龔 云
(南京電子技術(shù)研究所,江蘇 南京 210013)
自適應(yīng)數(shù)字波束形成(Adaptive Digital Beam Forming,ADBF)技術(shù)是近二三十年發(fā)展起來(lái)的先進(jìn)的陣列信號(hào)處理技術(shù),它通過(guò)對(duì)陣列天線各個(gè)陣元接收信號(hào)的復(fù)數(shù)加權(quán),利用軟件的方法使陣列主波束對(duì)準(zhǔn)期望信號(hào),零陷對(duì)準(zhǔn)未知干擾源信號(hào),從而大大提高系統(tǒng)的接收性能。ADBF 具有快速自適應(yīng)波束置零、超低副瓣、超分辨率、自適應(yīng)空時(shí)處理等優(yōu)點(diǎn)[1],在雷達(dá)、聲吶、無(wú)線通信及射電天文等諸多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。
平面相控陣系統(tǒng)比線陣系統(tǒng)具有更高的分辨率、更遠(yuǎn)的作用距離及更好的抗干擾能力[2]。因此,研究基于面陣的自適應(yīng)波束形成算法具有很高的實(shí)用價(jià)值。文獻(xiàn)[3]研究了基于面陣的SMI 自適應(yīng)DBF 算法,但未研究平面陣在各種約束條件下的波束形成算法。文獻(xiàn)[4]、[5]研究了三種約束條件(主瓣約束、主副瓣約束、主瓣約束且有規(guī)定零陷)下線陣的自適應(yīng)波束形成算法。
本文將文獻(xiàn)[4]中三種約束條件下的波束形成算法推廣到面陣,并且改進(jìn)第二種約束算法,提出第四種約束條件(主、副瓣同時(shí)約束且有規(guī)定零陷)下面陣的自適應(yīng)波束形成算法,推導(dǎo)了該約束條件下的最佳權(quán)值表達(dá)式,并進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真。
自適應(yīng)波束形成就是用數(shù)字處理的方法,對(duì)于某一方向的入射信號(hào),補(bǔ)償由于傳感器在空間的位置不同而引起的傳播路程差導(dǎo)致的相位差,實(shí)現(xiàn)同相疊加,從而實(shí)現(xiàn)該方向的最大能量接收。而對(duì)于非期望信號(hào)方向的未知干擾源信號(hào),則自適應(yīng)生成零陷,從而將其抑制[6]。
本文采用的陣列模型是N行M列的均勻矩形平面陣[7]。如圖1 所示,(0,0)為參考原點(diǎn),d1,d2分別為該矩形陣列的行、列間距。φ和θ分別為來(lái)波的方位角和仰角。將N×M矩形面陣轉(zhuǎn)換成NM×1 列陣,則列陣中的第k個(gè)陣元在面陣中是坐標(biāo)為(n,m)的陣元,n,m與k的關(guān)系如式(3)所示。設(shè)來(lái)波方向?yàn)?φS,θS),則導(dǎo)向矢量定義為:
圖1 N×M 均勻面陣模型
假定空間有L個(gè)信號(hào),各信號(hào)源統(tǒng)計(jì)獨(dú)立,則第k個(gè)陣元的接收信號(hào)為:
式中:nk(t)為測(cè)量噪聲。n,m與k的關(guān)系為:
平面陣的接收信號(hào)表達(dá)式用矩陣形式表示為:
式中:X(t)=[x1(t),x2(t),…,xMN(t)]T為陣列的觀測(cè)矢量,S(t)=[s1(t),s2(t),…,sL(t)]T為信號(hào)矢量,n(t)=[n1(t),n2(t),…,nMN(t)]T為噪聲矢量。A(φl(shuí),θl)=[α(φ1,θ1),α(φ2,θ2),…,α(φL,θL)]為陣列導(dǎo)向矩陣,α(φl(shuí),θl)如式(1)中定義。
