朱芷逸，李俐玫*，張?jiān)娬Z

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都 610068)

0 引言

研究磁流體(MHD)耦合Boussinesq方程組[1]

(1)

滿足初始條件

u(x,0)=u0,θ(x,0)=θ0,H(x,0)=H0(2)及Slip邊界條件

溫度θ滿足Neumann邊界條件

?nθ=0,x∈?Ω,

(5)

這里Ω?R3是光滑有界區(qū)域,u是速度場(chǎng),H是磁場(chǎng),θ是溫度,μ是流體粘性系數(shù),κ是熱擴(kuò)散系數(shù),γ是磁擴(kuò)散系數(shù),n是曲面?Ω的單位外法向量.

如果流體不受洛倫茲力影響,即H=0,那么方程組(1)就成為無擴(kuò)散的經(jīng)典Boussinesq方程.近年來有大量學(xué)者研究Boussinesq方程,Bona[2]研究了廣義Boussinesq方程組光滑解的存在性和孤立波的穩(wěn)定性,Bian等[3]研究了具有分層效應(yīng)的MHD對(duì)流二維Boussinesq方程,Guo[4]研究了一類Boussinesq方程在Navier-Slip邊界條件下的適定性問題,證明了在H1范數(shù)意義下強(qiáng)解的局部存在唯一性.Luo等[5]證明了在環(huán)面上二維Boussinesq方程有限能量弱解的存在性,Stokes等[6]考慮了流體中的耦合力對(duì)磁流體通道的影響.從方程結(jié)構(gòu)來看,Boussinesq方程與Euler方程、Stokes方程、MHD方程有著重要聯(lián)系,Beale等[7]證明了三維Euler方程光滑解的爆破性，Chae等[8]考慮在外力f(x,t)作用下,不可壓縮非均勻無粘二維流與θ(x,t)相互作用的運(yùn)動(dòng).對(duì)于邊界條件,最經(jīng)典的就是no-slip邊界條件

u=0,x∈?Ω.

假設(shè)流體顆粒由于正粘度而黏附在邊界上,這個(gè)邊界條件最先由Stokes[9]提出，它的含義是流體顆粒由于正粘度而黏附在邊界上.雖然在no-slip邊界條件下,可以得到Navier-Stokes方程組解的適定性，但是難點(diǎn)在于求解過程中邊界的處理[10-12].另一個(gè)比較常用的就是Navier-Slip邊界條件[13]

u·n=0, [2(S(u)n)+γu]τ=0,x∈?Ω,

其中2S(u)=u+(u)T是粘性應(yīng)力張量,γ是光滑函數(shù).廣義Navier-Slip邊界條件[14]為

u·n=0, [2S(u)n+Au]τ=0,x∈?Ω,

其中A是光滑對(duì)稱張量.Vorticity-Slip邊界條件[15]為

u·n=0,n×ω=βu,x∈?Ω,

其中β是光滑函數(shù),ω=×u是流體的渦量.

文中研究不可壓縮MHD方程耦合Boussinesq方程在Slip邊界條件下,溫度θ在Neumann條件下，系統(tǒng)(1)～(5)弱解的整體存在性和強(qiáng)解的局部存在唯一性.

1 預(yù)備知識(shí)

文中Ω?R3是光滑有界區(qū)域,內(nèi)積記為(·,·),標(biāo)準(zhǔn)的Sobolve空間Hs(Ω)(s>0),范數(shù)||·||m=||·||Hm和||·||L2=||·||,V*是V的對(duì)偶空間,我們將Ω省略.記函數(shù)空間

對(duì)任意u∈V,有

引理1[16]令Stokes算子A=-Δ的定義域滿足D(A)=W?V是正閉雙線性型的自伴擴(kuò)張算子,則有

它的逆是緊的且有可數(shù)多個(gè)特征值λj,使得0<λ1≤λ2≤…→∞,相應(yīng)的特征向量ej?W∩C∞構(gòu)成X的一組完備正交基.

為了方便表示,將方程組(1)的非線性項(xiàng)記為

2 弱解的整體存在性

下面通過Galerkin逼近法,建立方程組(1)～(5)弱解的整體存在性.

定義1設(shè)Ω是R3中的光滑有界區(qū)域,(u0,H0)∈X,θ0∈L2.若(u,H)∈L∞(0,T;X)∩L2(0,T;V),(u′,H′)∈L1(0,T;V*),θ∈L∞(0,T;L2)∩L2(0,T;H1),θ′∈L1(0,T;(H1)*),且

那么函數(shù)(u,θ,H)是方程組(1)～(5)的弱解,測(cè)試函數(shù)Ψ∈V,φ∈H1.

定理1設(shè)Ω是R3中的有界光滑區(qū)域,(u0,H0)∈X,θ0∈L2,則對(duì)任意給定的時(shí)間T>0，方程組(1)～(5)在[0,T)上至少存在一個(gè)弱解，且在分布意義下滿足如下能量估計(jì)：

其中ε1>C/4μ.

證明分別定義逼近解u(m)(t),θ(m)(t),H(m)(t)為

(7)

將(7)式的三個(gè)方程分別與u(m),θ(m),H(m)做內(nèi)積可得

再將(8)～(10)式相加得到

結(jié)合H?lder不等式、Young不等式及(11)式可得

將(12)式兩邊同時(shí)在[0,T]上積分就可以得到能量不等式(6).進(jìn)一步可得

取Ψ∈V,φ∈H1，則

將方程組(7)的第一式和第三式分別與Ψ做內(nèi)積，第二式和φ做內(nèi)積可得

(13)式中的非線性項(xiàng)有如下估計(jì):

同理可得

由此可以得到非線性項(xiàng)的有界性：

于是

由以上過程可得方程組(1)～(5)全局弱解的存在性.】

3 強(qiáng)解的局部存在唯一性

定理2令(u0,H0)∈V,θ0∈H1，則對(duì)給定的T*>0,T*僅依賴于u0,H0,θ0,方程組(1)～(5)存在唯一的強(qiáng)解(u,H,θ)在[0,T*)上滿足(u,H)∈L∞(0,T;V)∩L2(0,T;W),(u′,H′)∈L2(0,T;X),θ∈L∞(0,T;H1)∩L2(0,T:H2),θ′∈L2(0,T;L2),并且對(duì)任意的T∈(0,T*),有

證明分別用×,,×作用于方程組(7)的第一式、第二式和第三式,再分別和×u(m),θ(m),×H(m)做內(nèi)積相加得到

同理可得

將(21)～(26)式帶入(20)式即可得到能量不等式

其中C1=μ-ε1-ε2-ε4-ε8,C2=κ-ε5,C3=γ-ε3-ε6-ε7.由能量不等式(27)可得

方程組(7)的第一式、第二式和第三式分別與?tu(m),?tθ(m),?tH(m)做內(nèi)積上可得

由(28)式可得

同理,由(29)式和(30)式可得

將(31)～(33)式相加可得

其中

同理可得

將(37)～(42)式相加得到

由Gronwall不等式和初值

得到u=u1,θ=θ1,H=H1.】