龔 云

（南京電子技術(shù)研究所，江蘇 南京 210013）

0 引 言

自適應(yīng)數(shù)字波束形成（Adaptive Digital Beam Forming，ADBF）技術(shù)是近二三十年發(fā)展起來(lái)的先進(jìn)的陣列信號(hào)處理技術(shù)，它通過(guò)對(duì)陣列天線各個(gè)陣元接收信號(hào)的復(fù)數(shù)加權(quán)，利用軟件的方法使陣列主波束對(duì)準(zhǔn)期望信號(hào)，零陷對(duì)準(zhǔn)未知干擾源信號(hào)，從而大大提高系統(tǒng)的接收性能。ADBF 具有快速自適應(yīng)波束置零、超低副瓣、超分辨率、自適應(yīng)空時(shí)處理等優(yōu)點(diǎn)[1]，在雷達(dá)、聲吶、無(wú)線通信及射電天文等諸多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。

平面相控陣系統(tǒng)比線陣系統(tǒng)具有更高的分辨率、更遠(yuǎn)的作用距離及更好的抗干擾能力[2]。因此，研究基于面陣的自適應(yīng)波束形成算法具有很高的實(shí)用價(jià)值。文獻(xiàn)[3]研究了基于面陣的SMI 自適應(yīng)DBF 算法，但未研究平面陣在各種約束條件下的波束形成算法。文獻(xiàn)[4]、[5]研究了三種約束條件（主瓣約束、主副瓣約束、主瓣約束且有規(guī)定零陷）下線陣的自適應(yīng)波束形成算法。

本文將文獻(xiàn)[4]中三種約束條件下的波束形成算法推廣到面陣，并且改進(jìn)第二種約束算法，提出第四種約束條件（主、副瓣同時(shí)約束且有規(guī)定零陷）下面陣的自適應(yīng)波束形成算法，推導(dǎo)了該約束條件下的最佳權(quán)值表達(dá)式，并進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真。

1 矩形平面陣接收波束自適應(yīng)零陷控制原理

自適應(yīng)波束形成就是用數(shù)字處理的方法，對(duì)于某一方向的入射信號(hào)，補(bǔ)償由于傳感器在空間的位置不同而引起的傳播路程差導(dǎo)致的相位差，實(shí)現(xiàn)同相疊加，從而實(shí)現(xiàn)該方向的最大能量接收。而對(duì)于非期望信號(hào)方向的未知干擾源信號(hào)，則自適應(yīng)生成零陷，從而將其抑制[6]。

1.1 面陣接收信號(hào)模型

本文采用的陣列模型是N行M列的均勻矩形平面陣[7]。如圖1 所示，(0,0)為參考原點(diǎn)，d1，d2分別為該矩形陣列的行、列間距。φ和θ分別為來(lái)波的方位角和仰角。將N×M矩形面陣轉(zhuǎn)換成NM×1 列陣，則列陣中的第k個(gè)陣元在面陣中是坐標(biāo)為(n，m)的陣元，n，m與k的關(guān)系如式（3）所示。設(shè)來(lái)波方向?yàn)?φS,θS)，則導(dǎo)向矢量定義為：

圖1 N×M 均勻面陣模型

假定空間有L個(gè)信號(hào)，各信號(hào)源統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則第k個(gè)陣元的接收信號(hào)為：

式中：nk(t)為測(cè)量噪聲。n,m與k的關(guān)系為：

平面陣的接收信號(hào)表達(dá)式用矩陣形式表示為：

式中：X(t)=[x1(t),x2(t),…,xMN(t)]T為陣列的觀測(cè)矢量，S(t)=[s1(t),s2(t),…,sL(t)]T為信號(hào)矢量，n(t)=[n1(t),n2(t),…,nMN(t)]T為噪聲矢量。A(φl(shuí),θl)=[α(φ1,θ1),α(φ2,θ2),…,α(φL,θL)]為陣列導(dǎo)向矩陣，α(φl(shuí),θl)如式（1）中定義。

