肖勇剛，李龍

(長沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410114)

有限元法是研究變截面梁動力特性的主流方法，但采用有限元法分析時必須建立系統(tǒng)的整體剛度矩陣和總體動力學(xué)方程，單元劃分精度也影響其計算結(jié)果，分析過程十分繁瑣且計算效率低下。有別于有限元法，傳遞矩陣法不需要系統(tǒng)總體動力學(xué)方程，且計算快速，已被廣泛應(yīng)用于實際工程計算中。丁凱采用傳遞矩陣法研究了車輛作用下變截面簡支梁橋的動力特性；Fang Z.、Ellakany A.M.等將傳遞矩陣法應(yīng)用于梁式結(jié)構(gòu)的振動分析中；孫建鵬等提出了一種分析連續(xù)剛構(gòu)橋彈塑性區(qū)域的傳遞矩陣法；劉進(jìn)等利用結(jié)構(gòu)有限元結(jié)合聲有限元及邊界元方法，建立了任意薄殼腔體彈性殼板振動與內(nèi)外聲場的耦合模型，計算了激勵力與殼板振動和內(nèi)部聲場之間的傳遞矩陣；胡齊笑等基于體積流連續(xù)原理，采用改進(jìn)傳遞矩陣法，推導(dǎo)了多穿孔率復(fù)合微穿孔板吸聲系數(shù)公式，探討了多穿孔率對吸聲性能的影響；仇磊等建立加速度計的傳遞矩陣法力學(xué)模型，分析了基于柔性鉸鏈的FBG加速度計的力學(xué)傳遞關(guān)系和動態(tài)性能；鄧韜等采用傳遞矩陣法對夾心式換能器的固有頻率進(jìn)行了分析；陳東陽等基于多體系統(tǒng)傳遞矩陣法建立舵系統(tǒng)動力學(xué)高效仿真模型，并與ANSYS軟件的仿真結(jié)果進(jìn)行了對比分析。以上研究充分發(fā)展了傳遞矩陣法，為分析變截面梁的動力問題提供了思路，但仍存在一些問題。該文在傳統(tǒng)傳遞矩陣法的基礎(chǔ)上，結(jié)合龍格-庫塔法，提出變截面梁的節(jié)段單元傳遞矩陣和整體傳遞矩陣推導(dǎo)方法，考慮梁的邊界條件，建立變截面梁自振頻率特征方程，運用Wolfram Mathematic編程軟件求出固有頻率和振型，并以2個變截面梁和2個等截面梁為研究對象，采用文中方法與ANSYS計算前3階固有頻率和振型，驗證文中方法的正確性。

1 節(jié)段單元傳遞矩陣推導(dǎo)方法

以變截面簡支梁為例進(jìn)行推導(dǎo)。建立變截面簡支梁求解模型(見圖1)，跨度為l。根據(jù)截面形式的不同，將其分為n段，每個節(jié)段編號依次為S1,S2,…,Si,Si+1,…,Sn，對應(yīng)長度分別為l1,l2,…,li,li+1,…,ln。x1,x2,…,xi,xi+1,…,xn分別為節(jié)段S1,S2,…,Si,Si+1,…,Sn的右端到梁左端的距離。

圖1 變截面簡支梁求解模型

圖2 節(jié)段Si示意圖

M、Q分別為彎矩和剪力；ρ為材料密度；A(x)為結(jié)構(gòu)的橫截面積；y″為梁的豎向位移

根據(jù)豎向平衡條件，有：

[Q(ξ,t)+ρA(ξ)y″dξ]-[Q(ξ,t)+

(1)

簡化式(1)，得：

(2)

根據(jù)材料力學(xué)基本原理，有：

(3)

(4)

(5)

式中：φ(ξ,t)為t時刻坐標(biāo)ξ處的轉(zhuǎn)角。

假定變截面簡支梁橋在平衡位置作自由振動，有：

(6)

(7)

(8)

(9)

分別將式(6)～(9)代入式(5)～(2)，得：

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

系數(shù)矩陣[u(ξ)]如下：

(15)

將ξ處的動力參數(shù)向量記為{zi(ξ)}，則節(jié)段Si左端的動力參數(shù)向量{zi(0)}為：

(16)

令[Ti(ξ)]為傳遞矩陣(特別地，Ti(0)為單位矩陣)，有：

{zi(ξ)}=[Ti(ξ)]{zi(0)}

(17)

將式(17)代入式(14)，得：

(18)

由式(18)可確定[Ti(ξ)]，代入式(17)，可求出{zi(ξ)}。由此，可建立節(jié)段Si內(nèi)任意位置處動力參數(shù)與Si左端動力參數(shù)向量的關(guān)系。

