夏 陽，王懷相，周 茵，安仲文，魏玉光

(1.中國鐵道科學研究院集團有限公司 運輸及經(jīng)濟研究所，北京 100081；2.中國國家鐵路集團有限公司 客運部，北京 100844；3.北京交通大學 交通運輸學院，北京 100044)

我國2016年起明確放開高速鐵路(以下簡稱“高鐵”)動車組的票價管理權(quán)限，實行由鐵路運輸企業(yè)依法自主制定的政策。價格政策的放開，為高鐵票價市場化改革提供了法律依據(jù)和政策支持，推動了鐵路企業(yè)打破票價形式單一的限制，鐵路企業(yè)開始積極嘗試以市場為導向的票價機制改革實踐，例如在高鐵動臥產(chǎn)品及部分高鐵線路上采取差異化票價策略。然而，我國高鐵票價市場化改革還處于起步探索階段，尚未形成完善、成熟的票價優(yōu)化理論與技術(shù)體系。因此，健全高鐵票價體系、合理確定票價水平、充分發(fā)揮企業(yè)市場主體地位，已成為我國高鐵亟待解決的關(guān)鍵問題。

高鐵票價優(yōu)化屬于收益管理范疇。收益管理最初應(yīng)用于航空領(lǐng)域，發(fā)展至今已較為成熟。然而與航空運輸相比，鐵路運輸服務(wù)網(wǎng)絡(luò)及資源與產(chǎn)品映射關(guān)系更復(fù)雜，實施收益管理難度更大，導致鐵路收益管理發(fā)展較為緩慢。盡管目前已有部分學者針對高鐵票價進行了優(yōu)化研究，但總體上仍處于研究初期階段?？紤]到旅客異質(zhì)性，文獻[1]研究旅客出行選擇行為機理，分析票價變化如何影響旅客選擇行為。文獻[2-3]利用Logit模型研究競爭環(huán)境下鐵路票價對客流分擔率的影響。文獻[4]根據(jù)平均列車上座率劃分客流時段，構(gòu)建城際鐵路分時定價優(yōu)化模型，并設(shè)計混合啟發(fā)式算法進行求解，但未能綜合考慮每列車的服務(wù)屬性。文獻[5]研究高鐵差異化定價，構(gòu)建雙層規(guī)劃模型，并利用啟發(fā)式算法求解，但僅優(yōu)化某一具體的始發(fā)-終到站(OD)。文獻[6-7]分別對荷蘭和中國鐵路的高峰、低谷時段差異化定價問題進行優(yōu)化研究，結(jié)果表明低谷時段的降價策略更利于提升經(jīng)濟效益。文獻[8]在旅客分類的基礎(chǔ)上，研究高鐵動態(tài)定價問題。文獻[9]運用前景理論，針對不同類型列車的差異性，構(gòu)建高鐵動態(tài)定價隨機規(guī)劃模型。文獻[10-13]對高鐵動態(tài)定價與票額分配進行協(xié)同優(yōu)化研究。文獻[14]對高鐵票價和時刻表進行協(xié)同優(yōu)化研究。文獻[15]在文獻[14]的基礎(chǔ)上考慮票價對公平性的影響。

既有研究中僅少數(shù)學者研究高鐵系統(tǒng)的公布票價[2-3]，未考慮不同列車間的差異化定價。隨著高鐵建設(shè)和運營管理的不斷發(fā)展，越來越多的學者開始研究高鐵差異化票價，以期利用票價調(diào)控客流，提高經(jīng)濟效益，從而提升高鐵的市場競爭力。根據(jù)是否考慮票價在售票期內(nèi)的動態(tài)變化，可將既有研究分為兩大類：①靜態(tài)差異化定價方面，部分是以某一個OD為對象，來制定某一時段或不同列車的票價[4-5]，雖優(yōu)化了每列車在各服務(wù)OD間的票價，但構(gòu)建的模型為非線性化模型，往往需要通過啟發(fā)式算法求解，無法保證解的質(zhì)量[6-7]；②動態(tài)定價方面，依然存在模型非線性化導致需使用啟發(fā)式算法求解的問題[8-13]。

