呂增鋒

（浙江省象山縣第二中學(xué)，浙江 寧波 315731）

數(shù)學(xué)教材是在充分考慮學(xué)生生理心理特征、教育教學(xué)原理、數(shù)學(xué)學(xué)科特點等諸多因素的基礎(chǔ)上精心編寫而成的，教材中不僅包含了正文、例題、習(xí)題、小結(jié)等主體內(nèi)容，而且還設(shè)置了豐富的“拓展欄目”。這些“拓展欄目”融知識性、科學(xué)性、趣味性和教育性于一體，是教材不可或缺的組成部分，其廣泛的客觀基礎(chǔ)決定了它具有獨特的教育價值。但在實際教學(xué)中，由于受到教師課程意識薄弱、教材素養(yǎng)欠缺、應(yīng)試教育等因素的制約，“拓展欄目”并沒有引起足夠的關(guān)注與重視?！巴卣箼谀俊北恢糜谶z忘的角落，對廣大教師而言，失去的不僅是一個豐富的資源寶藏，還有使自己從教書匠向研究者轉(zhuǎn)型的機(jī)會。

一、拓展欄目的分布與分類

以人教A 版（2019）為例，教材中的拓展欄目主要由“閱讀與思考”“探究與發(fā)現(xiàn)”“信息技術(shù)應(yīng)用”“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作”等四個子欄目組成，具體如表1：

表1 拓展欄目的主要內(nèi)容

續(xù)表

根據(jù)“拓展欄目”的內(nèi)容特點，可以將其分為四大類：數(shù)學(xué)史拓展欄目，例如，函數(shù)概念的發(fā)展歷程、對數(shù)的發(fā)明、笛卡爾與解析幾何等；數(shù)學(xué)知識拓展欄目，例如，向量概念的推廣與應(yīng)用、方向向量與直線的參數(shù)方程、組合數(shù)的兩個性質(zhì)等；科學(xué)方法拓展欄目，例如，用計算機(jī)繪制函數(shù)圖象、統(tǒng)計軟件的應(yīng)用、圖形技術(shù)與函數(shù)性質(zhì)等；數(shù)學(xué)應(yīng)用拓展欄目，例如，坐標(biāo)法與數(shù)學(xué)機(jī)械化、如何得到敏感性問題的誠實反應(yīng)、貝葉斯公式與人工智能等。

由此可見，“拓展欄目”并不是教材內(nèi)容的簡單重復(fù)，而是拓展延伸與深入探究；“拓展欄目”中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)史知識、探究性知識，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源，還是傳播人文精神、前沿理論、信息技術(shù)的重要載體，它與教材中的其他內(nèi)容共同組成了完整的高中數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)。

二、拓展欄目的教育功能分析

雖然“拓展欄目”的總體功能定位是為師生提供更多的資源，更好地服務(wù)于教師的教與學(xué)生的學(xué)，但四大子欄目也各自具有獨特的功能與使命。

（一）閱讀與思考：通過閱讀拓展知識視野

“閱讀與思考”中的內(nèi)容基本上是高中數(shù)學(xué)知識拓展延伸，例如，“中外歷史上的方程求解”“中國古代數(shù)學(xué)家求數(shù)列和的方法”“歐幾里得《幾何原本》與公理化方法”等，這些內(nèi)容雖然考試基本不作要求，但凝聚著豐富數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，對于拓展學(xué)生的知識視野，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)具有不可替代的作用。不過，這些額外的知識需要以“閱讀”的方式來獲取。一是閱讀教材本身所提供的材料，但由于篇幅的限制，教材所提供信息往往不夠翔實，因此，還需要“閱讀”課外材料。至于閱讀哪些課外材料，欄目最后往往會以問題的形式提示學(xué)生：比如，“你能設(shè)計一種比較這兩個（無窮）集合中元素個數(shù)多少的方法嗎？”學(xué)生只有閱讀了有關(guān)“康托爾創(chuàng)建集合論”的文章，才能找到問題的答案。又比如，“你能通過上網(wǎng)查詢，給出一個倍增的指數(shù)函數(shù)模型實例嗎？”直接提醒學(xué)生到網(wǎng)上去查找相關(guān)的閱讀材料。

