韓 江, 魏光耀, 董方方, 夏 鏈

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,安徽 合肥 230009; 2.安徽省智能數(shù)控技術(shù)及裝備工程實(shí)驗(yàn)室,安徽 合肥 230009)

打磨、拋光是大部分工業(yè)生產(chǎn)場景中一道必不可少的程序,使用高效、智能的打磨機(jī)器人進(jìn)行打磨加工已成為一種趨勢。目前,打磨機(jī)器人大多使用六關(guān)節(jié)機(jī)械臂作為本體,而六關(guān)節(jié)機(jī)械臂是一種復(fù)雜的非線性機(jī)械系統(tǒng),各關(guān)節(jié)之間存在較強(qiáng)的耦合關(guān)系,且在外部環(huán)境影響下易受干擾,存在參數(shù)不確定性等問題,這對(duì)機(jī)械臂的控制算法提出了較高的要求[1]。

針對(duì)上述問題,已有很多經(jīng)典的控制方法,如魯棒控制[2]、滑?？刂芠3]、自適應(yīng)控制[4]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[5]、模糊控制[6]等。但是單一的控制方法本身存在著一定的局限性,于是許多學(xué)者嘗試將這些控制算法結(jié)合起來,以期達(dá)到更好的控制效果。其中,自適應(yīng)魯棒控制是一種比較常見的結(jié)合方式,它兼具魯棒控制和自適應(yīng)控制兩者的優(yōu)點(diǎn)。魯棒控制可以快速降低由系統(tǒng)不確定性所帶來的誤差,而自適應(yīng)控制可以對(duì)控制器的參數(shù)進(jìn)行在線調(diào)節(jié)以避免魯棒控制由于考慮不確定性“最壞情況”所造成的增益過大等問題。近年來,各種形式不同的自適應(yīng)魯棒控制方案被相繼提出,并應(yīng)用到機(jī)械臂控制中,均取得了不錯(cuò)的效果。文獻(xiàn)[7]將計(jì)算轉(zhuǎn)矩法用于機(jī)械臂系統(tǒng)標(biāo)稱模型控制,設(shè)計(jì)了一個(gè)魯棒控制器作為補(bǔ)償項(xiàng),并通過自適應(yīng)算法對(duì)不確定上界進(jìn)行在線估計(jì);文獻(xiàn)[8]提出了一種多連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械手的自適應(yīng)魯棒控制方法,并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種模糊系統(tǒng)的性能指標(biāo),用來解決與控制相關(guān)的優(yōu)化問題;文獻(xiàn)[9]針對(duì)六自由度裝配機(jī)械臂的軌跡跟蹤問題,設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)魯棒滑?？刂破?實(shí)現(xiàn)了精確的參數(shù)估計(jì)和對(duì)外界干擾的魯棒性;文獻(xiàn)[10]針對(duì)高空作業(yè)機(jī)械手模型的不確定性問題,采用魯棒控制器對(duì)系統(tǒng)交互力殘差進(jìn)行補(bǔ)償,通過所提出的自適應(yīng)算法來處理動(dòng)態(tài)不確定性,可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和跟蹤性能。

本文針對(duì)打磨機(jī)器人末端軌跡跟蹤控制提出一種新的自適應(yīng)魯棒約束控制方法。首先,將系統(tǒng)的期望運(yùn)動(dòng)軌跡抽象為性能約束,并根據(jù)U-K(Udwadia-Kalaba)基本方程[11-12]來得到滿足該約束所需的控制輸入;然后進(jìn)一步設(shè)計(jì)帶有泄露型自適應(yīng)律的魯棒控制器,以補(bǔ)償系統(tǒng)的不確定性。

