480次迭代后完成收斂過程，跟蹤速度最差，抗噪性能不好；文獻[6]和文獻[7]算法在第370次和第350次迭代后完成收斂；本文算法在面對未知系統(tǒng)突變時，僅第330次迭代后完成收斂過程，有較好的跟蹤能力，即較強的抗噪性能。

通過以上仿真可以看出，本文算法在迭代初期，擁有較快的收斂速度，當算法收斂后，有較小的穩(wěn)態(tài)誤差，在外界環(huán)境變化時，有較快的跟蹤速度和較強的抗噪性能。

3 自適應噪聲抵消系統(tǒng)仿真平臺設計

本文利用Matlab的GUI工具設計了自適應噪聲抵消系統(tǒng)仿真平臺，并將傳統(tǒng)LMS算法、文獻[6]算法、文獻[7]算法和本文提出的基于Softsign函數(shù)的新變步長LMS算法應用在噪聲抵消系統(tǒng)中，進一步研究四種算法的去噪效果。

3.1 系統(tǒng)仿真平臺的設計

自適應噪聲抵消系統(tǒng)仿真平臺設計框架如圖7所示。

圖7 自適應噪聲抵消系統(tǒng)設計框圖

該平臺主要實現(xiàn)對有用信號、噪聲信號和參考信號的讀寫、顯示等基本操作以及對含噪信號的去噪處理相關操作，分為有用信號輸入?yún)^(qū)、有用信號加噪?yún)^(qū)、參考信號輸入?yún)^(qū)、去噪處理區(qū)、波形顯示區(qū)和信噪比計算區(qū)6個模塊。

(1)有用信號輸入?yún)^(qū)。用戶可在正弦波、矩形波、鋸齒波、正弦波加矩形波和矩形波加鋸齒波中選擇需要處理的有用信號，波形顯示區(qū)會自動生成該信號的時域波形圖。

(2)有用信號加噪?yún)^(qū)。本文選用均值為0、方差為1的白噪聲作為噪聲信號，并用信噪比因子調(diào)節(jié)其方差值，點擊“疊加噪聲”按鈕后，會在波形顯示區(qū)出現(xiàn)噪聲信號及含噪信號的波形圖，同時在信噪比計算區(qū)顯示此時輸入信噪比的數(shù)值。

(3)參考信號輸入?yún)^(qū)。本文選用與噪聲信號相關的參考信號輸入，并通過相關度因子調(diào)節(jié)噪聲信號與參考信號二者間的線性相關情況。

(4)去噪處理區(qū)。在2.2.3中已證明本文提出的基于Softsign函數(shù)的變步長LMS算法可以很好地兼顧收斂速度和抗噪性能。在去噪處理部分，用戶可以在確定信噪比因子、步長因子等參數(shù)后選擇傳統(tǒng)LMS算法、文獻[6]算法、文獻[7]算法或本文提出的算法進行相應的去噪處理。

(5)波形顯示區(qū)。系統(tǒng)運行后，參考信號和去噪處理后的誤差信號等會直接顯示在波形顯示區(qū)。

(6)信噪比計算區(qū)。為客觀評價自適應噪聲抵消系統(tǒng)的去噪效果，本文選定信噪比作為評價自適應噪聲抵消系統(tǒng)性能的一個重要指標[11]。定義本文中系統(tǒng)的輸入信噪比SNRin為主通道中有用信號s(n)的功率與噪聲信號n0(n)的功率之比，并將其結果取以10為底的對數(shù)，表達式為

(14)

輸出信噪比SNRout為有用信號s(n)與經(jīng)過自適應抵消系統(tǒng)后的剩余信號e(n)-s(n)的總功率之比，并將其結果取以10為底的對數(shù)，表達式為

(15)

信噪比增量為

ΔSNR=SNRout-SNRin

(16)

3.2 自適應噪聲抵消系統(tǒng)仿真平臺運行結果與分析

有用信號為正弦信號，首先輸入有用信號，設定信噪比因子的值(在本次實驗中設定為1)，顯示疊加噪聲后的含噪信號，確定信噪比相關度的值(在本次實驗中設定為1)，輸入?yún)⒖夹盘栠M行去噪處理。此時的有用信號、噪聲信號、含噪信號和參考信號的時域波形圖如圖8所示。應用步長為0.001的傳統(tǒng)LMS算法、文獻[6]算法、文獻[7]算法和本文基于Softsign函數(shù)的新變步長LMS算法的誤差信號時域波形圖如圖9所示。

圖8 各信號時域波形圖

圖9 4種算法誤差信號時域波形圖對比

由仿真平臺運行結果可知，輸入信噪比為-2.95dB，應用四種算法的自適應抵消系統(tǒng)信噪比增量分別為13.71、17.16、17.48和19.03dB，均有一定的去噪效果，可提高信號傳遞和接收的信噪比質(zhì)量。

為檢驗信噪比因子和信號相關度因子的變化對系統(tǒng)去噪的影響，首先保持信號相關度因子始終為1，將信噪比因子的值從1設置為1.1。此時的輸入信噪比隨信噪比因子變化為-3.84dB，應用四種算法的自適應抵消系統(tǒng)信噪比增量分別為14.34、17.83、17.99、19.27dB。其次保持信噪比因子為1不變，改變信號相關度因子的值，將其值從1設為1.1。此時的輸入信噪比仍為-2.95dB，應用四種算法的自適應抵消系統(tǒng)信噪比增量分別為13.56dB、16.06dB、16.23dB、16.78dB。由此得出，當信噪比因子和信號相關度因子變化時，應用本文算法的自適應抵消系統(tǒng)去噪效果始終優(yōu)于應用傳統(tǒng)LMS算法、文獻[6]算法和文獻[7]算法的自適應抵消系統(tǒng)去噪效果。

當輸入的有用信號變?yōu)槠渌ㄐ螘r，應用四種算法的自適應抵消系統(tǒng)的信噪比增量對比如表2所示。其中噪聲信號取均值為0、方差為1的白噪聲，信噪比因子和信號相關度因子的取值均為1，濾波器階數(shù)為2，傳統(tǒng)LMS算法的步長為0.001。

表2 不同有用信號下的信噪比增量對比 dB

由表2可知，在五種不同的有用信號下，應用四種算法的自適應抵消系統(tǒng)均有較好的去噪效果。應用本文算法的自適應噪聲抵消系統(tǒng)去噪效果均優(yōu)于傳統(tǒng)LMS算法、文獻[6]算法和文獻[7]算法的自適應抵消系統(tǒng)去噪效果，且噪聲信號干擾越強烈，應用本文算法的自適應噪聲抵消系統(tǒng)去噪效果越明顯，在正弦波及鋸齒波有用信號輸入時，信噪比增量達到19～20dB。

4 結論

分析了傳統(tǒng)LMS算法及多種變步長LMS算法性能，提出了一種新變步長LMS算法。該算法首先基于Softsign函數(shù)建立了步長因子與誤差信號間的函數(shù)關系，分析了參數(shù)α、β對步長因子取值的影響，引入了絕對估計的擾動量以應對未知系統(tǒng)的突變情況。仿真結果顯示，本文提出的算法較傳統(tǒng)LMS算法、文獻[6]算法和文獻[7]算法具有收斂速度更快和抗噪性能更強的優(yōu)勢。設計了自適應噪聲抵消系統(tǒng)仿真平臺，實現(xiàn)了噪聲疊加、信噪比計算等功能，將新算法應用于該仿真平臺中，驗證了其具有較好的去噪效果，在噪聲控制領域有一定的使用價值。