李楊,潘榮清

(1.江蘇開放大學(xué)教育學(xué)院,江蘇 南京 210013;2.南京財經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,江蘇 南京 210023)

1 引言

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是由大量節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的一類大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),其中不同的節(jié)點(diǎn)代表具有某種特定動力學(xué)特性的個體,而邊緣則代表了這些個體之間的關(guān)系.最近幾十年,由于網(wǎng)絡(luò)化信息技術(shù)的快速發(fā)展,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在物理,醫(yī)學(xué),生物網(wǎng)絡(luò)和食品網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-4].因此,研究其動態(tài)行為以及相關(guān)問題是極具理論和實(shí)際價值的.

在諸多問題里,同步問題作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中十分重要的一個問題,其普遍存在于各個系統(tǒng)之中,與系統(tǒng)能否正常運(yùn)行有著緊密的聯(lián)系.因此,同步一直是各領(lǐng)域?qū)W者關(guān)注的熱點(diǎn)[5-8].目前,同步控制的定義很多,如完全同步[9-11],牽制同步[12-13],有限時同步[14-16].本文考慮的同步是驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)的同步,其基本原理是驅(qū)動系統(tǒng)通過向響應(yīng)系統(tǒng)傳遞系統(tǒng)信號來使響應(yīng)系統(tǒng)與之達(dá)到同步[17].隨著研究的深入,學(xué)者們將驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)的同步問題與其他控制問題相結(jié)合,得到了很多有意義的結(jié)果.例如,文獻(xiàn)[18]研究了耦合復(fù)變混沌系統(tǒng)驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)的復(fù)數(shù)投影同步.文獻(xiàn)[19]研究了具有耦合時變時滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)的有限時間混合外同步問題.然而,對于具有隨機(jī)動態(tài)行為以及時變時滯的非線性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的驅(qū)動響應(yīng)同步控制還沒有得到充分的研究.因此,利用隨機(jī)性分析技術(shù)研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步控制問題是第一個動機(jī).

在科學(xué)技術(shù)高度發(fā)展的今天,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的規(guī)模越來越大,網(wǎng)絡(luò)通訊信道中的數(shù)據(jù)傳輸也越來越頻繁,然而,傳輸信道的帶寬是有限的,這就可能會導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)負(fù)載以及數(shù)據(jù)傳輸?shù)膿砣?從而降低系統(tǒng)的運(yùn)行效率,使系統(tǒng)的穩(wěn)定受到嚴(yán)重的干擾.因此,設(shè)計出能在保證系統(tǒng)性能的同時有效降低網(wǎng)絡(luò)負(fù)荷的機(jī)制變得很有必要.當(dāng)前人們普遍引用事件觸發(fā)控制方法來解決負(fù)荷問題,其基本思想是預(yù)設(shè)出觸發(fā)約束條件,并以此來判斷當(dāng)前采樣信號是否需要發(fā)送到下一個控制終端,從而減少不必要的信號傳遞.

在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中,事件觸發(fā)機(jī)制的應(yīng)用已經(jīng)十分普遍[20-22].例如,在文獻(xiàn)[20]中,基于事件觸發(fā)機(jī)制,具有固定時滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)估計問題被提出并解決.在文獻(xiàn)[21]中,通過引入分布式事件觸發(fā)傳輸策略,考慮時變內(nèi)部耦合,一類復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的指數(shù)同步問題得到了討論.然而,事件觸發(fā)機(jī)制的觸發(fā)閾值幾乎都被設(shè)計成常數(shù),這意味著其無法隨系統(tǒng)狀態(tài)變化而動態(tài)調(diào)整數(shù)值,故節(jié)約資源的效率是有限的.為了解決這個問題,包含不定閾值的自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制被設(shè)計了出來[23].隨后,又有很多學(xué)者進(jìn)行了研究并得到了許多有意義的成果[24-27].