陣列的輸出為各陣元信號(hào)的加權(quán)和。令加權(quán)矢量為w=[w1,w2,…,wMN]T,則陣列的輸出為:
接收方向圖為:
文獻(xiàn)[4]給出了三種約束條件下線陣的自適應(yīng)零陷算法,分別是主瓣約束,主副瓣約束以及主瓣約束且有規(guī)定零陷的自適應(yīng)波束形成算法?,F(xiàn)在將這三種約束條件下的自適應(yīng)零陷算法推廣到面陣,給出第二種約束條件的改進(jìn)方法,并推導(dǎo)出第四種約束條件下自適應(yīng)波束形成算法的最佳權(quán)值表達(dá)式,即在主、副瓣同時(shí)約束且有規(guī)定零陷的自適應(yīng)波束形成算法。
1.2.1 主瓣約束條件下的面陣自適應(yīng)波束形成算法
根據(jù)最小均方無(wú)畸變響應(yīng)(Minimum Variance Distortionless Response,MVDR)準(zhǔn)則,最佳加權(quán)矢量為:
用n次采樣信號(hào)矢量構(gòu)成Rxx的最佳無(wú)偏估計(jì)為其中,Xn為:
根據(jù)式(7)計(jì)算出的接收波束權(quán)值,所形成的方向圖不僅滿足主瓣約束的條件,而且能在未知干擾源方向生成零陷[8-9]。
1.2.2 主、副瓣約束條件下面陣自適應(yīng)波束形成算法
通常,不僅要求在干擾源方向生成零陷,而且對(duì)副瓣電平也有要求。此時(shí),式(7)中的權(quán)矢量不能滿足要求,需要對(duì)其進(jìn)行修正。文獻(xiàn)[4]中給出了滿足副瓣要求的最佳權(quán)矢量表達(dá)式:
Rxx用估計(jì)值代替,即SMI 算法。雖然該算法收斂數(shù)度快,數(shù)字特性穩(wěn)定,且干擾抑制效果好,但是當(dāng)采樣數(shù)較少時(shí),將會(huì)引起波束方向圖的主瓣畸變和副瓣增益過(guò)高。因此,由式(9)生成的權(quán)值進(jìn)行濾波時(shí),接收波束方向圖的副瓣電平并不能滿足期望的要求(通過(guò)后面的仿真亦可見(jiàn))。
一種簡(jiǎn)單的改善方法是對(duì)角(DL)加載技術(shù),就是對(duì)協(xié)方差矩陣Rxx進(jìn)行對(duì)角加載:
1.2.3 主瓣約束且有規(guī)定零陷條件下面陣自適應(yīng)波束形成算法
實(shí)際中往往還要求接收波束在某個(gè)規(guī)定方向生成零陷,而不管該方向上有無(wú)干擾源存在。上述方法僅僅考慮的是在未知干擾源方向上生成零陷的最優(yōu)加權(quán)矢量的求取。文獻(xiàn)[4]中給出了主瓣約束且有規(guī)定零陷條件下線陣自適應(yīng)零陷算法最佳權(quán)值的表達(dá)式,該表達(dá)式可以推廣到面陣:
式中:Rxx=E[X(t)XH(t)],λ=(CHRxx-1C)-1BH,B=[1,0,…,0],C=[αS,αg,1,αg,2,…,αg,Ng]。這里C為一個(gè)陣元數(shù)乘(Ng+1)的矢量即MN×(Ng+1),B是一個(gè)1×(Ng+1)的矢量。另外,C中αS為期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量,αg,i(i=1,2,…,Ng)為規(guī)定零陷的導(dǎo)向矢量,且要求規(guī)定的零陷個(gè)數(shù)Ng≤MN-1。具體的推導(dǎo)過(guò)程可參看文獻(xiàn)[4]。
