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        F1格范疇的表現(xiàn)定理

        2022-08-04 06:50:14張立國
        關(guān)鍵詞:同態(tài)范疇廣義

        張立國

        (沈陽理工大學(xué) 理學(xué)院,遼寧 沈陽 110159)

        0 引言

        完全分配格是經(jīng)典格論的重要研究對象,對其結(jié)構(gòu)的討論一直是熱點(diǎn)問題.無論是連續(xù)的DCPO理論[1-5],還是Fuzzy拓?fù)鋵W(xué)都對其做出過相關(guān)的研究[6-9].超分子作為完全分配格的刻劃工具,文獻(xiàn)[1]對超分子集SM(L)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行討論,發(fā)現(xiàn)當(dāng)完全分配格的每個元素都具有唯一的極小集時,它的分子集M(L)的序是離散的.本文在此基礎(chǔ)上研究這類完全分配格(即F1格)性質(zhì),構(gòu)造F1格范疇CD*,討論該范疇對象的結(jié)構(gòu)與態(tài)射的性質(zhì),并證明它的表現(xiàn)定理,為連續(xù)格理論和Fuzzy拓?fù)鋵W(xué)的后續(xù)研究奠定基礎(chǔ).

        1 預(yù)備知識

        設(shè)L是完全分配格,M(L)表示L的分子集.若a∈L,以β(a)表示a的最大極小集,β*(a)=β(a)∩M(L).可以證明a是分子當(dāng)且僅當(dāng)β*(a)是定向集.眾所周知L是完全分配格,則M(L)是連續(xù)的DCPO.

        2 范疇CD*的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)

        定義1 設(shè)L是完全分配格,若L的每個元素都有唯一的極小集,稱L為F1格.

        定義2[8]設(shè)L1,L2是完全分配格,映射f:L1→L2被稱為廣義序同態(tài).如果f滿足如下條件:

        1)f(a)=0當(dāng)且僅當(dāng)a=0;

        2)f有保并的右伴隨.

        定義3 以F1格為對象,以廣義序同態(tài)為態(tài)射的范疇,稱為F1格范疇,記作CD*.

        命題1 設(shè)L為F1格,則M(L)的序是離散的,從而β*(a)={a}(其中a∈M(L))

        證明只需證,若a、b∈M(L),且a≠b,則a與b不可比.

        由于b∈M(L),則?x∈β*(b),必有∨[β*(b)(〗x}]≠b(否則:若∨[β*(b)(〗x}]=b.由于β*(b)(〗x}?β*(b),于是β*(b)(〗x}可以加細(xì)β*(b),因此β*(b)(〗x}是b的極小集.根據(jù)已知條件可得β*(b)(〗x}=β*(b),矛盾),故b?β*(b).

        若a(〗a}]=b.又因a∈β*(b),故∨[β*(b)(〗a}]≠b矛盾,因此a≤/b.

        同理可證a≥/b,即a與b不可比,從而β*(a)={a}.

        命題2 設(shè)L為F1格,則L?2M(L).

        證明設(shè)f是L到2M(L)的映射,即?a∈L,f(a)=β*(a).由L的性質(zhì)可知,f是映射,故只需證明f為同構(gòu)映射.

        若a、b∈L,且a≠b時,則β*(a)≠β*(b),從而f(a)≠f(b),即f為單射.

        若A∈2M(L),則∨A∈L,從而f(∨A)=A.事實(shí)上,x∈A,則∨A>x.由前面證明可知x∈β*(∨A)=f(∨A),從而A?β*(∨A)=f(∨A),因此A是∨A的極小集.由于∨A有唯一的極小集,所以A=β*(∨A)=f(∨A),即f為滿射.

        若a、b∈L,且a

        綜上所述,L?2X.

        由命題1和命題2可得如下結(jié)論.

        命題3 設(shè)L為F1格,則存在集合X使得L?2X,且|M(L)|=|X|.

        任給集合X,令2X={A|A?X}.按包含序2X是偏序集.由于其滿足完全分配律,故2X為完全分配格,分子集為M(2X)={{x}|x∈X}.而2X的每個元素A都有唯一的極小集{{x}|x∈A},因此2X為F1格.顯然有如下結(jié)論.

        命題4 設(shè)X為集合,則2X是F1格,且X?M(2X).

        定義4 以集合X為對象,以單射為態(tài)射的范疇,稱為集合范疇,記作Set*.

        命題5 設(shè)L1、L2是F1格,若f:L1→L2是廣義序同態(tài),則T(f)=f|M(L1):M(L1)→M(L2)為單射(其中f把分子映射成分子).