另外,考慮到數(shù)據(jù)交互層無線通道的開放性原則,以及感知層傳感器節(jié)點(diǎn)部署的隨機(jī)性,信號在網(wǎng)絡(luò)中傳輸極有可能受到來自外部的威脅.在威脅網(wǎng)絡(luò)安全的各個因素之中,網(wǎng)絡(luò)攻擊是最常見也是最具威脅的.網(wǎng)絡(luò)攻擊會使系統(tǒng)的信息被盜取,破壞或篡改,也會使系統(tǒng)產(chǎn)生嚴(yán)重的時滯以及大量的丟包,從而導(dǎo)致系統(tǒng)內(nèi)部元件無法正常運(yùn)行甚至?xí)l(fā)出錯誤的信號.因此,系統(tǒng)可能會變得不再穩(wěn)定,最終癱瘓.近年來,隨著研究的深入,以及相關(guān)論文的發(fā)表,網(wǎng)絡(luò)攻擊在控制領(lǐng)域成為了重點(diǎn)問題[28-30].然而,據(jù)作者所知,對于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的安全同步控制幾乎沒有相關(guān)的文獻(xiàn).因此,更一般的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在自適應(yīng)事件觸發(fā)和網(wǎng)絡(luò)攻擊下的安全同步控制問題仍然具有挑戰(zhàn)性,有待進(jìn)一步解決,這也是本研究的另一個動機(jī).

目前,雖然已經(jīng)有一些關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步控制問題的研究,但是這些成果基本都是基于傳統(tǒng)的控制器取得的,鮮有基于自適應(yīng)事件觸發(fā)的非脆控制器問題.本文基于上述討論,考慮欺騙攻擊以及隨機(jī)動態(tài)行為的影響,并結(jié)合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的特征,引入分散式自適應(yīng)事件觸發(fā)傳輸機(jī)制,建立具有時滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)的同步誤差模型,使復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)達(dá)到所需的同步狀態(tài).

本文以下,Rn表示n維歐氏空間.I表示具有適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣.‖·‖表示歐幾里德向量范數(shù).diag{·}代表分塊對角矩陣,而diagn{Xi}則表示diag{X1,X2,···,Xn}.col{X}表示將X按列矩陣的形式書寫,coln{Xi}表示符號X|A=B意思是將矩陣X中的A用B替換掉.E{X}表示隨機(jī)變量X的期望值.(t)表示函數(shù)V(t)的導(dǎo)數(shù).?表示矩陣的Kronecker積.

表示一個對稱矩陣,其中*表示被隱藏的與矩陣B以及對稱矩陣A和C對稱的項(xiàng).

2 模型概述

首先給出由N個節(jié)點(diǎn)組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動系統(tǒng)模型:

其中xi(t)是第i個節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變量,Ai,Bi,Ei為已知的系數(shù)矩陣.f(·),g(·)為確定網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)動態(tài)行為的連續(xù)可微函數(shù),αi(t)∈{0,1}是服從伯努利分布的隨機(jī)變量,且其期望設(shè)為

方差設(shè)為

τi(t)∈(0,τi]是狀態(tài)的時變有界時滯.ci表示耦合強(qiáng)度.M=[mij]N×N是網(wǎng)絡(luò)的外部耦合矩陣,mij≥0(i/=j)且不全為0.一般地,假設(shè)M是對稱矩陣且滿足

Γ是描述耦合節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變量之間的連接關(guān)系的內(nèi)部耦合矩陣.

注2.1考慮到在不確定的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下,網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的動態(tài)行為可以隨機(jī)變化,引入隨機(jī)變量αi(t)來描述這種動態(tài)行為.在系統(tǒng)(1)中,可以很容易看出非線性函數(shù)f(·)和g(·)是根據(jù)αi(t)的變化來進(jìn)行隨機(jī)切換的.

考慮對應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)模型如下:

其中Di為已知的系數(shù)矩陣,ui(t)是系統(tǒng)的控制輸入.

定義系統(tǒng)的狀態(tài)同步誤差εi(t)=yi(t)-xi(t),可以得到如下的驅(qū)動響應(yīng)同步誤差系統(tǒng)模型:

其中

注2.2當(dāng)(3)式=0時,意味著輸出系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的信號達(dá)到一致,即整個驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到同步狀態(tài).