陣列的輸出為各陣元信號(hào)的加權(quán)和。令加權(quán)矢量為w=[w1,w2,…,wMN]T，則陣列的輸出為：

接收方向圖為：

1.2 各種約束條件下面陣自適應(yīng)零陷算法

文獻(xiàn)[4]給出了三種約束條件下線陣的自適應(yīng)零陷算法，分別是主瓣約束，主副瓣約束以及主瓣約束且有規(guī)定零陷的自適應(yīng)波束形成算法?，F(xiàn)在將這三種約束條件下的自適應(yīng)零陷算法推廣到面陣，給出第二種約束條件的改進(jìn)方法，并推導(dǎo)出第四種約束條件下自適應(yīng)波束形成算法的最佳權(quán)值表達(dá)式，即在主、副瓣同時(shí)約束且有規(guī)定零陷的自適應(yīng)波束形成算法。

1.2.1 主瓣約束條件下的面陣自適應(yīng)波束形成算法

根據(jù)最小均方無(wú)畸變響應(yīng)(Minimum Variance Distortionless Response，MVDR)準(zhǔn)則，最佳加權(quán)矢量為：

用n次采樣信號(hào)矢量構(gòu)成Rxx的最佳無(wú)偏估計(jì)為其中，Xn為：

根據(jù)式（7）計(jì)算出的接收波束權(quán)值，所形成的方向圖不僅滿足主瓣約束的條件，而且能在未知干擾源方向生成零陷[8-9]。

1.2.2 主、副瓣約束條件下面陣自適應(yīng)波束形成算法

通常，不僅要求在干擾源方向生成零陷，而且對(duì)副瓣電平也有要求。此時(shí)，式（7）中的權(quán)矢量不能滿足要求，需要對(duì)其進(jìn)行修正。文獻(xiàn)[4]中給出了滿足副瓣要求的最佳權(quán)矢量表達(dá)式：

Rxx用估計(jì)值代替，即SMI 算法。雖然該算法收斂數(shù)度快，數(shù)字特性穩(wěn)定，且干擾抑制效果好，但是當(dāng)采樣數(shù)較少時(shí)，將會(huì)引起波束方向圖的主瓣畸變和副瓣增益過(guò)高。因此，由式（9）生成的權(quán)值進(jìn)行濾波時(shí)，接收波束方向圖的副瓣電平并不能滿足期望的要求（通過(guò)后面的仿真亦可見(jiàn)）。

一種簡(jiǎn)單的改善方法是對(duì)角（DL）加載技術(shù)，就是對(duì)協(xié)方差矩陣Rxx進(jìn)行對(duì)角加載：

1.2.3 主瓣約束且有規(guī)定零陷條件下面陣自適應(yīng)波束形成算法

實(shí)際中往往還要求接收波束在某個(gè)規(guī)定方向生成零陷，而不管該方向上有無(wú)干擾源存在。上述方法僅僅考慮的是在未知干擾源方向上生成零陷的最優(yōu)加權(quán)矢量的求取。文獻(xiàn)[4]中給出了主瓣約束且有規(guī)定零陷條件下線陣自適應(yīng)零陷算法最佳權(quán)值的表達(dá)式，該表達(dá)式可以推廣到面陣：

式中：Rxx=E[X(t)XH(t)]，λ=(CHRxx-1C)-1BH，B=[1,0,…,0]，C=[αS,αg,1,αg,2,…,αg,Ng]。這里C為一個(gè)陣元數(shù)乘(Ng+1)的矢量即MN×(Ng+1)，B是一個(gè)1×(Ng+1)的矢量。另外，C中αS為期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量，αg,i(i=1,2,…,Ng)為規(guī)定零陷的導(dǎo)向矢量，且要求規(guī)定的零陷個(gè)數(shù)Ng≤MN-1。具體的推導(dǎo)過(guò)程可參看文獻(xiàn)[4]。

根據(jù)式（11）計(jì)算出的接收波束權(quán)值，能夠在未知干擾源方向上生成零陷，而且在規(guī)定的方向上也能生成零陷。但是，在這些約束條件下形成的波束旁瓣增益比較高。實(shí)際中，除了要求有上述約束條件外，還同時(shí)要求具有低增益旁瓣。

