李國(guó)軍,陳東杰,董齊芬,王亢

(1.浙江警察學(xué)院公共基礎(chǔ)部,浙江 杭州 310053;2.浙江警察學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息安全系,浙江 杭州 310053)

1 引言

迭代學(xué)習(xí)控制(Iterative learning control,簡(jiǎn)稱(chēng)ILC)適用于在有限區(qū)間作重復(fù)操作的被控系統(tǒng),通過(guò)反復(fù)試驗(yàn)不斷調(diào)整輸入信息來(lái)改進(jìn)輸出效果,以便跟蹤上期望軌跡[1-2].通過(guò)足夠多次重復(fù)后的ILC具有良好的跟蹤性能,所以常被應(yīng)用于機(jī)器人控制,產(chǎn)品流水線控制,間歇過(guò)程控制以及電路穩(wěn)定性控制等場(chǎng)合.傳統(tǒng)的ILC在應(yīng)用時(shí),要求每次的初始定位誤差必須等于零或者某個(gè)固定值,但這在實(shí)際中基本不可能做到,所以說(shuō)初值問(wèn)題是迭代學(xué)習(xí)控制的基本問(wèn)題之一.因此,研究任意初值條件下的迭代學(xué)習(xí)控制不僅有必要而且十分有意義.

對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)而言,關(guān)于初值研究的文獻(xiàn)較多.文獻(xiàn)[3]首次引入邊界層的概念,并讓邊界層隨著隨著時(shí)間單調(diào)收斂至零,由于控制誤差受邊界層限定,所以相應(yīng)的控制誤差也漸近收斂至零,但由于邊界層只能在時(shí)間趨向無(wú)窮時(shí)才收斂至零,所以這種方法達(dá)不到完全跟蹤.文獻(xiàn)[4-6]利用吸引子方法達(dá)到了實(shí)際完全跟蹤.文獻(xiàn)[7-8]采用誤差跟蹤的方法達(dá)到了一致性跟蹤,但這種方法在每次迭代時(shí)都需要事先重新設(shè)定的新的期望軌跡.對(duì)于高階可參數(shù)化非線性系統(tǒng),在控制增益已知的情形下,文獻(xiàn)[9]在指定區(qū)間達(dá)到了精確跟蹤.對(duì)于帶有時(shí)變迭代參數(shù)的不確定系統(tǒng),文獻(xiàn)[10]利用內(nèi)?？刂品椒ㄔO(shè)計(jì)參數(shù)學(xué)習(xí)律,確保系統(tǒng)收斂.在壓縮映射方法研究過(guò)程中,對(duì)于具有高相對(duì)階的系統(tǒng),文獻(xiàn)[11]提出了一種修正方法,在完成對(duì)初態(tài)誤差的修正以后,能夠確保系統(tǒng)達(dá)到完全跟蹤.對(duì)帶有固定初態(tài)誤差的高階多智能體系統(tǒng),文獻(xiàn)[12]用Step-by-step策略逐個(gè)修正各個(gè)狀態(tài)偏差并最終達(dá)到了一致性跟蹤.針對(duì)非線性連續(xù)系統(tǒng),文獻(xiàn)[13]提出了一種針對(duì)任意初態(tài)的修正方法,但這種方法不能完全修正初始誤差,而且只適用于一階系統(tǒng).

對(duì)于離散系統(tǒng)而言,近年來(lái)研究的學(xué)者不多,得到的有益結(jié)論并不豐富.對(duì)于固定初態(tài)情形,文獻(xiàn)[14]借助線性矩陣不等式求解控制器增益,并通過(guò)反饋輔助控制方法達(dá)到了漸近跟蹤.對(duì)于高相對(duì)階線性離散系統(tǒng),文獻(xiàn)[15]達(dá)到了漸近跟蹤.而文獻(xiàn)[16-17]針對(duì)帶有固定初態(tài)的高相對(duì)階非線性離散系統(tǒng),在控制時(shí)引入初始修正行為,實(shí)現(xiàn)了在指定區(qū)間上的一致性跟蹤.文獻(xiàn)[18]提出了一種針對(duì)任意初態(tài)和時(shí)變軌跡的離散自適應(yīng)ILC方法,能夠確保系統(tǒng)沿著迭代軸漸近收斂,沿著時(shí)間軸在指定區(qū)間內(nèi)逐點(diǎn)收斂.文獻(xiàn)[19]對(duì)文獻(xiàn)[18]進(jìn)行了評(píng)論,指出了文中的瑕疵.文獻(xiàn)[20]針對(duì)非參數(shù)化非線性不確定離散系統(tǒng),得到了類(lèi)似于文獻(xiàn)[18]的結(jié)論.對(duì)于控制方向未知的非線性離散系統(tǒng),針對(duì)任意初態(tài)情形,文獻(xiàn)[21]中提出的控制策略能夠使系統(tǒng)沿時(shí)間軸漸近收斂.

