胡心玲，曹晨光，梁文川

（中國(guó)石化江漢油田分公司勘探開發(fā)研究院，湖北 武漢 430223）

傳統(tǒng)的歐式幾何維數(shù)表征的都是經(jīng)過高度抽象化的幾何體或規(guī)則的幾何體，它們的維數(shù)為整數(shù)。實(shí)際上，大自然的物體都具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)，并且每部分都能用整體縮小后的近似形狀表示，這種性質(zhì)叫作自相似性，其核心是分形幾何。分形幾何學(xué)可用簡(jiǎn)單的迭代繁衍出極其復(fù)雜的自然現(xiàn)象［1］。Pfeifer等［2］最早采用分子吸附法指出儲(chǔ)層巖石孔隙結(jié)構(gòu)具有分形特征；后來Katz等［3］用掃描電鏡觀測(cè)巖心斷面，從而進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)儲(chǔ)層巖石具有良好的分形特征；賀承祖等［4］提出儲(chǔ)層巖石在0.2～50.0μm的孔隙尺寸范圍內(nèi)具有良好的分形特征。現(xiàn)如今，分形幾何法在各行各業(yè)（包括石油工業(yè)）的應(yīng)用中，已經(jīng)取得了豐碩成果，顯示出了廣闊的前應(yīng)用前景。

由于稠油復(fù)含膠質(zhì)與瀝青質(zhì)等高分子有機(jī)物，且膠質(zhì)瀝青質(zhì)常以固態(tài)或膠體方式存在［5］，使得稠油具有很強(qiáng)的結(jié)構(gòu)性，易在孔道內(nèi)形成邊界層；同時(shí)，由于流體邊界層性質(zhì)異常，邊界流體與體相流體之間存在表面作用力［6］。稠油流體這種較強(qiáng)的黏彈性［7］，以及在滲流過程中流體間的表面作用力，導(dǎo)致了稠油的非線性滲流特征與低滲透油藏中的邊界層非線性滲流特征既有相同點(diǎn)又有差異。

早在1960年，前蘇聯(lián)學(xué)者就提出了稠油的非牛頓性，隨后很多專家也指出稠油具有啟動(dòng)壓力的現(xiàn)象［8-9］。前人對(duì)啟動(dòng)壓力梯度的研究?jī)?nèi)容主要包括啟動(dòng)壓力梯度產(chǎn)生的機(jī)理、實(shí)驗(yàn)測(cè)定、數(shù)值模擬，以及利用現(xiàn)場(chǎng)試井?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行啟動(dòng)壓力梯度的相關(guān)分析［10］。本文基于多孔介質(zhì)的分形特征，通過建立滲流過程中的力學(xué)平衡方程，推導(dǎo)了稠油的擬啟動(dòng)壓力梯度數(shù)學(xué)模型，并通過對(duì)模型各部分進(jìn)行剖析，探討了稠油啟動(dòng)壓力梯度的產(chǎn)生機(jī)理及影響因素。

1 模型建立

孔隙結(jié)構(gòu)的分形幾何理論可以較好地描述復(fù)雜的、不規(guī)則的現(xiàn)象和過程［11］。本文假設(shè)儲(chǔ)層內(nèi)孔隙之間相互連通形成彎曲通道，因此可將儲(chǔ)層巖心看作是不等徑的彎曲毛細(xì)管束模型，毛細(xì)管半徑分布滿足分形規(guī)律［12］。

1.1 孔喉的分形特征

根據(jù)分形理論，對(duì)于多孔介質(zhì)，孔隙數(shù)目N（）r滿足式（1）的冪律關(guān)系［13］，則稱多孔介質(zhì)的微觀孔隙結(jié)構(gòu)具有分形特征。

式中：r為孔隙半徑，μm；rmax為最大孔隙半徑，μm；Df為孔喉半徑分形維數(shù)，1＜Df＜2。

將式（1）對(duì)r進(jìn)行微分，得到［r，r+d r］區(qū)間內(nèi)的孔隙數(shù)目：

-d N＞0，表明孔隙數(shù)目隨著孔隙半徑的增大而減少。Df的表達(dá)式［14］為

式中：dE為歐式幾何空間維數(shù)，二維空間的維數(shù)為2；φ為孔隙度；rmin為最小孔隙半徑，μm。

Df隨著φ的增大而增大。當(dāng)φ趨近于1時(shí)，Df接近最大值2，這一結(jié)果與事實(shí)相符；如果φ=1，意味著整個(gè)平面完全被孔隙充滿，Df就是2。