        證明設(shè)a∈M(L1),f(a)≤b∨c,則a≤g(b∨c)=g(b)∨g(c)(其中g(shù)為f的右伴隨),從而a≤g(b)或a≤g(c),因此f(a)≤b或f(a)≤c.由于a≠0,可知f(a)≠0,所以f(a)∈M(L2),所以f(a)∈M(L2).

        若x、y∈M(L1),f(x)≠f(y),則f(x)∧(y)=f(x∧y)=0.由于f是廣義序同態(tài),因而x∧y=0,從而x≠y,因此f為單射.

        命題6 設(shè)L1、L2是F1格,若f:M(L1)→M(L2)是單射,若a∈L1,令L(f)(a)=∨L2{f(x)|x∈M(L1),且x≤a},則L(f):L1→L2是廣義序同態(tài),且L(f)|M(L1)=f.

        證明(1)設(shè)a、b∈L1,a≤b.若x∈M(L1),x≤a,則x≤b,因而{f(x)|x∈M(L1),且x≤a}?{f(x)|x∈M(L1),且x≤b},從而∨L2{f(x)|x∈M(L1),且x≤a}≤∨L2{f(x)|x∈M(L1),且x≤b,即L(f)(a)≤L(f)(b),故L(f)為序同態(tài).

        (2)設(shè)a、b∈L1,a≠b,則{x∈M(L1)|x≤a}≠{x∈M(L1)|x≤b}.由于f為單射,故{f(x)∈M(L2)|x≤a}≠{f(x)∈M(L2)|x≤b}.據(jù)命題1可知,∨L2{f(x)∈M(L2)|x≤a}≠∨L2{f(x)∈M(L2)|x≤b},即L(f)(a)≠L(f)(b),從而L(f)為單射,因此L(f)(a)=0當(dāng)且僅當(dāng)a=0.

        (3)令L(f)*(b)=∨L1{y∈M(L1)|f(y)≤b}.若L(f)(a)≤b,則?x∈M(L1)且x≤a,都有f(x)≤b,從而x∈{y∈M(L1)|f(y)≤b},因而x≤L(f)*(b),故a≤L(f)*(b).反之,若a≤L(f)*(b),據(jù)L(f)的保序性可得L(f)(a)≤b.故L(f)*是L(f)的右伴隨.

        (4)設(shè)L(f)*為L(f)的右伴隨.

        (5)若a∈M(L1),據(jù)命題1可知,{x|x∈M(L1),且x≤a}={a},因而∨L2{f(x)|x∈M(L1),且x≤a}=f(a),因此L(f)|M(L1)(a)=f(a).

        綜上所述,L(f)為廣義序同態(tài),且L(f)|M(L1)=f.

        命題7 設(shè)X、Y為集合,若f:X→Y是單射,若A?X,令L(f)(A)={f(x)|x∈A},則L(f):2X→2Y是廣義序同態(tài),且L(f)|X=f.

        證明由命題3和命題6可證.

        設(shè)L是F1格,令T(L)=M(L),由命題1可知,M(L)∈ob(Set*).設(shè)f:L1→L2是廣義序同態(tài),令T(f)=f|M(L1),已經(jīng)證明f為廣義序同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)T(f)為單射,所以T是從范疇CD*到范疇Set*的函子.

        設(shè)X是集合,令E(X)=2X,由命題3可知,2X∈ob(CD*).設(shè)f:X→Y是單射,令E(f)=L(f):2X→2Y,即E(f)(A)=∪{f(x)|x∈A}(A∈2X),已經(jīng)證明E(f)廣義序同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)f為單射,所以E是從范疇Set*到范疇CD*的函子.

        定理1 函子T是完全忠實(shí)函子.

        (2)任取h∈HomSet*(T(L1),T(L2)),由命題5可知存在L(h)∈HomCD*((L1,L2)),使得TL(h)=h,所以T為完全函子

        定理2 函子E是完全忠實(shí)函子.

        命題8[10]設(shè)C和D是范疇,F(xiàn):C→D是函子,則下列條件等價:

        (1)范疇C和D等價;

        (2)函子F是完全忠實(shí)函子,并且任取B∈ob(D),都存在A∈ob(C),使得F(A)?B.

        F1格范疇CD*的表現(xiàn)定理:

        定理3 范疇CD*與范疇Set*等價.

        證明由命題3、定理1和命題8可證.

        3 結(jié)束語

        F1格是每個元素都有唯一的極小集的完全分配格,其結(jié)構(gòu)相對簡單.結(jié)合本文取得結(jié)論可以看到,F(xiàn)1格實(shí)為建立在經(jīng)典集合上的冪集格(按包含序),而其上的廣義序同態(tài)與經(jīng)典集合之間單射相對應(yīng)等.這為從集合論的角度研究完全分配格提供新想法,也帶來新問題.

        問題F1格上的廣義序同態(tài)是否為經(jīng)典集合之間單射所誘導(dǎo).

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