本文提出了一種基于壓縮映射的迭代學(xué)習(xí)算法,該算法在任意初態(tài)下,能夠確保離散時(shí)不變時(shí)滯系統(tǒng)在指定區(qū)間上達(dá)到逐點(diǎn)跟蹤,最后通過(guò)三個(gè)例子驗(yàn)證了該方法的有效性.

2 問(wèn)題闡述及控制器設(shè)計(jì)

考慮下述線性定常時(shí)滯系統(tǒng)

其中,t=0,1,2,···,N;k=1,2,···表示迭代次數(shù);d(為正整數(shù)且d＜N-1)是時(shí)滯參數(shù);xk(t)∈Rn,yk(t)∈Rr,uk(t)∈Rm(相應(yīng)可以簡(jiǎn)寫(xiě)為xk,uk,yk)分別表示第k次迭代的系統(tǒng)狀態(tài),控制輸入和輸出向量.A,B,C是合適維數(shù)的系統(tǒng)參數(shù)矩陣,并且B右可逆.

設(shè)yr(t)(簡(jiǎn)寫(xiě)為yr)是給定的期望軌跡,設(shè)xr(t)(相應(yīng)簡(jiǎn)寫(xiě)為xr)是給定的期望狀態(tài),ek(t)=yr-yk表示第k次輸出誤差.

假設(shè)2.1初始狀態(tài)xk(0)隨機(jī),狀態(tài)xk(t)可測(cè),并且xk(-d)=0,···,xk(-1)=0.

為了使得系統(tǒng)(1)能夠在指定時(shí)間內(nèi)跟蹤上目標(biāo)軌跡,提出帶有初始狀態(tài)誤差修正功能的控制律.

3 收斂性分析

這一節(jié)著重分析系統(tǒng)(1)在應(yīng)用控制律(2)以后的收斂性.本節(jié)中定義‖·‖是向量或矩陣的某種范數(shù),對(duì)于上節(jié)中提出的控制律(2),有下面的定理.

定理3.1如果初始狀態(tài)是任意有限值,并且存在一個(gè)矩陣Γ滿足

那么控制律(2)能夠讓系統(tǒng)(1)在區(qū)間[1,N]上達(dá)到逐點(diǎn)跟蹤.

證明為了方便書(shū)寫(xiě),記

對(duì)于系統(tǒng)(1),當(dāng)t∈[0,N-1]時(shí),應(yīng)用控制律(2)并根據(jù)假設(shè)2.1可得

在上式兩端同時(shí)乘以矩陣C,可得

所以有

因此當(dāng)t∈[0,N-1]并且‖I-CBΓ‖≤1時(shí)有

也就是說(shuō),在[1,N]上‖ek+1(t)‖逐點(diǎn)收斂于0.

注2.1從上面的證明可知,該算法所決定的系統(tǒng)收斂點(diǎn)與系統(tǒng)的時(shí)滯參數(shù)d的大小無(wú)關(guān).

根據(jù)上面的證明可知,對(duì)于下面的復(fù)雜離散時(shí)滯系統(tǒng)

其中,d1,···,dj(1≤di≤N-2,1≤i≤j)是時(shí)滯參數(shù),A,A1,···,Aj是合適維數(shù)的矩陣,如果該系統(tǒng)迭代初態(tài)任意并且矩陣B右可逆,則可以采用下面的控制律使其達(dá)到完全跟蹤.

定理3.2如果系統(tǒng)只具有下面的模型

其中,V1(t)是迭代時(shí)的固定性擾動(dòng),Vk(t)是第k次迭代時(shí)的隨機(jī)性擾動(dòng),若

此時(shí)應(yīng)用控制律(2),該系統(tǒng)依然能夠穩(wěn)定.

證明對(duì)于系統(tǒng)(10),當(dāng)t∈[0,N-1]時(shí),應(yīng)用控制律(2)可得

其中,V(t)=Vk+1(t)-Vk(t)是前后兩次隨機(jī)性擾動(dòng)的疊加,從統(tǒng)計(jì)意義上來(lái)講V(t)依然隨機(jī),只是該擾動(dòng)的期望和方差與Vk(t)不同而已.

化簡(jiǎn)(11)式有

記

當(dāng)t∈[0,N-1]并且‖I-CB?！?時(shí)有

因此,在[0,N-1]上‖ek+1(t+1)‖有界.也就是說(shuō),在[1,N]上‖ek(t)‖有界,即系統(tǒng)(10)在該區(qū)間上穩(wěn)定.

4 數(shù)值仿真

本節(jié)將通過(guò)三個(gè)例子來(lái)驗(yàn)證本文算法的有效性,在仿真過(guò)程中,例4.1和例4.2的系統(tǒng)采用時(shí)間Ts=0.005秒.

例4.1考慮下面的時(shí)滯系統(tǒng)

該系統(tǒng)的作業(yè)區(qū)間為[0,400].

