張 瑩，柯楚賢

（武漢理工大學(xué) 交通與物流工程學(xué)院，湖北 武漢 430063）

0 引言

控制圖是統(tǒng)計(jì)過程控制（Statistics Process Control, SPC）的常用工具之一，最初用于監(jiān)測生產(chǎn)過程的變化。隨著對控制圖研究的推進(jìn)，學(xué)者們不再局限于監(jiān)控缺陷的數(shù)量，而是將缺陷的發(fā)生定義為事件，以監(jiān)控事件時(shí)間間隔（Time Between Events, TBE）為目的進(jìn)行研究。由此TBE控制圖的應(yīng)用也拓展至物流效率、服務(wù)水平、災(zāi)禍預(yù)測等多個(gè)領(lǐng)域。

TBE 控制圖主要包括服從指數(shù)分布的累積數(shù)量控制圖（Cumulative Quantity Control, CQC）和服從幾何分布的累積合格品數(shù)控制圖（Cumulative Count of Conforming, CCC），本文研究的是CQC類控制圖。

若將事件的發(fā)生視作泊松過程，其時(shí)間間隔服從指數(shù)分布，因此CQC 控制圖也被稱為指數(shù)圖（exponential chart）。很多學(xué)者研究了指數(shù)圖與經(jīng)典控制圖的結(jié)合和優(yōu)化，如指數(shù)分布Shewhart型控制圖、指數(shù)分布累積和（Cumulative Sum, CUSUM）控制圖、指數(shù)分布指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均（Exponentially Weighted Moving Average,EWMA）控制圖、指數(shù)分布Run Rules 控制圖等。Qu，等同時(shí)監(jiān)控事件時(shí)間間隔與事件大小，設(shè)計(jì)了CUSUM統(tǒng)計(jì)量，并用于監(jiān)控供應(yīng)鏈的訂貨間隔和手足口病的發(fā)生。

Xie，等發(fā)現(xiàn)，CQC 圖只根據(jù)當(dāng)前檢測情況進(jìn)行判定而沒有利用歷史信息，在虛發(fā)警報(bào)概率較小時(shí)容易導(dǎo)致控制圖誤報(bào)和對過程偏移不敏感，因此以觀察到r 個(gè)事件間的時(shí)間間隔為統(tǒng)計(jì)量，針對Erlang分布設(shè)計(jì)了t控制圖，也即CQC-r圖。由于Erlang分布是Gamma分布的特殊形式，Zhang，等將指數(shù)分布拓展為Gamma分布，設(shè)計(jì)了更為普遍的Gamma圖，并使用平均報(bào)警時(shí)間（Average Time to Signal, ATS）作為性能指標(biāo)，證明基于隨機(jī)位移模型的CQC-4圖與改進(jìn)的指數(shù)CUSUM 圖性能相當(dāng)，但更易于理解和使用。由于Gamma 分布的偏斜導(dǎo)致控制圖的有偏，Yang，等提出了尺度參數(shù)已知和未知情況下ATS 無偏的CQC-r圖設(shè)計(jì)，并使用序貫抽樣使控制圖盡快開始監(jiān)控。Kumar，等將文獻(xiàn)[6][12]的指數(shù)圖運(yùn)行規(guī)則推廣到CQC-r圖，利用馬爾科夫鏈計(jì)算平均運(yùn)行長度（Average Run Length，ARL），并比較了不同運(yùn)行規(guī)則對不同偏移范圍的適用性。CQC-r圖的應(yīng)用上，Xie，等將CQC-r 圖用于監(jiān)控故障時(shí)間數(shù)據(jù)，Liu，等將CQC-r圖用于開發(fā)管材生產(chǎn)過程的在線監(jiān)控系統(tǒng)，并說明CQC-r圖比指數(shù)CUSUM和指數(shù)EWMA控制圖更加通用和靈活。

