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        環(huán)環(huán)設(shè)問把握本質(zhì) 步步探究提升素養(yǎng)
        ——“無刻度直尺網(wǎng)格作圖——垂直平分線”的課堂實錄與思考

        2022-08-05 08:01:18湖北省武漢市吳家山第二中學(xué)李幽蘭尹姝暢
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年14期
        關(guān)鍵詞:方法學(xué)生

        湖北省武漢市吳家山第二中學(xué) 李幽蘭 尹姝暢

        湖北省武漢市吳家山第三中學(xué) 萬建光

        1 引言

        我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:“形缺數(shù)時難入微,數(shù)缺形時少直觀.”幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué),在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用.無刻度直尺網(wǎng)格作圖題,就是只能用無刻度的直尺在網(wǎng)格中取點、畫直線、射線或線段,畫出符合題目要求的圖形.隨著素質(zhì)教育的不斷深入以及試題改革的不斷發(fā)展,無刻度直尺作圖題逐漸受到命題人關(guān)注,在近幾年的中考試題中頻頻出現(xiàn).

        2 內(nèi)容與地位

        無刻度直尺網(wǎng)格作圖這類題目需要學(xué)生具備較強的幾何知識的思維能力和綜合運用能力,既考查學(xué)生的幾何直觀、推理能力,又考查學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力,促進學(xué)生的核心素養(yǎng)的形成[1].

        《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》中明確要求,學(xué)生能用尺規(guī)作出一條線段的垂直平分線,過一點作已知直線的垂線.本節(jié)課是基于人教版八年級數(shù)學(xué)上冊前三章內(nèi)容的期中復(fù)習(xí)專題課,將三角形全等的性質(zhì)與判定、線段垂直平分線的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)等知識有機融合,探究作線段垂直平分線的基本方法,培養(yǎng)學(xué)生識圖與作圖的能力.

        3 教學(xué)目標與重難點

        本節(jié)課的教學(xué)目標:

        (1)掌握運用無刻度直尺作已知線段垂直平分線的基本方法;

        (2)解決線段垂直平分線的作圖問題,增強學(xué)生幾何直觀及操作的能力;

        (3)滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,提升學(xué)生幾何綜合素養(yǎng).

        本節(jié)課的重難點:掌握運用無刻度直尺作已知線段垂直平分線的基本方法.

        4 課堂實錄

        4.1 導(dǎo)思求學(xué)

        師:同學(xué)們,今天這節(jié)課我們一起來學(xué)習(xí)“無刻度直尺網(wǎng)格作圖——垂直平分線”,首先回顧一下線段垂直平分線的定義.

        生1:經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線.

        師:回答正確.作線段的垂直平分線,必須抓住兩個要點:中點和垂直.“磨刀不誤砍柴工”,在學(xué)習(xí)如何作線段垂直平分線之前,我們先來弄清楚怎樣在網(wǎng)格中作出線段的中點和垂線.

        基本作圖1:作線段的中點.

        在正方形網(wǎng)格中,有如圖所示(圖1、圖2)的線段AB,請用無刻度直尺作出線段AB的中點C.僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖,畫圖過程用虛線表示,畫圖結(jié)果用實線表示.

        圖1

        圖2

        學(xué)生發(fā)現(xiàn)作法,教師點評:根據(jù)格線的平行或垂直關(guān)系取格點構(gòu)造“8字形”三角形全等是網(wǎng)格中作線段中點的基本方法.構(gòu)造8字形的取點方式不唯一,作線段中點的方法也不唯一.

        基本作圖2:過已知點作線段的垂線.

        請在圖3、圖4中用無刻度直尺分別過點B和點C作BD⊥AB,CE⊥AB.

        圖3

        圖4

        師:如圖3,當線段AB在格線上時,點B所在的豎格線上的點都滿足BD⊥AB,點C所在的豎格線上的點都滿足CE⊥AB.如圖4,當線段AB不在格線上時,如何作垂線呢?在作圖前,我們先來思考一下,如圖5,如果將矩形AGBF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到矩形DMBC,則旋轉(zhuǎn)前后的對角線AB和BD有什么位置關(guān)系?為什么?