1.2.4 主、副瓣約束且有規(guī)定零陷條件下面陣自適應(yīng)波束形成算法

上述式（9）和式（11）分別考慮了有副瓣約束和有規(guī)定零陷約束條件下的自適應(yīng)波束形成算法。在實(shí)際中，往往希望接收波束不僅在未知干擾源方向、規(guī)定方向上生成零陷，而且還要求波束的副瓣電平滿足一定的要求。下面將推導(dǎo)在這些約束條件下接收波束的最佳權(quán)值表達(dá)式。

為了得到上述約束條件下的最優(yōu)權(quán)值，在求解陣列總輸出功率式的最小值時(shí)，不僅要考慮主瓣的約束、規(guī)定零陷的約束，還要考慮副瓣的約束。其中，規(guī)定零陷的約束可以描述為：

式中：αg,i，Ng如前面定義所示分別為規(guī)定零陷的導(dǎo)向矢量和規(guī)定零陷的個(gè)數(shù)，且有Ng≤MN-1。式（12）用矩陣表示為：

副瓣的約束條件可以描述為：

式中：w0為滿足副瓣要求的權(quán)矢量，w0可以通過(guò)前面第二種約束條件下計(jì)算矢量e的方法得到[12-13]。

由于w0形成的接收波束可以同時(shí)滿足主瓣約束的要求，因此，通過(guò)式（13）求解得到的w0也滿足主瓣約束要求。所以，主瓣約束可省略。

因此，問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為滿足式（13）、式（14）條件下的自適應(yīng)波束形成算法。用Lagrange方法求解。Lagrange 函數(shù)定義為：

將式（16）代入式（13）求 解β，可得其中，I為單位矩陣。

根據(jù)式（16）計(jì)算出的接收波束權(quán)值，所形成的方向圖不僅在未知干擾源方向、規(guī)定方向生成零陷，而且副瓣增益也能滿足期望要求。

2 計(jì)算機(jī)仿真及分析

首先給出仿真的假設(shè)條件：假定接收天線陣是一個(gè)16×16 的矩形陣，陣元間距均為半波長(zhǎng)，采樣次數(shù)為1 024，并假設(shè)來(lái)波方向?yàn)椋?°,0°），它是出現(xiàn)在第500 次采樣的脈沖信號(hào)，信噪比為10 dB。有兩個(gè)干擾源，干擾方向分別是（-40°,0°）和（50°,0°），且干擾噪聲比分別為60 dB 和75 dB。當(dāng)有規(guī)定零陷約束時(shí)，規(guī)定零陷方向設(shè)為（20°,0°）。有副瓣約束時(shí)，假設(shè)為30 dB 的Dolph-Chebyshev 加權(quán)。此處將所有信號(hào)源及規(guī)定零陷方向的仰角設(shè)為0°是為了方便作固定仰角上的二維截面圖，便于觀察。

2.1 主瓣約束條件下面陣自適應(yīng)波束形成算法

如圖2（a）所示為陣列的輸出信號(hào)，可以清楚地看到，在第500 點(diǎn)處出現(xiàn)脈沖信號(hào)，說(shuō)明干擾被抑制掉。圖2（b）為接收波束方向圖，從該圖可以看到在干擾方向(-40°,0°)和(50°,0°)形成零陷，深度分別為-115.7 dB 和-117.8 dB。圖2（c）是圖2（b）中0°仰角上的二維截面圖，從該圖中可以更清楚地看到在兩個(gè)干擾方向上形成很深的零陷。

圖2 主瓣約束條件下面陣自適應(yīng)波束形成算法

2.2 主、副瓣約束條件下面陣自適應(yīng)波束形成算法

首先檢驗(yàn)未作改進(jìn)的此種約束條件下波束形成算法。如圖3（a）所示為陣列的輸出信號(hào)，可以清楚地看到，在第500 點(diǎn)處出現(xiàn)脈沖信號(hào)，說(shuō)明干擾被抑制掉。圖3（b）為接收波束方向圖，從該圖中可以看到在干擾方向(-40°,0°)和(50°,0°)形成零陷，深度分別為-108.8 dB 和-114.8 dB。圖3（c）是圖3（b）中0°仰角上的二維截面圖，從該圖可以更清楚地看到在兩個(gè)干擾方向上形成很深的零陷。但是，從圖3（b）中還可以看到，波束副瓣增益并未達(dá)到要求的-30 dB，第一副瓣增益僅為-11.38 dB。

