余 磊 張海劍 夏桂松

(武漢大學(xué) 電子信息學(xué)院， 武漢 430072)

“數(shù)字信號(hào)處理”課程作為電子電工類專業(yè)信號(hào)處理方向的基礎(chǔ)課，要求學(xué)生深入理解基本概念，扎實(shí)掌握應(yīng)用方法。該課程是一門理論性很強(qiáng)的基礎(chǔ)專業(yè)課程，概念抽象、公式繁多、內(nèi)容和知識(shí)體系繁雜[1-4]。因此，有必要對(duì)“數(shù)字信號(hào)處理”課程進(jìn)行體系框架的梳理和更新。在理論課程體系方面，金偉等人針對(duì)數(shù)字信號(hào)處理理論性強(qiáng)、公式繁雜以及用專業(yè)例證解釋存在學(xué)習(xí)時(shí)間差等問題，給出了卷積物理本質(zhì)的解釋，加深了學(xué)生對(duì)卷積概念的理解[5]。劉大年等人依據(jù)“數(shù)字信號(hào)處理”課程的特點(diǎn)和學(xué)生的心理規(guī)律，闡明了形象化教學(xué)的必要性，提出了形象化教學(xué)的原則,這些工作對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維具有積極作用[6]。王秋生等人針對(duì)“數(shù)字信號(hào)處理”課程建設(shè)存在的實(shí)際問題，從授課內(nèi)容、課程實(shí)驗(yàn)、課后作業(yè)、考核方法、教學(xué)團(tuán)隊(duì)等多方面，系統(tǒng)地闡述了面向工程實(shí)踐理念的“數(shù)字信號(hào)處理”課程建設(shè)原則、建設(shè)方法、建設(shè)成果以及對(duì)培養(yǎng)學(xué)生能力的促進(jìn)作用[7]。在實(shí)踐課程體系方面，楊長(zhǎng)生等人借鑒歐美等國(guó)家的高階思維內(nèi)涵，分析了“數(shù)字信號(hào)處理”課程的教學(xué)現(xiàn)狀，結(jié)合國(guó)內(nèi)高校的教育環(huán)境進(jìn)行針對(duì)性的課程設(shè)計(jì)[8]。孫銳等人闡述了教學(xué)過(guò)程中的一些典型案例，通過(guò)面向?qū)嶋H問題和學(xué)科前沿的研究案例,增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力,而了解更多的學(xué)術(shù)前沿研究成果,有助于啟發(fā)學(xué)生創(chuàng)新性思維[9]。王艷芬等人則指出了課程改革的總體目標(biāo)及具體思路，重點(diǎn)介紹了運(yùn)用Matlab進(jìn)行課程教學(xué)的教學(xué)改革步驟與實(shí)施過(guò)程，實(shí)踐證明，該改革具有自己的特色，取得了顯著成效[10]。針對(duì)應(yīng)用型人才培養(yǎng)過(guò)程中存在的學(xué)生知識(shí)體系不完整，工程實(shí)踐能力弱等問題，丑永新等人基于企業(yè)用人需求及實(shí)際工程案例對(duì)信號(hào)類課程進(jìn)行改革[11]。

教學(xué)實(shí)踐結(jié)果表明，所提出的信號(hào)類課程教學(xué)改革有效地提升了學(xué)生的科技創(chuàng)新及工程實(shí)踐能力。

然而，目前的課程內(nèi)容大多從經(jīng)典視角出發(fā)，具有如下特征：

課程中心“系統(tǒng)”化：在經(jīng)典課程體系下，“數(shù)字信號(hào)處理”以“系統(tǒng)”為中心，圍繞系統(tǒng)的輸入、輸出和性質(zhì)分析，從時(shí)域和頻域開展討論，包括時(shí)域和頻域變換、采樣重建和濾波器設(shè)計(jì)。這種面向系統(tǒng)的課程體系在數(shù)字信號(hào)處理發(fā)展的初期(20世紀(jì)60年代至90年代末)是合理且可行的[4,12]。原因在于，如何利用數(shù)字方法替代模擬方法是當(dāng)時(shí)數(shù)字信號(hào)處理面臨的問題，解決該問題可以提升系統(tǒng)的魯棒性和可移植性。隨著信息化和人工智能時(shí)代的到來(lái)，目前該領(lǐng)域所面臨的主要問題已經(jīng)從“如何替代模擬方法”轉(zhuǎn)化為“如何從數(shù)字信號(hào)(數(shù)據(jù))本身提取有用信息”，例如多源、高維、異構(gòu)數(shù)據(jù)所帶來(lái)的復(fù)雜特征提取和語(yǔ)義信息檢索等問題[13]。

