龔 振 劉承錫 姚良忠 楊 波 莊 俊 黃曉輝

基于增廣動(dòng)態(tài)相量法的變壓器勵(lì)磁涌流頻率自適應(yīng)仿真

龔 振1劉承錫1姚良忠1楊 波2莊 俊2黃曉輝3

（1. 武漢大學(xué)電氣與自動(dòng)化學(xué)院 武漢 430072 2. 中國(guó)電力科學(xué)研究院 南京 210003 3. 南京赫曦電氣有限公司 南京 210008）

電磁暫態(tài)仿真中，減小仿真步長(zhǎng)可有效抑制非線性變壓器仿真過(guò)沖失真問(wèn)題，但大容量變壓器的勵(lì)磁涌流過(guò)程往往衰減緩慢，勢(shì)必會(huì)造成仿真效率低，使得仿真時(shí)間明顯增加。該文建立了一種含有非線性勵(lì)磁支路的大容量變壓器動(dòng)態(tài)相量多尺度電磁暫態(tài)模型，并提出一種動(dòng)態(tài)相量磁鏈預(yù)測(cè)方法，通過(guò)不同仿真步長(zhǎng)對(duì)磁鏈和電流進(jìn)行精準(zhǔn)預(yù)測(cè)和仿真，解決了分段線性化在大步長(zhǎng)下出現(xiàn)的過(guò)沖失真問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了勵(lì)磁涌流寬頻特征下依舊可以在不犧牲較多諧波的情況下采用大步長(zhǎng)仿真的功能。當(dāng)勵(lì)磁涌流剛發(fā)生時(shí)，磁鏈動(dòng)態(tài)相量變化較大，利用較小仿真步長(zhǎng)對(duì)磁鏈進(jìn)行預(yù)測(cè)，從而根據(jù)電流-磁鏈曲線擬合關(guān)系求得勵(lì)磁涌流；當(dāng)檢測(cè)到磁鏈頻譜集中在工頻附近時(shí)，磁鏈的動(dòng)態(tài)相量形式將保持恒定，采用大仿真步長(zhǎng)預(yù)測(cè)磁鏈，從而根據(jù)電流-磁鏈關(guān)系求得準(zhǔn)確的勵(lì)磁電流，在采用大步長(zhǎng)的同時(shí)解決了過(guò)沖失真問(wèn)題，增加了仿真的計(jì)算效率。最后的仿真結(jié)果驗(yàn)證了該文提出的變壓器模型及動(dòng)態(tài)相量預(yù)測(cè)法的正確性和有效性。

動(dòng)態(tài)相量預(yù)測(cè)法 勵(lì)磁涌流 非線性 過(guò)沖現(xiàn)象

0 引言

因電磁暫態(tài)仿真能有效呈現(xiàn)電力系統(tǒng)高頻暫態(tài)特性，是分析電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的最有效的工具[1-2]。大型電力變壓器具有成本高、需連續(xù)運(yùn)行的特點(diǎn)，一般不適用于高成本的物理模擬，采用電磁暫態(tài)數(shù)字仿真呈現(xiàn)變壓器非線性特性一直是公認(rèn)有效的方法。而隨著大規(guī)模交直流輸電系統(tǒng)的發(fā)展，直流輸電系統(tǒng)一極投入運(yùn)行時(shí)，換流變壓器會(huì)出現(xiàn)空載合閘現(xiàn)象，以及另一極變壓器出現(xiàn)和應(yīng)涌流，直流輸電系統(tǒng)可能導(dǎo)致主網(wǎng)交流變壓器出現(xiàn)嚴(yán)重飽和，從而引發(fā)勵(lì)磁涌流，使得高頻諧波饋入系統(tǒng)，有可能導(dǎo)致諧波保護(hù)誤動(dòng)作[3-7]。變壓器鐵心具有飽和特性，因此變壓器電磁暫態(tài)仿真模型中含有非線性電感元件。文獻(xiàn)[8]提出基于變壓器J-A磁滯模型的高效電磁暫態(tài)模型，分析了不同仿真步長(zhǎng)下J-A模型方程的數(shù)值特性，采用多速率仿真方法，使得仿真效率提高了1.6倍。分段線性化方法因?yàn)槠浜?jiǎn)單實(shí)用的特點(diǎn)成為被廣泛采用的非線性建模仿真方法，然而該方法在數(shù)值計(jì)算中采用較大步長(zhǎng)容易造成過(guò)沖，從而引起失真現(xiàn)象。文獻(xiàn)[9-12]分析了分段線性化變壓器飽和特性，但是沒(méi)有討論如何避免采用大步長(zhǎng)時(shí)分段線性化過(guò)沖失真問(wèn)題。文獻(xiàn)[13]建立了含有非線性勵(lì)磁支路的變壓器仿真模型，利用預(yù)測(cè)校正法來(lái)抑制過(guò)沖，使得仿真步長(zhǎng)從1μs增大至50μs，但是否適用于更大的仿真步長(zhǎng)并未討論。文獻(xiàn)[14-16]分析了考慮多重電力電子開(kāi)關(guān)器件動(dòng)作的數(shù)值振蕩問(wèn)題，提出基于后退歐拉法的電磁暫態(tài)仿真方法，通過(guò)計(jì)算步長(zhǎng)的插值倒退，可以有效抑制振蕩問(wèn)題，但是隨著倒退步驟的增多，仿真效率相比傳統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真并未得到較大提升。

近幾年，基于移頻理論的自適應(yīng)步長(zhǎng)仿真方法得到廣泛關(guān)注。為加快仿真速度，文獻(xiàn)[17-28]分別從動(dòng)態(tài)相量法、移頻法、自適應(yīng)移頻法對(duì)電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真進(jìn)行改善，使得仿真步長(zhǎng)可擴(kuò)大至ms級(jí)，大大提高了仿真效率。移頻理論和自適應(yīng)移頻理論由J. Marti[25-26]和K. Strunz[28]提出，其主要思想是對(duì)傳統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真所得實(shí)數(shù)瞬時(shí)值信號(hào)求取其解析信號(hào)，并對(duì)解析信號(hào)的頻譜移動(dòng)一個(gè)工頻的固定頻率，因此在移頻后原始信號(hào)的頻譜大大降低，從而根據(jù)香農(nóng)采樣定理可以采用大步長(zhǎng)仿真。而這些文獻(xiàn)中，變壓器模型僅采用傳統(tǒng)的理想變壓器模型，忽略了對(duì)變壓器非線性部分的建模，且其基于希爾伯特變換的移頻方法因其線性變換特點(diǎn)無(wú)法處理非線性問(wèn)題[29]，本文所用方法可以有效解決此問(wèn)題。

