閆娟娟

(蘭州交通大學 數(shù)理學院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

傳染病一直危害著人類的健康，對傳染病的預防和控制一刻也不能松懈。1927年，Kermack和Mckendrick就通過建立數(shù)學模型研究傳染病，隨著對傳染病研究的深入，國內外的許多學者針對不同的傳染病提出了大量不同形式的數(shù)學模型。根據傳染病傳播的途徑，可以將這些模型分為水平傳播、垂直傳播和媒介傳播，而媒介傳播受到越來越多學者的重視。最常見的媒介傳染病模型是瘧疾、登革熱、西尼羅河熱等疾病模型[1-2]。

近年來，越來越多的學者研究了具有多種影響因素的媒介傳染病模型。由文獻[3-4]可知，新生兒通過母嬰垂直傳播而被感染，但在這些模型中，通常只考慮宿主具有垂直傳染的情況，而忽略了媒介繁殖的后代中也有部分攜帶病毒，能夠傳播疾病。根據文獻[5-6]可知，染病的媒介可以將病毒傳染給后代，受以上模型的建模思想啟發(fā)，文獻[7]討論了一類具有雙垂直傳播的媒介傳染病模型，結果表明，考慮雙垂直傳播使得基本再生數(shù)變大，疾病消亡的時間增加。此外，傳染病研究的目的是提出應對傳染病的有效策略，防治媒介傳染病最好的方法是對宿主進行隔離和疫苗接種，對媒介采取控制措施。因此，筆者在文獻[7]的基礎上建立了一類具有控制策略和垂直傳播的媒介傳染病模型。在此模型中提出了一種有別于隔離的方法：對宿主中的已感染者建立庇護所，減小與易感媒介的接觸且對易感者、恢復者以及未垂直傳染的新生兒進行疫苗接種，同時對媒介進行控制，降低易感人群與染病媒介的接觸。

1 模型建立

設SH，IH，RH分別表示t時刻人群中的易感者、染病者、恢復者，設SV，IV分別表示t時刻媒介中的易感者、染病者，可得此類媒介傳染病模型的流程如圖1所示。

圖1 傳染病模型的流程圖

根據圖1建立動力學模型

(1)

由于人口總數(shù)和媒介總數(shù)為常數(shù)，因此，令SH+IH+RH=1，SV+IV=1。根據各倉室之間的關系，RH=1-SH-IH,SV=1-IV，模型(1)被降維后，只需考慮動力系統(tǒng)

(2)

2 基本再生數(shù)和平衡點的存在性

定理1對于系統(tǒng)(2)，當R0<1時，僅存在無病平衡點；當R0>1時，存在唯一的地方病平衡點。

證明令系統(tǒng)(2)右邊的各式等于0，則

(3)

(1)當IH=0時，由方程組(3)可得模型的無病平衡點為E0(1-m,0,0)。

F，V在無病平衡點E0處的雅可比矩陣為

令

所以

故基本再生數(shù)

pH-qHμH+μH+γ)]-β3β2a1a2μH(1-m)},

3 穩(wěn)定性分析

定理2當R0<1時，系統(tǒng)(2)的無病平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的。

證明系統(tǒng)(2)在無病平衡點E0(1-m,0,0)處的雅可比矩陣為

其特征多項式為H(λ)=(λ+μH)H1(λ)。其中，

故特征方程H(λ)=0有負特征值-μH，其余的特征值由H1(λ)=0的根決定，顯然a1>0總是正，若R0<1，則a2>0。根據Routh-Hurwitz判據容易證明特征方程沒有非負實部的特征根，因而當R0<1時，可以得到無病平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的，而當R0>1時，至少有一個正實部的特征值，故E0不穩(wěn)定。

定理3 當R0<1時，系統(tǒng)(2)的無病平衡點E0是全局漸近穩(wěn)定的。

證明注意到

定理4 當R0>1時，系統(tǒng)(2)唯一的地方病平衡點E*在Ω內是局部漸近穩(wěn)定的。

證明地方病平衡點E*處的雅可比矩陣為

其中，

對應的特征方程為H(λ)=λ3+a1λ2+a2λ+a3，其中，

根據Routh-Hurwitz判據知H(λ)=0的根沒有非負實部，所以系統(tǒng)(2)唯一的地方病平衡點E*是局部漸近穩(wěn)定的。

定理5當R0>1并且μH+γ+(m-2)qHμH>0時，系統(tǒng)(2)唯一的地方病平衡點E*在Ω內是全局漸近穩(wěn)定的。

證明由文獻[8]中定理(2)可知，當R0>1時，系統(tǒng)一致持續(xù)，這表明存在一個緊的吸引子集D?Ω，并且由定理(1)可知系統(tǒng)存在唯一的地方病平衡點E*，故滿足文獻[9]中定理3.3.7的假設H1和H2，下面關鍵要證q<0。

系統(tǒng)(2)的第二加性復合矩陣為

其中，

令(u,v,w)∈R3，其范數(shù)‖·‖定義為‖(u,v,w)‖=max{|u|,|v|+|w|}，相應于范數(shù)‖·‖的Lozinskii測度是ψ(B)。ψ(B)≤sup{g1,g2}，其中g1=ψ(B11)+|B12|,g2=ψ1(B22)+|B21|，|B12|和|B21|表示R3中相應于l1向量范數(shù)的矩陣范數(shù)，而ψ1(B)是相應于l1范數(shù)的Lozinskii測度，因此有

由系統(tǒng)(2)的第2個和第3個方程知

代入g1,g2得

g1=ψ1(B11)+|B12|=

g2=ψ2(B22)+|B21|=

設系統(tǒng)(2)滿足初始值x0=(SH(0)，IH(0),IV(0))的任意解為(SH(t),IH(t),IV(t))，當t>t*時，有

因此

所以當R0>1，μH+γ+(m-2)qHμH>0時，地方病平衡點E*是全局漸近穩(wěn)定的。

4 結論

考慮到媒介傳染病中宿主和媒介均存在垂直傳播且在傳播過程中對宿主和媒介采取控制措施能夠控制疾病傳播的情況，建立了一類具有控制策略和垂直傳播的媒介傳染病模型，并進行了理論證明，進一步填充了媒介傳染病的理論研究，并得到了以下結論:

(1)根據第二代生成矩陣法得到了傳染病滅絕與否的基本再生數(shù)的表達式，利用Routh-Hurwitz判據證明了兩個平衡點E0和E*的局部穩(wěn)定性。通過構造Lyapunov函數(shù)得到了當R0<1時，無病平衡點E0是全局漸近穩(wěn)定的，此時疾病逐漸消亡。利用第二加性復合矩陣的方法得到當R0>1，μH+γ+(m-2)qHμH>0時，唯一的地方病平衡點E*是全局漸近穩(wěn)定的，此時疾病流行逐漸形成地方病。

(2)模型(1)擴充并改進了文獻(7)中未考慮對宿主和媒介采取控制措施的情形。對于控制此類媒介傳染病模型可以采取一些措施:減少人群與媒介之間的接觸、提高部分人群疫苗接種的比例、加強對媒介的控制，都會減小基本再生數(shù)，從而有效控制疾病的傳播。