陳 磊 姚培軍 孫愿平 王 蘭

（1.中兵勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司，北京 100053；2.交通運(yùn)輸部規(guī)劃研究院，北京 100028）

0 引言

測量中反常的數(shù)據(jù)可能是測量儀器的損壞、觀測環(huán)境的突然改變、觀測設(shè)備的不合理操作等因素造成的[1]。在現(xiàn)代化的測量數(shù)據(jù)采集傳輸處理過程中，由于種種因素的影響會產(chǎn)生粗差，如不及時(shí)有效地檢驗(yàn)處理，平差的結(jié)果會產(chǎn)生很大的影響，嚴(yán)重降低數(shù)據(jù)的精度[2]。

在抗差估計(jì)的理論研究中，除統(tǒng)計(jì)學(xué)研究外，國內(nèi)外大地測量學(xué)領(lǐng)域也取得了大量成果。李德仁建立了抗差的選權(quán)迭代法[3]；周江文定義了IGG方法[4]；楊元喜系統(tǒng)地研究了抗差估計(jì)理論及其在大地測量與衛(wèi)星統(tǒng)計(jì)定軌中的應(yīng)用[5?6]；朱建軍系統(tǒng)地研究了污染模型下的數(shù)據(jù)處理方法[7?9]；孫海燕系統(tǒng)地研究了P 范分布與P 范平差[10?11]；王新洲研究了方差分量的穩(wěn)健估計(jì)[12?13]；歸慶明研究了抗差嶺估計(jì)[14]；歐吉坤研究了相關(guān)觀測的可靠性理論及擬準(zhǔn)檢定法[15]。

本文利用傳統(tǒng)粗差檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)剔除出數(shù)據(jù)中的粗差，并通過穩(wěn)健估計(jì)方法處理含有粗差的數(shù)據(jù)以及傳統(tǒng)平差方法處理剔除過粗差的數(shù)據(jù)，并與加入粗差前的數(shù)據(jù)處理結(jié)果作對比，比較不同粗差處理方法的優(yōu)缺點(diǎn)。經(jīng)比較得出：在保證一定迭代計(jì)算次數(shù)的條件下，穩(wěn)健估計(jì)能夠達(dá)到抵抗粗差的目的；巴爾達(dá)粗差探測在數(shù)據(jù)中只含有一個粗差的情況下，與穩(wěn)健估計(jì)相比，在滿足一定精度要求的前提下，更能保證計(jì)算效率；穩(wěn)健估計(jì)的原則是要充分利用觀測數(shù)據(jù)中的有效信息，限制利用可用信息，排除有害信息。

1 巴爾達(dá)粗差探測及穩(wěn)健估計(jì)方法的基本原理

1.1 巴爾達(dá)粗差探測的基本概念

20世紀(jì)60年代末，巴爾達(dá)（Baarda）在其著作中提出了測量可靠性理論和數(shù)據(jù)探測方法，奠定了粗差理論研究的發(fā)展基礎(chǔ)。巴爾達(dá)提出的數(shù)據(jù)探測法，前提是一個平差系統(tǒng)只存在一個粗差，用統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)探測粗差，從而剔除被探測到的粗差。數(shù)據(jù)探測法現(xiàn)在已經(jīng)廣泛應(yīng)用于測量平差過程中[5?6]。

1.1.1 巴爾達(dá)粗差探測的基本原理

粗差檢驗(yàn)的原理（以間接平差為例）：

對式（3）兩端求期望

數(shù)據(jù)探測法原假設(shè)：觀測值不含粗差，E(V)=0。作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量

對式（6）作正態(tài)u檢驗(yàn)，如果 |u|>ua/2則說明E(Vi)≠0，即 Li可能存在有誤差。

1.2 穩(wěn)健估計(jì)的基本原理

穩(wěn)健估計(jì)討論問題的方式是對于實(shí)際的問題有一個假定模型，同時(shí)又認(rèn)為這個模型并不正確，而只是實(shí)際問題的一個近似[2]。

設(shè)不同精度獨(dú)立觀測值為L = ( L1, L2, ···, Ln)，相應(yīng)的權(quán)矩陣為P = diag ( p1, p2, ···, pn)，其非線性誤差方程為

式(7)的純量形式為

相應(yīng)的權(quán)為 pi，求解式(8) 的準(zhǔn)則函數(shù)可表達(dá)為下列最優(yōu)化問題：

式中最優(yōu)化準(zhǔn)則函數(shù) ρ(vi)取不同的形式，可得到不同的最優(yōu)化準(zhǔn)則。

對式（9）θi求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得

令

將式(11) 代入式(10) 得

令

其矩陣形式為

式(15) 中，當(dāng)f (X, θ) 為線性模型時(shí)，就是線性模型抗差最小二乘解，否則為非線性模型抗差最小二乘解。當(dāng)f (X, θ) 為非線性模型時(shí)，式(15) 沒有顯表達(dá)式，方法可采用阻尼最小二乘法 。求解式(15) 之前，還必須選擇最優(yōu)準(zhǔn)則函數(shù)ρ(V) 或Ψ(V)[16]。

