孫佳杰，劉 兵

(1.遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029;2.鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,遼寧 鞍山 114007)

莊稼地里過多的害蟲會(huì)導(dǎo)致農(nóng)作物品質(zhì)下降、產(chǎn)量減少，使農(nóng)業(yè)生產(chǎn)受到嚴(yán)重影響[1].為了減少害蟲對(duì)作物的損害,最常見的是引進(jìn)天敵和噴灑殺蟲劑相結(jié)合的綜合害蟲控制方法[2-3].

目前,很多學(xué)者利用數(shù)學(xué)模型模擬綜合害蟲治理過程，如固定時(shí)刻脈沖的害蟲綜合治理模型、狀態(tài)依賴脈沖的害蟲綜合治理模型、Filippov切換的害蟲綜合治理模型等[4-6].上述模型忽略了季節(jié)性變換過程中害蟲休眠期與復(fù)蘇期的種群變化率不同的問題[7].因此,利用脈沖切換模型模擬季節(jié)性變換下的害蟲綜合治理現(xiàn)象更加合理.本文考慮天敵在害蟲休眠期以雜食為生、在害蟲復(fù)蘇期以害蟲為食的天性,采用等周期噴灑農(nóng)藥和釋放天敵的方式治理害蟲,建立并研究季節(jié)變化下害蟲綜合治理的動(dòng)力學(xué)模型,給出影響害蟲滅絕與持續(xù)生存的關(guān)鍵參數(shù).

1 模型建立

在季節(jié)變換下,把害蟲種群的年度周期分成兩個(gè)階段：第一階段為害蟲休眠期.害蟲種群由于外界因素影響線性率減少,此時(shí)天敵以雜食為生,假設(shè)其增長(zhǎng)率為常數(shù).第二階段為害蟲復(fù)蘇期.假設(shè)害蟲種群滿足Logistic增長(zhǎng)方式,天敵以害蟲為食，在此期間,進(jìn)行等周期噴灑殺蟲劑和釋放天敵,得到季節(jié)變化下的害蟲綜合治理動(dòng)力學(xué)模型：

(1)

其中,x(t),y(t)分別表示t時(shí)刻害蟲、天敵的種群密度;λ>0為t∈[nT,(n+l)T)時(shí)間段內(nèi),害蟲種群休眠時(shí)的減少率;A>0為天敵種群在害蟲種群休眠期[nT,(n+l)T)內(nèi)以雜食為生的常數(shù)增長(zhǎng)率;r>0,K>0分別為t∈[(n+l)T,(n+1)T)階段害蟲種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率和環(huán)境容納量;α>0為t∈[(n+l)T,(n+1)T) 階段天敵種群對(duì)害蟲種群的捕食率;k>0為t∈[(n+l)T,(n+1)T)階段天敵自身轉(zhuǎn)化率;d>0為天敵種群的死亡率;T為年度周期;00為在t=(n+l)T+kTp,k=1,2,…,p時(shí)刻天敵的釋放量.本文假設(shè)殺蟲劑的噴灑和釋放天敵周期為Tp,從而有(1-l)T=pTp.

2 害蟲滅絕的閾值

首先,考慮當(dāng)系統(tǒng)(1)害蟲滅絕時(shí)，它的子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)：

(2)

定理1子系統(tǒng)(2)存在正周期解y*(t),并且對(duì)系統(tǒng)(2)的任何解y(t)都有：當(dāng)t→∞時(shí),y(t)→y*(t),其中,

(3)

證明系統(tǒng)(2)在脈沖區(qū)間nT≤t<(n+l)T的解為

在t=(n+l)T時(shí)刻害蟲復(fù)蘇,則有

當(dāng)t∈((n+l)T,(n+l)T+Tp)時(shí)，

y(t)=y((n+l)T)e-d(t-(n+l)T),

在t=(n+l)T+Tp時(shí)噴灑殺蟲劑和釋放天敵,則有

y(((n+l)T+Tp)+)=(1-p2)y((n+l)T)e-dTp+μ,

當(dāng)t∈((n+l)T+Tp,(n+l)T+2Tp)時(shí)，

y(t)=((1-p2)y((n+l)T)e-dTp+μ)e-d(t-((n+l)T+Tp)),

在t=(n+l)T+2Tp時(shí)刻噴灑殺蟲劑和釋放天敵,則有

y(((n+l)T+2Tp)+)=(1-p2)2y((n+l)T)e-2dTp+μ(1-p2)e-dTp+μ,

由數(shù)學(xué)歸納法可得,當(dāng)t∈((n+l)T+(p-1)Tp,(n+1)T)時(shí),

在t=(n+1)T噴灑殺蟲劑和釋放天敵,則

y(((n+1)T)+)=(1-p2)py((n+l)T)e-dTp+C,

把y((n+l)T)的值代入得

令

yn=y((nT)+),

則可得如下差分方程

(4)

由此差分方程存在唯一不動(dòng)點(diǎn)

由于

且差分方程(4)是線性方程,因此y*是方程(4)的全局漸近穩(wěn)定的正平衡點(diǎn),從而系統(tǒng)(2)存在一個(gè)全局漸近穩(wěn)定的正周期解y*(t),當(dāng)t→∞時(shí),系統(tǒng)(2)的任意解y(t)→y*(t),其表達(dá)式如(3)所示.證畢.

