余 銀，周 彬，李銀波，劉永旭，吳啟星

(1.電子信息控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610036；2.北京跟蹤與通信技術(shù)研究所，北京 100094)

0 引 言

目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析(Target Motion Analysis，TMA)主要指利用無源探測方式，由一段時(shí)間的量測信息對(duì)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，包含對(duì)目標(biāo)位置、速度、加速度及高階運(yùn)動(dòng)信息的估計(jì)[1-3]。目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析可觀測性是指目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)估計(jì)的唯一性[4]?？捎^測性是對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析的前提，但目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析多為非線性系統(tǒng)問題。非線性系統(tǒng)可觀測性分析涉及求解高階非線性微分方程，較難直接應(yīng)用于目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析的可觀測性判別。因此，確定可觀測性及獲取可觀測條件是目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析的難點(diǎn)之一。

目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析的可觀測性與量測信息息息相關(guān)。單站由于其具有系統(tǒng)簡單、適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)受到了青睞[5-6]，但與多站相比可測性較差，所以對(duì)單站目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析的可觀測性研究顯得尤為重要。僅測角單站目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析是最簡單、最經(jīng)典的方法，至今已有大量文獻(xiàn)對(duì)該方法進(jìn)行了研究，并采用不同方法對(duì)其可觀測性進(jìn)行了深入分析[1,3,7-12]。僅測角的可觀測性要求觀測站運(yùn)動(dòng)階數(shù)高于目標(biāo)運(yùn)動(dòng)階數(shù)。隨后，研究者們致力于引入其他量測信息來改善可觀測性。例如，較早期的引入頻率[4,13]，以及后來的引入徑向加速度[14]、角度變化率[15]、相位差變化率[16]、到達(dá)時(shí)間[5,13]、頻率變化率[1,16]等。

文獻(xiàn)[9,17]對(duì)現(xiàn)有單站可觀測性分析方法進(jìn)行了總結(jié)，后者將單站可觀測性分析方法歸納為幾何方法、代數(shù)方程方法和線性系統(tǒng)方法三類。文獻(xiàn)[2-3]將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)，利用可觀測矩陣進(jìn)行分析。但該方法涉及求解高階微分方程，難以用于高階運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)[5,7,15]對(duì)非線性系統(tǒng)泰勒近似和離散化，通過離散系統(tǒng)的可觀測矩陣進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[8,10-12]將非線性量測方程轉(zhuǎn)換為偽線性量測方程，并基于可觀測條件的泛函等式進(jìn)行了分析，避免了求解高階微分方程。該方法在文獻(xiàn)[17]中歸為線性系統(tǒng)法。文獻(xiàn)[4,18]提出了一種相容軌跡的方法分析目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析可觀測性條件。該方法在文獻(xiàn)[17]中歸為代數(shù)方程法。后兩種方法適用性廣，且無近似處理，可獲得可觀測性充要條件。

“角度+頻率變化率”的單站體制基于運(yùn)動(dòng)學(xué)原理，理論完備，不需要已知頻率，動(dòng)態(tài)性能好，近年來受到了廣泛關(guān)注[1,19]。頻率變化率為高階微分量，與基于角度、頻率、到達(dá)時(shí)間等信息的可觀測性分析相比難度更大，同時(shí)相關(guān)研究還非常少。本文采用相容軌跡和系統(tǒng)可觀測性理論兩種方法分別從定性和定量的角度對(duì)“角度+頻率變化率”的可觀測性進(jìn)行分析，給出可觀測性的充要條件，為目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析提供理論支撐。

1 問題描述

如圖1所示，目標(biāo)沿著軌跡rT(t)=[xT(t),yT(t),zT(t)]T運(yùn)動(dòng)，觀測站沿著rO(t)=[xO(t),yO(t),zO(t)]T(通常已知)運(yùn)動(dòng)，r(t)=rT(t)-rO(t)=[x(t),y(t),z(t)]T是目標(biāo)T相對(duì)于觀測站O的軌跡，t表示時(shí)間。

圖1 觀測站、目標(biāo)相對(duì)關(guān)系示意圖

觀測站接收目標(biāo)輻射的信號(hào)，并從信號(hào)中提取量測信息，對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)r(t)進(jìn)行估計(jì)。如果通過[t0,tf]內(nèi)的量測信息能唯一確定[t0,tf]內(nèi)的r(t)，則是可觀測的。本文考慮的量測信息包括方位角α(t)、俯仰角β(t)、頻率變化率ν(t)下的可觀測性分析。根據(jù)多普勒效應(yīng)，ν(t)滿足

