朱雨琪， 向國菲， 馬叢俊， 游星星， 佃松宜

四川大學電氣工程學院,成都 610065

0 引 言

近年來，連續(xù)體機器人因其固有的內在柔性特性和無窮自由度所帶來的與環(huán)境友好交互能力而被廣泛研究[1-4].不同于剛性機器人的結構化設計，連續(xù)體機器人擁有更為豐富的形態(tài)智能和柔性特性，可以在狹窄、擁塞等未知非結構化環(huán)境下開展自適應作業(yè).然而，如何針對連續(xù)體機器人系統設計快速、有效、可靠、精準的控制器，一直是研究領域的熱點，具有重要的理論價值和實際意義.

連續(xù)體機器人在其驅動方式上有線驅動[5-6]、氣驅動[7]、液壓驅動[8]等.其中，線驅動連續(xù)體機器人結構較為簡單，得到最為廣泛的研究和應用.文獻[9-10]成功將一種細長連續(xù)體機器人用于航空發(fā)電機零件的檢查維修，并開發(fā)了一種快速運動學算法.但是，連續(xù)體機器人的內在非線性特性和無窮自由度給其控制任務帶來了巨大挑戰(zhàn).

針對連續(xù)體機器人，其建模思路主要分為以下兩種：Cosserat梁理論和分段常曲率假設(piecewise constant curvature, PCC).Cosserat梁理論通過一個非線性常微分方程來描述機器人的張力和形變關系，但因其傳感困難，理論復雜，計算成本高，難以協同考慮外部擾動和內部不確定問題，利用該理論建模來完成運動控制任務仍為困難.PCC是目前最為常用的建模策略，通過一組參數集合來表征連續(xù)體機器人的狀態(tài).在該假設下，連續(xù)體機器人的設計[11]、傳感[12]、運動學控制問題[13]均已被廣泛研究.但是，PCC作為一種對機器人模型的近似，忽略了很多實際的物理因素，僅能得到一個粗略的模型.并且該假設下連續(xù)體機器人存在運動奇異點，這將導致機器人的“病態(tài)”行為，會給控制器的設計帶來挑戰(zhàn).在文獻[14]，該團隊探討了連續(xù)體機器人在PCC假設的運動奇異問題，并提供了理論解決思路，以一組新的狀態(tài)參數代替，并在文獻[15]中通過自適應控制完成軌跡跟蹤任務，雖然解決了運動奇異問題，但是僅在四根驅動線情況下給予建模方法，并且控制策略未考慮計算成本.在PCC假設下，能夠得到一個粗略的運動學和動力學模型，這個模型能否提供足夠的信息，為后續(xù)的控制器設計提供幫助，值得進一步研究.

此外，對于連續(xù)體機器人，難以進行精確建模，存在模型誤差、參數攝動和未建模動態(tài)，另一方面，由于工作環(huán)境的未知復雜，對其魯棒、可靠地控制至關重要.文獻[16]首次將魯棒控制用于連續(xù)體機器人，但是僅針對系統內部的小范圍不確定性進行設計，無法兼顧外部干擾，需要獨立設計其他策略抑制外擾，使得控制效果較為保守.文獻[17]使用了基于干擾觀測器的控制策略，但是研究重點為考慮不同擾動模型下的效果對比，未能有效結合連續(xù)體機器人模型信息、考慮其內部不確定性.基于此，是否存在一種面向連續(xù)體機器人的控制策略，能夠同時兼顧內部不確定性和外部擾動，并且有效利用已有模型信息，完成其運動控制一直是一個開放性問題，值得我們進一步研究.