因此,由定理1知系統(tǒng)(1)存在害蟲滅絕周期解(0,y*(t)),令

定理2如果R0<1,則系統(tǒng)(1)的害蟲滅絕周期解(0,y*(t))是全局漸近穩(wěn)定的.

證明設(shè)(x(t),y(t))是系統(tǒng)(1)以(x(0),y(0))為初始值的解,系統(tǒng)(1)的周期解(0,y*(t))的局部漸近穩(wěn)定性可以利用系統(tǒng)的變分方程來(lái)確定,因此,作變換

x(t)=α(t),

y(t)=y*(t)+β(t),

則相應(yīng)的線性方程的解為

其中,

是系統(tǒng)(1)的基礎(chǔ)解矩陣,ψi(t)滿足

其中,

ψ1(0)=ψi(0)=I

是單位矩陣,因此

在計(jì)算單值矩陣特征值的過程中,無(wú)須給出(*)的具體表達(dá)式.由Floquet理論知,如果單值矩陣

的兩個(gè)特征值的模小于1,則害蟲滅絕周期解(0,y*(t))是局部漸近穩(wěn)定的.由M的表達(dá)式可以計(jì)算出其特征值分別為

從這則傳說(shuō)來(lái)看，臘八食粥習(xí)俗不一定始于宋時(shí)，恐怕要推至更遠(yuǎn)的年代。當(dāng)然，在沒有任何文字記載情況下，僅憑一則神話傳說(shuō)是不能斷定某種習(xí)俗起源的。但是，這些目前還流傳在豫東群眾中的口碑資料，卻為民俗學(xué)者，特別是飲食文化研究者提供了值得注意的線索。

λ2=(1-p2)pexp(-dT),

顯然|λ2|<1,那么模型(1)的周期解是局部漸近穩(wěn)定的充要條件是|λ1|<1,即R0<1.

下面證明系統(tǒng)(1)周期解的全局吸引性.因?yàn)镽0<1,所以存在充分小的ε(ε>0),使得

成立.

由系統(tǒng)(1)的第2和第4個(gè)方程可得,

考慮如下脈沖微分方程

(5)

利用脈沖比較定理可知y(t)≥N(t), 當(dāng)t→∞時(shí)，N(t)→y*(t).

y(t)≥N(t)>y*(t)-ε

(6)

成立.

假設(shè)(6)對(duì)?t≥0成立,則有

由脈沖微分方程比較定理,當(dāng)t∈[nT,(n+1)T)時(shí),

x((n+l)T)=x((nT)+)exp(-λlT),

?

由于δ<1, 所以

x(nT)≤x(0+)δn,

且當(dāng)n→∞,x(nT)→0,因此,當(dāng)t→∞時(shí),x(t)→0.

下面證明：當(dāng)t→∞時(shí),y(t)→y*(t).

由上面兩個(gè)不等式的左端,可得

y(t)≥N(t),

并且

N(t)→y*(t),t→∞.

對(duì)于上面兩個(gè)不等式的右端,考慮下面的微分方程：

當(dāng)t→∞時(shí),z(t)→z*(t), 其中,

因此,?ε2>0,?t2>0, 使得當(dāng)t>t2時(shí),有

y*(t)-ε2

令ε1→0,對(duì)t充分大時(shí),有

y*(t)-ε2

從而,當(dāng)t→∞時(shí),y(t)→y*(t).

所以,當(dāng)R0<1時(shí),系統(tǒng)(1)的害蟲滅絕周期解(0,y*(t))是全局漸近穩(wěn)定的.證畢.

由定理2可知，當(dāng)R0<1時(shí)，害蟲種群必將滅絕.實(shí)際上，可以證明當(dāng)R0>1時(shí)，害蟲種群將會(huì)持續(xù)生存，因此，R0是害蟲種群滅絕的閾值.

3 結(jié)論

本文建立了一個(gè)季節(jié)變換下害蟲綜合治理動(dòng)力學(xué)模型,給出害蟲滅絕的閾值R0.圖1(a)和圖1(b)分別給出了R0關(guān)于T與l的等高線、μ與p1的等高線,參數(shù)取值分別為：x0=0.5,y0=0.5,λ=0.2,A=1,d=0.3,r=0.5,K=1,α=0.5,p1=0.5,k=0.6,T=1,μ=0.4,p2=0.1.由圖1(a)可知,害蟲休眠時(shí)間l越長(zhǎng)或者年度周期T越短,R0就越小,越有利于害蟲治理.由圖1(b)可知,隨著殺蟲劑p1對(duì)害蟲瞬間殺死率的增加或者天敵釋放量μ的增多,R0隨之減小,這表明對(duì)害蟲致死率較高的殺蟲劑或者增加天敵釋放量有利于控制害蟲.

當(dāng)T=1,l=0.25時(shí),R0<1(見圖1(a)),由定理2知,害蟲滅絕周期解是全局漸近穩(wěn)定的,而天敵是周期性震蕩的.圖2給出相應(yīng)的時(shí)間序列圖(參數(shù)取值同圖1)，驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性.

圖1 害蟲滅絕的閾值等高線圖

圖2 害蟲種群和天敵種群時(shí)間序列圖