高鐵的靜態(tài)差異化定價問題實質(zhì)上是高鐵列車服務(wù)網(wǎng)絡(luò)上的配流問題，由于價格的浮動性質(zhì)，其服務(wù)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)拓展為能體現(xiàn)不同價格等級特點的多維時空網(wǎng)絡(luò)。在此理論基礎(chǔ)上，針對既有研究的不足，本文①通過設(shè)置離散價格策略，在列車服務(wù)網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)上引入價格維度，構(gòu)建了價格-時空三維網(wǎng)絡(luò)；②將高鐵靜態(tài)差異化定價問題轉(zhuǎn)化為考慮時空資源限制的多商品流問題，同時考慮客流守恒、列車能力、旅客有限理性選擇等約束，建立高鐵票價0-1整數(shù)線性規(guī)劃模型；③為突破大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)問題受限于求解器計算能力的瓶頸，提出基于拉格朗日松弛的求解算法，通過將原始問題分解為相互獨立的子問題，并設(shè)計相應(yīng)的上界啟發(fā)式算法，能夠獲得可行解與上界解之間的誤差率，以評估求解質(zhì)量。

1 問題描述

1.1 旅客分組

旅客在出行時，會綜合考慮旅行時間、票價、出發(fā)時刻等因素，選擇出行成本最小的方案。在扁平化票價策略下，影響旅客選擇的主要因素是時間(旅行時間、出發(fā)時刻等)。采用差異化票價策略后，列車在同一OD間的票價不同，從而對旅客出行選擇行為產(chǎn)生較大影響。在研究過程中，若對每個旅客單體分別建模，會導致模型規(guī)模過大，難以求解。因此采用旅客分組技術(shù)。

旅客對價格的敏感程度具有差異，收入是影響這一程度的關(guān)鍵因素之一。根據(jù)收入水平將旅客分為高收入、中收入、低收入3個等級，不同等級旅客具有不同的價格敏感度。顯然，低收入旅客對票價的敏感性要高于高收入旅客。在此基礎(chǔ)上，考慮旅客出行OD和期望出發(fā)時間：g為旅客組，g=(o,d,m,π)；o為旅客始發(fā)車站；d為旅客終到車站；m為收入層級，m∈{1,2,3}，1、2、3分別為高、中、低收入層級；π為期望出發(fā)時刻；G為旅客組集合，g∈G。

每個旅客組中的旅客具有相同的期望出發(fā)時刻和收入水平，因此其感知出行效用的能力相同，即乘坐同一列車出行成本相等。當面對多個可乘坐列車時，同一組內(nèi)旅客傾向于選擇同一列車(對其而言出行費用最小的列車)。因此，本文假設(shè)每個旅客組不可分割，在建模過程中僅需考慮各個旅客組，從而降低問題規(guī)模。

1.2 價格-時空網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

圖1 簡單高鐵物理網(wǎng)絡(luò)及其列車運行計劃

圖2 列車服務(wù)時空網(wǎng)絡(luò)

為提升高鐵經(jīng)濟效益，采用差異化票價策略，即對于同一OD，不同列車上的票價并不相同，具體方法是設(shè)置不同的離散價格等級。N為價格等級集合，N={1,2,…,n,…，|N|}；wn為價格等級n∈N所代表的具體價格策略，如增加10%、維持原價和降低10%等。價格等級集合N決定了票價的變動界限和取值范圍，應(yīng)在綜合考慮政策文件、鐵路公司要求和市場需求的基礎(chǔ)上確定?；诹熊嚪?wù)時空網(wǎng)絡(luò)，通過引入價格等級維度，可構(gòu)建與圖1相對應(yīng)的三維價格-時空網(wǎng)絡(luò)(V,A)，見圖3[17]。圖3中，V為時空網(wǎng)絡(luò)中的點集合；A為弧集合，圖中為了統(tǒng)一標識服務(wù)弧，未區(qū)分不同列車的物理服務(wù)弧段顏色。

