韓摩西，胡衛(wèi)敏，謝冬梅

(1.伊犁師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，新疆 伊寧 835000；2.伊犁師范大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，新疆 伊寧 835000；3.天津大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，天津 300350)

0 引言

HU[1]、TIAN[2]、YANG[3]等考慮領(lǐng)航者和跟隨者采用自身狀態(tài)帶有時延的算法，給出了關(guān)于時延的一致性條件.受到HU等[1]的啟發(fā)，韓摩西等[4]研究了在固定拓?fù)湎聨в袝r延的二階多智能體系統(tǒng)的一致性問題，系統(tǒng)動態(tài)模型和控制協(xié)議如下：

對于系統(tǒng)中含有1個領(lǐng)航者、n個跟隨者的多智能體系統(tǒng)，第i個跟隨者的動態(tài)為

(1)

領(lǐng)航者的動態(tài)可以被描述為

其中，xi(t),vi(t),ui(t)∈R，分別表示第i個智能體的位置、速度和控制輸入.因此，對于第i個跟隨者，一個基于鄰接頂點連接的控制協(xié)議可表示為

(2)

最后利用Hopf分支理論得到系統(tǒng)達(dá)到一致的充分條件.

1 預(yù)備知識及問題描述

定義B∶=diag{b1,b2,…,bn}為領(lǐng)航者與跟隨者之間的鄰接矩陣，bi>0表示領(lǐng)航者與第i個智能體之間有連接，否則bi=0.

本文將上述連續(xù)時間系統(tǒng)的研究內(nèi)容推廣到離散時間系統(tǒng)，對于系統(tǒng)中含有1個領(lǐng)航者、n個跟隨者的多智能體系統(tǒng)，第i個跟隨者的動態(tài)為

xi(d+1)=xi(d)+vi(d),vi(d+1)=vi(d)+ui(d),i∈I,

(3)

其中，xi(d),vi(d),ui(d)分別表示第個智能體的位置、速度和控制輸入.d表示系統(tǒng)在離散時間下的第d時刻，d∈N*.

領(lǐng)航者的動態(tài)可以被描述如下：

x0(d+1)=x0(d)+v0,

其中，x0(t)表示領(lǐng)航者的位置,x0(t)∈R;v0表示領(lǐng)航者的速度為常數(shù),v0∈R.

因此，對于第i個跟隨者，一個基于鄰接頂點連接的控制協(xié)議可表示為

(4)

(5)

經(jīng)過變量代換，系統(tǒng)(3)在控制協(xié)議(4)下的一致性問題，可轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)(5)的穩(wěn)定性問題，因此，接下來主要研究(5)的穩(wěn)定性.

注 Jury穩(wěn)定判據(jù)是關(guān)于實系數(shù)特征多項式的穩(wěn)定性判據(jù)，并不能判斷系數(shù)是復(fù)數(shù)的特征多項式的穩(wěn)定性.

引理2[6]多項式r(σ)是Hurwitz穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)m(ω)和n(ω)的大小是相互交替的，且m(0)n′(0)-m′(0)n(0)>0，其中，m(ω)和n(ω)分別是多項式r(iω)中的實部項的和與虛部項的和組成的多項式(這里r(iω)是令r(σ)中σ=iω得到的多項式).

引理3[7](Jensen不等式) 對于給定的常數(shù)d>0，存在正定對稱矩陣R>0和函數(shù)x(k),y(k),k=1,2,…，其中，x(k),y(k)滿足y(k)=x(k+1)-x(k)，則有下面不等式成立：

2 主要結(jié)果

當(dāng)系統(tǒng)對應(yīng)的拓?fù)鋱D為無向圖時，且系統(tǒng)不帶有時延，即系統(tǒng)中τ=0時，有

(6)

其中，λi∈Λ(H).

(ii)m1

將ri(u)改寫成如下形式：

這里只需研究ri(u)的Hurwitz穩(wěn)定性.令u=iω，可得到

分離上式的實部和虛部m(ω),n(ω),得到

下面利用引理2判別ri(u)的Hurwitz穩(wěn)定性.

二次方程m(ω)均有兩個不同實根，當(dāng)且僅當(dāng)m(ω)的判別式Δm(ω)>0，即

根據(jù)引理2，還需滿足m(ω),n(ω)的根的大小相互交替，求解m(ω),n(ω)得到

因此，應(yīng)滿足m1>n1>m2，即

需滿足m(0)n′(0)-m′(0)n(0)>0.由m(ω),n(ω)得到

則有

即滿足

當(dāng)系統(tǒng)對應(yīng)的拓?fù)鋱D為有向圖時，且系統(tǒng)帶有時延，即系統(tǒng)中τ>0時，研究的是系統(tǒng)(5)的穩(wěn)定性.

定理3 對于系統(tǒng)(5),即存在對稱正定矩陣P,S∈Rn×n，滿足下述條件：

則可保證系統(tǒng)(5)是Schur穩(wěn)定的.

證明 根據(jù)引理3，定義Lyapunov函數(shù)：

其中,P,S均為正定矩陣，因此V(d)是正定的.V(d)的向前差分為

ΔV(d)=V(d+1)-V(d)=

εT(d+1)Pε(d+1)-εT(d)Pε(d)+

εT(d)Sε(d)-εT(d-τ)Sε(d-τ)=

εT(d)Pε(d)+εT(d)Sε(d)-εT(d-τ)Sε(d-τ)=

εT(d-τ)ETPEε(d-τ)=

因此，如果

則ΔV(d)<0.根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，系統(tǒng)(5)是Schur穩(wěn)定的.

定理4 對于系統(tǒng)(5)，存在適當(dāng)維數(shù)的正定矩陣P,Q,S，使得

那么系統(tǒng)(5)漸近穩(wěn)定.

證明 根據(jù)引理3，定義變量y(d)=ε(d+1)-ε(d)，構(gòu)造如下形式的Lyapunov-Krasovskii泛函：

V(k)=V1(k)+V2(k)+V3(k)，

那么，

ΔV1(k)=V1(k+1)-V1(k)=εT(d+1)Pε(d+1)-εT(d)Pε(d)=

ΔV2(k)=V2(k+1)-V2(k)=εT(d)Qε(d)-εT(d-τ)Pε(d-τ),

ΔV3(k)=V3(k+1)-V3(k)=

由引理3可得,

ΔV3(k)=V3(k+1)-V3(k)=

則有

ε(d-τ))T.

如果

則ΔV(d)<0.根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，系統(tǒng)(5)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，即系統(tǒng)(3)在控制協(xié)議(4)下能達(dá)到一致.