劉建，喬蘭，李慶文，趙國彥

(1.北京科技大學(xué)土木與資源工程學(xué)院，北京，100083；2.中南大學(xué)資源與安全工程學(xué)院，湖南長沙，410083)

巖石內(nèi)部包含大量的節(jié)理、裂隙和孔洞等缺陷。在外部載荷作用下，這些缺陷的擴(kuò)展及貫通是巖體工程失穩(wěn)的主要內(nèi)因。相對于純I型斷裂和純II型斷裂，巖石類脆性材料經(jīng)常發(fā)生I/II復(fù)合型斷裂。為預(yù)測復(fù)合型裂紋的起裂方向及擴(kuò)展條件，國內(nèi)外學(xué)者從不同角度建立了相應(yīng)的斷裂準(zhǔn)則。其中，三大經(jīng)典的斷裂準(zhǔn)則包括最大周向應(yīng)力(the maximum tangential stress，MTS)準(zhǔn)則[1]、最小應(yīng)變能密度因子(the minimum strain energy density，SED)準(zhǔn)則[2]和最大能量釋放率(the maximum energy release rate，MERR)準(zhǔn)則[3]。此外，KAUNG[4]又提出基于應(yīng)變的最大周向應(yīng)變(maximum tangential strain，MTSN)準(zhǔn)則。但是，上述傳統(tǒng)斷裂準(zhǔn)則的預(yù)測結(jié)果與巖石類脆性及準(zhǔn)脆性材料的斷裂試驗(yàn)結(jié)果存在較大偏差，這是由于傳統(tǒng)斷裂準(zhǔn)則僅考慮Williams應(yīng)力展開式中的奇異項(xiàng)，忽略常數(shù)項(xiàng)及O(r1/2)高階項(xiàng)[5-8]。大量研究表明，裂紋尖端應(yīng)力場展開式中的常數(shù)項(xiàng)(T應(yīng)力)對裂紋的擴(kuò)展同樣具有重要影響，這與臨界裂紋(又稱為斷裂過程區(qū)，即fracture process zone，簡稱FPZ)的尺寸Rc有關(guān)，Rc越大，非奇異應(yīng)力項(xiàng)的影響也就越大[9-10]。巖石類材料的臨界裂紋尺寸相對于其他材料而言更大，例如Harsin大理巖的Rc為3.00 mm[11]，福建花崗巖的Rc為1.54 mm[12]，集寧銹巖的Rc為3.20 mm[13]，而普通鈉鈣玻璃的Rc為0.23 mm[14]，有機(jī)玻璃(PMMA)材料的Rc小于0.10 mm[15]，因此，有必要考慮T應(yīng)力對裂紋擴(kuò)展的影響。此外，經(jīng)典的最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則及最大能量釋放率準(zhǔn)則認(rèn)為材料破裂與材料參數(shù)(泊松比)無關(guān)，且與平面問題的平面應(yīng)力及平面應(yīng)變條件無關(guān)[9]。

為此，SMITH 等[16]提出了考慮T應(yīng)力的廣義最大周向應(yīng)力(generalized maximum tangential stress，GMTS)準(zhǔn)則，ALIHA 等[11-14]依托大量準(zhǔn)脆性材料的I/II復(fù)合型斷裂試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了該準(zhǔn)則的有效性；AYATOLLAHI 等[15]及MOGHADDAM等[17]分別提出了考慮T應(yīng)力的廣義最小應(yīng)變能密度因子(generalized strain energy density，GSED)準(zhǔn)則和廣義平均最小應(yīng)變能密度因子(generalized averaged strain energy density，GASED) 準(zhǔn)則；MIRSAYAR 等[18]提出了擴(kuò)展的最大周向應(yīng)變(extended maximum tangential strain，EMTSN)準(zhǔn)則；HOU 等[19]提出了考慮T應(yīng)力的廣義最大能量釋放率(generalized maximum energy release rate，GMERR)準(zhǔn)則并對其有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。KOO等[20]提出了最大切向應(yīng)變能密度因子(maximum tangential strain energy density，MTSED)準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則假定當(dāng)裂紋尖端某一方向的最大切向應(yīng)變能密度達(dá)到臨界值時(shí)，裂紋開始沿該方向擴(kuò)展。近來，AYATOLLAHI 等[21]提出了針對I/II/III 復(fù)合型裂紋的MTSED 準(zhǔn)則，但其仍未考慮T應(yīng)力的影響。

本文首先推導(dǎo)了考慮T應(yīng)力的I/II 型裂紋廣義最大切向應(yīng)變能密度(the generalized maximum tangential strain energy density，GMTSED)斷裂準(zhǔn)則；然后，基于中心直裂紋巴西圓盤(the centrally cracked Brazilian disc，CCBD)復(fù)合斷裂試驗(yàn)結(jié)果對該準(zhǔn)則的有效性進(jìn)行驗(yàn)證；最后，與上述傳統(tǒng)及修正的斷裂準(zhǔn)則進(jìn)行對比分析。