圖3 價格-時空網(wǎng)絡(luò)

圖3包含了2個價格等級層n1、n2和一個虛擬始發(fā)層n0，各價格等級層具有相同的列車服務(wù)時空網(wǎng)絡(luò)。價格-時空網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點集合V由4個子集合組成，分別為：

(1)虛擬始發(fā)點集合Vsource={(i,t,n0)|i=o(g),t=π(g),g∈G}，式中：o(g)為旅客組g的始發(fā)站點；π(g)為旅客組g的期望出發(fā)時刻。所有旅客的虛擬始發(fā)點都落在虛擬始發(fā)層n0。

因此，V=Vsource∪Vsink∪Vde∪Var?？梢钥闯?，每個旅客組在價格-時空網(wǎng)絡(luò)中均有相對應(yīng)的虛擬始發(fā)點和終到點，并且與其自身屬性(始發(fā)站、終到站、期望出發(fā)時刻)相一致，從而能夠便于完整準確地刻畫每個旅客組的出行路徑。

價格-時空網(wǎng)絡(luò)中弧段集合A主要包含進入弧、服務(wù)弧、終到弧以及虛擬弧，具體如下：

為了有效計算旅客出行路徑的效用(成本)，對價格-時空網(wǎng)絡(luò)中各弧段的費用進行如下設(shè)定：進入弧的費用由兩部分組成：①實際出發(fā)時間與期望出發(fā)時間之間的偏差;②列車旅行時間(每條服務(wù)弧與具體一列列車對應(yīng))；列車服務(wù)弧的費用是票價；終到弧的費用為0；虛擬弧的費用為旅客可承受的出行成本上限。綜上，價格-時空網(wǎng)絡(luò)中各弧段的費用為

(1)

f(i,j,t,t′,n,n′)單獨表示旅客使用各弧段(i,j,t,t′,n,n′)所帶來的收益，即

f(i,j,t,t′,n,n′)=

(2)

1.3 研究問題

一般情況下，客流時空分布并不均衡。具體地，在一天的各個時間段內(nèi)，客流量往往存在較大差異，從而產(chǎn)生了客流高峰期和低谷期。在客流低谷期內(nèi)，列車上座率可能較低，既影響資源利用效率，又不利于提升經(jīng)濟效益；而在客流高峰期，由于列車能力限制，可能導致部分高鐵客流流失。此外，旅客出行時，并非僅考慮具有最小成本的交通方案，而是會在自身可承受的出行成本范圍內(nèi)進行合理選擇。因此，本文的目標是通過合理制定各列車的票價，來控制不同旅客的出行成本，實現(xiàn)“削峰填谷”，一方面最大化客票收入，另一方面減少旅客流失，提升列車能力利用效率。

在構(gòu)建價格-時空網(wǎng)絡(luò)后，旅客出行選擇可視為在網(wǎng)絡(luò)中選擇一條合理的出行徑路。由于對網(wǎng)絡(luò)中各弧段設(shè)置了相應(yīng)的成本和收益，因此每一條出行徑路的成本和產(chǎn)生的客票收入均可計算。同時，旅客在選擇出行徑路時會受到列車能力、出行總成本等因素的限制。當出行成本高于其可承受的最高值或列車能力不足時，部分旅客將流失，即選擇其他交通方式出行。因此，基于價格-時空網(wǎng)絡(luò)，高鐵的靜態(tài)差異化定價問題轉(zhuǎn)化為考慮時空資源限制的多商品流問題。

2 高鐵差異化票價優(yōu)化模型

2.1 模型假設(shè)