變采樣間隔（Variable Sampling Intervals，VSI）是改進(jìn)控制圖常用的方法之一。傳統(tǒng)的固定采樣間隔（Fixed Sampling Intervals，F(xiàn)SI）控制圖中，兩次采樣間的間隔為定值，而VSI控制圖中采樣間隔取決于前一次采樣的結(jié)果，因此能夠利用歷史信息縮短控制圖發(fā)現(xiàn)異常的時(shí)間。VSI 在傳統(tǒng)控制圖中的應(yīng)用較為常見，如Nguyen，等的VSI Shewhart多元變異系數(shù)控制圖、薛麗的不合格品率二項(xiàng)分布VSI CUSUM 控制圖、Tran，等的VSI EWMA中值控制圖、張艷，等的VSSI EWMA預(yù)防維修控制圖。萬強(qiáng)研究了雙抽樣調(diào)整抽樣間隔型np 控制圖DSVSI np 的經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì)。對于TBE數(shù)據(jù)，Liu，等提出了VSI CCC控制圖，并由Nezhad，等延伸至VSI CCC-r 圖，證明了VSI CCC-r圖總是比FSI CCC-r圖更有效。Zhang，等研究了貝葉斯估計(jì)下的VSI CCC 圖性能，根據(jù)目標(biāo)的ATS 及其標(biāo)準(zhǔn)差SDTS（Standard Deviation of Time to Signal，SDTS）給 出 了 所 需 要 的Phase I 樣 本 數(shù)。Zhang，等將VSI用于改進(jìn)指數(shù)分布的CQC圖，最優(yōu)采樣間隔組合下，改進(jìn)后控制圖的ATS平均約為固定采樣間隔CQC圖的85%。

可見CQC-r圖在多個(gè)領(lǐng)域中都能發(fā)揮較好的過程監(jiān)控效果，同時(shí)變采樣間隔策略能縮短控制圖的報(bào)警時(shí)間，提高檢測速度。但目前對動(dòng)態(tài)TBE控制圖的研究主要停留在二項(xiàng)分布的CCC類圖，還未有學(xué)者研究變采樣間隔策略對CQC-r圖的影響。因此本文基于TBE數(shù)據(jù)，將VSI策略應(yīng)用至Gamma分布CQC-r圖，對VSI CQC-r圖的性能進(jìn)行研究，并通過監(jiān)控訂貨間隔的案例驗(yàn)證VSI CQC-r圖在供應(yīng)鏈管理中的有效性。

1 FSI CQC-r控制圖

事件的發(fā)生是一個(gè)泊松過程。若用統(tǒng)計(jì)量T表示恰好檢測到一個(gè)目標(biāo)異常事件所經(jīng)過的時(shí)間，則T服從指數(shù)分布，其累積分布函數(shù)為：

其中為逆尺度參數(shù)（inverse scale parameter），為正數(shù)，代表了事件的發(fā)生率。FSI CQC控制圖監(jiān)控統(tǒng)計(jì)量T，T 落在控制限之外說明事件的發(fā)生率超過預(yù)先設(shè)定的可接受范圍，過程可能出現(xiàn)異常，需要進(jìn)行檢修。

其中r為Gamma分布的形狀參數(shù)（shape parameter），為正整數(shù)，表示FSI CQC-r 圖關(guān)注的是連續(xù)r 個(gè)事件；為對應(yīng)指數(shù)分布的逆尺度參數(shù)。當(dāng)r=1 時(shí)，Gamma 分布即為指數(shù)分布，F(xiàn)SI CQC-1 圖即為FSI CQC圖。

當(dāng)控制圖使用者想觀察的連續(xù)事件數(shù)r確定時(shí)，事件發(fā)生率越高，出現(xiàn)r個(gè)事件需要的時(shí)間越短，在控制圖上反映為統(tǒng)計(jì)量的向下偏移，也即使用者往往對T減小的向下偏移更感興趣。因此本文研究的是檢測TBE減小的下單邊控制圖。給定受控狀態(tài)下可接受的虛發(fā)警報(bào)概率，下單邊FSI CQC-r圖的下控制限（Lower Control Limit，LCL）滿足：