(1)

2 基于相容軌跡法的可觀測性定性分析

2.1 任意目標(biāo)運(yùn)動(dòng)下的可觀測性

定義1 給定一組量測量{z(t)|t∈[t0,tf]}，若存在多個(gè)不同的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡均滿足這組量測量，則稱這些軌跡在該組觀測量下是相容的。

目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析可觀測，當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)真實(shí)軌跡的相容軌跡是自身。

定理1 任意目標(biāo)運(yùn)動(dòng)下，給定一組“角度+頻率變化率”量測信息，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡的相容軌跡不唯一。

r′(t)=γ(t)r(t) 。

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：M(t)為正交矩陣，?t∈[t0,tf]。

在{α(t),β(t),ν(t)}量測量下，相容軌跡是式(2)和式(5)的交集，即

(6)

且

(7)

因此，任意目標(biāo)運(yùn)動(dòng)下，總是存在不唯一的相容軌跡，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析不可觀測。

2.2 有限階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)下的可觀測性

本節(jié)討論有限階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)下的可觀測性問題。有限階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)是指目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡可表示為有限階多項(xiàng)式。具體地，若目標(biāo)為N階運(yùn)動(dòng)，則滿足dNrT(t)/dtN=0，積分可得

rT(t)=a0+a1(t-t0)+a2(t-t0)2+…+aN(t-t0)N?At。

(8)

定理2 有限階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)下，給定“角度+頻率變化率”量測信息，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡不存在相容軌跡當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)與觀測站間存在非徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

證明:式(6)可重新整理為

(9)

其次，考慮目標(biāo)與觀測站間存在非徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)的情況。由式(9)可得

(10)

因此，有限階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)下，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析是可觀測的充要條件是目標(biāo)與觀測站間存在非徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

3 基于系統(tǒng)可觀測性理論的可觀測性定量分析

本節(jié)采用系統(tǒng)可觀測性理論對(duì)“角度+頻率變化率”的可觀測性進(jìn)行定量分析。首先分析一階運(yùn)動(dòng)下的可觀測性，然后推廣到任意有限階的情況。

3.1 系統(tǒng)可觀測性理論

考慮一般的線性時(shí)變系統(tǒng)：

(11)

式中：x是狀態(tài)向量，u是輸入向量，z是量測向量，A是狀態(tài)矩陣，B是輸入矩陣，C是量測矩陣。

系統(tǒng)(11)在[t0,tf]上是完全狀態(tài)可觀測的是指?x(t0)在u(t)和z(t)已知的情況下，x(t0)可唯一確定。

根據(jù)線性系統(tǒng)理論，系統(tǒng)(11)在[t0,tf]上可觀測當(dāng)且僅當(dāng)可觀測性矩陣O(t,t0)是正定的，其中

式中：Φ(t,t0)稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，滿足?Φ(t,t0)/?t=A(t)Φ(t,t0)且Φ(t0,t0)=I。

上述可觀測性條件可進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為引理1[12]。

引理1 系統(tǒng)(11)在[t0,tf]上可觀測當(dāng)且僅當(dāng){?t∈[t0,tf],C(t)Φ(t,t0)y=0}?{y=0}成立。

3.2 目標(biāo)常速運(yùn)動(dòng)下的可觀測性

(12)

經(jīng)過計(jì)算可得系統(tǒng)(12)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

(13)

角度量測量α(t)、β(t)可表示為

(14)

(15)

定理3 考慮目標(biāo)常速運(yùn)動(dòng)方程(12)和量測方程(14)和(15)，其可觀測當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)與觀測站在[t0,tf]存在非徑向運(yùn)動(dòng)時(shí)。

證明：式(14)經(jīng)整理可轉(zhuǎn)換為偽線性形式：

(16)

此外，考慮到r=xcosβcosα+ycosβsinα+zsinβ，對(duì)式(15)進(jìn)行整理可得

(17)

zcv(t)=Ccv(t)x(t) 。

(18)

(19)

Ccv(t)Φ(t,t0)a=T1Q[a0+(t-t0)a1]。

(20)

針對(duì)C(t)Φ(t,t0)a=0，?t∈[t0,tf]分兩種情況進(jìn)行討論。

(1)目標(biāo)相對(duì)觀測站徑向運(yùn)動(dòng)