下面采用四階龍格-庫塔法確定[Ti(ξ)]。在ξy坐標(biāo)系下，將節(jié)段Si等分為n份，每等份的長度為h。ξ1,ξ2,…,ξj,ξj+1,…,ξn為每段右端處的橫坐標(biāo)(見圖4)。令：

圖4 節(jié)段Si劃分示意圖

(19)

(20)

(21)

將式(21)代入式(18)，得：

(22)

結(jié)合式(18)～(20)，有：

(23)

式(18)可改寫為：

(24)

由式(23)、式(24)可得：

(25)

四階龍格-庫塔法的遞推公式為：

(26)

得：

(27)

(28)

(29)

(30)

2 整體傳遞矩陣推導(dǎo)及自振特性分析方法

由上述方法可確定節(jié)段任意位置傳遞矩陣的值，節(jié)段Si+1右端動力參數(shù)與節(jié)段Si左端動力參數(shù)之間的關(guān)系可用下式表示：

{zi+1(li+1)}=[Ti+1(li+1)][Ti(li)]{zi(0)}

(31)

以式(31)的形式遞推，可得到全橋右端與全橋左端動力參數(shù)之間的關(guān)系：

{zn(ln)}=[Tn(ln)]…[Ti(li)]…

[T1(l1)]{z1(0)}

(32)

令全橋整體傳遞矩陣[T]為：

[T]=[Tn(ln)]…[Ti(li)]…[T1(l1)]

(33)

將式(33)代入式(32)，得：

{zn(ln)}=[T]{z1(0)}

(34)

令：

[T]=[{t1}，{t2}，{t3}，{t4}]T

(35)

結(jié)合變截面梁的邊界條件，對于簡支梁，有：

(36)

對于其他類型梁，如懸臂梁、兩端固定梁等，根據(jù)相應(yīng)邊界條件確定式(36)。

綜合式(35)、式(36)，得：

(37)

(38)

令：

(39)

則有：

(40)

(41)

令：

[H]=[{t1}，{t3}，{tt1}，{tt3}]T

(42)

則有：

[H]{z1(0)}=0

(43)

特征方程為：

|H|=0

(44)

運用Wolfram Mathematic編程軟件計算固有頻率ω，將其代入式(43)即可解得相應(yīng){z1(0)}。結(jié)合式(31)，代入{z1(0)}，即可求出簡支梁橋的對應(yīng)階振型值。

3 算例分析

通過計算2個變截面梁(拱形簡支梁和兩端固定變截面梁)、2個等截面簡支梁的自振特性并與有限元軟件ANSYS分析結(jié)果對比驗證上述方法的正確性。計算模型見圖5～8。

圖5 拱形簡支梁計算模型(單位：m)

橋梁參數(shù)如下：材料密度ρ=2 400 kg/m3，彈性模量E=3.25×1010Pa，泊松比υ=0.3，橫截面均為矩形，梁的寬度b=0.3 m。拱形簡支梁、兩端固定變截面梁和等截面簡支梁A的跨度為l1=l2=l3=16 m，等截面簡支梁B的跨度l4=30 m，拱形簡支梁的圓弧半徑R=106.82 m。

圖6 兩端固定變截面梁計算模型(單位：m)

圖7 等截面簡支梁A計算模型(單位：m)

圖8 等截面簡支梁B計算模型(單位：m)

前3階固有頻率計算結(jié)果見表1～ 4。限于篇幅，只給出拱形簡支梁前3階振型圖(見圖9)。

由表1～4、圖9可知：采用文中方法計算的橋梁前3階固有頻率及振型結(jié)果整體上與ANSYS分析結(jié)果十分接近；運用文中方法計算等截面梁的精度高于變截面梁；橋梁跨度和形狀影響文中方法的精度(這與該方法的假定有關(guān))，梁的跨度越小，該方法越精確。

表1 拱形簡支梁的前3階固有頻率計算結(jié)果

表2 兩端固定變截面梁的前3階固有頻率計算結(jié)果

表3 等截面簡支梁A的前3階固有頻率計算結(jié)果

表4 等截面簡支梁B的前3階固有頻率計算結(jié)果

圖9 拱形簡支梁的前3階振型

4 結(jié)語

在傳統(tǒng)傳遞矩陣法的基礎(chǔ)上，采用龍格-庫塔法，提出一種計算變截面梁自振特性的方法。該方法適用于所有變截面梁的固有頻率及振型計算，編程方便，求解快速，且不需要計算質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。與有限元法相比，可大大減少分析過程中矩陣相乘次數(shù)，提高計算精度，節(jié)省計算時間。該方法為發(fā)展傳遞矩陣法提供了一種新思路，具有一定的理論和工程實踐應(yīng)用前景。