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        一元一次不等式組含參問題

        2022-08-05 08:05:38重慶師范大學(xué)易江南
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年14期
        關(guān)鍵詞:關(guān)鍵解題

        重慶師范大學(xué) 易江南

        1 不等式組有解、無解,求參數(shù)的范圍

        由不等式①,解得y≥1+4k.

        由不等式②,解得y≤6+5k.

        因為原不等式組有解,所以y≥1+4k與y≤6+5k有公共解集,在數(shù)軸上表示如圖1所示.

        圖1

        由圖1可得1+4k≤6+5k,解得k≥-5.

        因此,k的取值范圍為k≥-5.

        點撥:本題解題的關(guān)鍵是“不等式組有解”.說明兩個不等式的解集有公共部分,也就是1+4k一定在6+5k的左邊,兩個不等式都有“=”,分析可得1+4k≤6+5k.

        圖2

        因此,a的取值范圍為a≤4.

        2 已知不等式組的解集為xm),求參數(shù)的取值范圍

        由不等式⑤,得x≥2a-4.

        因為原不等式組的解集是x>-2,在數(shù)軸上表示如圖3所示.

        圖3

        由圖可得2a-4≤-2,解得a≤1.

        因此,a的取值范圍為a≤1.

        點撥:本題關(guān)鍵在于“不等式組解集是x>-2”.據(jù)“同大取大、同小取小”原則,2a-4一定在-2的左邊,就有2a-4<-2.因為不等式⑤有“=”,不等式⑥沒有“=”,由此分析可得2a-4≤-2.

        3 不等式組有整數(shù)解,求參數(shù)的取值范圍

        由不等式⑦,得x≤2.

        而x≤2中x的最大值是2,結(jié)合原不等式組有且只有三個整數(shù)解,可得結(jié)果2,1,0,其數(shù)軸表達(dá)如下圖4所示.

        圖4

        因此,a的取值范圍為-5

        點撥:本題的關(guān)鍵是“有且僅有”.翻譯過來就是剛好3個整數(shù)解,從“2”開始往左邊數(shù),這三個整數(shù)解分別是2,1,0.因為不等式⑧有“=”,所以0是可以取的,而-1就不能取.

        由不等式⑨,得x≤a.

        由不等式⑩,得x>-5.

        因為原不等式組至少有6個整數(shù)解,在數(shù)軸上表示如圖5所示.

        圖5

        由圖可得a≥1.因此,a的取值范圍為a≥1.

        點撥:本題解題的關(guān)鍵是“至少有6個整數(shù)解”,翻譯過來就是可以有6個、7個、8個……因為不等式?jīng)]有“=”,所以-5不算在內(nèi),從-4開始往右數(shù),不等式⑨有“=”,數(shù)到1時,剛好6個整數(shù)解,1就是“臨界點”.

        因為原不等式組的整數(shù)解個數(shù)不超過4個,在數(shù)軸上表示如圖6所示.

        圖6

        因此,m的取值范圍為1≤m<7.

        點撥:本題解題的關(guān)鍵是“整數(shù)解個數(shù)不超過4個”,翻譯過來就是可以有1個、2個、3個、4個.不等式?jīng)]有“=”,所以-1不算在內(nèi),從0開始數(shù)是第一個,不等式有“=”,數(shù)到3時,剛好是第4個.綜合分析,此題的“臨界點”有兩個,分別是0和4,由此可得

        4 總結(jié)

        通過分析發(fā)現(xiàn),不等式組的解的個數(shù)或者范圍不同,其解題方法也不同.問題之所以難,是因為沒有抓其要害.至關(guān)重要的一點是,抓住“題眼”,并翻譯“題眼”,要能理解“至多”“至少”“當(dāng)且僅有”這樣的話語[1],并借助數(shù)軸方式找出“臨界點”,結(jié)合法則便可以良好地掌握含參數(shù)問題.

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