其中F()為Gamma分布的逆函數(shù)，為受控狀態(tài)下目標(biāo)事件的發(fā)生率，一般可由經(jīng)驗(yàn)得出。

2 VSI CQC-r控制圖

FSI策略下，控制圖每次采樣的時(shí)間間隔相同，但VSI策略下，第i+1次采樣使用的間隔h取決于第i次采樣的結(jié)果T。若過程波動(dòng)較小、預(yù)測過程運(yùn)行良好，下次采樣使用較大的采樣間隔h，過程發(fā)生較大波動(dòng)則使用較小的采樣間隔h。同時(shí)為了在控制圖運(yùn)行初期提供額外的保護(hù)，首個(gè)間隔h將使用較短的采樣間隔h。

一般的下單邊FSI控制圖只有一條下控制限，當(dāng)統(tǒng)計(jì)量落入下控制限以下時(shí)報(bào)警。VSI控制圖中增加了下警戒限LWL（Lower Warning Limit，LWL），本文中還添加了均值線ML（Median Line，ML）。對于本文的下單邊VSI CQC-r圖，設(shè)置采樣間隔h=（h，h，h）和控制限（LCL，LWL，ML），且0＜h＜h＜h，0＜LCL＜LWL＜ML，其中ML 取Gamma 分布的期望(T)，h表示與FSI控制圖相同的采樣間隔。

LCL、LWL、ML將控制圖劃分為四個(gè)區(qū)域。根據(jù)每次采樣時(shí)統(tǒng)計(jì)量T所處的區(qū)域，過程可能處于不同的狀態(tài)，VSI控制圖將不斷調(diào)整采樣間隔。VSI策略中對采樣間隔的選擇可由式（4）表示，每個(gè)區(qū)域的采樣策略如下：

（1）內(nèi)部安全區(qū)(ML，+∞)：此時(shí)事件時(shí)間間隔大于對應(yīng)Gamma分布的期望，過程運(yùn)行良好。為降低采樣和檢測的成本，下次采樣使用較長的間隔h；

（2）外部安全區(qū)(LWL，ML]：此時(shí)過程可能保持穩(wěn)定。為進(jìn)一步觀察，下次采樣使用適中的間隔h；

（3）警戒區(qū)(LCL，LWL]：此時(shí)時(shí)間間隔有縮短的跡象，事件發(fā)生率可能增大，需要盡快采樣確定過程狀態(tài)，下次采樣使用較短的間隔h；

（4）失控區(qū)(0，LCL]：此時(shí)事件時(shí)間間隔縮短并超過可接受的范圍，說明過程已經(jīng)失控，需要立即采取相關(guān)措施，及時(shí)查明并排除導(dǎo)致異常的原因，保持過程穩(wěn)定。

記統(tǒng)計(jì)量落在不同區(qū)域的概率為p，i=1，…，4，則VSI CQC-r 圖的各控制限及統(tǒng)計(jì)量落在各區(qū)域的概率滿足式（5）-式（9）。

其中(T) 為Gamma 分布() 的期望。VSI CQC-r圖各區(qū)域示意圖如圖1所示。

圖1 VSI CQC-r圖各區(qū)域示意圖

3 評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

平均運(yùn)行長度ARL是評價(jià)控制圖的常用標(biāo)準(zhǔn)，代表了控制圖從開始運(yùn)行到發(fā)出警報(bào)時(shí)所經(jīng)過的平均樣本個(gè)數(shù)。假設(shè)失控狀態(tài)下過程的事件發(fā)生率由偏移至，則統(tǒng)計(jì)量T落在LCL之上、即控制圖未發(fā)出警報(bào)的概率為漏發(fā)警報(bào)概率，有：