儲(chǔ)層內(nèi)相互連通的孔喉形成彎曲通道，因此流體在儲(chǔ)層中的流動(dòng)也不可能是完全的直線。這種彎曲通道滿足分形冪律關(guān)系［15］：

式中：Lt為流動(dòng)路徑的實(shí)際長(zhǎng)度，cm；DT為迂曲度分形維數(shù)，表示流體在儲(chǔ)層中流動(dòng)路徑的彎曲程度；L0為毛細(xì)管的特征長(zhǎng)度，cm。

Lt與r有關(guān)，r越大，Lt越小，即半徑越大的毛細(xì)管，彎曲程度越小，與事實(shí)相符。

Yu［16］給出了多孔介質(zhì)中DT的表達(dá)式：

式中：τ為彎曲通道的迂曲度；rav為平均毛細(xì)管半徑，μm。

在假定多孔介質(zhì)有些顆粒是重疊的、有些顆粒是不重疊的基礎(chǔ)上，Yu等［16-17］給出了迂曲度的表達(dá)式：

將式（6）—（8）代入式（5）即可求得毛細(xì)管迂曲度分形維數(shù)。

1.2 稠油啟動(dòng)壓力梯度的分形模型

對(duì)在單根彎曲毛細(xì)管中處于流動(dòng)狀態(tài)的稠油進(jìn)行受力分析。毛細(xì)管兩端驅(qū)動(dòng)力為動(dòng)力，同時(shí)受稠油黏彈性的影響，存在內(nèi)摩擦力；由于稠油中極性物質(zhì)在巖石表面的吸附形成邊界層，邊界層流體與體相流體及孔隙之間還存在著表面力。鄧英爾等［18］通過理論與實(shí)驗(yàn)分析相結(jié)合得到表面力的合力F，即界面分子力勢(shì)。F與多孔介質(zhì)孔隙半徑之間的關(guān)系為

根據(jù)力學(xué)平衡關(guān)系，得到滲流平衡方程：

式中：Δp為毛細(xì)管兩端壓差，Pa；τ0為極限剪切應(yīng)力，Pa；μ為流體黏度，mPa·s；v為流體滲流速度，μm/s。

引入比例常量η表征界面分子力勢(shì)［5］，則式（10）可以表征為

將式（4）代入式（11）后對(duì)式（11）進(jìn)行分離變量，積分可得：

考慮稠油具有很強(qiáng)的結(jié)構(gòu)性，易在孔道內(nèi)形成邊界層［19］，根據(jù)殘余油飽和度體積公式，可得邊界層油膜厚度δ：

式中：Sor為殘余油飽和度。

單根毛細(xì)管內(nèi)流體的體積流量q為

將稠油流體在儲(chǔ)層多孔介質(zhì)中的流動(dòng)假設(shè)為在孔徑按分形分布的彎曲毛細(xì)管束中的流動(dòng)，則在整個(gè)巖心孔隙范圍內(nèi)，通過巖心某一截面的流體總流量Q為

式（16）即為稠油流體在毛細(xì)管束模型中非線性滲流的數(shù)學(xué)模型。令Q=0，可得賓漢姆流體擬啟動(dòng)壓力梯度分形表達(dá)式：

式中：λ為稠油的擬啟動(dòng)壓力梯度，MPa/m；λ1，λ2分別為表面力、極限剪切應(yīng)力對(duì)稠油擬啟動(dòng)壓力梯度的貢獻(xiàn)，MPa/m。

從式（17）可以看出，在研究稠油擬啟動(dòng)壓力過程中，邊界層、流體屈服應(yīng)力及表面力不可忽略。

2 稠油啟動(dòng)壓力梯度實(shí)驗(yàn)

2.1 巖心孔喉結(jié)構(gòu)

選取八面河油田南區(qū)12塊巖心進(jìn)行孔喉結(jié)構(gòu)研究。根據(jù)巖心壓汞實(shí)驗(yàn)得到巖心孔喉結(jié)構(gòu)參數(shù)，最小孔隙半徑由最大壓汞壓力確定，本文實(shí)驗(yàn)最大壓汞壓力為100 MPa，計(jì)算得最小孔隙半徑為0.007μm，利用分形理論計(jì)算該區(qū)塊巖心的分形維數(shù)如表1所示。從區(qū)塊儲(chǔ)層巖心的孔喉尺寸可以看出,本區(qū)儲(chǔ)層巖心大都具有良好的分形特征。巖心孔喉半徑分形維數(shù)主要介于1.82～1.86，迂曲度分形維數(shù)主要介于1.08～1.10，不同孔隙度、滲透率巖心的分形維數(shù)差值較小，因此本區(qū)塊儲(chǔ)層巖心孔喉半徑分布不均，迂曲度分布較規(guī)則，毛細(xì)管束模型接近直毛細(xì)管。