自抗擾控制(active disturbance rejection control, ADRC)提供了一種解決思路.該控制方法的主要思路為：首先將系統的內外擾動之和定義為“總擾動”，這之中包括了各種系統未建模動態(tài)，外部擾動等不確定因素，并將其進一步定義為系統的擴張狀態(tài).設計擴張狀態(tài)觀測器(extended state observer, ESO)，對系統包括“總擾動”在內的狀態(tài)進行實時在線估計，通過設計非線性反饋控制率，在系統輸入端進行補償[18].傳統自抗擾控制由于使用了非線性的擴張狀態(tài)觀測器和非線性反饋策略，在參數調整上面臨巨大的工作量，并且理論分析較為困難.高志強教授在此基礎上，提出了線性化的方法，通過線性擴張狀態(tài)觀測器(linear extended state observer, LESO)和線性反饋，解決了參數調節(jié)問題，并且進一步簡化了自抗擾控制的結構，得到了廣泛的應用[19].自抗擾控制不依賴于模型信息，但是卻能結合已有的模型信息，為控制增益參數的調節(jié)提供指導.文獻[20]首次將線性自抗擾控制用于解決連續(xù)體機器人的耦合問題，提出了一種新的控制思路，但是未考慮機器人運動奇異問題，沒有有效結合模型信息，也未能處理好系統初始響應時的峰值問題.

基于上述分析，為解決連續(xù)體機器人在存在內擾、外擾等不確定因素時的控制問題，提出了一種能夠有效結合模型信息的線性自抗擾控制策略.本文主要工作如下：首先在分段常曲率假設下進行連續(xù)體機器人的PCC建模，并進一步優(yōu)化建模方法以解決運動奇異問題；然后，將系統的模型誤差、未建模動態(tài)定義為系統內部擾動，和系統外部擾動一同定義為系統的“總擾動”，通過設計線性擴張狀態(tài)觀測器觀測器，結合“帶寬法”調參策略，實時估計并補償“總擾動”；接著，為進一步考慮系統初始響應時的峰值問題，并直接利用系統可測輸出，減少觀測成本，設計了降階的擴張狀態(tài)觀測器(reduced-order linear extended state observer, RLESO)；最終結合線性反饋，構成整體控制回路，結合已有的模型信息，實現連續(xù)體機器人在構型空間的軌跡跟蹤控制.

1 問題描述

本文以單段連續(xù)體機器人為研究對象，其結構如圖1所示.

圖1 單段連續(xù)體機器人Fig.1 Continuum robot with single segment

該連續(xù)體機器人本體彎曲過程產生的力由其內部的柔性支柱提供，并保證其運動過程的靈活度和柔順性.萬向節(jié)外殼以鉸鏈機構進行串聯，具有體積小、結構穩(wěn)定的特點.本體內有3根NiTi合金驅動絲，以120°間隔分布，機器人的運動控制由電機轉動控制驅動線來完成.

在進行連續(xù)體機器人的建模及分析之前，首先給出分段常曲率為建模方法下的假設條件：

1)每根NiTi合金驅動絲的彎曲發(fā)生在同一平面，并且曲率相同;

2)忽視機器人本體的重力，僅考慮末端負載;

3)機器人本體柔性支柱長度可發(fā)生變化.

1.1 運動學分析

基于分段常曲率法下的連續(xù)體機器人建模思路，通常利用一組參數集合來簡化其運動學分析，并表征其構型狀態(tài)，稱為曲率參數.

在曲率參數中，φ表示機器人發(fā)生彎曲平面間的夾角，稱為機器人的旋轉角，θ表示機器人的彎曲角，ΔL表示機器人本體柔性支柱發(fā)生的長度變化量，通常也可以稱為機器人中心軸的長度變化量.通過該參數化方法，可以得到連續(xù)體機器人基座到末端的齊次變換矩陣其中s，c，分別表示正余弦函數的縮寫，φ,θ∈[-π π].L表示連續(xù)體機器人運動時柔性支柱發(fā)生形變后的長度，且L=l0+ ΔL，l0表示三根驅動線及柔性支柱初始長度.需要注意的是，當且僅當ΔL≥-l0時才具有實際物理意義.