課程方法“代數(shù)”化：作為“數(shù)字信號(hào)處理”課程的承接課程，“數(shù)字圖像處理”“語(yǔ)音信號(hào)處理”“信號(hào)檢測(cè)與估計(jì)”，以及研究生階段的“現(xiàn)代信號(hào)處理”等課程中，空間、正交、完備等幾何概念逐漸成為信號(hào)處理理論前沿研究的基礎(chǔ)，例如主成分分析、稀疏表示、低秩矩陣分析等[14]。現(xiàn)有經(jīng)典課程體系僅介紹信號(hào)和系統(tǒng)的代數(shù)定義，缺乏對(duì)這些代數(shù)定義的幾何解釋。雖然本科階段的“數(shù)字信號(hào)處理”課程沒有涉及這些復(fù)雜的信號(hào)處理方法，但建立幾何視角下的“數(shù)字信號(hào)處理”理論體系，能幫助學(xué)生更直觀地理解代數(shù)理論下的幾何本質(zhì)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)更復(fù)雜的信號(hào)處理理論奠定基礎(chǔ)。

“系統(tǒng)”化和“代數(shù)”化的課程體系強(qiáng)調(diào)：課程內(nèi)容以系統(tǒng)為研究中心，以離散信號(hào)傅立葉變換、z變換和離散傅立葉變換為分析工具，以濾波器設(shè)計(jì)為主要目的，課程講解注重定理和公式推導(dǎo)及其性質(zhì)分析。由于概念繁雜，這種經(jīng)典視角下的課程內(nèi)容安排難以給學(xué)生建立一個(gè)宏觀的整體概念，導(dǎo)致知識(shí)體系碎片化的問題。同時(shí)，相對(duì)枯燥的代數(shù)推導(dǎo)過(guò)程，也極大地降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

針對(duì)以上問題，筆者從幾何視角引入對(duì)經(jīng)典數(shù)字信號(hào)處理基本概念的重定義，建立“數(shù)字信號(hào)處理”課程體系，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深其對(duì)基本概念的理解。英國(guó)數(shù)學(xué)家Michael Atiyah在《二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)》中將代數(shù)與幾何比喻成耳朵和眼睛，代數(shù)的目標(biāo)往往集中于建立一個(gè)公式，而丟掉了洞察力[15]。然而，絕不能放棄這些洞察力！傳統(tǒng)的教學(xué)方法注重代數(shù)推導(dǎo)，卻忽略了幾何描述，即如同我們失去了雙眼。而分析認(rèn)為，人們通過(guò)視覺的接受和理解能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了聽覺。因此，從幾何視角重構(gòu)的新課程體系，能夠有效去除經(jīng)典課程體系中“系統(tǒng)”化和“代數(shù)”化的壁壘，建立更為簡(jiǎn)潔的面向“信號(hào)”的“幾何”知識(shí)體系，并在教學(xué)過(guò)程中提升學(xué)生對(duì)本質(zhì)問題的“洞察力”。

基于多年的科研基礎(chǔ)和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者從課程特點(diǎn)和發(fā)展趨勢(shì)出發(fā)，在現(xiàn)有課程體系框架中，引入對(duì)課程核心內(nèi)容(信號(hào)時(shí)域/頻域表示、采樣定理和線性時(shí)不變系統(tǒng))的幾何描述，讓學(xué)生洞察到隱藏在這些理論和概念背后的幾何原理[14-17]。

1 幾何基礎(chǔ)

長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)離散時(shí)間信號(hào)x[n]表示時(shí)刻為n時(shí)的樣本。我們也可以將這N點(diǎn)樣本表示成 維復(fù)空間中的向量

(1)

(2)

公式(1)可以理解為信號(hào)的分解過(guò)程，公式(2)可以理解為信號(hào)的合成過(guò)程。信號(hào)的分解過(guò)程通過(guò)計(jì)算信號(hào)在基向量上的分量來(lái)分析信號(hào)的性質(zhì)；信號(hào)的合成過(guò)程利用基向量線性組合來(lái)表示信號(hào)向量?；谏厦娴男盘?hào)分解和合成，我們可以從幾何視角對(duì)“數(shù)字信號(hào)處理”課程中的幾個(gè)重要概念進(jìn)行重構(gòu)。