1 考慮T應(yīng)力的MTSED準(zhǔn)則

考慮T應(yīng)力的裂紋尖端應(yīng)力場展開式為

其中：

r和θ為裂紋尖端極坐標(biāo)，如圖1所示；σrr，σθθ和σrθ分別為徑向應(yīng)力、周向應(yīng)力及剪應(yīng)力；KI和KII分別為I 型和II 型應(yīng)力強(qiáng)度因子；T表示應(yīng)力；O(r1/2)表示高階項(xiàng)。

根據(jù)Hooke定律，裂紋尖端周向應(yīng)變?yōu)?/p>

式中：εθθ為周向應(yīng)變；E和v分別為彈性模量及泊松比；k為材料常數(shù)，對于平面應(yīng)力情況，k=1/(1+v)，而對于平面應(yīng)變，k=1-v。則裂紋尖端切向應(yīng)變能密度因子S為

其中：

式中：G為剪切模量；a為半裂紋長度；B和α為量綱一參數(shù)；Keff為有效應(yīng)力強(qiáng)度因子。根據(jù)MTSED 準(zhǔn)則[20]，裂紋起始擴(kuò)展方向θ0可由下式確定：

將式(4)代入式(7)得到

其中：

隨外部載荷增加，當(dāng)沿θ0方向且距離裂紋尖端Rc處切向應(yīng)變能密度因子達(dá)到臨界值Scr時(shí)，裂紋開始擴(kuò)展，即起始擴(kuò)展條件為

式中：Scr與Rc均為表征材料屬性的參數(shù)。對于純I型斷裂，將式(4)代入式(10)，并且注意到KII=0，θ0=0，r=Rc，則

式中：KIc為材料的I型斷裂韌度。將式(4)及(11)代入式(10)，則起始擴(kuò)展條件變?yōu)?/p>

至此，GMTSED 準(zhǔn)則的起始擴(kuò)展方向及起始擴(kuò)展條件均已確定。在式(4)中，若令T=0，則GMTSED準(zhǔn)則退化為MTSED準(zhǔn)則。此外，通過式(3)可見，若令泊松比v=0，則GMTSED 準(zhǔn)則變?yōu)镚MTS 準(zhǔn)則，即可以將GMTS 準(zhǔn)則視為GMTSED準(zhǔn)則在v=0時(shí)的一種特殊形式。

2 中心直裂紋巴西圓盤的斷裂參數(shù)

圖2所示為中心直裂紋巴西圓盤加載示意圖。中心直裂紋巴西圓盤的I 型、II 型應(yīng)力強(qiáng)度因子及T應(yīng)力具有如下形式：

式中：P為施加的外部載荷；R為圓盤半徑；W為圓盤厚度；ρ=a/R，為裂紋的相對長度；YI，YII及T*為幾何參數(shù)。DONG等[22-23]分別運(yùn)用權(quán)函數(shù)方法推導(dǎo)了不同β(裂紋面與加載方向的夾角)下YI，YII及T*的解析解：

式中：f1i，f2i及gi為與ρ相關(guān)的參數(shù)；A1i，A2i及A3i為與β相關(guān)的參數(shù)(i=1，2，3，…，n)，具體形式參見文獻(xiàn)[22-23]。HUA 等[23]指出當(dāng)n取100 時(shí)，YI，YII及T*的計(jì)算結(jié)果已非常精確，因此，本文的所有計(jì)算中，項(xiàng)數(shù)n均取100。此外，對于CCBD試樣，DONG[24]建議ρ取0.4～0.6。

圖3所示為不同加載角度β下，幾何參數(shù)YI，YII及T*的計(jì)算結(jié)果。由圖3可知，當(dāng)β=0 時(shí)，CCBD試樣發(fā)生純I型斷裂；隨著加載角度β增大，I 型幾何參數(shù)YI逐漸減小，II 型幾何參數(shù)YII逐漸增大，直至達(dá)到某一角度后，CCBD試樣發(fā)生純II型斷裂；當(dāng)ρ=0.3，0.4，0.5 和0.6 時(shí)，CCBD 試樣發(fā)生純II 斷裂的加載角度分別為27.2°，25.3°，22.9°和20.2°。值得注意的是，隨β變化，T*一直小于0，即T一直為負(fù)值。

