楊 奎,劉志祥,劉 旺,王天樂

(1.中國西南電子技術(shù)研究所,成都 610036;2.上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院,上海 200240)

0 引 言

正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)作為一種廣泛使用的多載波調(diào)制系統(tǒng)，頻域上各子載波相互正交，頻譜利用率高，但其主要的一個(gè)缺點(diǎn)仍然是較高的峰值平均功率比(Peak-to-Average Power Ratio,PAPR)。高PAPR的信號會使高功率放大器(High Power Amplifier,HPA)工作在非線性區(qū)域，此時(shí)的HPA會使放大的信號產(chǎn)生不可逆的非線性失真，將會嚴(yán)重降低接收端的誤碼率性能(Bit Error Rate,BER)[1]。

預(yù)留子載波(Tone Reservation,TR)作為一種無失真峰均比降低技術(shù)，其復(fù)雜度較低，在實(shí)際通信系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用。傳統(tǒng)TR技術(shù)嚴(yán)格要求預(yù)留子載波與數(shù)據(jù)子載波相互正交，占據(jù)的帶寬受限因而其降低PAPR能力有限。在實(shí)際系統(tǒng)中，發(fā)送端一般容許數(shù)據(jù)信號中引入少量干擾。誤差矢量幅度(Error Vector Magnitude,EVM)是許多無線通信標(biāo)準(zhǔn)(如WiMAX和LTE)中作為衡量發(fā)送端信號質(zhì)量使用的指標(biāo)。文獻(xiàn)[2]中以PAPR和預(yù)留子載波功率為約束建立最小化信號EVM的非凸問題，通過運(yùn)用半定規(guī)劃(Semi-definite Programming,SDP) 將其轉(zhuǎn)化為凸問題并求解。文獻(xiàn)[3]中面對同樣的問題，采用交替方向乘子法(Alternate Direction Method of Multiplier,ADMM)將原問題分解為多個(gè)簡單的小問題。上述文獻(xiàn)關(guān)注的都是信號的平均EVM，但其實(shí)數(shù)據(jù)子載波上存在的最大EVM更加直接影響著系統(tǒng)的誤碼率。

為了在發(fā)送端有更好的PAPR降低效果，本文提出改進(jìn)TR技術(shù)，將傳統(tǒng)的預(yù)留子載波擴(kuò)展至數(shù)據(jù)子載波生成PCS，并對數(shù)據(jù)子載波上引入的干擾加上最大EVM約束?；诖怂枷耄岢隽嘶贓VM約束的TR優(yōu)化問題，并采用凹凸過程(Concave-Convex Procedure,CCCP)[4]優(yōu)化算法進(jìn)行求解。仿真結(jié)果表明，所提出的基于EVM約束的TR算法在接收端的誤碼率略有下降，但是其在發(fā)送端有更加優(yōu)秀的PAPR抑制效果。

1 系統(tǒng)模型

1.1 OFDM模型

考慮一個(gè)OFDM系統(tǒng)，其中每個(gè)符號由N個(gè)子載波組成，每個(gè)子載波上承載著M-QAM調(diào)制符號。原始頻域信號可表示為X=[X0,X1,…,XN-1]T，其中Xk是頻域第k個(gè)子載波的已調(diào)制信號。通常對離散信號進(jìn)行4倍過采樣以逼近連續(xù)信號的PAPR計(jì)算[5]。對頻域信號進(jìn)行L倍過采樣后，得到離散的基帶OFDM時(shí)域x=[x0,x1,…,xLN-1]T信號為

(1)

式中：L為過采樣因子。

對頻域信號進(jìn)行快速傅里葉逆變換(Inverse Fast Fourier Transform,IFFT)可以得到時(shí)域信號x，該過程可表述為

x=IFFT(X)=QX。

(2)

1.2 峰均比降低技術(shù)

1.2.1 峰均比定義

信號x=[x0,x1,…,xLN-1]T的PAPR可用公式表示為[6]

(3)

CCDF=P(PAPR>z)=1-(1-e-z2)N。

(4)

式中：z表示設(shè)定的PAPR門限。

1.2.2 預(yù)留子載波技術(shù)