表1 八面河稠油油藏巖心分形維數(shù)計(jì)算結(jié)果

2.2 流體流變性

原油黏度大小反映流體在滲流過程中的內(nèi)摩擦力及表面力大小。對(duì)目標(biāo)油藏4種不同油樣進(jìn)行流變性測(cè)定可知，1，2，3，4號(hào)油樣的塑性黏度分別為475，1 219，1 632，2 604 mPa·s，在研究區(qū)塊稠油黏度范圍內(nèi)。實(shí)驗(yàn)采用Brookfield DV-2T黏度計(jì)及配套的Thermose電子數(shù)控加熱裝置，60℃下測(cè)得的原油黏度隨剪切速率變化情況見圖1。從圖中可以看出：剪切速率增大，原油黏度降低，但當(dāng)剪切速率達(dá)到一定程度后，原油黏度趨于穩(wěn)定。

圖1 原油黏度與剪切速率的關(guān)系

為了得到較準(zhǔn)確的流體極限剪切應(yīng)力，選取低剪切速率下的曲線進(jìn)行擬合，得到剪切應(yīng)力隨剪切速率變化關(guān)系（見圖2）。各油樣在同一溫度下，剪切速率與剪切應(yīng)力的關(guān)系為不過原點(diǎn)的曲線，表現(xiàn)出賓漢姆流體特征。根據(jù)賓漢姆流體的本構(gòu)方程τ=τ0+μd v/d r，得到1—4號(hào)樣品的極限剪切應(yīng)力分別為0.55，1.04，1.77，1.96 Pa，原油黏度低，曲線斜率小，隨著原油黏度增大，曲線斜率加大。

圖2 流變測(cè)試曲線

2.3 稠油啟動(dòng)壓力梯度

根據(jù)目標(biāo)油藏滲透率與黏度范圍，選取與目標(biāo)油藏滲透率（K）級(jí)別相同的20塊巖心。油樣采用模擬地層原油（根據(jù)地層資料在實(shí)驗(yàn)室將現(xiàn)場(chǎng)井口落地油樣與航空煤油復(fù)配而成，黏度在研究區(qū)塊油藏黏度范圍內(nèi)）。水樣根據(jù)目標(biāo)油藏地層水礦化度（27 000 mg/L）配制標(biāo)準(zhǔn)鹽水。

對(duì)不同滲透率巖心開展不同黏度原油單相驅(qū)替實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)過程中先以泵的最小流量（0.001 mL/min）用模擬油驅(qū)替巖心，記錄出口端流體剛開始流動(dòng)時(shí)在毛細(xì)管內(nèi)到達(dá)的高度，計(jì)算得到的壓力即為真實(shí)啟動(dòng)壓力；后分別以0.003，0.005，0.010，0.030，0.050，0.070，0.100，0.300，0.500 mL/min的流量驅(qū)替巖心至壓力穩(wěn)定，記錄不同流量下的穩(wěn)定壓差；最后根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制流量與壓力梯度關(guān)系曲線，曲線直線段的延長(zhǎng)線在壓力梯度坐標(biāo)上的截距即為巖心擬啟動(dòng)壓力梯度值。具體實(shí)驗(yàn)流程如圖3所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4、圖5所示。

圖3 單相流體滲流實(shí)驗(yàn)流程

普通稠油油藏普遍存在啟動(dòng)壓力梯度，不同滲透率巖心、不同黏度油樣對(duì)應(yīng)的真實(shí)啟動(dòng)壓力梯度及擬啟動(dòng)壓力梯度大小都不相同，中高滲區(qū)塊稠油的啟動(dòng)壓力梯度普遍較小，實(shí)驗(yàn)得到真實(shí)啟動(dòng)壓力梯度小于0.02 MPa/m，擬啟動(dòng)壓力梯度小于10 MPa/m。從圖4可以看出：擬啟動(dòng)壓力梯度與原油黏度之間的關(guān)系為一條不過原點(diǎn)的直線，相同滲透率條件下，擬啟動(dòng)壓力梯度隨黏度上升而增加。從圖5可以看出：擬啟動(dòng)壓力梯度與滲透率呈較好的冪函數(shù)關(guān)系，在相同的原油黏度條件下，擬啟動(dòng)壓力梯度隨滲透率的增加而降低，且隨著滲透率的增大，擬啟動(dòng)壓力梯度迅速下降；當(dāng)滲透率達(dá)到600×10-3μm2后，隨著滲透率的進(jìn)一步增大，擬啟動(dòng)壓力梯度下降幅趨于平緩。