①各OD間期望乘坐高鐵的客流已知，即潛在的客流需求給定。

②通過問卷調(diào)查等方法可以獲得旅客的收入水平和期望出發(fā)時刻信息。

③僅考慮線路的一個列車運行方向，相反方向可采用同樣方法處理。

④每個旅客組不可分割，即選擇相同徑路出行。

⑤各OD間旅客均勻到達。

2.2 符號、參數(shù)和變量說明

符號、參數(shù)和變量及含義見表1。決策變量及含義見表2。

表1 符號、參數(shù)說明

表2 變量說明

2.3 模型構(gòu)建

目標函數(shù)為

xg(i,j,t,t′,n,n′)×rg

(3)

式(3)表示總客票收入最大。

約束條件如下。

(1)流平衡約束

(4)

式中：(i=o(g),t=π(g),n=n0)、(i=d(g),t=T2,n=n)為旅客組g的虛擬起始點和終到點。

該約束規(guī)定了旅客組出行路徑的完整性，且每組旅客只能選擇一條出行路徑。

(2)列車能力約束

rg≤cap(k) ?k∈K?(i′,j′)∈E

(5)

該約束規(guī)定了所有列車在各區(qū)段運輸?shù)穆每涂偭坎坏贸^其最大運載能力。

(3)旅客有限理性約束

旅客有限理性約束在文獻[16]中提出。本文在參考該文獻的基礎(chǔ)上構(gòu)建為

xg(i,j,t,t′,n,n′)+βg×

(6)

(4)變量關(guān)聯(lián)約束

?(i,j,t,t′,n,n)∈Atr

(7)

式中：M為一個極大常數(shù)。

該約束表示只有當服務(wù)弧(i,j,t,t′,n,n′)開放時(對應(yīng)列車在該OD使用價格策略n)，旅客組g才能選擇該弧段，即出行路徑中可包含該弧段；否則，旅客組將選擇其他路徑出行。該約束僅僅作用于服務(wù)弧，其他弧段不受約束，原因在于決策變量y(i,j,t,t′,n,n′)僅對應(yīng)每個服務(wù)弧段。

(5)價格策略約束

(8)

該約束規(guī)定了不同價格等級層上的同一列車服務(wù)弧段，只能選擇開放一個，即列車k在OD對(i,j)上只能采用一種價格策略，從而保證所有旅客均以相同價格購買該車票。

(6)價格邏輯約束

(9)

該約束規(guī)定里程長的OD票價要高于里程短的OD票價，避免旅客套利行為。

3 拉格朗日松弛求解方法

在二維時空網(wǎng)絡(luò)中，本文采用物理服務(wù)網(wǎng)絡(luò)，各列車的服務(wù)弧確定，且數(shù)量有限。與傳統(tǒng)時空網(wǎng)絡(luò)相比，也無需考慮列車徑路的優(yōu)化(僅優(yōu)化旅客路徑)，也就無需建立數(shù)量龐大的列車停站、等待、運行弧等。此外，本文通過采用旅客組技術(shù)，進一步降低問題規(guī)模。綜上，本文建立的價格-時空網(wǎng)絡(luò)所含弧的數(shù)量較少，問題復(fù)雜度也較低。

拉格朗日松弛算法將原問題中的困難約束，通過設(shè)置拉格朗日乘子松弛至目標函數(shù)中，從而將原問題分解為多個易于求解的子問題。通過求解拉格朗日松弛問題，可以獲得原問題的最優(yōu)邊界，并且經(jīng)過乘子的不斷迭代更新，松弛解將逐步逼近原問題的最優(yōu)解。綜上，考慮到模型的結(jié)構(gòu)特征、變量類型以及約束形式，本文采用拉格朗日松弛算法求解模型。

3.1 模型分解

(10)

基于決策變量，松弛后的問題可分解為兩個子問題Fx和Fy。

子問題Fx為

(11)

約束為式(4)。

由于只有服務(wù)弧的收益大于0，因此在式(11)中未考慮其他弧所帶來的收益。

子問題Fy為

(12)