(1)

圖2 系統輸入響應Fig.2 Input response of the system

式(1)包含了連續(xù)體機器人末端相對基座的位置和姿態(tài)信息，可用于正逆運動學控制.對于基于分段常曲率法的建模思路，通常假設機器人在直立狀態(tài)下不產生旋轉，即不考慮彎曲角θ為0時旋轉角φ的取值情況.而實際上，θ為0時，φ可以任意取值.考慮式(2)中平移部分的雅可比矩陣

(2)

其行列式為

(3)

可以發(fā)現，當θ→0時，行列式(3)將趨近于0，矩陣(2)會降秩.這個現象反映了在PCC的曲率參數下，若連續(xù)體機器人在運動過程中，出現彎曲角θ趨向于0或者是越過0的情況，機器人將產生“病態(tài)”行為，并進一步影響系統的穩(wěn)定性，發(fā)生振蕩，甚至失去穩(wěn)定性，如圖2所示，在曲率參數下機器人的彎曲角越過0時，引起了系統的參數振蕩.

1.2 改進狀態(tài)參數

為解決連續(xù)體機器人在直立狀態(tài)下的運動奇異問題，提出了一種改進的狀態(tài)參數，優(yōu)化曲率參數，以替換傳統的曲率參數.圖3(a)為曲率參數下的單段連續(xù)體機器人示意圖.考慮圖3(a)中3根NiTi合金絲所連接的{O0}和{O1}兩個平面，其中，d表示3根驅動絲連接孔圍成的圓的半徑，δi為第i根驅動絲在末端平面連接孔處與中軸線的距離，如圖3(b)所示，其表達式為

(4)

考慮圖3(a)中機器人的彎曲過程，li=θ(L/θ-δi) 表示當前每根驅動線的長度，其表達式為

(5)

通過對li進行簡單的代數運算，便可以得到優(yōu)化曲率參數

(6)

式(6)中的Δx，Δy表示優(yōu)化后的連續(xù)體機器人構型參數，以取代傳統使用的彎曲角和旋轉角.因連續(xù)體機器人的運動奇異問題與參數ΔL無關，所以保留ΔL，這三個參數共同構成新的優(yōu)化曲率參數集合.圖4為優(yōu)化曲率參數后，連續(xù)體機器人的各空間映射.

圖3 連續(xù)體機器人幾何模型Fig.3 Geometric model of continuum robot

圖4 連續(xù)體機器人空間映射關系Fig.4 Mappings between each space

在優(yōu)化曲率參數下，Δx=Δy=0對應曲率參數中的θ=0情況，即連續(xù)體機器人直立狀態(tài).由此，兩種曲率參數之間的映射關系m(·)如下：

(7)

在優(yōu)化曲率參數下，連續(xù)體機器人從基座到末端的齊次變換矩陣為

(8)

(9)

當(Δx)2+(Δy)2→0時，det(Jq)→L2d4/4.可以發(fā)現，在連續(xù)體機器人直立狀態(tài)下，矩陣(8)能夠保持滿秩.

基于以上分析，連續(xù)體機器人在直立狀態(tài)時的運動奇異問題可以由優(yōu)化曲率參數解決，并且優(yōu)化前后的曲率參數之間的代數關系可逆.

注1.圖4表示了PCC假設下連續(xù)體機器人的各空間映射關系，其中的從驅動空間到構型空間再到任務空間為連續(xù)體機器人的正運動學，即h(·) →g(·)，反之為逆運動學.由于m(·)的可逆性，優(yōu)化曲率參數的引入可以在解決運動奇異問題上建立新的正逆運動學，并且不會影響原正逆運動學.

1.3 動力學分析

連續(xù)體機器人的精確動力學建模及其困難，在分段常曲率假設下，僅能建立一個拉格朗日形式的粗略動力學模型[21-22].考慮改進后的優(yōu)化曲率參數，可以得到如下的動力學模型：

(10)

假設連續(xù)體機器人末端負載μkg物體，不考慮其本身重力，則慣性矩陣Bβ(q)=μ(JqTJq)，且

(11)

當系統趨近于奇異點時，慣性矩陣Bβ仍滿秩.考慮到機器人的無限自由度，為節(jié)省建模成本，科氏力矩陣根據反對稱性簡化計算[23]

(12)

文獻[24-25]給出了線性阻抗矩陣和阻尼矩陣的形式

(13)

(14)

且均為滿秩對角矩陣.