根據(jù)式(11)計(jì)算出的接收波束權(quán)值,能夠在未知干擾源方向上生成零陷,而且在規(guī)定的方向上也能生成零陷。但是,在這些約束條件下形成的波束旁瓣增益比較高。實(shí)際中,除了要求有上述約束條件外,還同時(shí)要求具有低增益旁瓣。
1.2.4 主、副瓣約束且有規(guī)定零陷條件下面陣自適應(yīng)波束形成算法
上述式(9)和式(11)分別考慮了有副瓣約束和有規(guī)定零陷約束條件下的自適應(yīng)波束形成算法。在實(shí)際中,往往希望接收波束不僅在未知干擾源方向、規(guī)定方向上生成零陷,而且還要求波束的副瓣電平滿足一定的要求。下面將推導(dǎo)在這些約束條件下接收波束的最佳權(quán)值表達(dá)式。
為了得到上述約束條件下的最優(yōu)權(quán)值,在求解陣列總輸出功率式的最小值時(shí),不僅要考慮主瓣的約束、規(guī)定零陷的約束,還要考慮副瓣的約束。其中,規(guī)定零陷的約束可以描述為:
式中:αg,i,Ng如前面定義所示分別為規(guī)定零陷的導(dǎo)向矢量和規(guī)定零陷的個(gè)數(shù),且有Ng≤MN-1。式(12)用矩陣表示為:
副瓣的約束條件可以描述為:
式中:w0為滿足副瓣要求的權(quán)矢量,w0可以通過(guò)前面第二種約束條件下計(jì)算矢量e的方法得到[12-13]。
由于w0形成的接收波束可以同時(shí)滿足主瓣約束的要求,因此,通過(guò)式(13)求解得到的w0也滿足主瓣約束要求。所以,主瓣約束可省略。
因此,問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為滿足式(13)、式(14)條件下的自適應(yīng)波束形成算法。用Lagrange方法求解。Lagrange 函數(shù)定義為:
將式(16)代入式(13)求 解β,可得其中,I為單位矩陣。
根據(jù)式(16)計(jì)算出的接收波束權(quán)值,所形成的方向圖不僅在未知干擾源方向、規(guī)定方向生成零陷,而且副瓣增益也能滿足期望要求。
首先給出仿真的假設(shè)條件:假定接收天線陣是一個(gè)16×16 的矩形陣,陣元間距均為半波長(zhǎng),采樣次數(shù)為1 024,并假設(shè)來(lái)波方向?yàn)椋?°,0°),它是出現(xiàn)在第500 次采樣的脈沖信號(hào),信噪比為10 dB。有兩個(gè)干擾源,干擾方向分別是(-40°,0°)和(50°,0°),且干擾噪聲比分別為60 dB 和75 dB。當(dāng)有規(guī)定零陷約束時(shí),規(guī)定零陷方向設(shè)為(20°,0°)。有副瓣約束時(shí),假設(shè)為30 dB 的Dolph-Chebyshev 加權(quán)。此處將所有信號(hào)源及規(guī)定零陷方向的仰角設(shè)為0°是為了方便作固定仰角上的二維截面圖,便于觀察。
如圖2(a)所示為陣列的輸出信號(hào),可以清楚地看到,在第500 點(diǎn)處出現(xiàn)脈沖信號(hào),說(shuō)明干擾被抑制掉。圖2(b)為接收波束方向圖,從該圖可以看到在干擾方向(-40°,0°)和(50°,0°)形成零陷,深度分別為-115.7 dB 和-117.8 dB。圖2(c)是圖2(b)中0°仰角上的二維截面圖,從該圖中可以更清楚地看到在兩個(gè)干擾方向上形成很深的零陷。
圖2 主瓣約束條件下面陣自適應(yīng)波束形成算法