(2)目標(biāo)相對(duì)觀測站存在非徑向運(yùn)動(dòng)

3.3 有限階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)下的可觀測性

在常速運(yùn)動(dòng)可觀測性分析的基礎(chǔ)上，本節(jié)進(jìn)一步拓展到有限階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)下的可觀測性分析。

N階運(yùn)動(dòng)目標(biāo)滿足dNrT(t)/dtN=0。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

(21)

定理4 考慮N階運(yùn)動(dòng)目標(biāo)(21)和量測方程和(15)，其可觀測當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)與觀測站在[t0,tf]存在非徑向運(yùn)動(dòng)時(shí)。

zN(t)=CN(t)x(t)。

(22)

(23)

類似目標(biāo)常速運(yùn)動(dòng)，針對(duì)C(t)Φ(t,t0)a=0，?t∈[t0,tf]分兩種情況討論。

(1)目標(biāo)相對(duì)觀測站徑向運(yùn)動(dòng)

(2)目標(biāo)相對(duì)觀測站存在非徑向運(yùn)動(dòng)

因此，基于系統(tǒng)可觀測性理論，可得出角度和頻率變化率量測下目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析的可觀測性充要條件是目標(biāo)與觀測站間存在非徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)，與前一種方法結(jié)論一致。

4 仿真分析

本節(jié)分別從相容軌跡和目標(biāo)跟蹤進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證前面的結(jié)論。前者對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)階數(shù)無限制；后者考慮有限階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)，建立有限階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型，利用擴(kuò)展卡爾曼濾波[20]進(jìn)行目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析，獲取目標(biāo)航跡。

4.1 相容軌跡仿真

如圖2中實(shí)線所示，觀測站處于(0,0)km位置，目標(biāo)從距離觀測站80 km、方位角165°出發(fā)，沿x方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)。

圖2 相容軌跡計(jì)算結(jié)果

圖2中虛線分別是由距離觀測站65 km、70 km、90 km、100 km、110 km不同的起始位置，按照與目標(biāo)實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡在任意時(shí)刻具有相同的方位角和相等的距離二階變化率計(jì)算獲得的，也即這些虛線都是目標(biāo)實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡的相容軌跡。

由此可知，相容軌跡不是目標(biāo)實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡本身，且存在多條不同的相同軌跡。實(shí)際上，任意不同距離的起始位置均可產(chǎn)生一條相容軌跡，即存在無窮多相容軌跡，也即目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析不可觀測。

4.2 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析仿真

本節(jié)利用有限階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析，獲取目標(biāo)的航跡?？紤]目標(biāo)與觀測站徑向運(yùn)動(dòng)和目標(biāo)與觀測站非徑向運(yùn)動(dòng)兩種情況。

徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)：觀測站位于(0,0,3)km位置，目標(biāo)從坐標(biāo)為(-4,0,3)km的位置沿x方向以200 km/h的速度勻速運(yùn)動(dòng)。目標(biāo)發(fā)射的信號(hào)載頻為8 GHz。

非徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)：觀測站位于(0,0,0)km位置，目標(biāo)從坐標(biāo)為(-4,1,3)km的位置沿x方向以200 km/h的速度勻速運(yùn)動(dòng)。目標(biāo)發(fā)射的信號(hào)載頻為8 GHz。

建立常速模型，利用擴(kuò)展卡爾曼濾波分別對(duì)兩種情況下的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析進(jìn)行仿真。方位角和俯仰角測量誤差均為0.5°，頻率變換率測量精度5 Hz/s。觀測時(shí)長為144 s，進(jìn)行100次蒙特卡洛仿真。

圖3和圖4分別給出了兩種情況下的位置估計(jì)誤差曲線。由圖3可知，徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)下位置估計(jì)誤差曲線發(fā)散，而圖4中非徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)下的位置估計(jì)誤差可收斂到較小值，由此驗(yàn)證了前面的理論分析結(jié)論。

圖3 徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)下的位置估計(jì)誤差曲線

圖4 非徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)下的位置估計(jì)誤差曲線

5 結(jié) 論

可觀測性是進(jìn)行目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析的前提。本文采用相容軌跡法和系統(tǒng)可觀測性理論分別從定性和定量角度討論了角度和頻率變化率量測下目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析可觀測性問題。對(duì)于有限階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)，可觀測性的充要條件是目標(biāo)與觀測站存在非徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)。仿真分析驗(yàn)證了本文的理論結(jié)果。