本文提出一種變壓器非線性多尺度建模方法，能夠在較大時(shí)間步長(zhǎng)仿真情況下準(zhǔn)確刻畫(huà)勵(lì)磁涌流非線性特征。提出了一種基于動(dòng)態(tài)相量的預(yù)測(cè)法以對(duì)發(fā)生勵(lì)磁涌流時(shí)的磁鏈進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，既能采用毫秒級(jí)大步長(zhǎng)仿真，又能避免分段線性化過(guò)沖失真現(xiàn)象，從而保證了仿真的高效性和準(zhǔn)確性。本文研究思路為：以傳統(tǒng)電流源的方法進(jìn)行變壓器非線性鐵心建模，采用包含所有諧波成分的增廣動(dòng)態(tài)相量推導(dǎo)出線性電感伴隨模型。電流源的求取，首先采用代表0、1、2、3次諧波的磁鏈動(dòng)態(tài)相量對(duì)磁鏈進(jìn)行預(yù)測(cè)，根據(jù)動(dòng)態(tài)相量的慢變特性，可以采用較大步長(zhǎng)進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，從而根據(jù)流過(guò)鐵心的電流與磁鏈的曲線擬合關(guān)系求出勵(lì)磁電流。所以本文方法可以解決勵(lì)磁涌流寬頻情況下，在損失較少諧波成分的同時(shí)采用大步長(zhǎng)仿真的難題。

1 分段線性化模型“過(guò)沖”現(xiàn)象

分段線性化作為傳統(tǒng)處理非線性仿真的方法具有簡(jiǎn)單實(shí)用、計(jì)算量小的特點(diǎn)，但是如果采用較大仿真步長(zhǎng)則容易產(chǎn)生過(guò)沖引起失真。磁鏈-電流關(guān)系滿足非線性特征，非線性磁化勵(lì)磁曲線如圖1a所示。過(guò)沖是指當(dāng)采用較大仿真步長(zhǎng)時(shí)，磁鏈采用線性化求取時(shí)與真實(shí)值出現(xiàn)較大偏差，如圖1b中的虛線所示。避免過(guò)沖問(wèn)題的辦法為減小仿真步長(zhǎng)，使得c點(diǎn)無(wú)限接近x點(diǎn)，但卻大大降低了仿真效率。因此，大步長(zhǎng)情況下準(zhǔn)確預(yù)測(cè)出磁鏈對(duì)避免過(guò)沖問(wèn)題起到至關(guān)重要的作用。同時(shí)，采用對(duì)實(shí)數(shù)信號(hào)的梯形積分法在實(shí)現(xiàn)二階精度和效率方面占有優(yōu)勢(shì)，但是實(shí)數(shù)信號(hào)相較于復(fù)數(shù)域的動(dòng)態(tài)相量始終為快變信號(hào)，而動(dòng)態(tài)相量的慢變特點(diǎn)則可以有效提升仿真效率。于是本文采用動(dòng)態(tài)相量法進(jìn)行磁鏈預(yù)測(cè)。

2 動(dòng)態(tài)相量仿真及預(yù)測(cè)

本文對(duì)非線性電感鐵心和漏感等變壓器元器件進(jìn)行增廣動(dòng)態(tài)相量建模，將非線性部分等效為電流源并聯(lián)在變壓器低壓側(cè)。所以變壓器模型分為線性電感建模和電流源建模。首先對(duì)線性電感（漏感）利用增廣動(dòng)態(tài)相量建模，其機(jī)理表述如下。

2.1 增廣動(dòng)態(tài)相量

該方法所得相量包含所有諧波分量和直流分量。考慮一個(gè)實(shí)值周期函數(shù)，它用一系列表示不同頻率、具有不同振幅和相位差的無(wú)窮多個(gè)正弦波的和表示。時(shí)域波形()的傅里葉級(jí)數(shù)表示[17-21]為

式中，()和()為任意兩個(gè)實(shí)數(shù)信號(hào)。然而，式（3）只描述了階諧波的微分變換，針對(duì)包含多次諧波的信號(hào)，采用式（1）會(huì)很大程度地增加計(jì)算量，且無(wú)法包括所有頻次的諧波，從而造成失真。本文采用增廣動(dòng)態(tài)相量法解決此問(wèn)題。

對(duì)于在一個(gè)滑動(dòng)時(shí)間窗(-,]內(nèi)的原始信號(hào)()，可以表示為以基頻為基底的形式[32]，即

式中，1和1分別為基頻分量的幅值和相位。除了基頻以外，還包括以基頻為基底的所有諧波分量和直流分量，這里記作r()，即

r()與基頻動(dòng)態(tài)相量的和就是本文所求的增廣動(dòng)態(tài)相量，可以表征原始信號(hào)穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)的所有信息。

基于增廣動(dòng)態(tài)相量，給出變壓器基本電氣元件線性電感的增廣動(dòng)態(tài)相量伴隨離散表達(dá)式，其微分方程為

因此基于式（3），線性電感的增廣動(dòng)態(tài)相量表達(dá)式可推導(dǎo)為

對(duì)式（8）利用梯形積分法離散化得

式中，Ihist為歷史電流源。式（8）和式（9）對(duì)應(yīng)的伴隨模型如圖2所示。

2.2 非線性電感建模

對(duì)于鐵心飽和的非線性特性建模，需要準(zhǔn)確預(yù)測(cè)每更新一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的磁鏈大小，從而根據(jù)電流-磁鏈關(guān)系得到對(duì)應(yīng)勵(lì)磁電流，建立電流源模型。相比非線性電感來(lái)表征飽和特性，電流源模型可以簡(jiǎn)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，提高仿真效率。本文擬在電流源模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)。

變壓器勵(lì)磁涌流-磁鏈關(guān)系如圖3所示，其中M表示膝點(diǎn)磁鏈，通常通過(guò)開(kāi)路試驗(yàn)確定其軌跡。

圖3 磁化特性曲線

傳統(tǒng)的方法是利用額定激勵(lì)來(lái)獲取數(shù)據(jù)，額外的點(diǎn)需要用分段線性外推技術(shù)來(lái)表征和預(yù)測(cè)，而現(xiàn)在普遍更傾向于采用精度更高的曲線擬合法[33-39]。所以，本文采用的曲線擬合方程[33]為

式中，M為膝點(diǎn)電壓。

2.3 動(dòng)態(tài)相量預(yù)測(cè)法

當(dāng)考慮變壓器飽和非線性時(shí)，電氣信號(hào)不再是工頻窄帶信號(hào)，而是具有寬頻特征，特別是對(duì)于勵(lì)磁涌流，包含的諧波含量相較于磁鏈更為明顯，因此對(duì)電流進(jìn)行動(dòng)態(tài)相量轉(zhuǎn)換變?yōu)槁冃盘?hào)會(huì)使得諧波次數(shù)較大，使得計(jì)算復(fù)雜化。而磁鏈在變壓器飽和時(shí)候的變化主要包含非周期分量，相較于勵(lì)磁涌流的寬頻特征，磁鏈（磁通）主要包含直流分量和基頻分量[36]，即