首先檢驗(yàn)未作改進(jìn)的此種約束條件下波束形成算法。如圖3(a)所示為陣列的輸出信號(hào),可以清楚地看到,在第500 點(diǎn)處出現(xiàn)脈沖信號(hào),說(shuō)明干擾被抑制掉。圖3(b)為接收波束方向圖,從該圖中可以看到在干擾方向(-40°,0°)和(50°,0°)形成零陷,深度分別為-108.8 dB 和-114.8 dB。圖3(c)是圖3(b)中0°仰角上的二維截面圖,從該圖可以更清楚地看到在兩個(gè)干擾方向上形成很深的零陷。但是,從圖3(b)中還可以看到,波束副瓣增益并未達(dá)到要求的-30 dB,第一副瓣增益僅為-11.38 dB。
圖3 主、副瓣約束條件下面陣自適應(yīng)波束形成算法
下面檢驗(yàn)改進(jìn)后的此種約束條件下波束形成算法。如圖4(a)所示為陣列的輸出信號(hào),可以清楚地看到,在第500 點(diǎn)處出現(xiàn)脈沖信號(hào),說(shuō)明干擾被抑制掉。圖4(b)為接收波束方向圖,從該圖中可以看到在干擾方向(-40°,0°)和(50°,0°)成零陷,深度分別為-123.7 dB 和-135.1 dB。圖4(c)是圖4(b)中0°仰角上的二維截面圖,從該圖中可以更清楚地看到在兩個(gè)干擾方向上形成很深的零陷。對(duì)比圖4(b)和圖3(b),可以看到圖4(b)中的副瓣降低,第一副瓣增益達(dá)到-34.4 dB,說(shuō)明改進(jìn)的方法有效。
圖4 改進(jìn)后的主、副瓣約束條件下波束形成算法
如圖5(a)所示為陣列的輸出信號(hào),可以清楚地看到,在第500 點(diǎn)處出現(xiàn)脈沖信號(hào),說(shuō)明干擾被抑制掉。圖5(b)為接收波束方向圖,從該圖中可以看到在干擾方向(-40°,0°)和(50°,0°)形成零陷,深度分別為-116.3 dB 和-116.1 dB。在規(guī)定方向(20°,0°)也形成很深的零陷,深度為-325.9 dB。圖5(c)是圖5(b)中0°仰角上的二維截面圖,從該圖中可以更清楚地看到在兩個(gè)干擾方向以及規(guī)定的方向上形成很深的零陷。
如圖6(a)所示為陣列的輸出信號(hào),可以清楚地看到,在第500 點(diǎn)處出現(xiàn)脈沖信號(hào),說(shuō)明干擾被抑制掉。圖6(b)為接收波束方向圖,從該圖中可以看到在干擾方向(-40°,0°)和(50°,0°)形成零陷,深度分別為-123.9 dB 和-115.1 dB。在規(guī)定方向(20°,0°)也形成很深的零陷,深度為-325.1 dB。圖6(c)是圖6(b)中0°仰角上的二維截面圖,從該圖中可以更清楚地看到在兩個(gè)干擾方向以及規(guī)定的方向上形成很深的零陷。同時(shí),比較圖6(b)和圖5(b),可以明顯看到圖6(b)中的副瓣得到降低,第一副瓣增益為-32 dB,滿足副瓣約束要求。
圖5 主瓣約束且有規(guī)定零陷條件下面陣自適應(yīng)波束形成算法
圖6 主、副瓣約束且有規(guī)定零陷條件下面陣自適應(yīng)波束形成算法
本文討論了各種約束條件下均勻矩形平面陣的自適應(yīng)波束形成算法。面陣系統(tǒng)的復(fù)雜性和實(shí)時(shí)性要求算法用少量的采樣數(shù)據(jù)完成波束的控制。SMI 算法很難滿足副瓣要求,采用對(duì)角加載技術(shù)能夠解決副瓣增益過(guò)高的問(wèn)題。本文還推導(dǎo)了主、副瓣約束且有規(guī)定零陷條件下最佳權(quán)值表達(dá)式。仿真結(jié)果表明,不同約束條件下計(jì)算得到的權(quán)值矢量表達(dá)式是有效的,能夠滿足要求。