目前,信息技術(shù)正在飛速發(fā)展,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中傳輸信息越來越龐大,然而網(wǎng)絡(luò)帶寬是有限的,因此在保證系統(tǒng)性能的情況下節(jié)約有限的網(wǎng)絡(luò)資源,本文在每個節(jié)點(diǎn)的傳感器和控制器之間引入了一個自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制.

為了便于描述,對第i個網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)在自適應(yīng)事件觸發(fā)時的傳輸數(shù)據(jù)和傳輸時刻做以下假設(shè)

假設(shè)2.1假設(shè)系統(tǒng)的傳輸時間為(k=0,1,2,···),其中h是采樣周期,(k=0,1,2,···)是非負(fù)整數(shù).此外,設(shè)傳輸?shù)某跏紩r刻為t0h=0.

自適應(yīng)事件觸發(fā)規(guī)則的數(shù)學(xué)模型如下:

其中0＜λi(t)＜1,θi＞0,γi＞0.

根據(jù)不等式(4),假設(shè)上一個傳輸時刻為,則下一個傳輸時刻滿足如下條件:

考慮到信號在傳輸?shù)臅r候會不可避免地產(chǎn)生傳輸時滯,本文用符號來描述這個時滯,并且假設(shè)由此,可以傳輸?shù)男盘柕竭_(dá)控制器的時間t滿足

注2.3相較于傳統(tǒng)的事件觸發(fā)機(jī)制,本文所采用的自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制的閾值參數(shù)并不是固定的常數(shù).此外,由(5)式,易知λi(t)是根據(jù)誤差狀態(tài)δi(t)變化而改變的變量,并且其導(dǎo)數(shù)(t)→0當(dāng)且僅當(dāng)δi(t)→0,這意味著只有當(dāng)系統(tǒng)不存在使其不穩(wěn)定的擾動的時候,閾值參數(shù)才會收斂到一個常數(shù).

注2.4Zeno行為是指事件觸發(fā)機(jī)制在有限時間內(nèi)無限觸發(fā)的情形,而根據(jù)自適應(yīng)事件觸發(fā)條件(4),可以知道本文中的數(shù)據(jù)采樣是在離散時間(k=0,1,2,···)進(jìn)行的,這意味著最小事件觸發(fā)間隔是采樣周期h,故不存在Zeno行為.

在控制器運(yùn)行過程中,由于網(wǎng)絡(luò)波動等其他不確定因素的影響,控制器很容易產(chǎn)生小的增益變化,為了處理這一問題,本文考慮的是含有不確定項(xiàng)的非脆控制器,其數(shù)學(xué)模型為ui(t)=(Ki+ΔKi)εi(t),其中ΔKi是在控制器執(zhí)行過程中產(chǎn)生的不確定增益.由于引入自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制,實(shí)際的控制輸入可以寫成如下形式:

其中Ki是待定的反饋增益矩陣,ΔKi是未知但范數(shù)有界的矩陣.設(shè)ΔKi=SiF(t)Li,其中Si和Li是已知的常數(shù)矩陣,F(t)是時變矩陣函數(shù),且滿足FT(t)F(t)≤I.

考慮網(wǎng)絡(luò)通信的開放性,系統(tǒng)所傳輸?shù)目刂破餍盘栯y免受到惡意的破壞,盜竊或泄漏,這可能會導(dǎo)致控制器無法正常工作或發(fā)出錯誤的控制指令,進(jìn)而使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定,甚至崩潰.在本文中,假設(shè)控制器受到的攻擊形式是隨機(jī)的欺騙攻擊,并且其攻擊信號用與控制輸入ui(t)有關(guān)的非線性函數(shù)h(·)來表示.