相較于傳統(tǒng)自適應(yīng)魯棒控制方案,本文所提方法的主要特點(diǎn)如下:① 傳統(tǒng)的軌跡跟蹤控制將跟蹤期望軌跡作為控制目標(biāo),根據(jù)期望軌跡與系統(tǒng)狀態(tài)反饋信息的誤差來設(shè)計(jì)控制器,而本文把系統(tǒng)的軌跡誤差為0看作是系統(tǒng)的完整約束,將跟蹤既定約束作為控制目標(biāo),從一個(gè)新的角度來解決軌跡跟蹤控制問題;② 對(duì)于標(biāo)稱模型控制,本文通過U-K方程來求解滿足系統(tǒng)理想約束所需要的約束力,U-K方法不需要借助拉格朗日乘子或任何輔助變量,過程簡單清晰,最顯著的優(yōu)點(diǎn)是可以得到約束力的解析解形式;③ 在不確定性的處理方面,傳統(tǒng)方法大多關(guān)注的是不確定性本身,控制器只能對(duì)單一的不確定性進(jìn)行補(bǔ)償,而本文控制方法考慮的是系統(tǒng)不確定性的集合,并不限于某種特定的不確定性,因而具有更好的魯棒性。

1 動(dòng)力學(xué)模型

打磨機(jī)器人的前3個(gè)關(guān)節(jié)主要用于調(diào)整末端的空間位置,后3個(gè)關(guān)節(jié)主要用于調(diào)整末端的姿態(tài),并且前3個(gè)關(guān)節(jié)的慣量與尺寸比后3個(gè)關(guān)節(jié)更大。本文對(duì)打磨機(jī)器人末端軌跡跟蹤控制進(jìn)行研究,因而省去后3個(gè)關(guān)節(jié),將六關(guān)節(jié)機(jī)械臂簡化為空間三關(guān)節(jié)機(jī)械臂,如圖1所示。

圖1 空間三關(guān)節(jié)機(jī)械臂結(jié)構(gòu)簡圖

本文采用拉格朗日法對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模,機(jī)械臂各參數(shù)符號(hào)及定義見表1所列。

表1 機(jī)械臂各參數(shù)的符號(hào)及定義

根據(jù)拉格朗日力學(xué)方程可以推導(dǎo)出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為:

(1)

其中

h11=I1+a1cos2q2+a2cos2(q2+q3)+

2a3cosq2cos (q2+q3),

h12=h21=h13=h31=0,

h22=I2+a1+a2+2a3cosq3,

h23=h32=a2+a3cosq3,h33=I3+a2;

g1=0,g2=b1cosq2+b2cos(q2+q3),

g3=b2cos(q2+q3)。

2 控制器設(shè)計(jì)

一般的機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可表示為:

(2)

為使控制器更具實(shí)用性,在進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)時(shí),考慮機(jī)械系統(tǒng)中可能存在的不確定性,可對(duì)M()、C()、G()進(jìn)行分解[13],即

(3)

(4)

則有:

ΔS(q,δ,t)=S(q,t)N(q,δ,t)。

2.1 軌跡約束

本文將系統(tǒng)的期望軌跡視為施加到系統(tǒng)上的約束,并寫成如下形式:

(5)

整理為矩陣形式為:

B(q,t)=d(q,t)。

其中:B=[Bli]m×n;d=[d1d2…dm]T。

(5)式為約束的零階形式,將其對(duì)時(shí)間t求微分,得到約束的一階形式，即

(6)

(7)

其中:A=[Ali]m×n;c=[c1c2…cm]T。

因?yàn)槎A約束在加速度上是線性的,并且滿足零階以及一階的初始條件的信息仍然會(huì)被保留在二階約束方程的初始條件中,所以二階約束是進(jìn)一步進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析和控制設(shè)計(jì)的最優(yōu)形式。為此,將(7)式進(jìn)一步對(duì)時(shí)間t求微分,可得約束的二階形式為:

(8)

(8)式可以改寫為:

(9)

寫為矩陣形式為:

(10)

2.2 自適應(yīng)魯棒控制器設(shè)計(jì)

為了便于對(duì)控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)以及對(duì)控制器的穩(wěn)定性進(jìn)行證明,給出以下若干假設(shè)。