線驅動連續(xù)體機器人通過控制驅動線的變化量以驅動機器人運動，故在末端無法提供能獨立產生加速度的力.式(10)中通過輸入映射矩陣Aβ聯系了驅動線變化量和末端扭矩的關系，為了匹配3根驅動線的獨立驅動量，假設末端產生3種獨立的力，即u=[τxτyfz]T，如圖2(b)所示.Aβ的計算可以根據齊次變換矩陣的雅可比矩陣得到，即Aβ(q)=Ji-Ji-1.Ji表示第i段連續(xù)體機器人的雅可比矩陣，且

(15)

若Aβ滿秩，則該系統可看作全驅系統.

2 控制器設計

基于以上分析，可以得到一個改進后的連續(xù)體機器人動力學模型，但是同時存在模型誤差和參數攝動等內部不確定性和外部擾動問題.在這一節(jié)，本文將基于線性自抗擾控制提出針對連續(xù)體機器人構型空間軌跡跟蹤控制的擾動抑制策略.

2.1 線性自抗擾控制

考慮系統內部參數攝動和模型誤差，即

(16)

其中ΔB、ΔC、ΔD、ΔK表示系統參數的不確定項，同時考慮外部時變擾動，系統動力學模型式(10)可寫為：

(17)

其中d(t)表示時變擾動.進一步將上式改寫

(18)

式(18)可看作系統的“標準型”，若能通過相應的觀測器設計，實時觀測并在輸入端補償“總擾動”，式(18)即可看作擁有嚴格積分形式的二階系統，可以任意配置極點[26].為觀測并補償“總擾動”，設計線性擴張狀態(tài)觀測器為

(19)

其中，σ1、σ2、σ3分別表示對系統狀態(tài)及其導數和“總擾動”的估計.α1、α2、α3和ε均為待調節(jié)觀測器參數.

定理1.對線性擴張狀態(tài)觀測器(19)，當ε>0、α1、α2、α3為正數且多項式s3+α1s2+α2s+α3滿足Hurwitz，觀測誤差漸進收斂，即

證明. 考慮觀測器誤差向量如下：

ξ=[ξ1ξ2ξ3]T

(20)

其中

進一步可得

(21)

式(21)可改寫為觀測器誤差方程

(22)

(23)

(24)

根據上式可得

(λ+α1)λ2+α3+α2λ=λ3+α1λ2+α2λ+α3=0

(25)

利用線性擴張狀態(tài)觀測器(19)，將系統的“總擾動”定義為擴張階，并實時觀測系統包含“總擾動”在內的所有狀態(tài)，基于此觀測并補償“總擾動”，可利用線性反饋的方式設計控制器

(26)

其中，k1，k2為待調節(jié)線性反饋增益，qref為參考輸入信號.將控制器(26)代入系統模型(18)

(27)

進一步，得到系統的誤差方程

(28)

由定理1可知，觀測器的狀態(tài)能夠漸進收斂到系統的實際狀態(tài)，并完全觀測“總擾動”，即，對方程(28),僅需通過合適的反饋增益選取，可保證跟蹤誤差漸進收斂.

注2.線性擴張狀態(tài)觀測器(19)和線性反饋控制器(26)共同構成了線性自抗擾控制，觀測器和控制器的參數可以獨立調節(jié)，根據文[19]中的“帶寬法”，可將參數歸為觀測器和控制器的帶寬調節(jié)，僅需要調節(jié)2個參數矩陣，即兩者帶寬，來獲得需要的性能.

注3.除觀測器和控制器增益外，傳統的自抗擾控制仍需要調節(jié)控制增益b.一般地，自抗擾控制被認為是“無模型”控制策略，但是增益b難以調節(jié)，尤其針對MIMO系統，不同通路之間的增益不同，更有耦合現象難以處理.本文首先求取了連續(xù)體機器人的動力學模型，并盡可能利用模型信息，即利用了慣性矩陣作為控制增益矩陣b，與實際的誤差通過控制律彌補，既有效利用了模型信息，又減少了調參成本.