預(yù)留子載波的基本思想是在N個(gè)子載波中預(yù)留Nr個(gè)子載波用于傳輸峰值消除信號，剩余N-Nr個(gè)數(shù)據(jù)子載波用于傳輸數(shù)據(jù)[7]。TR基本原理圖如圖1所示。

圖1 預(yù)留子載波技術(shù)基本原理圖

(5)

那么，在給定時(shí)域信號x的情況下，經(jīng)過TR后OFDM信號的PAPR即可定義成一個(gè)關(guān)于變量C的函數(shù)，即

(6)

本文定義近似PAPR為

(7)

2 EVM-TR算法

2.1 問題建模

誤差矢量幅度是一種測量信號帶內(nèi)失真的度量，是星座點(diǎn)Z相對于原始頻域信號X的偏差量。其定義為誤差矢量信號平均功率的平方根值和參考信號平均功率的平方根值之間的比值，即

(8)

傳統(tǒng)的TR算法由于嚴(yán)格遵守預(yù)留子載波和數(shù)據(jù)子載波之間相互正交的約束，所以即使能在預(yù)留子載波集合上取得最優(yōu)的峰值消除信號，其降低PAPR的能力也是有限的。因此，本文考慮犧牲一小部分的誤碼率以換取更好的PAPR降低效果，即將C原來只在預(yù)留子載波上存在有效值擴(kuò)展至數(shù)據(jù)子載波上也存在有效值。但是，C在數(shù)據(jù)子載波上的擴(kuò)展也是有約束的，相比于考慮平均的帶內(nèi)失真偏差，本文更關(guān)心數(shù)據(jù)子載波上出現(xiàn)的最大EVM偏差。當(dāng)最大EVM偏差能夠控制在有效的范圍內(nèi)時(shí)，接收端的誤碼率也能夠有好的表現(xiàn)。

因此，結(jié)合考慮數(shù)據(jù)子載波上的最大帶內(nèi)失真約束，定義OFDM信號新的PAPR問題(EVM-TR)如下：

問題1：原始問題

(9a)

(9b)

(9c)

式中：α為預(yù)留子載波的功率閾值；β為數(shù)據(jù)子載波最大EVM閾值；矩陣MD和MR是二進(jìn)制對角陣，維度均為N×N，分別對應(yīng)著數(shù)據(jù)子載波位置和預(yù)留子載波位置，即

(10)

根據(jù)矩陣MD和MR的定義，則有

(11)

2.2 算法求解

問題1中，需要最小化的目標(biāo)函數(shù)是優(yōu)化變量C的凸函數(shù)。問題1中約束A1是優(yōu)化變量C的非凸約束，約束A2是優(yōu)化變量C的凸約束。因此，問題1是一個(gè)難于求解的非凸問題。通常，求解非凸問題的目標(biāo)是求得其穩(wěn)定點(diǎn)(Stationary Point)或其等價(jià)問題的的穩(wěn)定點(diǎn)。問題1的穩(wěn)定點(diǎn)不易求得，接下來求其等價(jià)問題的穩(wěn)定點(diǎn)。首先，對問題1中不等式約束A1作等價(jià)變形，將問題1等價(jià)轉(zhuǎn)化為以下優(yōu)化問題：

問題2：問題1的等價(jià)問題

(12a)

(12c)

然后求解問題2，而非問題1。問題2仍然是一個(gè)不易求解的非凸問題。通過觀察發(fā)現(xiàn)，問題2中約束A1具有凸函數(shù)減凸函數(shù)的結(jié)構(gòu)，因此約束A1為DC(Difference of Convex Function) 函數(shù)，而問題2的目標(biāo)函數(shù)和約束A2為凸函數(shù),所以問題2是一個(gè)DC規(guī)劃(DC Programming)問題。下面提出基于CCCP的迭代算法求得問題2的一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)。

(13)

問題3：第k次迭代時(shí)問題2的近似問題

(14a)

s.t. A1:h(C(k-1),C)≤0;

(14b)

(14c)

問題3中，需要最小化的目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)，約束A1和約束A2都為凸約束，因此問題3是凸問題，可以利用內(nèi)點(diǎn)法求得該問題的全局最優(yōu)解。問題3包含N個(gè)優(yōu)化變量和兩個(gè)凸約束，利用內(nèi)點(diǎn)法求解該問題的復(fù)雜度為O(N3)[8]。