在網(wǎng)絡(luò)攻擊環(huán)境中,(8)式可以被改寫成如下形式:

其中βi(t)∈{0,1}是滿足伯努利分布的隨機(jī)變量.為了討論的便捷,假設(shè)

則攻擊概率的期望為E{βi(t)}=βi,方差為

注2.5根據(jù)(9)式,可以知道如果αi(t)=0,則ˉui(t)=ui(t),這意味著當(dāng)前控制器沒有受到網(wǎng)絡(luò)攻擊.而如果αi(t)=1,則有ˉui(t)=ui(t)+h(ui(t)),這意味著控制器攜帶了惡意的攻擊信號.

結(jié)合(3)式以及(9)式,將誤差系統(tǒng)模型改寫成如下形式:

通過使用矩陣的Kronecker積,可以寫成緊湊的形式:

其中

為了得到本文所需的結(jié)果,給出以下的假設(shè),引理:

假設(shè)2.2對每個節(jié)點(diǎn)i,攻擊信號函數(shù)h(·)和向量值函數(shù)f(·)以及g(·)都是連續(xù)非線性函數(shù)且滿足如下的Lipschitz條件:

其中Λ1i,Λ2i和Λ3i是常數(shù)矩陣且分別表示h(·),f(·)和g(·)的上界.

引理2.1[9]給定常數(shù)d,若函數(shù)d(t)滿足d(t)∈(0,d],則對于˙ε(t):(0,d]→Rn,存在矩陣Q＞0,使得如下矩陣不等式成立:

引理2.2[10]假設(shè)T1和T2具有合適維數(shù)的實(shí)矩陣,F(t)滿足FT(t)F(t)≤I,則對于任何標(biāo)量ι＞0,如下不等式成立:

引理2.3[21](schur補(bǔ)引理)對于給定矩陣其中如下條件是等價的:

(1)S＜0;

3 主要結(jié)果

在本章節(jié)中,將會應(yīng)用Lyapunov泛函方法來給出同步誤差系統(tǒng)(11)漸近穩(wěn)定的充分條件.另外,通過借助matlab軟件中的LMI工具,可以得到每個節(jié)點(diǎn)的控制器增益Ki以及自適應(yīng)事件觸發(fā)的參數(shù)矩陣Ωi.

3.1 穩(wěn)定性分析

定理3.1對于一些給定的正標(biāo)量參數(shù)

以及矩陣Γ＞0,A＞0,B＞0,E＞0,Λi(i=1,2,3),θ,γ,Ω和,誤差系統(tǒng)(11)是漸近穩(wěn)定的,若存在對稱矩陣P=diagN{Pi}＞0,Ri(i=1,2)＞0,Qi(i=1,2)＞0,使得如下不等式成立:

其中Π11=

證明選取如下形式的Lyapunov泛函:

其中

P＞0,Ri＞0(i=1,2)和Qi＞0(i=1,2)是待定的對稱矩陣.

對V(t)關(guān)于t進(jìn)行求導(dǎo)并取期望,可得

其中

結(jié)合(4)式和(23)式,可以知道

B=Bf(ε(t))-Eg(ε(t-τ(t)))和C=h(u(t)).由此,可以得到如下等式:

基于假設(shè)2.2,可以得到如下兩個不等式:

結(jié)合(20)式-(28)式和引理2.1,可得如下不等式:

其中

3.2 控制器設(shè)計

需要指出的是,定理3.1只給出了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件.在此基礎(chǔ)上,定理3.2將會給出控制器增益Ki(i=1,2,···,N)以及自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制的參數(shù)矩陣

的設(shè)計方法.

定理3.2對于一些給定的正標(biāo)量參數(shù)αi(i=1,2,···,N),βi(i=1,2,···,N),ci(i=1,···,N),?i(i=1,2),,τM=maxN{τi},κ,ι以及矩陣Γ＞0,A＞0,B＞0,E＞0,Λi(i=1,2,3),θ和γ,誤差系統(tǒng)(11)是漸近穩(wěn)定的,若存在對稱矩陣X＞0,Y＞0,使得如下不等式成立:

其中

此外,本文設(shè)計的控制器增益和自適應(yīng)事件觸發(fā)參數(shù)矩陣分別如下:

證明基于引理2.3,不等式(17)成立當(dāng)且僅當(dāng)如下不等式成立:

其中

對任一標(biāo)量κ＞0,易知如下不等式成立:

由此推得

由此,易知不等式(31)成立,若如下不等式成立:

利用矩陣的性質(zhì),易知

其中

應(yīng)用引理2.2,可知

因此,欲證不等式(34)成立,只需證

假設(shè)不等式(37)成立,根據(jù)引理2.3,可得

4 數(shù)值仿真

在本章節(jié),提供一個數(shù)值例子來證明上述方法的有效性.假設(shè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的驅(qū)動系統(tǒng)(1)以及響應(yīng)系統(tǒng)(2)均是由三個節(jié)點(diǎn)所構(gòu)成,且每個節(jié)點(diǎn)都是二維的,即有系統(tǒng)的外部耦合矩陣及內(nèi)部耦合矩陣分別為

對于每一節(jié)點(diǎn)i(i=1,2,3),選擇非線性函數(shù)f(xi(t))和g(xi(t-τi(t)))以及網(wǎng)絡(luò)攻擊的信號函數(shù)h((ui(t)))分別為

系統(tǒng)的參數(shù)矩陣分別取為

不確定參數(shù)矩陣分別為

在本例中,確定節(jié)點(diǎn)動態(tài)行為的切換概率的期望為αi=0.6(i=1,2,3),網(wǎng)絡(luò)攻擊的概率的期望是βi=0.5(i=1,2,3),最大時滯為dM=0.15和τM=0.1,自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制的參數(shù)分別為θi=0.3(i=1,2,3)和γi=20(i=1,2,3),耦合強(qiáng)度為c1=0.8,c2=0.9,c3=0.62,其他參數(shù)為?1=5.6,?2=4.2,κ=3,ι=5.基于定理3.2,使用matlab軟件里的LMI工具,可以得到控制器增益矩陣以及自適應(yīng)事件觸發(fā)參數(shù)矩陣如下:

以及自適應(yīng)事件觸發(fā)的閾值參數(shù)分別為λ1(0)=0.26,λ2(0)=0.31,λ3(0)=0.164.對每個節(jié)點(diǎn)均考慮網(wǎng)絡(luò)攻擊以及自適應(yīng)觸發(fā),得到的仿真結(jié)果如圖1-5所示.圖1-2分別展示的是加控制器和不加控制器時的同步誤差信號的變化.比較這兩幅圖,就能發(fā)現(xiàn)當(dāng)有控制器的時候,驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)的同步誤差才會最終區(qū)域零，即系統(tǒng)達(dá)到同步.圖3給出了自適應(yīng)事件觸發(fā)的時刻和時間間隔.從圖4可以看出事件觸發(fā)的閾值是變量并最后趨于常數(shù).圖5描述的是網(wǎng)絡(luò)攻擊信號的變化情況.以上仿真結(jié)果表明,本文所提出的自適應(yīng)事件觸發(fā)及控制器的設(shè)計方案是有效的.

圖1 有控制器時的同步誤差εi(t)(i=1,2,3).

圖3 自適應(yīng)事件觸發(fā)時刻以及間隔.

圖4 自適應(yīng)事件觸發(fā)閾值λi(t)(i=1,2,3).

圖5 網(wǎng)絡(luò)攻擊信號h(ui(t))(i=1,2,3).

圖2 未加控制器時的同步誤差εi(t)(i=1,2,3).

5 結(jié)論

本文利用Lyapunov穩(wěn)定性方法,借助matlab軟件,研究了隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)攻擊環(huán)境下,具有隨機(jī)動態(tài)行為和時變時滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)的自適應(yīng)同步控制問題.在控制器增益變化及網(wǎng)絡(luò)攻擊能量有限的情況下,得到了建立的同步誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件.然后,通過使用線性矩陣不等式的方法,給出了控制器增益及自適應(yīng)事件觸發(fā)參數(shù)矩陣的設(shè)計方案.最后,提供數(shù)值仿真實(shí)例,以此驗(yàn)證本文所提方法的有效性.