式中，為電壓合閘角；=+；m為變壓器的穩(wěn)態(tài)磁通幅值；p為變壓器的偏磁，p=mcos+res，res為變壓器的剩磁。

在勵(lì)磁涌流期間，本文采用動(dòng)態(tài)相量預(yù)測(cè)的方法，利用較大步長(zhǎng)準(zhǔn)確預(yù)測(cè)每個(gè)仿真步長(zhǎng)下的磁鏈，原理如下：因?yàn)榇沛?電流滿足曲線擬合關(guān)系，由上一步仿真步長(zhǎng)下的磁鏈預(yù)測(cè)出仿真步長(zhǎng)更新一步后的磁鏈，則可以求出對(duì)應(yīng)勵(lì)磁電流。雖然磁鏈在變壓器飽和時(shí)含有大量的直流分量和基頻分量，為保證精確性，本文選用0、1、2、3次諧波的動(dòng)態(tài)相量表示磁鏈如式（13）所示，采用動(dòng)態(tài)相量預(yù)測(cè)如式（13）～式（16）和圖4所示，圖中歷史磁鏈分量對(duì)應(yīng)式（13）的動(dòng)態(tài)相量磁鏈表達(dá)式。

式中，上標(biāo)“～”表示預(yù)測(cè)值。

歷史磁鏈動(dòng)態(tài)相量求取方法說(shuō)明如下：鐵心磁鏈與其兩端的電壓滿足

式（17）在動(dòng)態(tài)相量域可表示為

式中，=0, 1, 2, 3，分別代表磁鏈的直流分量、基頻分量、2次諧波、3次諧波分量；s=2π/，=0.02s。

對(duì)式（18）進(jìn)行梯形積分離散化得

在假定已知飽和鐵心兩端電壓的基礎(chǔ)上，根據(jù)式（19）可得各倍頻下的歷史磁鏈動(dòng)態(tài)相量值。

3 非線性變壓器增廣動(dòng)態(tài)相量模型

傳統(tǒng)變壓器電磁暫態(tài)仿真，需要對(duì)電壓電流瞬時(shí)值進(jìn)行差分，因此小步長(zhǎng)仿真成為必要條件。而基于增廣動(dòng)態(tài)相量的差分模型，因?yàn)椴捎萌缡剑?）所示的平均化思想，所以可以實(shí)現(xiàn)大步長(zhǎng)仿真，結(jié)合磁鏈的有效預(yù)測(cè)，亦可避免過(guò)沖現(xiàn)象。針對(duì)不同勵(lì)磁涌流過(guò)程，本文采用不同的仿真步長(zhǎng)，勵(lì)磁涌流不同階段仿真步長(zhǎng)設(shè)置見(jiàn)表1。

表1 勵(lì)磁涌流不同階段仿真步長(zhǎng)設(shè)置

Tab.1 Setting of time step size of diverse inrush current stage

首先對(duì)理想變壓器建模進(jìn)行說(shuō)明。單相非線性變壓器如圖5所示，變壓器一次側(cè)相對(duì)于二次側(cè)的電壓比為，其中不包含低壓側(cè)并聯(lián)的電流源，表達(dá)式為

式中，YL為式（9）中線性電感等效導(dǎo)納值?？紤]飽和的變壓器模型，可以在低壓側(cè)并聯(lián)一個(gè)電流源。

該模型表達(dá)為矩陣形式有

4 變壓器多尺度仿真方法流程

本文采用增廣動(dòng)態(tài)相量法對(duì)變壓器元件建模，并根據(jù)磁鏈頻譜特性采用不同的仿真步長(zhǎng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)相量預(yù)測(cè)，整體計(jì)算流程如圖6所示。

在未發(fā)生勵(lì)磁涌流的穩(wěn)態(tài)期間，可采用2ms大步長(zhǎng)仿真，發(fā)生勵(lì)磁涌流后分為兩個(gè)階段：初期和衰減期，分別采用較小步長(zhǎng)500μs和大步長(zhǎng)2ms仿真。詳細(xì)流程如下。

圖6 變壓器多尺度仿真方法流程

（1）算例數(shù)據(jù)錄入，形成增廣動(dòng)態(tài)相量域下的變壓器節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣T如式（21）所示。

（2）采用遞歸離散傅里葉變換（Recursive Discrete Fourier Transform, RDFT）[37]對(duì)一個(gè)周波（即0.02s）滑窗內(nèi)的線路電流頻率進(jìn)行持續(xù)在線檢測(cè)，判別是否發(fā)生勵(lì)磁涌流，通常采用在線檢測(cè)二倍頻諧波分量和基波的比值來(lái)判定是否發(fā)生勵(lì)磁涌流[38]。若當(dāng)前時(shí)刻未發(fā)生勵(lì)磁涌流或者涌流消失，則執(zhí)行步驟（3）；否則跳轉(zhuǎn)到步驟（4）。

（3）采用大步長(zhǎng)2ms的動(dòng)態(tài)相量預(yù)測(cè)法對(duì)磁鏈進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，從而利用曲線擬合式（10）得出對(duì)應(yīng)勵(lì)磁涌流，進(jìn)而跳轉(zhuǎn)到步驟（6）。

（4）采用RDFT對(duì)一個(gè)周波（即0.02s）滑窗內(nèi)的變壓器磁鏈中心頻率進(jìn)行持續(xù)在線監(jiān)測(cè)。若遠(yuǎn)離工頻頻率50Hz，如偏移量大于或等于10Hz，則進(jìn)行步驟（5）；否跳轉(zhuǎn)至步驟（3）。

（5）采用較小步長(zhǎng)500μs的動(dòng)態(tài)相量預(yù)測(cè)式（16）對(duì)磁鏈進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，從而利用曲線擬合式（10）得出對(duì)應(yīng)勵(lì)磁涌流。

（6）根據(jù)勵(lì)磁涌流，獲取歷史電流源矩陣hTn，從而根據(jù)式（23）求取變壓器電氣量。

（7）時(shí)間更新一個(gè)步長(zhǎng)，若小于總時(shí)長(zhǎng)，則跳轉(zhuǎn)到步驟（2）；否則仿真結(jié)束。

5 仿真對(duì)比驗(yàn)證

5.1 仿真驗(yàn)證

本節(jié)對(duì)圖7所示變壓器進(jìn)行空載合閘仿真，設(shè)置開(kāi)關(guān)斷開(kāi)，開(kāi)關(guān)在0.13s時(shí)合閘，本算例中三相短路未設(shè)置發(fā)生。電路參數(shù)見(jiàn)表2。仿真工具采用Matlab編程實(shí)現(xiàn)。變壓器二次側(cè)接一個(gè)簡(jiǎn)單電阻來(lái)模擬二次側(cè)經(jīng)輸電線路和負(fù)載接地，電阻值采用PSCAD 官網(wǎng)模型。

