何志乾

(青海大學(xué) 基礎(chǔ)部,青海 西寧 810016)

近年來,許多學(xué)者研究了含平均曲率算子的擬線性微分方程Dirichlet問題[1-3]

(1)

正解的存在性和多解性,并取得了許多深刻的結(jié)果.問題(1)有非常重要的應(yīng)用背景,它可以刻畫不可壓縮流體的毛細(xì)現(xiàn)象以及人類角膜的幾何形狀等[4-5].

問題(1)是一類擬線性非一致橢圓問題,研究這類問題有許多實(shí)質(zhì)性的困難,即便以最簡單的一維情形為例,問題(1)解的梯度也會出現(xiàn)爆破,這就導(dǎo)致一些經(jīng)典的方法不能直接應(yīng)用.鑒于此,一些學(xué)者研究了含平均曲率算子的一維Dirichlet問題

(2)

正解的存在性和多解性[6-10],其中λ為正參數(shù),f∈C([0,∞),[0,∞))并且f(u)>0,u>0,主要工具包括變分法、上下解方法、時(shí)間映像法等.但很少有學(xué)者利用錐上的不動點(diǎn)定理研究問題(1)正解的存在性和多解性.2014年，Lu等[11]巧妙地構(gòu)造了一個(gè)錐,以便利用不動點(diǎn)指數(shù)理論獲得問題(2)至少一個(gè)或兩個(gè)正解的存在性.據(jù)我們所知,很少有學(xué)者研究問題(2)至少三個(gè)正解的存在性.

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā),文中利用錐上的不動點(diǎn)定理得到問題(2)至少三個(gè)正解的存在性,部分改進(jìn)文獻(xiàn)[11]的主要結(jié)果.

(3)

文中主要結(jié)果如下：

定理1設(shè)f∈C([0,∞),[0,∞))且f(u)>0,u>0.若f0=f∞=0,則存在λ*,λ*>0,使得當(dāng)λ*<λ<λ*時(shí),問題(3)至少存在三個(gè)正解.

1 預(yù)備知識

( i )若對?x∈?Kr有||Tx||≥||x||,則i(T,Kr,K)=0.

( ii )若對?x∈?Kr有||Tx||≤||x||,則i(T,Kr,K)=1.

( i )φ在[0,∞)上是上凸的,φ-1在[0,1)上凸；

( ii )對任意的0

證明由φ與φ-1的定義不難驗(yàn)證.】

引理3[11]令h∈C([0,1],[0,∞))且h≠0.假設(shè)w是問題

(4)

對任意的r>0,令

引理4[13]對任意的h∈C[0,1],問題(4)存在唯一解

由引理4可知,問題(3)的解等價(jià)于空間E中的算子方程

對任意固定的u∈P,有

引理5給定r>0,若ε>0足夠小且Bλε<1,其中Bλε如引理2(ii)所示.若f*(r)≤εφ(r),則有||Tλu||∞≤Bλε||u||∞,u∈?Ωr.

證明由Tλ的定義,對任意的u∈?Ωr,有

引理6給定r>0,若u∈?Ωr,則

||Tλu||∞≤φ-1(λMr),

證明對任意的u∈?Ωr,有f(u(x))≤Mr,從而

引理7[11]給定r>0,則對任意的u∈?Ωr有||Tλu||∞≥σx*φ-1(λ(1-σ)x*mr),這里

2 主要結(jié)果的證明

定理1的證明因?yàn)棣帐莻€(gè)有界算子,給方程(3)的兩端同乘u′并且從0到x0積分,則當(dāng)u′(0)→∞時(shí)，有

則由引理7可知,存在

使得對λ*<λ<λ*,有

||Tλu||∞≥||u||∞,u∈?Ωri,i=2,3,5.

由引理1可知i(Tλ,Ωri,P)=0,i=2,3,5.

對于給定常數(shù)r4>0,由引理6可知,當(dāng)0<λ≤λ*時(shí),||Tλu||∞<||u||∞,u∈?Ωr4.由引理1可知i(Tλ,Ωr4,P)=1，所以

||Tλu||∞<||u||∞,u∈?Ωr1.

由引理1可得i(Tλ,Ωr1,P)=1.所以

最后,若f∞=0,λ<λ*,則由引理7可知