圖4 擬啟動(dòng)壓力梯度與原油黏度的關(guān)系（滲透率為650×10-3μm2）

圖5 不同原油黏度下擬啟動(dòng)壓力梯度與滲透率的關(guān)系

3 模型實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文擬啟動(dòng)壓力梯度數(shù)學(xué)模型主要與孔喉結(jié)構(gòu)參數(shù)、邊界層厚度（由殘余油飽和度表示）、極限剪切應(yīng)力、表面力等參數(shù)相關(guān)。孔喉結(jié)構(gòu)參數(shù)可由壓汞曲線及分形理論計(jì)算得到；殘余油飽和度可由驅(qū)替實(shí)驗(yàn)得到，平均殘余油飽和度為12%；極限剪切應(yīng)力可由流變性實(shí)驗(yàn)得到。圖6為原油黏度1 218.3 mPa·s時(shí)，不同滲透率巖心的實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果與模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比曲線。由圖可知，新的擬啟動(dòng)壓力梯度公式計(jì)算的理論曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較吻合，說明公式能較真實(shí)地反映實(shí)際油藏稠油啟動(dòng)壓力梯度各影響因素的物理意義。

圖6 擬啟動(dòng)壓力梯度計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

實(shí)驗(yàn)結(jié)果與本文公式都同時(shí)驗(yàn)證了稠油擬啟動(dòng)壓力梯度不僅與儲(chǔ)層巖心孔喉結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)，還受流體的賓漢姆特征和邊界層的綜合影響。基于這一認(rèn)識(shí)，分析擬啟動(dòng)壓力梯度與極限剪切應(yīng)力、殘余油飽和度的關(guān)系，結(jié)果見圖7。由圖可知：殘余油飽和度增加，表明邊界層油膜厚度增加，導(dǎo)致孔隙中體相流體減少，擬啟動(dòng)壓力梯度增大；極限剪切應(yīng)力增加，表明流體黏滯阻力增加，導(dǎo)致擬啟動(dòng)壓力梯度增大。

圖7 擬啟動(dòng)壓力梯度與極限剪切應(yīng)力、殘余油飽和度的關(guān)系

進(jìn)一步分析擬啟動(dòng)壓力梯度與流度的關(guān)系（見圖8）可以看出：擬啟動(dòng)壓力梯度與流度之間呈冪函數(shù)關(guān)系，且相關(guān)系數(shù)較高；流度較小時(shí)，流度增加，擬啟動(dòng)壓力梯度下降較快，流度繼續(xù)增加，擬啟動(dòng)壓力梯度下降幅度減緩，臨界流度在0.3×10-3μm2/（mPa·s）左右。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析認(rèn)為：流度減小時(shí)，邊界層加厚，導(dǎo)致孔隙中體相流體減少，同時(shí)流體黏滯阻力增加，擬啟動(dòng)壓力梯度增大?，F(xiàn)場(chǎng)可通過提高流度來降低原油的啟動(dòng)壓力梯度，提高原油的流動(dòng)能力，從而達(dá)到提高產(chǎn)量的目的。

圖8 擬啟動(dòng)壓力梯度隨流度變化的計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)論

1）普通稠油油藏非線性滲流特征區(qū)別于低滲透儲(chǔ)層的機(jī)理為稠油在滲流過程中受邊界層、黏滯阻力及表面力的影響較大，不可忽略。

2）本文建立了充分考慮孔喉結(jié)構(gòu)、流體結(jié)構(gòu)性、表面力影響的稠油流體擬啟動(dòng)壓力梯度模型。該模型由于考慮了儲(chǔ)層微觀孔喉結(jié)構(gòu)對(duì)稠油擬啟動(dòng)壓力梯度的影響，使得稠油的非線性滲流機(jī)理更清晰，物理意義更明確。

3）通過巖心實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性，進(jìn)一步研究得到擬啟動(dòng)壓力梯度與殘余油飽和度正相關(guān)，與流度呈冪函數(shù)關(guān)系，即邊界層油膜厚度越小、流度越大時(shí)，擬啟動(dòng)壓力梯度越小。