圖7 變壓器勵(lì)磁涌流電路

表2 變壓器勵(lì)磁涌流電路參數(shù)

Tab.2 Parameters of transformer inrush current circuit

對(duì)該電路所有電氣元件進(jìn)行增廣動(dòng)態(tài)相量建模仿真。磁鏈預(yù)測(cè)采用=0、1、2、3階動(dòng)態(tài)相量的動(dòng)態(tài)相量預(yù)測(cè)法，仿真步長(zhǎng)取500μs和2ms。勵(lì)磁涌流判定發(fā)生時(shí)，采用小仿真步長(zhǎng)500μs的動(dòng)態(tài)相量預(yù)測(cè)法對(duì)磁鏈進(jìn)行預(yù)測(cè)，當(dāng)磁鏈頻譜中心頻率c接近工頻后，勵(lì)磁涌流衰減速度變緩，可采用2ms大步長(zhǎng)對(duì)勵(lì)磁電流進(jìn)行預(yù)測(cè)。

為了驗(yàn)證磁鏈動(dòng)態(tài)相量預(yù)測(cè)法的有效性，首先對(duì)磁鏈的各次諧波動(dòng)態(tài)相量仿真展示如下。對(duì)空載合閘系統(tǒng)進(jìn)行0～2s的仿真如圖8所示，各次諧波的動(dòng)態(tài)相量在勵(lì)磁涌流發(fā)生時(shí)依舊是一個(gè)慢變信號(hào)，基于此，可以說(shuō)明式（14）、式（15）在勵(lì)磁涌流初始時(shí)刻選擇Δ=500μs，磁鏈衰減過(guò)程中Δ=2ms時(shí)能滿足預(yù)測(cè)精度。

圖8 空載合閘期間磁鏈各次諧波動(dòng)態(tài)相量

將預(yù)測(cè)的動(dòng)態(tài)相量代入式（16），可得預(yù)測(cè)磁鏈如圖9所示，其中0～1.8s選擇采用小步長(zhǎng)500μs預(yù)測(cè)仿真，1.8～2s選擇大步長(zhǎng)2ms進(jìn)行仿真，并和1μs仿真步長(zhǎng)波形進(jìn)行了對(duì)比。圖10和圖11分別為圖9在0～0.55s和1.8～2s的放大圖。證明了所提預(yù)測(cè)算法在較大步長(zhǎng)（500μs和2ms）仿真下的準(zhǔn)確性，相較于傳統(tǒng)采用1μs的電磁暫態(tài)仿真，仿真步長(zhǎng)分別提高了500倍和2 000倍。另外，圖11加入了線性外推法[37]和本文所提預(yù)測(cè)算法作對(duì)比，在2ms的仿真步長(zhǎng)下，本文預(yù)測(cè)算法具有更高的預(yù)測(cè)精度，磁鏈預(yù)測(cè)精度對(duì)比見(jiàn)表3。

圖9 仿真步長(zhǎng)為500μs和2ms的增廣動(dòng)態(tài)相量磁鏈預(yù)測(cè)

圖10 仿真步長(zhǎng)為500μs的磁鏈預(yù)測(cè)放大圖

圖11 仿真步長(zhǎng)為2ms的磁鏈預(yù)測(cè)放大圖

表3 磁鏈預(yù)測(cè)精度對(duì)比

Tab.3 Comparison of flux linkage prediction accuracy

為了說(shuō)明本文預(yù)測(cè)算法在加大仿真步長(zhǎng)后的精度，選取2ms大步長(zhǎng)仿真對(duì)整個(gè)勵(lì)磁涌流發(fā)生到結(jié)束進(jìn)行仿真，查看本算法在大步長(zhǎng)下的精度。對(duì)圖7所示變壓器進(jìn)行外部故障恢復(fù)性勵(lì)磁涌流仿真，設(shè)置變壓器于2.5s時(shí)刻在二次側(cè)發(fā)生三相短路，故障持續(xù)0.05s后消除。圖12和圖13分別為空載合閘勵(lì)磁涌流和恢復(fù)性勵(lì)磁涌流發(fā)生時(shí)段內(nèi)，2ms步長(zhǎng)下的預(yù)測(cè)磁鏈和參考磁鏈的比較，可以看到，如果在犧牲一定精度的情況下，即使在勵(lì)磁涌流發(fā)生初始時(shí)刻，本文所提動(dòng)態(tài)相量預(yù)測(cè)法依舊可以在2ms仿真步長(zhǎng)下較為準(zhǔn)確地預(yù)估磁鏈。當(dāng)采用更小的仿真步長(zhǎng)，例如500μs時(shí)，則預(yù)測(cè)得更為準(zhǔn)確，如圖10所示。同時(shí)，由圖12、圖13所示，預(yù)測(cè)磁鏈和參考磁鏈之間產(chǎn)生了較小延時(shí)，原因?yàn)椋捍沛湵槐硎緸?、1、2、3次諧波的動(dòng)態(tài)相量形式，相比實(shí)時(shí)信號(hào)具有慢變特點(diǎn)。所以在穩(wěn)態(tài)時(shí)，采用式（14）、式（15）對(duì)磁鏈動(dòng)態(tài)相量進(jìn)行預(yù)測(cè)。當(dāng)穩(wěn)態(tài)或者趨近穩(wěn)態(tài)時(shí)，即磁鏈頻譜中心距離基頻10Hz以內(nèi)時(shí)，磁鏈動(dòng)態(tài)相量為平穩(wěn)的直線如圖8所示。采用式（14）、式（15）進(jìn)行預(yù)測(cè)則不會(huì)產(chǎn)生時(shí)延。但是在勵(lì)磁涌流發(fā)生初始時(shí)段內(nèi)，即磁鏈頻譜中心距離基頻10Hz以外，對(duì)應(yīng)圖8中0.13～0.2s時(shí)間段內(nèi)，四個(gè)相量變化較為明顯，如果此時(shí)采用式（14）、式（15）進(jìn)行磁鏈預(yù)測(cè)，Δ選為大步長(zhǎng)2ms，則式（14）、式（15）的約等關(guān)系不再成立，所以用該方法的預(yù)測(cè)就會(huì)產(chǎn)生時(shí)延。根據(jù)磁鏈-電流關(guān)系，磁鏈的延時(shí)會(huì)導(dǎo)致勵(lì)磁涌流的延時(shí)，從而對(duì)涌流仿真結(jié)果造成影響，但是因?yàn)轭A(yù)測(cè)磁鏈的幅值最大值并沒(méi)有超過(guò)參考磁鏈，所以勵(lì)磁涌流也不會(huì)發(fā)生過(guò)沖，從而能較好地對(duì)涌流最大值進(jìn)行較為準(zhǔn)確的仿真。然而如果采用本文算法流程，在勵(lì)磁涌流暫態(tài)時(shí)段，即磁鏈頻譜中心偏移量大于10Hz采用較小步長(zhǎng)，則可以消除延時(shí)，獲取更精確的勵(lì)磁涌流。

