王永強 ， 王瑞東 ， 李 敏

（長安大學(xué)工程機械學(xué)院，陜西 西安 710064）

0 引言

模態(tài)分析這一概念源于20世紀60年代的控制工程研究領(lǐng)域，是控制工程中系統(tǒng)辨識在機械工程中的應(yīng)用。結(jié)構(gòu)的動力學(xué)分析是從結(jié)構(gòu)的材料和連接特性角度出發(fā)，建立數(shù)值模型，然后通過矩陣的特征值求解得到模態(tài)參數(shù)[1]。模態(tài)分析方法是結(jié)構(gòu)動力學(xué)的逆向求解問題，通過系統(tǒng)的輸入輸出信號或僅基于輸出信號獲得結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。機械結(jié)構(gòu)中的典型零部件（如軸承、圓盤、齒輪等）都具有對稱結(jié)構(gòu)，而具有對稱結(jié)構(gòu)的機械系統(tǒng)振動特性中包含有密集模態(tài)[2]。從實際的工程實踐角度出發(fā)，密集模態(tài)是指經(jīng)常被誤認為單階模態(tài)的兩階或者多階模態(tài)。對稱結(jié)構(gòu)以及系統(tǒng)大阻尼的存在使得各階模態(tài)分布緊湊從而很難辨識。因此，密集模態(tài)識別是基于振動響應(yīng)信號提取模態(tài)參數(shù)問題的難點，密集模態(tài)最顯著的特點是各階的頻率分量都很密集，這使得各階的模態(tài)混疊成為密集模態(tài)參數(shù)識別中的一個主要問題。針對密集模態(tài)的模態(tài)混疊問題，榮欽彪等[3]提出了一種基于互補總體平均經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（CEEMD）和信號調(diào)頻變換（FM）結(jié)合的改進的希爾伯特變換（HHT）模態(tài)參數(shù)識別方法，并將該方法應(yīng)用于密集模態(tài)系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)識別。Chen和Xu[4]通過對HHT進行改進，提取出具有密集模態(tài)的線性系統(tǒng)的各階模態(tài)參數(shù)，他們在經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（EMD）篩選過程中建立了最小截止頻率準則，以確保分離一系列固有模態(tài)函數(shù)（IMF）的頻帶寬度。由于附加的截止頻率是對EMD過程的主觀干預(yù)，會在無意間扭曲IMF，因此要進行必要的間歇性檢查。Peng等[5]將小波包變換與HHT相結(jié)合，首先用小波包變換將信號分解成一組窄帶信號，然后用EMD分解出單分量IMF信號。Chen等[6]利用波浪的拍擊現(xiàn)象來促進EMD分解過程。Zheng等[7]提出了采取奇異值分解方法和帶通濾波器技術(shù)相結(jié)合的方法提取密集模態(tài)的參數(shù)，但是這種方法在兩個頻率成分之間的空間變小時，密集模態(tài)分離的挑戰(zhàn)仍然存在。總的來說，結(jié)構(gòu)的密集模態(tài)參數(shù)識別仍然是動力學(xué)分析的重要挑戰(zhàn)。

1 特征提取過程

1.1 Hilbert變換

在信號處理中，復(fù)信號更加方便分析，對于一個實信號x(t)來說，借助Hilbert變換可以求出與之對應(yīng)的解析信號Z(t)。

1.2 頻率調(diào)制

在頻率調(diào)制（FM）中，利用調(diào)制信號將載波的頻率調(diào)高、降低或保持不變。通過調(diào)制將密集模態(tài)從一個高頻頻段轉(zhuǎn)換到一個低頻頻段以降低密集模態(tài)的混合度。定義調(diào)頻函數(shù)ei2πfdt，可以得到調(diào)頻信號：