3 理論分析與試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 理論分析

由式(13)可得：

令

式中：Me為表征在復(fù)合型斷裂中I型或II型斷裂貢獻(xiàn)比例的參數(shù)，Me=1，對應(yīng)于純I 型斷裂，Me=0，對應(yīng)于純II 型斷裂；η為自定義的角度參量，當(dāng)η從0增加到π/2時(shí)，斷裂模式由純I型斷裂發(fā)展到純II 型斷裂；對于任意的I/II 復(fù)合型斷裂，均有唯一的η與其對應(yīng)。運(yùn)用式(7)和(8)并結(jié)合式(18)可求得不同復(fù)合斷裂模式下的起裂擴(kuò)展方向，同時(shí)，運(yùn)用式(16)～(17)可獲得在KI/KIc-KII/KIc空間內(nèi)的起始擴(kuò)展條件。

當(dāng)v=0.35時(shí)，2種平面條件下T應(yīng)力(為方便分析，一般以Bα表征T應(yīng)力[15-16])對起始擴(kuò)展角及起始擴(kuò)展條件的影響如圖4所示，圖中ss和sn分別表示平面應(yīng)力與平面應(yīng)變條件。由圖4(a)可知，當(dāng)T應(yīng)力逐漸減小時(shí)(考慮正負(fù)號)，裂紋起始擴(kuò)展角(絕對值)也逐漸減??；相對于T=0 時(shí)的裂紋擴(kuò)展角，正的T應(yīng)力會增大其擴(kuò)展角，而負(fù)的T應(yīng)力則會減小其擴(kuò)展角；對于起始擴(kuò)展條件來說，隨著T應(yīng)力減小，KII/KIc逐漸增大，并且在純II 型斷裂時(shí)，T應(yīng)力對KII/KIc的影響最大(此時(shí)，KII/KIc變?yōu)镵IIc/KIc)。

圖5所示為泊松比對裂紋起始擴(kuò)展角及起始擴(kuò)展條件的影響。由圖5可見：隨泊松比v增大，裂紋起始擴(kuò)展角逐漸減小，同時(shí)KII/KIc也逐漸減??；并且與T應(yīng)力的影響類似，在純II型斷裂時(shí)，泊松比v對KII/KIc的影響最大。此外，當(dāng)T應(yīng)力及泊松比相同時(shí)，2種平面條件下裂紋起始擴(kuò)展角比較接近，但KI/KIc-KII/KIc曲線相差較大。

圖6所示為2種平面條件下T應(yīng)力對純I型裂紋起始擴(kuò)展角的影響。由圖6可知，當(dāng)T應(yīng)力為負(fù)時(shí)，純I型斷裂裂紋起裂角度始終等于0°，即初始裂紋沿原裂紋所在平面擴(kuò)展；而當(dāng)T應(yīng)力大于某一臨界數(shù)值時(shí)，裂紋起裂角度隨T應(yīng)力增加而逐漸增大，并逐漸趨近于90°。AYATOLLAHI等[25]通過室內(nèi)試驗(yàn)證實(shí)了純I型斷裂非共面起始擴(kuò)展裂紋的存在。此外，當(dāng)裂紋起始擴(kuò)展角不為0°時(shí)，隨泊松比增加，裂紋起裂角度也小幅增加，尤其當(dāng)Bα小于1.0時(shí)比較明顯。

圖7所示為T應(yīng)力對純II型裂紋起始擴(kuò)展角的影響。由圖7可見，隨T應(yīng)力增加，裂紋起裂角度逐漸增大，尤其當(dāng)|Bα|＜1時(shí)，增大較快，最終裂紋起裂角度也逐漸趨近于90°。泊松比對純II型斷裂裂紋起始擴(kuò)展角的影響與純I型斷裂相反，即泊松比越大，裂紋起裂角度相應(yīng)減小，尤其當(dāng)|Bα|＜1.0時(shí)比較明顯；而當(dāng)|Bα|＞1.0時(shí)，泊松比對裂紋起裂角度的影響逐漸減弱。

3.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

將式(14)代入式(8)及式(16)～(17)，可得：

并且有

發(fā)生純I型斷裂時(shí)的幾何參數(shù)YI及T*分別記為YI0和TI*。此外，斷裂過程區(qū)尺寸Rc可由下式確定[11-13]：

式中：σt為材料的單軸抗拉強(qiáng)度。對于任意的I/II復(fù)合型斷裂，通過式(19)可求得裂紋起始擴(kuò)展方向θ0，將其代入式(5)可求得參數(shù)A1～A6，進(jìn)而再通過式(20)～(21)可求得KI/KIc及KII/KIc。