圖12 2ms仿真步長(zhǎng)空載合閘時(shí)刻磁鏈預(yù)測(cè)示意圖

圖13 恢復(fù)性勵(lì)磁涌流時(shí)刻磁鏈預(yù)測(cè)示意圖

圖14和圖15分別為采用500μs和2ms的仿真步長(zhǎng)計(jì)算得出的勵(lì)磁涌流并和1μs仿真步長(zhǎng)標(biāo)準(zhǔn)勵(lì)磁涌流之間的對(duì)比。經(jīng)過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，誤差最大約為2.5%，在允許范圍之內(nèi)，勵(lì)磁涌流預(yù)測(cè)精度對(duì)比見(jiàn)表4。這大大提高了勵(lì)磁涌流的仿真效率，同時(shí)也避免了勵(lì)磁涌流過(guò)沖的問(wèn)題。對(duì)于大型變壓器，勵(lì)磁涌流衰減時(shí)間往往達(dá)到幾十秒[36]，采用本文所提方法可有效提高仿真效率。

圖14 仿真步長(zhǎng)為500μs的勵(lì)磁涌流對(duì)比

圖15 仿真步長(zhǎng)為2ms的勵(lì)磁涌流

表4 勵(lì)磁涌流預(yù)測(cè)精度對(duì)比

Tab.4 Comparison of inrush current prediction accuracy

5.2 仿真誤差分析

本文對(duì)勵(lì)磁涌流進(jìn)行大步長(zhǎng)仿真，采用不同的仿真方法引入兩類不同的誤差，即分段線性化引入的誤差和采用電流-磁鏈擬合曲線的電流源法引入的誤差。后者通過(guò)對(duì)磁鏈進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，繼而通過(guò)已有的電流-磁鏈擬合公式對(duì)勵(lì)磁涌流進(jìn)行仿真，這其中對(duì)磁鏈在較大仿真步長(zhǎng)下的預(yù)測(cè)成為勵(lì)磁涌流仿真誤差的主要來(lái)源。關(guān)于不同方法導(dǎo)致的仿真誤差分類如圖16所示。分段線性化的過(guò)沖原理在第1節(jié)做了簡(jiǎn)要介紹，其在大步長(zhǎng)仿真下引入的誤差較大，在5.3節(jié)對(duì)比了分段線性化和本文算法的過(guò)沖百分比。電流源法中的兩類磁鏈預(yù)測(cè)法為線性外推法和動(dòng)態(tài)相量預(yù)測(cè)法，實(shí)現(xiàn)的功能皆為對(duì)磁鏈進(jìn)行預(yù)測(cè)，而線性外推在仿真步長(zhǎng)較大（2ms）時(shí)預(yù)測(cè)精度相較于本文所提動(dòng)態(tài)相量預(yù)測(cè)變差，如圖11所示。圖11中的誤差是由于仿真過(guò)程中沒(méi)有得到正確的磁鏈而產(chǎn)生的誤差，電流-磁鏈曲線采用2.1節(jié)中的曲線擬合方程如式（10）所示，當(dāng)磁鏈m得到準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，代入式（10）中，即可得到準(zhǔn)確的勵(lì)磁涌流m。電流-磁鏈曲線通過(guò)工程試驗(yàn)擬合所得，線性外推和動(dòng)態(tài)相量預(yù)測(cè)所得磁鏈m都將代入式（10）得到勵(lì)磁涌流m，誤差僅來(lái)源于磁鏈?zhǔn)欠駵?zhǔn)確預(yù)測(cè)。在穩(wěn)態(tài)時(shí)，動(dòng)態(tài)相量表示下的磁鏈為平穩(wěn)的正弦信號(hào)包絡(luò)線，而作為對(duì)比的線性外推法并沒(méi)有基于動(dòng)態(tài)相量模型，而是正弦磁鏈形態(tài)，采用線性外推在大步長(zhǎng)下誤差則會(huì)增大。線性外推預(yù)測(cè)磁鏈誤差分析可參考文獻(xiàn)[37]。在暫態(tài)時(shí)，當(dāng)采用較小仿真步長(zhǎng)，動(dòng)態(tài)相量表示的包絡(luò)線始終比原始正弦信號(hào)變化較慢，基于本文所提動(dòng)態(tài)相量預(yù)測(cè)的方法可在較大仿真步長(zhǎng)（500μs）下比基于快變瞬時(shí)信號(hào)的線性外推預(yù)測(cè)精度更高。

圖16 勵(lì)磁涌流仿真誤差來(lái)源分類

暫態(tài)仿真中的誤差采用差值方均根進(jìn)行計(jì)算，即

式中，為一個(gè)工頻周期內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)量；1,j和2,j分別為仿真勵(lì)磁涌流和參考勵(lì)磁涌流第個(gè)采樣值，從1～進(jìn)行差值方均根計(jì)算。式（27）也可用于磁鏈誤差計(jì)算。

5.3 仿真對(duì)比

本節(jié)針對(duì)現(xiàn)有過(guò)沖抑制方法——插值后退法進(jìn)行介紹，并與本文所提算法在計(jì)算精度和計(jì)算耗時(shí)上進(jìn)行對(duì)比。插值后退仿真過(guò)程如圖17所示，其中n1、n2為飽和區(qū)到退飽和區(qū)的時(shí)間點(diǎn)。

圖17 插值后退仿真過(guò)程

在一個(gè)仿真步長(zhǎng)中，當(dāng)遇到兩次變壓器飽和，則需要進(jìn)行6步插值后退，如圖17所示，從而避免發(fā)生像圖1所示的過(guò)沖現(xiàn)象。插值后退法通過(guò)計(jì)算仿真步長(zhǎng)的插值倒退，即圖17中的第2步和第5步，則可以大幅減小或者完全抑制過(guò)沖問(wèn)題。插值后退法在仿真精度方面幾乎可達(dá)到100%，對(duì)0～0.4s內(nèi)變壓器空載合閘期間發(fā)生勵(lì)磁涌流采用插值后退仿真如圖18所示，與本文算法仿真對(duì)比如圖19所示，可見(jiàn)該方法的確可實(shí)現(xiàn)較高精度，雖然相比插值后退有一定的誤差，但是誤差在接受范圍內(nèi)。本文算法的優(yōu)勢(shì)是計(jì)算速度大為提高，是插值后退的50倍以上。