系統(tǒng)運(yùn)行之前具有隨機(jī)性較大的初始狀態(tài)xk(0)=25*rand(rand產(chǎn)生0到1之間的隨機(jī)數(shù)值),控制律(2)中的控制增益Γ=0.89,仿真中迭代次數(shù)為15次.系統(tǒng)的跟蹤軌跡采用文獻(xiàn)[12]中的期望軌跡

從圖1放大圖中的可知,控制律(2)在t=1*Ts時(shí)完成狀態(tài)修正,完全跟蹤上期望軌跡.在圖2中,誤差統(tǒng)計(jì)是從點(diǎn)t=1*Ts開(kāi)始的,從圖中可以看出,只需要迭代4次就基本能完成跟蹤.從圖3中可以看出,在點(diǎn)t=1*Ts處,控制量uk(t)并沒(méi)有收斂,而是在t=5*Ts處才開(kāi)始收斂(仿真和實(shí)際情形相差一個(gè)單位采樣時(shí)間,因?yàn)镸ATLAB下標(biāo)從1開(kāi)始),這是由于時(shí)滯因子所致.

圖1 實(shí)際軌跡yk(t)和期望軌跡yr(t)

圖2 各次迭代實(shí)際跟蹤誤差‖ek(t)‖2

圖3 相應(yīng)的控制量uk(t)

例4.2考慮下面的復(fù)雜時(shí)滯系統(tǒng)

該系統(tǒng)的作業(yè)區(qū)間為[0,200].

系統(tǒng)運(yùn)行之前初始狀態(tài)為

控制律(2)中的控制增益

仿真中迭代次數(shù)為15次.系統(tǒng)的跟蹤軌跡為

具體仿真結(jié)果見(jiàn)圖4-圖6.

圖4 實(shí)際軌跡yk(t)和期望軌跡yr(t)

圖6 相應(yīng)的控制量uk(t)

從圖4中可以看出,系統(tǒng)收斂的時(shí)間點(diǎn)和所有的時(shí)滯因子都無(wú)關(guān),但控制量的收斂時(shí)間點(diǎn)和時(shí)滯因子有關(guān).本例中最大時(shí)滯因子d2=4,所以系統(tǒng)在t=1*Ts時(shí)完成狀態(tài)誤差修正并跟蹤上期望軌跡,而控制量在t=5*Ts處收斂.從圖6中可以看出,控制量收斂的時(shí)間點(diǎn)只和最大的時(shí)滯參數(shù)有關(guān),與其它時(shí)滯參數(shù)無(wú)關(guān).在圖5中,誤差統(tǒng)計(jì)也是從點(diǎn)t=1*Ts開(kāi)始.

圖5 各次迭代實(shí)際跟蹤誤差‖ek(t)‖2

例4.3考慮類(lèi)似于文獻(xiàn)[13]中的時(shí)滯系統(tǒng)

其中,系統(tǒng)運(yùn)行之前初始狀態(tài)為

控制律(2)中的控制增益取值如下:

系統(tǒng)的跟蹤軌跡如下:

同樣引用該文獻(xiàn)中的指標(biāo)來(lái)表征迭代學(xué)習(xí)的控制精度:

仿真中迭代次數(shù)為15次,圖7和圖9是第15次迭代時(shí)的結(jié)果.

圖7 期望軌跡yr(t)和實(shí)際軌跡yk(t)

圖9 相應(yīng)的控制量uk(t)

從圖7的放大圖中可以看出,系統(tǒng)沒(méi)有達(dá)到逐點(diǎn)完全跟蹤,但通過(guò)圖8可知,系統(tǒng)在控制率(2)的作用下能夠穩(wěn)定.

圖8 各次迭代實(shí)際跟蹤誤差EE(i)

上面的仿真驗(yàn)證了本文所提算法對(duì)于任意初態(tài)下的線性離散時(shí)滯系統(tǒng)而言,不管系統(tǒng)是否存在隨機(jī)性擾動(dòng),系統(tǒng)都能夠穩(wěn)定.

5 結(jié)論

本文討論了線性離散時(shí)不變時(shí)滯系統(tǒng)存在任意初態(tài)誤差的迭代學(xué)習(xí)控制問(wèn)題,借助壓縮映射手段,提出了一種帶有修正項(xiàng)的控制策略.在控制過(guò)程中,控制算法可以快速修正初態(tài)誤差.如果系統(tǒng)沒(méi)有隨機(jī)性擾動(dòng),當(dāng)修正好狀態(tài)誤差后,系統(tǒng)能夠達(dá)到無(wú)誤差跟蹤;如果系統(tǒng)有隨機(jī)性擾動(dòng),則誤差位于某個(gè)范圍內(nèi),而且本文也從理論和實(shí)踐兩方面驗(yàn)證了此算法的有效性.對(duì)于系統(tǒng)信息不能精確已知的任意初態(tài)偏差情形,目前仍無(wú)有效方案,后續(xù)本人將從事該方面的研究.