2.2 降階線性擴張狀態(tài)觀測器

線性自抗擾控制由于系統狀態(tài)初值和觀測器初值的差值，往往會在初始響應時造成過大的超調，即峰值現象.為解決峰值現象，平滑系統的初始響應，文獻[27]通過先投入ESO，等待峰值現象過后再投入控制，但是這延長了調節(jié)時間；文獻[28]采用自適應ε參數調節(jié)，但是沒有較好的調參指導；文獻[29]提出使用時變ESO增益，仍面臨調參問題；文獻[30]提出使用降維ESO，對二階系統，僅估計速度信號和“總擾動”，通過對觀測到的速度信號進行積分獲得位置信號，但這對于系統速度的觀測有要求，并會造成累計誤差.

圖5 控制框圖Fig.5 Block diagram

基于上述分析，本文提出降階線性擴張狀態(tài)觀測器，以直接利用系統可觀測的位置信號，僅估計速度信號和“總擾動”，平滑系統的初始響應，減少峰值現象的影響.圖5為基于降階線性擴張狀態(tài)觀測器的連續(xù)體機器人控制框圖.

對于觀測器(19)，可得降維形式

(29)

(30)

引入變量η2和η3，令

(31)

則式(30)可改寫為

(32)

進一步可得

(33)

其中，η2+qα1/ε為速度信號的估計，η3+qα2/ε2為“總擾動”的估計.

基于降階線性擴張狀態(tài)觀測器(32)的線性反饋控制器設計如下，將觀測器與參考信號的位置誤差替換為可觀測系統輸出與參考信號的誤差以提升初始響應性能.該觀測器收斂性證明與定理1證明思路一致，故不再證明.

(34)

3 數值實例

(35)

圖6和圖7分別為系統位置和速度跟蹤效果圖.結果表明，滑?？刂?sliding mode control, SMC)、LADRC和基于RLESO的LADRC均能實現連續(xù)體機器人的軌跡跟蹤任務，并能抑制內外擾動.但是SMC由于切換函數的存在，對抗大干擾需要較高的切換增益，會導致系統產生抖振現象，而這對于連續(xù)體機器人會加重其末端振動，引起控制器失效.

相較于LESO，RLESO有效處理了系統初始響應時的峰值問題，并減少了調節(jié)時間，更快跟蹤到目標軌跡.圖8為三種控制策略的控制輸入，可以發(fā)現，LADRC相較于SMC更能有效利用輸入資源，無輸入抖振現象.圖9為RLESO的“總擾動”估計誤差，由于系統存在強非線性，采用線性觀測器僅能保證估計誤差有界，但是結合線性反饋仍能有效完成軌跡跟蹤任務.

圖6 位置跟蹤Fig.6 Position tracking

圖7 速度跟蹤Fig.7 Speed tracking

以上仿真結果表明，對于含有內外不確定性的連續(xù)體機器人，采用基于降階線性擴張狀態(tài)觀測器的自抗擾控制能夠有效完成軌跡跟蹤任務，且響應速度快，跟蹤精度高，能處理系統初始響應時的峰值現象.

圖8 控制輸入Fig.8 Control input

圖9 “總擾動”觀測誤差Fig.9 Errors of the total disturbance observation

4 結 論

針對存在內外擾動等不確定性的連續(xù)體機器人的軌跡跟蹤問題，本文提出了一種基于線性降階擴張狀態(tài)觀測器的抗擾控制策略.首先通過提出一組改進的狀態(tài)參數，解決了連續(xù)體機器人在PCC假設下的運動奇異問題，并以此建立了一個近似模型來捕捉機器人的核心動力學特性.通過設計擴張狀態(tài)觀測器實時觀測并補償了包含內外擾動在內的“總擾動”，并進一步設計降階擴張狀態(tài)觀測器以提升初始響應性能，降低峰值現象.基于Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了其收斂性.設計仿真，綜合考慮系統的內部參數攝動和外部擾動，并將本文方法與滑模控制進行對比，結果表明，本文提出的方法跟蹤速度快，精度高，能有效抑制內外擾動，降低峰值問題影響.本文提出的方法結構簡單，實現成本低，為實現連續(xù)體機器人系統的工業(yè)應用提供了新的思路.