圖18 500μs插值后退仿真

圖19 500μs步長(zhǎng)下插值后退與本文算法對(duì)比

然而，由圖17可看出，相比本文采用的電流源建模非線性部分，該方法基于分段線性化電感伴隨模型，首先引入的分段線性化電感模型在每次發(fā)生飽和后電感值發(fā)生改變，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)隨即發(fā)生改變，需要重新計(jì)算一次節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。然而當(dāng)檢測(cè)到計(jì)算出來(lái)的電流從飽和區(qū)過(guò)渡到非飽和區(qū)，則需要重新形成新的伴隨積分公式來(lái)代替原始的電感差分伴隨模型，反映到圖17中則為第2步的回退過(guò)程，使得整個(gè)系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣在發(fā)生變壓器飽和時(shí)又需要重新計(jì)算一次。當(dāng)非線性設(shè)備較多，則大大增加計(jì)算量。目前流行的兩種勵(lì)磁涌流仿真方法和本文方法在精度和耗時(shí)方面的對(duì)比見(jiàn)表5。參考算例為用PSCAD搭建的空載合閘勵(lì)磁涌流波形，仿真步長(zhǎng)設(shè)置為1μs以保證準(zhǔn)確性。由表5可看出，相比插值后退法，本文方法雖然在精度上稍有下降，但是計(jì)算效率大大增加。其中

如果設(shè)置分段線性化和插值后退的步長(zhǎng)為500μs，本文算法采用500μs、2ms的變步長(zhǎng)仿真，對(duì)比過(guò)沖百分比，發(fā)現(xiàn)分段線性化在采用大步長(zhǎng)后過(guò)沖值超過(guò)額定值的5倍左右，而插值后退和本文算法的理論過(guò)沖值約為額定值的2%左右，本文算法的過(guò)沖百分比相較于插值后退法略高2.1%和0.6%，但是計(jì)算耗時(shí)卻比插值后退法快了73倍和146倍，精度也在允許范圍內(nèi)。隨著變壓器衰減時(shí)間常數(shù)增大，本文算法則更加準(zhǔn)確。

表5 變壓器勵(lì)磁涌流仿真方法對(duì)比

Tab.5 Inrush current simulation comparison

另外，如果對(duì)比三種算法在暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)下的步長(zhǎng)優(yōu)勢(shì)，表5中精度和過(guò)沖百分比分別設(shè)置了暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)情況下三種算法的對(duì)比情況。暫態(tài)過(guò)程指磁鏈頻譜中心距離基頻10Hz以上的動(dòng)態(tài)，穩(wěn)態(tài)過(guò)程指中心頻率偏移量在10Hz以內(nèi)。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，分段線性化在暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)時(shí)，采用500μs仿真步長(zhǎng)均發(fā)生嚴(yán)重過(guò)沖。插值后退法相比本文算法，在暫態(tài)過(guò)程中，本文算法仿真速度是插值后退法的89.59倍，但是過(guò)沖百分比高了2.5%，可以接受。穩(wěn)態(tài)過(guò)程中，本文算法仿真速度是插值后退法的52.3倍，且過(guò)沖百分比相較后退法低了0.8%。綜合來(lái)看，本文算法在提高仿真效率方面更為出色。

同時(shí)，表5考慮了涌流大小和衰減快慢對(duì)仿真的影響，其中衰減時(shí)間對(duì)分段線性化方法的計(jì)算耗時(shí)的影響最為明顯，仿真選用了衰減時(shí)間常數(shù)為1s和15s的例子進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)三種算法的耗時(shí)均有所下降，但是本文所提算法的計(jì)算耗時(shí)依舊是最低的，比插值后退法快了73倍和146倍，涌流衰減時(shí)間越久，本文算法耗時(shí)越短，且仿真精度越高。

6 結(jié)論

針對(duì)變壓器飽和進(jìn)行線性化中的過(guò)沖現(xiàn)象和仿真效率低下的問(wèn)題，本文提出動(dòng)態(tài)相量預(yù)測(cè)法，有效避免了過(guò)沖現(xiàn)象。所得結(jié)論如下：

1）與傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)相量法相比，本文所用增廣動(dòng)態(tài)相量包含了所有諧波分量和非周期分量，保證了仿真精度。同時(shí)，當(dāng)考慮變壓器飽和非線性時(shí)，電氣信號(hào)不再是一個(gè)工頻窄帶信號(hào)，相比于包含較多諧波量的勵(lì)磁電流，磁鏈包含的諧波量較少，勵(lì)磁涌流發(fā)生時(shí)刻，利用動(dòng)態(tài)相量預(yù)測(cè)法，采用較小仿真步長(zhǎng)（例如500μs）對(duì)磁鏈進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)；而信號(hào)趨近于工頻窄帶附近時(shí)，磁鏈動(dòng)態(tài)相量為慢變信號(hào)，則可自適應(yīng)采用較大仿真步長(zhǎng)（例如2ms）進(jìn)行預(yù)測(cè)。最后可以根據(jù)磁鏈-電流關(guān)系求出勵(lì)磁涌流，大大提高了效率，繼而解決了寬頻電流信號(hào)仿真依舊可以采用大步長(zhǎng)且諧波損失較少的問(wèn)題。

2）所采用的動(dòng)態(tài)相量預(yù)測(cè)法相比線性外推法，能更精確有效地在勵(lì)磁涌流發(fā)生時(shí)預(yù)測(cè)磁鏈。本方法可有效避免采用線性化求取勵(lì)磁磁鏈的方法所帶來(lái)的過(guò)沖問(wèn)題。

[1] 姚蜀軍, 劉暢, 汪燕, 等. 多頻段時(shí)間尺度變換電磁暫態(tài)仿真研究[J]. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào), 2019, 39(24): 7199-7208.

Yao Shujun, Liu Chang, Wang Yan, et al. A research on multi-frequency band time-scale transformation for electromagnetic transients simulation[J]. Proceedings of the CSEE, 2019, 39(24): 7199-7208.

[2] 李博, 包涌泉, 彭振東, 等. 基于改進(jìn)型直流真空斷路器弧后暫態(tài)仿真及介質(zhì)恢復(fù)特性分析[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2021, 36(8): 1752-1760.

Li Bo, Bao Yongquan, Peng Zhendong, et al. Post-arc transient simulation and dielectric recovery analysis based on improved dc vacuum circuit breaker[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(8): 1752-1760.

[3] 吳嘉琪, 李曉華, 陳忠, 等. 考慮磁滯特性變壓器PSCAD /EMTDC電磁暫態(tài)仿真建模方法及勵(lì)磁差異性分析[J]. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào), 2017, 37(5): 1543-1551.