1.3 變分模態(tài)分解

VMD是一種新的自適應(yīng)非遞歸信號分解方法。它利用迭代求解變分模型的最優(yōu)解，并能自適應(yīng)地分離分量以獲得每個IMF的頻率中心和帶寬。總體框架是變分模型問題，利用VMD分解復(fù)雜信號的過程實際上是構(gòu)造的變分函數(shù)問題的求解過程。VMD從本質(zhì)上來講相當于一個濾波器組[8]。

式中，｛uk｝=｛u1,u2,…,uk｝與｛ωk｝=｛ω1,ω2,…,ωk｝分別為第k個模態(tài)分量及其相應(yīng)中心頻率，共K個模態(tài)，δ(t)為單位脈沖函數(shù)，j表示虛數(shù)單位，*表示卷積運算，?(t)為偏導(dǎo)運算，f為目標信號[9]。

1.4 Laplace小波

Laplace小波是由英國學(xué)者G.Strang構(gòu)造的單邊衰減函數(shù)，定義為：

式中，ψr(t)是小波字典ψ之一，Kr是一個矩陣，其維數(shù)由｛ω,ζ,τ｝的參數(shù)向量決定，Kτ為該過程中產(chǎn)生的峰值，定義和為與峰值相關(guān)的Laplace參數(shù)。是給定τ值時的局部峰值[10]。

2 構(gòu)造三階模態(tài)參數(shù)

在理想情況下構(gòu)造三階密集模態(tài)仿真信號，并加入了信噪比為15的高斯白噪聲。所構(gòu)造的仿真信號由f(i=1,2,3)分別為100 Hz、120 Hz、140 Hz三個頻率和ζ(i=1,2,3)分別為0.007、0.006、0.008三個單階信號構(gòu)造而成。采樣頻率為1 000 Hz，獲得0～7 s之間的時域信號。添加噪聲的振動響應(yīng)信號和頻譜圖如圖1所示。

圖1 添加噪聲的振動響應(yīng)信號和頻譜圖

根據(jù)FM-VMD理論，首先對仿真信號進行調(diào)頻，將密集模態(tài)從高頻域轉(zhuǎn)化到低頻域，以便于單階模態(tài)的分解，如圖2所示。

圖2 調(diào)頻信號的時域圖和頻域圖

3 參數(shù)提取

利用FM-VMD將含有密集模態(tài)的調(diào)頻信號分解為三個單階模態(tài)，最后對三個分離的單階模態(tài)分別進行調(diào)頻的反變換，然后通過Laplace小波相關(guān)濾波得到單階模態(tài)信號的實際模態(tài)參數(shù)。IMFs的時域圖和頻譜圖如圖3所示。

圖3 IMFs的時域圖和頻譜圖

由圖3可知，提出的FM-VMD分離出包含有密集模態(tài)的三階模態(tài)。由于FM-VMD首先從三階模態(tài)中分離出低頻分量，因此三階模態(tài)中頻率最低的IMF1對應(yīng)于第一階模態(tài)。IMF2和IMF3分別對應(yīng)是第二階模態(tài)和第三階模態(tài)?？紤]到Laplace小波與各階模態(tài)的形態(tài)相似性，采用Laplace小波相關(guān)濾波方法提取各階模態(tài)的固有頻率和阻尼比。通過Laplace小波相關(guān)濾波分析的每個模態(tài)的結(jié)果如圖4所示。

用Laplace小波相關(guān)濾波方法提取的所有信息如表1所示。

表1 噪聲條件下相關(guān)濾波的結(jié)果

由表1可知，通過FM-VMD處理，可在有噪聲環(huán)境下有效分離三階模態(tài)，之后通過Laplace小波相關(guān)濾波可得到各階模態(tài)參數(shù)，提取出各階模態(tài)的固有頻率和阻尼比。

圖4 提取的單模態(tài)和模態(tài)參數(shù)

4 結(jié)語

本文主要研究了FM-VMD與Laplace小波在密集模態(tài)參數(shù)識別中的應(yīng)用，并且闡述了實際求解過程，并將其運用到測得的振動信號的分析中來驗證這兩種方法在密集模態(tài)參數(shù)識別中的可行性。