ALIHA 等[26-27]采用Guiting 石灰?guī)rCCBD 試樣研究I/II復(fù)合型斷裂的尺寸效應(yīng)及形狀效應(yīng)，直徑2R為100 mm、厚度W為40 mm、裂紋長度2a為30 mm 的CCBD 試樣復(fù)合斷裂試驗(yàn)結(jié)果如圖8和圖9所示。Guiting 石灰?guī)r純I 型斷裂韌度為0.24 MPa·m0.5，抗拉強(qiáng)度為2.0 MPa，則根據(jù)式(24)，其斷裂過程區(qū)半徑Rc為2.3 mm。此外，Guiting石灰?guī)r的典型泊松比為0.2[28]。根據(jù)上述參數(shù)，圖8和圖9同時(shí)給出了6 種斷裂準(zhǔn)則預(yù)測的裂紋起始擴(kuò)展角及起始擴(kuò)展條件。由圖8和圖9可知，考慮T應(yīng)力的GMTSED，EMTSN 和GMTS 準(zhǔn)則預(yù)測結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果比較吻合，而傳統(tǒng)的MTSED，MTSN和MTS準(zhǔn)則預(yù)測結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果相差較大。此外，GMTSED 準(zhǔn)則的預(yù)測結(jié)果介于EMTSN 及GMTS 準(zhǔn)則預(yù)測結(jié)果之間。當(dāng)I 型斷裂占主導(dǎo)時(shí)，GMTSED，EMTSN和GMTS準(zhǔn)則的預(yù)測結(jié)果幾乎重合，而當(dāng)II型斷裂占主導(dǎo)時(shí)，3種斷裂準(zhǔn)則預(yù)測結(jié)果之間的差距逐漸增大。

此外，ALIHA 等[11-13,29]分別采用4 種巖石CCBD 試樣對I/II 復(fù)合型斷裂進(jìn)行了試驗(yàn)研究。表1所示為4 種巖石的物理力學(xué)參數(shù)及CCBD 試樣的幾何尺寸，除集寧銹巖的泊松比取經(jīng)驗(yàn)值之外，其他數(shù)據(jù)均取自相應(yīng)文獻(xiàn)，圖10所示為4 種巖石的I/II復(fù)合型斷裂試驗(yàn)結(jié)果，圖10同時(shí)給出了平面應(yīng)力條件下GMTSED，MTSED，EMTSN 和GMTS 準(zhǔn)則的預(yù)測結(jié)果。由圖10可知，考慮T應(yīng)力的GMTSED 準(zhǔn)則預(yù)測結(jié)果仍然與試驗(yàn)結(jié)果比較吻合，并且GMTSED 準(zhǔn)則的預(yù)測結(jié)果仍然介于EMTSN 準(zhǔn)則及GMTS 準(zhǔn)則預(yù)測結(jié)果之間。GMTS準(zhǔn)則預(yù)測結(jié)果與材料泊松比無關(guān)，而GMTSED 準(zhǔn)則及EMTSN 準(zhǔn)則預(yù)測結(jié)果與材料泊松比有關(guān)。ALIHA 等[30]指出泊松比對裂紋尖端斷裂參數(shù)具有重要影響，因此，GMTSED及EMTSN準(zhǔn)則更能表征材料的斷裂特征。表2所示為10 種斷裂準(zhǔn)則預(yù)測的上述4 種巖石純II 型斷裂韌度與純I 型斷裂韌度之比。從表2可見：除砂巖外，其他3 種巖石GMTSED 準(zhǔn)則的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果最為接近，這進(jìn)一步驗(yàn)證了GMTSED準(zhǔn)則的有效性。

表2 基于不同斷裂準(zhǔn)則的KIIc/KIc預(yù)測結(jié)果Table 2 Prediction results of KIIc/KIc based on different fracture criteria

表1 4種巖石CCBD試樣的幾何尺寸及相關(guān)物理力學(xué)參數(shù)Table 1 Summary of geometric dimensions and mechanical parameters for four rocks of CCBD specimens

4 結(jié)論

1)在傳統(tǒng)最大切向應(yīng)變能密度斷裂準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，考慮裂紋尖端應(yīng)力場中的常數(shù)項(xiàng)，建立了考慮T應(yīng)力的I/II 復(fù)合型裂紋廣義最大切向應(yīng)變能密度斷裂準(zhǔn)則。

2)隨T應(yīng)力增大，裂紋起始擴(kuò)展角逐漸增大，而KII/KIc逐漸減小；隨泊松比增大，裂紋起始擴(kuò)展角及KII/KIc同時(shí)減小；在純II 型斷裂時(shí)，T應(yīng)力及泊松比對KII/KIc的影響最顯著。

3)廣義最大切向應(yīng)變能密度斷裂準(zhǔn)則預(yù)測結(jié)果與CCBD 試樣I/II 復(fù)合型斷裂試驗(yàn)結(jié)果十分吻合，驗(yàn)證了該準(zhǔn)則的有效性，同時(shí)也說明T應(yīng)力對巖石斷裂具有顯著的影響。