約束為式(8)、式(9)。

子問題Fx為|G|個相互獨立的最短路徑問題，可利用標號設(shè)定法求解；子問題Fy可用求解軟件(如Cplex)求解。

3.2 上界啟發(fā)式算法

通過求解兩個子問題可獲得下界解，但該解可能由于違反約束條件規(guī)則是非可行解。因此，本節(jié)設(shè)計啟發(fā)式算法得到上界可行解。該算法根據(jù)獲得的上界解中的旅客路徑信息，初始化票價策略，并尋找出不滿足列車能力約束和有限理性約束的旅客，將其分配至出行成本最小的可行路徑中，最后尋找各列車可以采用的最優(yōu)價格策略。算法步驟如下：

Step1價格策略初始化。基于求解子問題Fx獲得的各OD間旅客組的出行徑路，將路徑中的價格等級層均調(diào)整為1(采用最低折扣的優(yōu)惠)，從而保證價格策略的唯一性。

Step2檢索出行成本過高的旅客組?；谡{(diào)整后的旅客組路徑信息，計算每個旅客組的出行成本，若某旅客組出行成本大于其最高可承受值，則將該旅客組加入待分配集合中，并更新服務(wù)弧流量。

Step3檢索使列車能力過載的旅客組。依次檢測每列車每個區(qū)段，當某區(qū)段能力過載時，按組人數(shù)降序?qū)⑾鄳?yīng)旅客組加入待分配集合，直至符合能力約束。

Step5確定價格策略?；诳土鞣峙浣Y(jié)果，對每列車每個服務(wù)OD間的價格進行策略提升檢測，即逐步提升價格策略等級，并測算是否旅客組的新出行成本均小于最大承受值，若滿足，則繼續(xù)提升策略等級；否則確定該列車該OD間的價格策略。

Step6計算上界，并更新上界可行解。

3.3 算法框架

算法整體步驟為

Step1初始化。令迭代次數(shù)z=0；拉格朗日乘子為0；初始化下界LB*=-∞；初始化上界UB*=+∞。

Step2求解下界解。

Step2.1利用標號設(shè)定法求解子問題Fx。

Step2.1利用CPLEX求解子問題Fy。

Step3求解上界可行解。利用3.2小節(jié)提出的啟發(fā)式算法求解上界可行解。

Step4更新上、下界解。更新下界LB*=max{LB*,LBz}，更新上界UB*=min{UB*,UBz}。

Step5更新拉格朗日乘子。

Step5.1

其中,θz為第z次迭代時的步長，θz=1/(z+1)。

Step5.2

c(i,j,t,t′,n,n′)×xg(i,j,t,t′,n,n′)+βg×

Step5.3

Step6終止條件判定。若迭代次數(shù)達到上限H，則終止算法；否則z=z+1，返回Step2。算法在迭代次數(shù)達到設(shè)置上限H時終止。

4 案例分析

本文使用Python編程語言實現(xiàn)提出算法，所有實驗均在一臺Intel Core i5-8265U CPU @1.60 GHz,8 GB RAM的計算機上進行。

4.1 輸入數(shù)據(jù)

(1)列車運行數(shù)據(jù)

以京滬高鐵2021年10月25日6:00—12:00運行的18列車為對象進行案例分析(僅考慮本線北京南—上海虹橋區(qū)間的列車)?？紤]到列車在廊坊站、泰安站、滕州站、蚌埠南站、滁州站、定遠站及丹陽站的總停靠次數(shù)均小于3次，這些站點產(chǎn)生客流量較小，故在案例分析過程中將不考慮這些車站。所有列車的停站方案以及在各站點的到達和出發(fā)時刻見圖4，圖4中車站名稱后的數(shù)字為車站編號。

圖4 案例列車的停站方案及在各站的到達和出發(fā)時刻

(2)客流數(shù)據(jù)