ARL反應(yīng)了控制圖發(fā)出警報(bào)時(shí)運(yùn)行過的平均樣本個(gè)數(shù)，但VSI控制圖還關(guān)注報(bào)警所需要的時(shí)間，因此VSI CQC-r圖應(yīng)該以平均報(bào)警時(shí)間作為性能指標(biāo)。平均報(bào)警時(shí)間ATS 為ARL 與平均采樣間隔ASI（Average Sampling Interval，ASI）的乘積，表示控制圖從運(yùn)行開始到報(bào)警所需要的平均時(shí)間。FSI控制圖的平均采樣間隔ASI為一常數(shù)，VSI 控制圖的平均采樣間隔ASI為采樣間隔的隨機(jī)變量，表示為采樣間隔的期望值，即：

則VSI CQC-r圖的平均報(bào)警時(shí)間可表示為：

當(dāng)h=h=h時(shí)，控制圖使用的是FSI策略，有：

與ARL的比較類似，受控ATS相等的前提下，失控ATS越小，控制圖越能更快地檢測到異常的發(fā)生。

4 性能分析

4.1 VSI CQC-r控制圖的求解

為方便表述，令A(yù)TS和ATS分別表示不同形狀參數(shù)r 對應(yīng)的FSI 和VSI 策略下CQC-r 圖的受控ATS，同理將失控ATS表示為ATS和ATS，受控ASI表示為ASI和ASI。

控制圖的設(shè)計(jì)、求解和比較要求在受控ATS相等的前提下盡量減小失控ATS。為了比較VSI和FSI策略對過程失控的檢出效果，求解時(shí)需要控制ATS=ATS。同時(shí)VSI控制圖為避免采樣頻率對結(jié)果的影響，還要求受控狀態(tài)下VSI 和FSI 控制圖的平均采樣間隔相等，即ASI=ASI。此時(shí)VSI CQC-r圖的求解可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)非線性方程組求解問題：

即在受控ATS和ASI相等的條件下，求解使失控ATS最小的控制限。

為了方便比較不同控制圖的性能，本文與其他論文類似，取0002 7 。不失一般性，取ASI=ASI=h=1。同時(shí)為簡化求解過程，本文參照文獻(xiàn)[22]給其他參數(shù)設(shè)置了一定的取值范圍：形狀參數(shù)r ∈{1,2,3,4}，受控逆尺度參數(shù)0000 5 ，過程偏移∈{1.0，1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0，3.0｝，采樣間隔h ∈｛（0.8，1.0，1.2），（0.7，1.0，1.3），（0.5，1.0，1.5），（0.3，1.0，1.7），（0.1，1.0，1.9）｝。

4.2 變采樣間隔對CQC-r圖的影響

改進(jìn)因子表示了過程發(fā)生偏移時(shí)VSI與FSI策略對CQC-r 圖性能的影響，改進(jìn)因子越小，VSI 策略對CQC-r圖的提升越大。特殊的，當(dāng)r=1時(shí)，恰好檢測到一個(gè)目標(biāo)異常事件所經(jīng)過的平均時(shí)間服從指數(shù)分布，即表示VSI CQC圖對FSI CQC圖的改進(jìn)因子。

根據(jù)式(16)，求解不同形狀參數(shù)、過程偏移、采樣間隔下VSI CQC-r圖對FSI CQC-r圖的改進(jìn)因子如圖2所示。

圖2 VSI CQC-r圖對FSI CQC-r圖的改進(jìn)因子(r=1,2,3,4)

由于改進(jìn)因子越小，改進(jìn)后的圖表對原圖表的提升越大，可見VSI策略對CQC-r圖有一定的改進(jìn)。形狀參數(shù)r固定時(shí)，對于相同的過程偏移，采樣間隔的差值(h-h)越大，VSI對CQC-r圖的改進(jìn)效果越好，采樣間隔的差值最大時(shí)圖表效果達(dá)到最優(yōu)。對于相同的形狀參數(shù)和采樣間隔，過程偏移越大，VSI對CQC-r圖的改進(jìn)越大，如=19 時(shí)，h=(0.1,1.0,1.9)的VSI CQC-4圖的平均報(bào)警時(shí)間僅為FSI CQC-4圖的25%，控制圖檢測出失控的速度明顯提高。