        圖5

        師生活動:學(xué)生觀察思考,易說明AB⊥BD,直線BD即為過點B所求的垂線.

        追問:那么如何過線段外格點C作CE⊥AB?

        生2:可以將剛才得到的線段BD平移,平移后的線段還是與AB垂直,點B向下移2格是點C,所以點D向下移2格就是點E,連接CE,直線CE即為所求AB的垂線CE.

        師:非常精彩!我們觀察到線段AB“橫2格,縱3格”,它的垂直線段BD和CE都是“橫3格,縱2格”,所以我們可以歸納得出:線段“橫a縱b”的垂直線段為線段“橫b縱a”.

        設(shè)計意圖:通過兩個基本作圖,學(xué)生掌握網(wǎng)格中線段在格線上、線段不在格線上的中點作法和過一點作其垂線的基本方法,為下一環(huán)節(jié)作線段垂直平分線做好準備.

        4.2 共研釋疑

        問題1請作出線段AB的垂直平分線CD.(見圖1)

        生3:圖6可以直接取AB的中點C,點C所在的豎格線即為線段AB的垂直平分線.

        圖6

        師:回答非常棒!抓住垂直平分線定義中的兩個關(guān)鍵要素:中點和垂直.這就是我們在網(wǎng)格中作線段垂直平分線的基本方法和基本思路.方法(1):取中點作垂線.

        追問:對于圖7,線段AB的長度為5個單位長度,它的垂直平分線怎么畫呢?中點怎么???垂線怎么畫?

        圖7

        生4:(展示作圖)可以構(gòu)造8字形全等三角形來取中點,作垂線的話可以同樣方式再取一個滿足條件的點.

        師:活學(xué)活用不錯哦!既然我們可以取出垂直平分線上(與線段兩端點距離相等)的1個點,那么我們也可以取出2個這樣的點,而且不限于在格線上,在方格內(nèi)可以通過連小正方形對角線的方式找到其中心(如圖8),因此得到方法(2):取2個到線段端點距離相等的點再連線.

        圖8

        問題2當線段AB不在格線上,如何作它的垂直平分線?

        師:我們可以很容易畫出線段的中點和垂線,有什么方法使線段的垂線經(jīng)過中點呢?

        師生活動:學(xué)生小組討論,交流作法,然后展示(如圖9-1,9-2).

        圖9-1

        圖9-2

        教師對學(xué)生的作法給予正面評價,指出需注意的問題,引導(dǎo)學(xué)生比較這幾種方法,總結(jié)出作線段垂直平分線的方法(3):平移已知垂線經(jīng)過中點.注意找到線段平移前后對應(yīng)點的對應(yīng)關(guān)系.

        問題3如果改變網(wǎng)格的行列數(shù),又怎樣作線段AB的垂直平分線呢?

        師生活動:學(xué)生獨立思考,交流討論,展示作法.引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系前面總結(jié)的方法,作出線段AB的一條垂線EF,然后平移這條垂線經(jīng)過中點C,得到所要求的垂直平分線,如圖10-1;進一步引導(dǎo)學(xué)生將△ACE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF,確定點D的位置,連CD即可,如圖10-2.這就是方法(4):旋轉(zhuǎn)三角形作垂線.

        圖10-1

        圖10-2

        設(shè)計意圖:通過問題1,2,3的作圖,學(xué)生掌握在網(wǎng)格中用無刻度直尺作線段垂直平分線的基本方法,即主要是平移和旋轉(zhuǎn)這兩大圖形變換的應(yīng)用.其中圖10-1和圖10-2可轉(zhuǎn)化為基本作圖,滲透化歸的思想方法.學(xué)生在動手實踐和小組交流中感知無刻度直尺作圖的解題特點,經(jīng)歷知識和方法的生成過程,從而探究發(fā)現(xiàn)和總結(jié)方法.

        4.3 拓展應(yīng)用

        (2021武漢中考第20題)如圖11是由小正方形組成的5×7網(wǎng)格,每個小正方形的頂點叫做格點,矩形ABCD的四個頂點都是格點.僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖,畫圖過程用虛線表示.