由于篇幅限制，無法列出所有旅客組的信息，在此重點介紹旅客組的生成過程：

①6:00—6:59和11:00—11:59為客流低谷期，7:00—10:59為客流高峰期。

②根據(jù)停站方案和時刻表依次為每一列車生成其服務(wù)OD間的客流。

③規(guī)定各OD旅客期望出發(fā)時間為列車在其出發(fā)站點的發(fā)車時刻。

④將各OD間的旅客平均劃分為3個旅客組，分別表示高、中、低收入旅客。

需要說明的是，在第二步生成各OD間客流時，本文控制低谷期客流量小于列車能力，而令高峰期客流數(shù)量接近或超過列車能力。

此外，扁平化票價策略下的旅客組的最短路成本可通過標號設(shè)定法獲得，在此不詳細列出。

(3)票價數(shù)據(jù)

各OD間的原始票價來自12306官方售票網(wǎng)站。2019 年12月開始，我國對高鐵線路執(zhí)行票價進行優(yōu)化調(diào)整，將執(zhí)行票價設(shè)置為5～7 檔的浮動體系，最大浮動范圍是最低檔為最高檔的5.5 折，浮動范圍大約在40%左右。同時，考慮到價格等級若設(shè)置過細過多，會導致問題復(fù)雜度急劇增加。綜上，本文考慮票價等級N={1,2,3,4,5},即設(shè)定降低20%、10%、維持原價、增長10%、20%共5種票價策略。

(4)其他數(shù)據(jù)

實施案例所需的其他參數(shù)設(shè)定情況見表3。具體地，由于旅客出行目的和自身習慣屬于較為隱私的信息且難以獲取，本文參考文獻[14]，設(shè)定所有旅客組的轉(zhuǎn)換系數(shù)α(g)為1，表明實際出發(fā)時刻與期望值的偏差可等價視為在途時間；設(shè)定旅客對成本偏離最短路的容忍上限ε(g)為60；參考文獻[15]，高、中、低收入旅客組所對應(yīng)的票價敏感系數(shù)βg分別為0.5、1和1.5；所有列車運載能力相同，為1 000；算法最大迭代次數(shù)H為400。

表3 參數(shù)設(shè)定表

4.2 結(jié)果分析

(1)實驗結(jié)果

將上述參數(shù)帶入模型進行求解，經(jīng)400次迭代，耗時2.0 h，求得的上界、下界分別為1 204.25、1 077.93萬元，誤差率為10.49%，上、下界及誤差率隨迭代次數(shù)的變化曲線見圖5、圖6。算法的收斂效果良好，驗證了算法的可行性。

圖5 上下界隨迭代次數(shù)變化曲線

圖6 誤差率隨迭代次數(shù)變化曲線

在客流低谷期發(fā)出列車的上座率見表4。由于列車能力不足和出行成本過高，部分旅客將流失，總的旅客流失數(shù)量為1 465人。

表4 低谷期列車的上座率

通過求解也能獲得每列車在各服務(wù)OD間的票價方案。本文通過列出各列車所采取的不同票價策略的次數(shù)來反映票價的變化情況，見表5。在獲得的可行解中，G103、G127、G129和G133等在大多在客流低谷期發(fā)出的列車在更多的OD間采取了折扣優(yōu)惠票價策略，以降低旅客出行費用，從而吸引更多旅客乘坐高鐵。特別地，由于列車G9停站次數(shù)較少，旅行時間短，使得其無需采用降價措施。此外，由于長距離OD的基礎(chǔ)票價較高，在采取漲價策略后，漲幅較大，因此部分高峰期列車在長距離OD間也采取了降價措施，但均為折扣10%。

表5 各列車采取票價策略的次數(shù)