Wu Jiaqi, Li Xiaohua, Chen Zhong, et al. A transformer model with hysteresis characteristics for electromagnetic transients based on PSCAD /EMTDC and excitation difference analysis[J]. Proceedings of the CSEE, 2017, 37(5): 1543-1551.

[4] 李春艷, 周念成, 王強(qiáng)鋼, 等. 基于軟啟動(dòng)的變壓器勵(lì)磁涌流抑制方法[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2020, 35(17): 3640-3651.

Li Chunyan, Zhou Niancheng, Wang Qianggang, et al. A method to eliminate transformer inrush currents using soft-starter-based controlled energization[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2020, 35(17): 3640-3651.

[5] 王小君, 畢成杰, 金程, 等. 電氣化鐵路不停電過(guò)分相電磁暫態(tài)及抑制措施研究[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2021, 36(1): 191-202.

Wang Xiaojun, Bi Chengjie, Jin Cheng, et al. Research on electromagnetic transient and suppression measures for passing neutral section without power interruption of electrified railway[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(1): 191-202.

[6] 任于展, 武仕樸, 汪友華, 等. 基于暫態(tài)電流差極值的電力變壓器剩磁測(cè)量方法[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2021, 37(5): 1088-1097.

Ren Yuzhan, Wu Shipu, Wang Youhua, et al. Residual flux measurement method of power transformer based on extreme value of transient current difference[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 2021, 37(5): 1088-1097.

[7] Fang Xupeng, Tian Yingying, Ding Xiaokang, et al. Series-type switched-inductor Z-source inverter[J]. CES Transactions on Electrical Machines and Systems, 2020, 4(1): 53-60.

[8] 洪潮, 張慶華, 張野, 等. 基于J-A磁滯模型的高效電磁暫態(tài)變壓器建模[J]. 南方電網(wǎng)技術(shù), 2020, 14(2): 75-83.

Hong Chao, Zhang Qinghua, Zhang Ye, et al. Efficient electromagnetic transient modeling of transformer based on J-A hysteresis model[J]. Southern Power System Technology, 2020, 14(2): 75-83.

[9] 孫洋，黃家棟. 基于非飽和區(qū)等效瞬時(shí)電感波形特征的變壓器勵(lì)磁涌流鑒別方法[J]. 電網(wǎng)技術(shù), 2010, 34(3): 88-92.

Sun Yang，Huang Jiadong. Identification of transformer magnetizing inrush based on waveform characteristics of equivalent instantaneous inductance in non-saturation zone[J]. Power System Technology, 2010, 34(3): 88-92.

[10] 宋九淵, 符玲, 熊思宇, 等. 基于二階泰勒系數(shù)的勵(lì)磁涌流識(shí)別方法[J]. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào), 2020, 40(3): 1020-1030.

Song Jiuyuan, Fu Ling, Xiong Siyu, et al. Magnetizing inrush current identification method based on second-order Taylor derivative[J]. Proceedings of the CSEE, 2020, 40(3): 1020-1030.

[11] 徐巖, 周霏霏. 基于幅值特征的變壓器勵(lì)磁涌流和故障電流的識(shí)別[J]. 電網(wǎng)技術(shù), 2011, 35(9): 211-215.

Xu Yan, Zhou Feifei. A method to distinguish inrush current of power transformer from fault current based on amplitude characteristics[J]. Power System Technology, 2011, 35(9): 211-215.

[12] 司馬文霞, 劉永來(lái), 楊鳴, 等. 考慮鐵心深度飽和的單相雙繞組變壓器改進(jìn)π模型[J]. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào), 2018, 38(24): 7131-7140.

Sima Wenxia, Liu Yonglai, Yang Ming, et al. An improved π model for single-phase two winding transformers considering deep saturation of the iron core[J]. Proceedings of the CSEE, 2018, 38(24): 7131-7140.

[13] 朱翊, 房大中, 王慶平. 考慮變壓器勵(lì)磁非線性的電磁暫態(tài)仿真算法[J]. 電網(wǎng)技術(shù), 2012, 36(4): 116-120.

Zhu Yi, Fang Dazhong, Wang Qingping. An approach for electromagnetic transient simulation of power transformers with nonlinear exciting branch[J]. Power System Technology, 2020, 14(2): 75-83.

[14] Faruque M O, Dinavahi V, Wilsun X. Algorithms for the accounting of multiple switching events in digital simulation of power-electronic systems[J]. IEEE Transactions on Power Delivery, 2005, 20(2): 1157-1167.

[15] Kuffel P, Kent K, Irwin G. The implementation and effectiveness of linear interpolation within digital simulation[J]. International Journal of Electrical Power, 1997, 19(4): 221-227.

[16] 趙帥, 賈宏杰, 李建設(shè), 等.一種考慮多重開(kāi)關(guān)動(dòng)作的變步長(zhǎng)電磁暫態(tài)仿真算法[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2016, 31(12): 177-183.

Zhao Shuai, Jia Hongjie, Li Jianshe, et al. Variable step integration method on power system transient simulation with multiple switching events[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2016, 31(12): 177-183.

[17] 姚蜀軍, 屈秋夢(mèng), 蔡焱蒙, 等. 基于多頻段動(dòng)態(tài)相量法的MMC換流器建模方法[J]. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào), 2020, 40(18): 5932-5942.

Yao Shujun, Qu Qiumeng, Cai Yanmeng, et al. A research of modeling method of modular multilevel converter based on multi-frequency bands dynamic phasor[J]. Proceedings of the CSEE, 2020, 40(18): 5932-5942.

[18] 王振浩, 李博文, 成龍, 等. 多電壓等級(jí)直流配電網(wǎng)平均動(dòng)態(tài)相量建模及穩(wěn)定性分析[J]. 電力系統(tǒng)自動(dòng)化, 2021, 45(10): 50-58.

Wang Zhenhao, Li Bowen, Cheng Long, et al. Average dynamic phasor modeling and stability analysis of multi-voltage-level dc distribution network[J]. Automation of Electric Power Systems, 2021, 45(10): 50-58.

[19] 高仕林, 宋炎侃, 陳穎, 等. 電力系統(tǒng)移頻電磁暫態(tài)仿真原理及應(yīng)用綜述[J]. 電力系統(tǒng)自動(dòng)化, 2021, 45(14): 173-183.

Gao Shilin, Song Yankan, Chen Ying, et al. Overview on principle and application of shifted frequency based electromagnetic transient simulation for power system[J]. Automation of Electric Power Systems, 2021, 45(14): 173-183.

[20] 解潤(rùn)生, 張國(guó)榮, 高凱, 等. 適用于頻變輸電線的動(dòng)態(tài)相量諧波分析建模與仿真[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2021, 36(15): 3200-3210.