在實(shí)際應(yīng)用中，采樣間隔的設(shè)置受過程流暢性要求、控制圖使用者偏好、可接受的最長最短采樣間隔等多種因素的影響，不能簡單地使間隔的差值越大越好。通過使用不同的r值可以幫助設(shè)置采樣間隔。如=19 時(shí)，h=（0.1，1.0，1.9）的VSI CQC-2圖有ATS=97 047，而h=（0.3，1.0，1.7）時(shí)有ATS=97 028、h=（0.5，1.0，1.5）時(shí)有ATS=104 510，即增大r值能超過或接近r較小時(shí)VSI CQC-r圖的最優(yōu)效果，且可選的采樣間隔組合增多。因此在期望的檢測速度下可以更靈活地選擇不同參數(shù)組合，在保證檢測效果的前提下方便實(shí)際操作。結(jié)果見表1。

表1 不同采樣間隔組合和偏移下VSI CQC-r圖和FSI CQC-r圖的ATS(r=3)

4.3 形狀參數(shù)對VSI CQC-r圖的影響

為更直觀地分析形狀參數(shù)取值對VSI CQC-r 圖性能的影響，不同r值對應(yīng)的ATS值如圖3所示，見表2。由上節(jié)可知，形狀參數(shù)與過程偏移相同時(shí)，采樣間隔的差值越大，VSI CQC-r圖的性能越好，因此僅分析性能最優(yōu)的采樣間隔為(0.1，1.0，1.9)時(shí)的情況。為方便觀察，縱坐標(biāo)取自然對數(shù)ln(ATS)。

表2 不同形狀參數(shù)和偏移下VSI CQC-r圖的ATSV1,r(h=(0.1，1.0，1.9))

圖3 形狀參數(shù)對VSI CQC-r圖的影響（h=（0.1，1.0，1.9))

由圖可知，無論形狀參數(shù)如何取值，隨著過程偏移增大ATS都逐漸減小，控制圖的性能提升。隨著偏移增大，VSI CQC-r圖檢測大偏移的性能提升，且r越大檢出速度越快。虛發(fā)警報(bào)概率和過程偏移一定時(shí)，由式（3）和式（10）可知，r越大，VSI CQC-r圖的LCL越大、漏發(fā)警報(bào)概率越小，符合控制圖固定可接受的虛發(fā)警報(bào)概率、并使漏發(fā)警報(bào)概率盡量小的優(yōu)化方向。

但形狀參數(shù)越大，VSI CQC-r圖對小偏移越不敏感。由ATS的定義可知，較小時(shí)，ATS受r的影響變化較劇烈。雖然增大形狀參數(shù)能提升對大偏移的檢測效果，但在偏移足夠大時(shí)，各VSI CQC-r圖的差距已經(jīng)不大。由于過大的r值可能會(huì)掩蓋過程已經(jīng)發(fā)生偏移的問題、延長發(fā)現(xiàn)事件的時(shí)間，實(shí)際應(yīng)用中可以事先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和應(yīng)用環(huán)境，預(yù)估可能產(chǎn)生的偏移范圍，綜合考慮檢測效果和計(jì)算速度選擇合適的形狀參數(shù)。

5 實(shí)例分析

孟玥，等指出，統(tǒng)計(jì)過程控制在供應(yīng)鏈風(fēng)險(xiǎn)管理中能發(fā)揮相當(dāng)?shù)淖饔谩１竟?jié)使用VSI CQC-r 圖監(jiān)控TBE數(shù)據(jù)，說明VSI CQC-r圖的運(yùn)行過程和在供應(yīng)鏈管理中的應(yīng)用。