        圖11

        在圖12中,先畫△BCD的高CG,再在邊AB上畫點H,使BH=DH.

        圖12

        師生活動:學(xué)生交流作法,展示作法,如圖12.教師引導(dǎo)學(xué)生明確解題思路,對學(xué)生的作法給予肯定評價,掌聲鼓勵,并做相關(guān)補充.

        設(shè)計意圖:這道題目是2021年武漢中考第20題第(2)問,雖然有一定難度,但通過本節(jié)課內(nèi)容的鋪墊和學(xué)習(xí)后,學(xué)生較易讀懂題目的意圖,明確解題思路,攻克中考題目,體會成功的喜悅,感受“學(xué)習(xí)有用的數(shù)學(xué)”.

        4.4 總結(jié)歸納

        師:通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),簡單談?wù)勀愕氖斋@.

        師生活動:學(xué)生分享收獲,學(xué)生之間互相補充,教師積極引導(dǎo)、評價.

        設(shè)計意圖:回顧這節(jié)課學(xué)習(xí)的知識和方法,加深對所學(xué)知識的理解,培養(yǎng)學(xué)生善于總結(jié)的良好習(xí)慣.

        5 教學(xué)啟示與思考

        5.1 注重知識的“生長點”與“延伸點”

        選擇恰當?shù)膯栴}是學(xué)生有效參與課堂的關(guān)鍵.雖然學(xué)生熟悉線段垂直平分線,然而要在網(wǎng)格中用無刻度直尺作出線段垂直平分線還是存在較大難度.在設(shè)計這堂課時,教師由淺入深,引導(dǎo)學(xué)生緊扣垂直平分線的定義,分線段在網(wǎng)格的格線上和不在格線上兩種情況探討,最后減少網(wǎng)格數(shù)逐步增加難度,總結(jié)平移和旋轉(zhuǎn)兩大基本方法.讓學(xué)生在環(huán)環(huán)遞進的問題中體會圖形的聯(lián)系與變化,在動手實踐過程中積累活動經(jīng)驗、展現(xiàn)思考過程、交流收獲體會、激發(fā)創(chuàng)造潛能.從低起點的問題先導(dǎo)、系統(tǒng)化地建構(gòu)聯(lián)系,到螺旋式上升的變式拓展,多維度的深度融合,契合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),實現(xiàn)知識的生成習(xí)得與延伸拓展.

        5.2 注重知識的理解生成與應(yīng)用內(nèi)化

        數(shù)學(xué)知識的教學(xué),應(yīng)注重學(xué)生對所學(xué)知識的理解,體會數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián).對于尺規(guī)作圖,學(xué)生不僅要知道作圖的步驟,而且還要知道實施這些步驟的理由.為了幫助學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識,教師從考慮教學(xué)內(nèi)容的特點出發(fā),組織學(xué)生開展作圖操作活動,引導(dǎo)學(xué)生思考分析,運用知識判斷不同情形的不同作法,總結(jié)概括方法,思考幾種方法之間的聯(lián)系,建立起學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗與數(shù)學(xué)知識生成過程之間的聯(lián)系,讓學(xué)生真正理解知識,印象深刻.

        5.3 注重教會學(xué)生學(xué)習(xí)方法和總結(jié)方法

        授人以魚不如授人以漁.傳授學(xué)生知識,不如傳授學(xué)生學(xué)習(xí)方法;傳授學(xué)生學(xué)習(xí)方法,不如引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)方法[2].本節(jié)課的目的并不局限于教學(xué)內(nèi)容,教師以知識為載體,教會學(xué)生思考和分析問題的方法,培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力,養(yǎng)成總結(jié)的習(xí)慣.

        6 結(jié)語

        教師要善于將教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”結(jié)合起來,在環(huán)環(huán)設(shè)問和步步探究中發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性,提升學(xué)生的思維能力和幾何素養(yǎng),重視學(xué)生知識的架構(gòu)和方法的生成,讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人.

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