Jie Runsheng, Zhang Guorong, Gao Kai, et al. Modeling and simulation of dynamic phasor harmonic analysis for frequency-dependent transmission line[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(15): 3200-3210.

[21] Shu Dewu, Xie Xiaorong, Yan Zheng, et al. A multi-domain co-simulation method for comprehensive shifted-frequency phasor dc-grid models and EMT ac-grid models[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2019, 34(11): 10557-10574.

[22] Xia Yue, Chen Ying, Song Yankan, et al. Multi-scale modeling and simulation of DFIG-based wind energy conversion system [J]. IEEE Transactions on Energy Conversion, 2020, 35(1): 560-572.

[23] Gao Feng, Strunz K. Frequency-adaptive power system modeling for multiscale simulation of transients[J]. IEEE Transactions on Power System, 2009, 24(2): 561-571.

[24] Xia Yue, Chen Ying, Song Yankan, et al. An efficient phase domain synchronous machine model with constant equivalent admittance matrix[J]. IEEE Transactions on Power Delivery, 2019, 34(3): 929-940.

[25] Zhang Peng. Shifted frequency analysis for EMTP simulation of power system dynamics[D]. Vancouver: University of British Columbia, 2009.

[26] Marti J, Dommel H, Bonatto B, et al. Shifted frequency analysis (SFA) concepts for EMTP modelling and simulation of power system dynamics[C]//2014 Power Systems Computation Conference (PSCC), Wroclaw, Poland, 2014: 1-8.

[27] Gao Feng. Frequency-adaptive modeling for multi-scale simulation of transients in power systems[D]. Washington: University of Washington, 2008.

[28] Gao Feng, Strunz, K. Modeling of constant distributed parameter transmission line for simulation of natural and envelope waveforms in power electric networks[C]//The 37th North American Power Symposium, Ames, IA, 2005: 247-252.

[29] 陳穎. 基于寬頻域移頻理論的大規(guī)模交直流互聯(lián)電網(wǎng)多時(shí)間尺度暫態(tài)建模與高性能仿真[D]. 北京: 清華大學(xué), 2018: 9-12.

[30] Shu Dewu, Dinavahi V, Xie Xiaorong, et al. Shifted frequency modeling of hybrid modular multilevel converters for simulation of MTDC grid[J] IEEE Transactions on Power Delivery, 2018, 33(3): 1288-1298.

[31] Shu Dewu, Xie Xiaorong, Jiang Qirong, et al. A novel interfacing technique for distributed hybrid simulations combining EMT and transient stability models[J]. IEEE Transactions on Power Delivery, 2018, 33(1): 130-140.

[32] Mudunkotuwa K, Filizadeh S, Annakkage U. Development of a hybrid simulator by interfacing dynamic phasors with electromagnetic transient simulation[J]. IET Generation Transmission & Distribution, 2017, 11(12): 2991-3001.

[33] EMTDC manual[Z]. Winnipeg: Manitoba HVDC Research Center, 2003.

[34] 商瑩. 電磁暫態(tài)算法比較及非線性模型研究[D]. 濟(jì)南: 山東大學(xué), 2009.

[35] Chiesa N, H?idalen H. Modeling of nonlinear and hysteretic iron-core inductors in ATP[C]//European EMTP-ATP Conference, Leon, Spain, 2008: 118-123.

[36] 張建松, 何奔騰, 張雪松. 變壓器衰減勵(lì)磁涌流的實(shí)用計(jì)算方法[J]. 電力系統(tǒng)自動(dòng)化, 2005, 29(12): 57-60.

Zhang Jiansong, He Benteng, Zhang Xuesong. Approach to calculate attenuated magnetizing inrush current in transformer[J]. Automation of Electric Power Systems, 2005, 29(12): 57-60.

[37] Xia Yue, Chen Ying, Ye Hua, et al. Multi-scale induction machine modeling in the dq0 domain including main flux saturation[J]. IEEE Transactions on Energy Conversion, 2019, 34(2): 652-664.

[38] 盧王允, 曹勇敢, 李苗苗. 基于小波分析的變壓器勵(lì)磁涌流識(shí)別判據(jù)研究[J]. 電氣技術(shù), 2014, 4(12): 8-12.

Lu Wangyun, Cao Yonggan, Li Miaomiao. Research on transformer magnetizing inrush current identification criterion based on wavelet analysis[J]. Electrical Engineering, 2014, 4(12): 8-12.

[39] 王迎迎, 袁建生. 鐵心材料飽和磁化強(qiáng)度的偏差對(duì)求解變壓器涌流的影響（英文）[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2019, 34(12): 2452-2459.

Wang Yingying, Yuan Jiansheng. Influence of the error of saturation magnetization of core material on the solution of transformer inrush current[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2019, 34(12): 2452-2459.

Frequency Adaptive Simulation of Transformer Inrush Current Based on the Augmented Dynamic Phasor Method

Gong Zhen1Liu Chengxi1Yao Liangzhong1Yang Bo2Zhuang Jun2Huang Xiaohui3

（1. School of Electrical Engineering and Automation Wuhan University Wuhan 430027 China 2. China Electric Power Research Institute Nanjing 210003 China 3. Nanjing Hexi Electric Co. Ltd Nanjing 210008 China）

The overshoot problem can be avoided by adopting small time step in electromagnetic simulations, and the inrush current of a large capacity transformer usually decays very slowly which will certainly results in low simulation efficiency. In this paper, an augmented dynamic phasor multi-timescale electromagnetic transient model was established for large-capacity transformer with nonlinear excitation branch, and a dynamic phasor flux prediction method was utilized. The current can be accurately predicted and simulated, which solves the overshoot problem of piecewise linearization under large time steps, and large time steps can be adopted without sacrificing more current harmonic components. When the inrush current occurred, a small-time step was adopted to predict the flux linkage, then magnetizing inrush current was obtained by current-flux curve fitting function. When the flux linkage spectrum was detected concentrated near the fundamental frequency, the flux linkage waveform will maintain its sinusoidal characteristics then a large time step can be adopted without sacrifice of simulation accuracy. In this way, the accurate inrush current was simulated utilizing current-flux curve fitting function, and the overshoot problem was solved using large step size to accelerate the simulation speed. Finally, the simulation results verified the correctness of the proposed transformer model and dynamic phasor prediction method.

Dynamic phasor prediction method, inrush current, nonlinear, overshoot

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.211076

TM743

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（52007133）。

2021-07-12

2022-01-14

龔 振 男，1993年生，博士研究生，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)多尺度仿真計(jì)算、新型電力系統(tǒng)穩(wěn)定與控制。E-mail：gongzhen@whu.edu.cn

劉承錫 男，1985年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)仿真計(jì)算、電力系統(tǒng)穩(wěn)定與控制。E-mail：liuchengxi@whu.edu.cn（通信作者）

（編輯 赫蕾）