2 幾何視角下的“數(shù)字信號(hào)處理”課程

2.1 信號(hào)時(shí)域表示

時(shí)域離散信號(hào)可以表示為單位脈沖序列的延遲加權(quán)疊加

(3)

寫成向量的形式為

(4)

(5)

2.2 信號(hào)頻域表示

對(duì)離散時(shí)間信號(hào)進(jìn)行離散時(shí)間傅立葉變換(DTFT)可以得到信號(hào)的頻域表示

定義bω[n]ejωn，那么DTFT變換可以表示為如下內(nèi)積形式

信號(hào)的時(shí)/頻域表示是信號(hào)處理的基礎(chǔ)，我們將這一問題的經(jīng)典描述和幾何描述分別列在表1中作為對(duì)比。

表1 信號(hào)的時(shí)/頻域表示

2.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣

連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)的采樣過(guò)程一般包括：抗混疊濾波、采樣保持、AD轉(zhuǎn)換。重建過(guò)程一般包括：DA轉(zhuǎn)換和低通濾波重建。假設(shè)抗混疊濾波器的沖激響應(yīng)為h(t)，濾波輸出為

以周期T采樣后得到離散時(shí)間信號(hào)x[n]為

(6)

其中函數(shù){φn(t)}n∈構(gòu)成一組由Sinc函數(shù)組成的正交基向量，且φn(t)∈L2。定義基向量{φn(t)}n∈展成的空間為span{φn(t)}n∈∈L2，那么采樣過(guò)程(6)可以看作是將連續(xù)時(shí)間信號(hào) 投影到基向量φn(t)的過(guò)程，對(duì)應(yīng)的第n個(gè)投影坐標(biāo)就是第n個(gè)樣本值x[n]。

根據(jù)奈奎斯特采樣定理，在時(shí)域中由離散樣本重建連續(xù)時(shí)間信號(hào)的表達(dá)式為

(7)

表2 采樣定理的經(jīng)典描述和幾何描述對(duì)比

2.4 線性時(shí)不變系統(tǒng)

線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出序列y[n]為輸入序列x[n]和沖激響應(yīng)序列h[n]的卷積

系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的向量形式為

(8)

(9)

表3 線性時(shí)不變系統(tǒng)的經(jīng)典描述和幾何描述對(duì)比

3 基于幾何視角課程體系的前沿拓展

基于表1-3中這些課程核心概念的幾何解釋，我們可以很容易的將現(xiàn)有學(xué)術(shù)前沿問題引入到課程教學(xué)中來(lái)，例如：

(2)采樣過(guò)程的經(jīng)典描述雖然能得到頻譜周期延拓的結(jié)論，但是推導(dǎo)過(guò)程復(fù)雜，很容易讓學(xué)生忽視了Nyquist定理的充分非必要性。另一方面，采樣過(guò)程的本質(zhì)內(nèi)容是如何對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行離散表示，但學(xué)生學(xué)完采樣定理后僅了解了Nyquist頻率。從幾何的角度可以很容易地分析出來(lái)；無(wú)失真重建和有失真(混疊)重建的本質(zhì)內(nèi)容是連續(xù)信號(hào)是否在采樣所使用的基向量展成的空間中，如表2所示。同時(shí)，基于幾何描述，是否存在其他的采樣方式，其基向量與Sinc函數(shù)不同？從而引導(dǎo)學(xué)生去關(guān)注采樣定理提出后的60余年間該領(lǐng)域的新發(fā)展，例如壓縮感知理論[21]。

(3)在經(jīng)典描述中，線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出為輸入和系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積和。由于卷積的交換律，學(xué)生在系統(tǒng)和信號(hào)之間很容易混淆，二者具有一定的不可分問題。在幾何描述下可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)決定了輸出信號(hào)所在的空間，而輸入信號(hào)決定了輸出信號(hào)在該空間中的位置。基于這一概念，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步研究基于大量輸出信號(hào)的盲系統(tǒng)辨識(shí)問題。

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)經(jīng)典體系中課程中心“系統(tǒng)”化和課程方法“代數(shù)”化所帶來(lái)的碎片化問題，我們重新構(gòu)建了以“信號(hào)”為中心的“幾何”知識(shí)體系。通過(guò)引入幾何視角下對(duì)信號(hào)和系統(tǒng)的描述，將經(jīng)典課程體系中的概念和方法用幾何框架中空間、正交、投影、合成等概念來(lái)重新定義。可以發(fā)現(xiàn)，幾何視角的課程體系更系統(tǒng)、更本質(zhì)地詮釋了數(shù)字信號(hào)處理課程中的概念和方法。