(2)兩種票價策略對比分析

本文將價格等級改為N={3}(即始終維持原價)，保持其他參數(shù)不變，進行第二組實驗，以對比分析差異化票價策略與扁平化票價策略的差別。

在扁平化票價策略下，求得上界值為1 104.54萬元，下界值為982.77萬元，流失旅客數(shù)量為3 399人，見表6。由表6可見，與扁平化票價策略相比，差異化票價策略優(yōu)勢明顯。在上界值提升的同時，所獲得的可行解(下界值)也更優(yōu)，總客票收入增加約95.16萬元，提升9.68%。此外，流失旅客數(shù)量下降了1 934人，使得低谷期列車上座率得到提升，見圖7。這說明合理制定列車票價可以吸引更多旅客乘坐高鐵，從而達到“削峰填谷”的效果。需要說明的是，由于列車G127停站次數(shù)少，且G127、G129次列車發(fā)車間隔時間偏差小，導致在扁平化票價策略下G127吸引了部分G129的旅客。

表6 收入上、下界和流失旅客對比

圖7 低谷期列車上座率對比

4.3 靈敏度分析

(1)參數(shù)ε(g)

本文對參數(shù)ε(g)進行靈敏度分析。具體地，保持其他參數(shù)與4.1節(jié)一致，在此基礎(chǔ)上，依次將ε(g)設(shè)定為20、40、80和100帶入模型進行求解。實驗結(jié)果見表7。

表7 參數(shù)ε(g)靈敏度分析結(jié)果

由表7可見，隨著參數(shù)ε(g)的增長，旅客可承受的最高出行成本在上升，一方面更多OD的票價可上浮范圍擴大，另一方面使得更多的旅客可乘坐低谷期列車，從而帶來了旅客流失量的減少和總票價收入的提高。

(2)參數(shù)α(g)

本文分別設(shè)定參數(shù)α(g)為0.5和1.5，同時設(shè)定其他參數(shù)與4.1節(jié)一致(ε(g)=60)，進行靈敏度分析，結(jié)果見表8。

表8 參數(shù)α(g)靈敏度分析結(jié)果

由表8可見，隨著參數(shù)α(g)值的增長，旅客實際出發(fā)時間與期望值的偏差在總成本中的占比提高，從而導致在可承受最高出行成本一定的情況下，流失旅客數(shù)量變多，且總票價收入降低。

(3)票價策略

在此實驗中，延續(xù)4.1節(jié)參數(shù)設(shè)定，但增加兩種價格策略(降價30%和漲價30%)，以測試模型算法的可行性和有效性，結(jié)果見表9。

表9 增加票價策略數(shù)量的求解結(jié)果

顯然，由于票價可浮動范圍擴大，高峰期列車可進一步提升票價，而低谷期列車則可在部分OD間采用大幅降價模式來吸引旅客，最終使得總票價收入上升和流失旅客數(shù)量下降。此外，票價策略個數(shù)增加，使得價格-時空網(wǎng)絡(luò)中弧的數(shù)量增長，導致求解時間變長。

5 結(jié)論

(1)本文通過構(gòu)建價格-時空三維網(wǎng)絡(luò)，將高鐵票價優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為多維網(wǎng)絡(luò)中的客流分配問題。在此基礎(chǔ)上，考慮旅客對價格敏感度的異質(zhì)性，提出刻畫旅客出行成本的效用表達式。最終，考慮列車能力限制、旅客有限理性選擇、價格策略唯一性等約束，構(gòu)建高鐵票價整數(shù)線性規(guī)劃模型，并提出基于拉格朗日松弛的求解算法。

(2)以京滬高鐵為對象進行案例分析，驗證了本文提出方法的可行性。實驗結(jié)果表明，客流低谷期列車采用適當?shù)钠眱r折扣優(yōu)惠策略能夠降低流失旅客的數(shù)量，提高列車上座率，同時與固定票價策略相比，能夠使總客票收入增加了9.68%。此外，對模型中的不同參數(shù)進行了靈敏度分析，驗證了方法的有效性和合理性。

(3)未來可考慮票價在售票期內(nèi)的動態(tài)調(diào)整，并改善價格-時空網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建思路和方法，以開展高鐵動態(tài)定價研究，豐富和完善高鐵票價優(yōu)化理論與技術(shù)。