2 算例分析

2.1 含有粗差的水準(zhǔn)網(wǎng)及測量數(shù)據(jù)

針對一組含有粗差的高程網(wǎng)觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，利用巴爾達(dá)粗差探測，檢驗(yàn)出含有粗差的觀測數(shù)據(jù)。

在如圖1所示的水準(zhǔn)網(wǎng)中，A和B是已知高程的水準(zhǔn)點(diǎn)，并設(shè)這些點(diǎn)已知高程無誤差。圖中P1、P2為待定點(diǎn)，A點(diǎn)和B點(diǎn)高程，觀測高差和相應(yīng)的水準(zhǔn)路線長度見表1，試求各點(diǎn)的平差高程（在測段高差h2中人為加入0.2 m的粗差）。

表1 觀測數(shù)值

圖1 水準(zhǔn)網(wǎng)略圖

2.2 巴爾達(dá)粗差探測過程

經(jīng)平差算出

經(jīng)過正態(tài)假設(shè)計(jì)算，得到各觀測值相關(guān)參數(shù)如表2所示。

表2 正態(tài)u結(jié)果

從表2中可以看出，觀測值h2的u值明顯大于其它觀測值，從而斷定h2是含有粗差的觀測值。

2.3 剔除粗差后的平差計(jì)算

由巴爾達(dá)粗差探測方法探測到h2含有粗差，將h2剔除，對剩下的觀測值進(jìn)行平差計(jì)算。計(jì)算結(jié)果見表3。

表3 高程表

2.4 加入粗差前的平差計(jì)算

對已知的含有2dm的L2觀測值減去相應(yīng)的粗差，對不含粗差的觀測值進(jìn)行平差計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表4 高程值

2.5 選權(quán)迭代法處理過程

（1）列誤差方程

設(shè)P1、P2點(diǎn)高程平差值為相應(yīng)的近似值取為。

按圖示列出平差值方程后，將觀測數(shù)據(jù)代入即得誤差方程：

（2）定權(quán)

以1 km的觀測高差為單位權(quán)觀測值，觀測值相互獨(dú)立，定權(quán)為 pi= 1/Si，則

設(shè)初始值

組成法方程BTPB?BTPl=0。

（3）解法方程得到

（5）取k=10?10， 根據(jù) wi=定權(quán)得各觀測值的一組新權(quán)因子w。

（6）重復(fù)以上（2）?（5）步驟直到改正數(shù)收斂為止。表5、表6列出了部分迭代的權(quán)因子和改正數(shù)。

表5 權(quán)因子迭代計(jì)算(h1?h3)

表6 權(quán)因子迭代計(jì)算（h4?h6）

經(jīng)過27次的迭代計(jì)算，最后結(jié)果如表7所示。

表7 平差結(jié)果

將穩(wěn)健估計(jì)得到的改正數(shù)代入到改正方程式，得到未知點(diǎn)高程的平差結(jié)果如表8所示。

表8 平差結(jié)果

3 三種平差方法的結(jié)果比較

3.1 不含粗差值的平差結(jié)果

將加入粗差前的觀測數(shù)據(jù)利用傳統(tǒng)的平差方法計(jì)算，得到如表9所示的平差結(jié)果。

3.2 巴爾達(dá)粗差探測法

通過巴爾達(dá)粗差探測方法檢驗(yàn)出h2含有粗差，將路線二的觀測值剔除，對剩下的五條觀測路線利用傳統(tǒng)平差方法進(jìn)行計(jì)算，經(jīng)平差得到相關(guān)參數(shù)見表10所示。

表10 平差結(jié)果

3.3 選權(quán)迭代法

通過選權(quán)迭代法處理含有粗差的觀測數(shù)據(jù)后，利用傳統(tǒng)的平差處理方法將改正后的觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，結(jié)果如表11所示。

表11 平差結(jié)果

三種平差方法所得到的結(jié)果見表12。

表12 比較平差結(jié)果

4 結(jié)論

（1）通過巴爾達(dá)粗差探測剔除粗差后的平差結(jié)果，平差結(jié)果絕對值與正常觀測所得到的平差結(jié)果更為接近，因此在精度上略高于選權(quán)迭代法。

（2）在計(jì)算方法的復(fù)雜程度上，前者計(jì)算量要小于后者，但處理數(shù)據(jù)也具有局限性，在觀測值中只含有唯一的粗差值的情況下，可以采用巴爾達(dá)粗差探測方法，將粗差值剔除后再進(jìn)行平差計(jì)算，這種粗差處理方法不僅能滿足一定的精度要求，也可以通過節(jié)省計(jì)算次數(shù)提高計(jì)算效率。

（3）在實(shí)際的觀測過程中，由于各種因素的影響，粗差的數(shù)量是無法預(yù)計(jì)的，因此就限制了巴爾達(dá)方法的應(yīng)用。當(dāng)觀測值中含有不止一個粗差值時(shí)，就需要采用穩(wěn)健估計(jì)的方法加以處理，在犧牲計(jì)算效率的條件下，達(dá)到滿足精度要求的目的。