假設(shè)2 對(duì)于每一個(gè)(q,t)∈Rn×R,A(q,t)是滿秩的,也即A(q,t)AT(q,t)可逆。

假設(shè)3 在假設(shè)2的前提下,給定一個(gè)矩陣Γ∈Rm×m,Γ>0,令

A(q,t)T[A(q,t)AT(q,t)]-1Γ-1

(11)

則存在一個(gè)可能未知的常量ωE>-1,對(duì)所有的(q,t)∈Rn×R都有:

(12)

(13)

(14)

JJ+J=J,J+JJ+=J+,

JJ+=(JJ+)T,J+J=(J+J)T。

(15)

(16)

(17)

其中

(18)

(19)

(20)

至此,提出了完整的自適應(yīng)魯棒控制器為：

(21)

3 控制器穩(wěn)定性分析

(1) 一致有界性。對(duì)任意r>0,存在一個(gè)η(r)<∞,若‖υ(t0)‖≤r,則對(duì)所有的t≥t0,都有‖υ(t)‖≤η(r)成立。

穩(wěn)定性證明:選擇一個(gè)李雅普諾夫函數(shù),即

(22)

為使表述簡潔化,除保留關(guān)鍵函數(shù)的參數(shù)外,下文將省略部分函數(shù)中的參數(shù)。可以求得V的導(dǎo)數(shù)為:

(23)

首先分析第1部分。基于(3)式中的不確定性分解及(10)式中的約束形式,第1部分可化為:

(24)

對(duì)于Ⅰ部分,將(13)式代入可得:

(25)

則有:

(26)

對(duì)于Ⅱ部分,將(14)式代入可得:

2βTΓASτ2=

(27)

對(duì)于Ⅲ部分,由假設(shè)4可知:

(28)

對(duì)于Ⅳ部分,將(17)式代入可得:

2βTΓA(S+ΔS)τ3=

(29)

根據(jù)(18)式,可得:

-2μTγμ=-2γ‖μ‖2

(30)

根據(jù)瑞利原理[14]及(12)式,可得:

-γλmin(Y+YT)‖μ‖2≤

-2γωE‖μ‖2

(31)

結(jié)合(30)式、(31)式可得:

2βTΓA(S+ΔS)τ3≤-2γ(1+ωE)‖μ‖2

(32)

由(19)式可知:

綜合Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ部分,則對(duì)所有的‖μ‖>ε有:

-2k‖β‖2-2(1+ωE)‖μ‖+

(33)

對(duì)所有的‖μ‖≤ε,有

(34)

根據(jù)假設(shè)5,有:

(35)

綜合(33)～(35)式可知,對(duì)所有的‖μ‖都有:

(36)

對(duì)于第2部分,由(20)式有:

(37)

-χ1‖σ‖2+χ2‖σ‖+χ3

(38)

其中

(39)

(40)

一致最終有界性為:

(41)

(42)

4 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證本文提出的自適應(yīng)魯棒約束控制方法的有效性,在MATLAB環(huán)境中使用龍格庫塔法進(jìn)行常微分方程組的求解,并對(duì)簡化后的打磨機(jī)器人末端軌跡跟蹤控制進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)研究。

圖1中,假設(shè)機(jī)械臂末端在空間坐標(biāo)系中沿X軸、Y軸、Z軸的坐標(biāo)分別為X、Y、Z,可以得到機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，即

(43)

現(xiàn)給定一個(gè)機(jī)械臂末端的期望軌跡:

(44)

將(44)式代入(43)式,并分別對(duì)時(shí)間t求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù),可以得到軌跡約束的一階形式和二階形式為:

c=[0.5cost-0.5sint0]T。

機(jī)械臂仿真物理參數(shù)的設(shè)置見表2所列。

表2 機(jī)械臂仿真物理參數(shù)

考慮到打磨機(jī)器人工作過程中質(zhì)量可能存在不確定性,這里設(shè)置隨時(shí)間變化的擾動(dòng)為:

Δm2=0.4sint, Δm3=0.2cost。

為說明本文控制算法的有效性,保持相同的初始偏差和不確定性,與文獻(xiàn)[8]中的自適應(yīng)魯棒控制以及經(jīng)典PID控制進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比,將本文提出的自適應(yīng)魯棒控制算法記為“ARC1”,將文獻(xiàn)[8]中的自適應(yīng)魯棒控制記為“ARC2”。在相同仿真條件下,3種控制方法的機(jī)械臂末端運(yùn)動(dòng)軌跡及沿各軸方向的運(yùn)動(dòng)軌跡分別如圖2、圖3所示。

圖2 機(jī)械臂末端運(yùn)動(dòng)軌跡

圖3 機(jī)械臂末端沿各軸方向運(yùn)動(dòng)軌跡

由圖2、圖3可知：從同一起點(diǎn)出發(fā),ARC2和PID控制在經(jīng)過一段時(shí)間的跟蹤之后,仍然具有明顯的誤差；而ARC1的機(jī)械臂末端軌跡則快速地跟蹤上了期望軌跡,且基本與期望軌跡重合,相比之下,ARC1的軌跡跟蹤效果更好。

本文所提自適應(yīng)魯棒控制下各個(gè)關(guān)節(jié)的控制輸入力矩隨時(shí)間的變化情況如圖4所示。從圖4可以看出,起始時(shí)刻各關(guān)節(jié)的控制力矩快速地變化以減小系統(tǒng)誤差。在前幾秒的時(shí)間里,由于較大的初始偏差和系統(tǒng)不確定性的存在,控制力矩會(huì)出現(xiàn)小幅度的抖振,但隨著誤差變化的平穩(wěn),控制力矩也迅速趨于穩(wěn)定。

圖4 各關(guān)節(jié)控制力矩的變化

圖5 自適應(yīng)參數(shù)變化

3種控制方法下的末端軌跡跟蹤誤差變化情況如圖6所示。從圖6可以看出,相較于ARC2和PID控制,ARC1具有更快的誤差收斂速度,且在達(dá)到穩(wěn)態(tài)之后,ARC2和PID控制的誤差仍然有一定的波動(dòng),而ARC1的誤差變化則比較平緩。

為了更加直觀地對(duì)比仿真結(jié)果,統(tǒng)計(jì)出3種控制方法下的穩(wěn)態(tài)誤差數(shù)據(jù),見表3所列。其中:AVG表示t=15 s之后的平均誤差值;MAX表示t=15 s之后的最大誤差值。

圖6 機(jī)械臂末端軌跡跟蹤誤差

表3 3種控制方法穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差對(duì)比單位:m

從表3可以看出,ARC1穩(wěn)態(tài)誤差的平均值和最大值均比其他2種控制方法要小得多。

綜上仿真結(jié)果可知,本文提出的自適應(yīng)魯棒約束跟蹤控制與經(jīng)典PID控制和傳統(tǒng)自適應(yīng)魯棒控制相比,具有更好的軌跡跟蹤性能。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)打磨機(jī)器人末端軌跡跟蹤控制提出了一種自適應(yīng)魯棒約束控制方法。該方法將機(jī)器人末端的期望軌跡抽象為約束的形式,考慮了系統(tǒng)在外界條件作用下可能產(chǎn)生的不確定性,并假設(shè)這種不確定性存在未知的邊界,將系統(tǒng)分為標(biāo)稱部分和不確定性部分,針對(duì)標(biāo)稱部分采用基于U-K理論的標(biāo)稱控制,針對(duì)不確定性部分設(shè)計(jì)了一種泄漏型自適應(yīng)律,對(duì)系統(tǒng)不確定性進(jìn)行有效地估計(jì)和補(bǔ)償;然后選擇合適的李雅普諾夫函數(shù)證明了該控制方法的穩(wěn)定性;最后,通過仿真實(shí)驗(yàn)與另一種自適應(yīng)魯棒控制及經(jīng)典PID控制進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了本文所提出的自適應(yīng)魯棒約束控制方法有著更好的控制性能,對(duì)于非理想狀態(tài)下的打磨機(jī)器人末端軌跡跟蹤控制,具有良好的魯棒性和軌跡跟蹤精度。