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，存在一個(gè)由批發(fā)商、貿(mào)易公司、零售商組成的農(nóng)產(chǎn)品供應(yīng)鏈，其中貿(mào)易公司使用統(tǒng)計(jì)過程控制監(jiān)控下游零售商的大米訂貨間隔。當(dāng)下游訂貨間隔縮短、對大米的需求超出預(yù)期時(shí)，貿(mào)易公司向上游批發(fā)商發(fā)出追加訂單，以保證供應(yīng)的穩(wěn)定性。根據(jù)過往記錄，受控狀態(tài)下下游兩次訂貨的間隔服從0495 的指數(shù)分布，即平均每2.02小時(shí)有一大米訂貨需求。自第31次訂貨起，零售商的需求增加，訂貨間隔服從198 的指數(shù)分布，即平均每0.51小時(shí)有一大米訂貨需求。

由于采樣間隔的差值越大、VSI CQC-r圖的檢測效果越好，取h=(0.1,1.0,1.9)。設(shè)置誤報(bào)率T=0.002 7，形狀參數(shù)r=3，使用VSI CQC-3圖對訂貨間隔進(jìn)行監(jiān)控，由式（16）可計(jì)算VSI CQC-3 圖的控制限LCL=0.55，LWL=4.81，ML=6.06。每三個(gè)訂貨間隔的數(shù)據(jù)見表3，其中前10 個(gè)為受控狀態(tài)，后10 個(gè)為失控狀態(tài)。使用VSI CQC-3圖監(jiān)控的結(jié)果如圖4所示。

表3 大米供應(yīng)鏈中零售商的訂貨間隔Tr

圖4 VSI CQC-3圖監(jiān)控大米訂貨間隔（h=（0.1，1.0，1.9））

VSI CQC-3 圖的運(yùn)行中，根據(jù)變采樣間隔策略，首次采樣使用了較小的間隔h，且此時(shí)統(tǒng)計(jì)量位于警戒區(qū)，下次采樣也使用h；在第4次采樣使用了h、第3次采樣使用了h。從第10個(gè)樣本點(diǎn)之后，訂貨過程發(fā)生了偏移，F(xiàn)SI CQC-3圖和VSI CQC-3圖都在第14個(gè)樣本點(diǎn)檢測出過程異常。但從過程發(fā)生偏移到控制圖報(bào)警，F(xiàn)SI CQC-r圖運(yùn)行了4個(gè)小時(shí)，VSI CQC-3圖僅運(yùn)行了3.1小時(shí)，檢測出異常的時(shí)間縮短了22.5%。檢出下游需求增加時(shí)間縮短使貿(mào)易公司能更快做出響應(yīng)，通過增加上游訂貨量、調(diào)整物流策略等方式維持供應(yīng)鏈的正常運(yùn)行。

6 結(jié)語

本文主要描述了Gamma 分布下變采樣間隔的VSI CQC-r圖的設(shè)計(jì)，并利用平均報(bào)警時(shí)間ATS分析了VSI CQC-r圖的性能。研究發(fā)現(xiàn)，過程偏移相同時(shí)采樣間隔的差值(h-h)越大，或形狀參數(shù)和采樣間隔相同時(shí)過程偏移越大，變采樣間隔策略對CQC-r圖的改進(jìn)越大。同時(shí)發(fā)現(xiàn)調(diào)節(jié)參數(shù)組合可以使不同參數(shù)的圖表達(dá)到相近的效果，提高使用靈活性。通過進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，r 的增大使VSI CQC-r 圖能更快檢測出大偏移，但對小偏移的檢測速度下降。

由于VSI CQC-r圖的性能受形狀參數(shù)、過程偏移和采樣間隔的共同影響，實(shí)際應(yīng)用中對偏移范圍的估計(jì)對圖表參數(shù)的選擇有指導(dǎo)作用。如何估計(jì)過程參數(shù)，將VSI CQC-r圖應(yīng)用于參數(shù)未知或分布未知的過程也可進(jìn)一步研究。同時(shí)本文的控制圖設(shè)計(jì)僅考慮了統(tǒng)計(jì)性能，可以考慮設(shè)備故障的經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì)能提高控制圖的綜合效益。