基于CCCP求解EVM-TR算法(算法1)的具體算法偽代碼如下:

輸入：x,Q,MD,MR以及收斂精度

輸出：C

重復(fù)

k=k+1;

求解問題3，得到C(k);

直到‖C(k)-C(k-1)‖2≤

基于文獻(xiàn)[9]中的結(jié)論,可以得到算法1的收斂定理如下：

定理1 算法1的收斂性。算法1的任何一個(gè)收斂點(diǎn)都是問題2的一個(gè)KKT點(diǎn)。

h(C(k-1),C)。

(15)

然后，根據(jù)文獻(xiàn)[9]的定理1，可以證得結(jié)論。

證畢。

3 仿真結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證所提出的基于EVM約束的TR算法降低PAPR的性能，基于Matlab環(huán)境做了OFDM系統(tǒng)下的仿真實(shí)驗(yàn)。設(shè)置預(yù)留子載波個(gè)數(shù)與總子載波個(gè)數(shù)的比例為1∶16。雖然文獻(xiàn)[7]表明預(yù)留子載波位置隨機(jī)時(shí)的PAPR效果優(yōu)于固定位置，但是從工程實(shí)現(xiàn)的角度考慮，為了便于工程實(shí)際應(yīng)用，選擇預(yù)留子載波的位置為連續(xù)，其與數(shù)據(jù)子載波的位置關(guān)系如圖2所示。

圖2 預(yù)留子載波位置示意圖

選擇4-QAM調(diào)制方式，設(shè)置預(yù)留子載波位置為連續(xù)，信道為加性高斯白噪聲(Additive White Gatssian Noise,AWGN)信道，其余相關(guān)仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)設(shè)置

為了更好地展現(xiàn)所提算法的PAPR減少效果，本文將其與兩種現(xiàn)有的改進(jìn)TR算法(TKM-TR[10]、MS-SCR[11])進(jìn)行比較。

3.1 PAPR性能

圖3給出了上述三種TR算法的PAPR減少性能的對比。它們與EVM-TR算法具有相同的預(yù)留子載波集合設(shè)置,其中TKM-TR和MS-SCR的削峰比(Clipping Ration,CR)設(shè)置為5 dB。當(dāng)CCDF=10-3時(shí)，原始OFDM信號的PAPR為11.2 dB。分別使用TKM-TR和MS-SCR算法經(jīng)過三次迭代后，PAPR可以近似被減少到8.1 dB和7.1 dB。所提出的基于最大EVM約束的TR算法隨著EVM數(shù)值變大，其PAPR相應(yīng)減少得更多，從EVM為5%，PAPR削減到6.9 dB，增加到EVM為8%，PAPR削減到5.6 dB。從圖中可以看出，所提算法的CCDF曲線衰減得更快，由此可知EVM-TR算法具有更優(yōu)的PAPR抑制性能。

圖3 不同算法PAPR降低效果比較

3.2 誤碼率性能

圖4比較了上述各種算法在AWGN信道下的誤碼率性能。其中，TKM-TR與MS-SCR的迭代次數(shù)為3次，削峰比為5 dB。在BER為10-4時(shí)，當(dāng)發(fā)送端的EVM值分別為5%、6%時(shí)，EVM-TR算法在接收端的誤碼率與原始OFDM信號近似相等；而當(dāng)發(fā)送端EVM增大到8%時(shí)，接收端的誤碼率損失約1 dB，而考慮到此時(shí)發(fā)送端的PAPR減少了約5.6 dB，因此誤碼率性能的下降是可以接受的。

圖4 不同算法在AWGN信道下的BER性能比較

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于EVM約束的TR算法，將傳統(tǒng)TR算法中只由預(yù)留子載波生成峰值消除信號擴(kuò)展至數(shù)據(jù)子載波生成峰值消除信號，并在此基礎(chǔ)上加入數(shù)據(jù)子載波上會因此出現(xiàn)的最大EVM偏差約束，以保證系統(tǒng)的誤碼率處于有效范圍內(nèi)。由于有效使用了數(shù)據(jù)子載波，其PAPR性能相比于傳統(tǒng)TR算法有明顯提升。仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的TR算法相比較，所提出的基于EVM約束的TR算法能以1 dB的接收端解調(diào)性能損失換取發(fā)送端5.6 dB的PAPR抑制效果。