圖3 主、副瓣約束條件下面陣自適應(yīng)波束形成算法

下面檢驗(yàn)改進(jìn)后的此種約束條件下波束形成算法。如圖4（a）所示為陣列的輸出信號(hào)，可以清楚地看到，在第500 點(diǎn)處出現(xiàn)脈沖信號(hào)，說(shuō)明干擾被抑制掉。圖4（b）為接收波束方向圖，從該圖中可以看到在干擾方向(-40°,0°)和(50°,0°)成零陷，深度分別為-123.7 dB 和-135.1 dB。圖4（c）是圖4（b）中0°仰角上的二維截面圖，從該圖中可以更清楚地看到在兩個(gè)干擾方向上形成很深的零陷。對(duì)比圖4（b）和圖3（b），可以看到圖4（b）中的副瓣降低，第一副瓣增益達(dá)到-34.4 dB，說(shuō)明改進(jìn)的方法有效。

圖4 改進(jìn)后的主、副瓣約束條件下波束形成算法

2.3 主瓣約束且有規(guī)定零陷條件下面陣自適應(yīng)波束形成算法

如圖5（a）所示為陣列的輸出信號(hào)，可以清楚地看到，在第500 點(diǎn)處出現(xiàn)脈沖信號(hào)，說(shuō)明干擾被抑制掉。圖5（b）為接收波束方向圖，從該圖中可以看到在干擾方向(-40°,0°)和(50°,0°)形成零陷，深度分別為-116.3 dB 和-116.1 dB。在規(guī)定方向(20°,0°)也形成很深的零陷，深度為-325.9 dB。圖5（c）是圖5（b）中0°仰角上的二維截面圖，從該圖中可以更清楚地看到在兩個(gè)干擾方向以及規(guī)定的方向上形成很深的零陷。

2.4 主、副瓣約束且有規(guī)定零陷條件下面陣自適應(yīng)波束形成算法

如圖6（a）所示為陣列的輸出信號(hào)，可以清楚地看到，在第500 點(diǎn)處出現(xiàn)脈沖信號(hào)，說(shuō)明干擾被抑制掉。圖6（b）為接收波束方向圖，從該圖中可以看到在干擾方向(-40°,0°)和(50°,0°)形成零陷，深度分別為-123.9 dB 和-115.1 dB。在規(guī)定方向(20°,0°)也形成很深的零陷，深度為-325.1 dB。圖6（c）是圖6（b）中0°仰角上的二維截面圖，從該圖中可以更清楚地看到在兩個(gè)干擾方向以及規(guī)定的方向上形成很深的零陷。同時(shí)，比較圖6（b）和圖5（b），可以明顯看到圖6（b）中的副瓣得到降低，第一副瓣增益為-32 dB，滿足副瓣約束要求。

圖5 主瓣約束且有規(guī)定零陷條件下面陣自適應(yīng)波束形成算法

圖6 主、副瓣約束且有規(guī)定零陷條件下面陣自適應(yīng)波束形成算法

3 結(jié) 語(yǔ)

本文討論了各種約束條件下均勻矩形平面陣的自適應(yīng)波束形成算法。面陣系統(tǒng)的復(fù)雜性和實(shí)時(shí)性要求算法用少量的采樣數(shù)據(jù)完成波束的控制。SMI 算法很難滿足副瓣要求，采用對(duì)角加載技術(shù)能夠解決副瓣增益過(guò)高的問(wèn)題。本文還推導(dǎo)了主、副瓣約束且有規(guī)定零陷條件下最佳權(quán)值表達(dá)式。仿真結(jié)果表明，不同約束條件下計(jì)算得到的權(quán)值矢量表達(dá)式是有效的，能夠滿足要求。