（二）探究與發(fā)現(xiàn)：為實施“數(shù)學(xué)探究活動”積累經(jīng)驗

“探究與發(fā)現(xiàn)”中的很多內(nèi)容針對的都是高中數(shù)學(xué)的重點與難點，例如，“互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖 象 的 關(guān) 系”“ 為 什 么是雙曲線的漸近線”“函數(shù)及函的周期”等。教材不主張將這些知識直接告訴學(xué)生，而是希望教師組織學(xué)生進(jìn)行“探究與發(fā)現(xiàn)”。我們知道“數(shù)學(xué)探究活動”是高中數(shù)學(xué)課程中引入的一種新的學(xué)習(xí)方式，它是指學(xué)生圍繞某個數(shù)學(xué)問題，自主探究、學(xué)習(xí)的過程?！皵?shù)學(xué)探究活動”對師生的知識儲備、思維水平要求較高，實施面臨較大的現(xiàn)實困難。如果說“數(shù)學(xué)探究活動”是對數(shù)學(xué)問題的一次“大探究”“大發(fā)現(xiàn)”，那么“探究與發(fā)現(xiàn)”就是一次“微探究”“小發(fā)現(xiàn)”。“探究與發(fā)現(xiàn)”的大量開展可以為“數(shù)學(xué)探究活動”的實施積累寶貴的經(jīng)驗，其教學(xué)套路經(jīng)過遷移完全可以為“數(shù)學(xué)探究活動”所用，從而產(chǎn)生以“微探究”撬動“大探究”的實踐效果。

（三）信息技術(shù)應(yīng)用：促進(jìn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合

“信息技術(shù)應(yīng)用”一方面介紹如何借助信息技術(shù)直觀呈現(xiàn)以往教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，例如“用計算機(jī)繪制函數(shù)圖象”“利用信息技術(shù)制作三角函數(shù)表”“概率分布圖及概率計算”等；另一方面向廣大師生推介一些功能強大的數(shù)學(xué)軟件，從常用的“幾何畫板”，到最近流行的動態(tài)幾何軟件“GeoGebra”，再到專業(yè)的統(tǒng)計軟件“R軟件”、數(shù)學(xué)實驗軟件“MATLAB”等。信息技術(shù)給予教學(xué)的支持是全方位的，不僅可以為學(xué)生的探究活動提供強大的技術(shù)支持，而且為不同認(rèn)知風(fēng)格、不同表達(dá)習(xí)慣的學(xué)生提供數(shù)學(xué)理解的機(jī)會。教師和學(xué)生可以利用技術(shù)的強大功能，做過去課堂中完全做不到的事情［1］。本欄目的出現(xiàn)使得“技術(shù)不僅是工具，也是數(shù)學(xué)的一部分”理念成為廣大一線教師的共識，從而促進(jìn)了信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合。

（四）文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作：發(fā)展學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界的能力

“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作”在拓展學(xué)生數(shù)學(xué)文化視野的同時，其實也在發(fā)展學(xué)生的用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界的能力［2］。數(shù)學(xué)語言具有科學(xué)性、簡潔性、準(zhǔn)確性的特點，它是人類表達(dá)世界最高效的語言之一。維果茨基認(rèn)為數(shù)學(xué)能力的提高和數(shù)學(xué)語言的掌握有相互促進(jìn)的作用［3］，很多學(xué)困生的錯誤也主要產(chǎn)生于在使用和理解數(shù)學(xué)語言的過程中［4］，因此，斯托利亞爾認(rèn)為“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)”?！拔墨I(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作”為學(xué)生理解和運用數(shù)學(xué)語言提供了全新的訓(xùn)練平臺，學(xué)生通過文獻(xiàn)閱讀積累寫作素材，根據(jù)寫作的主題把素材按照一定邏輯進(jìn)行組織，然后運用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行合理表達(dá)，展現(xiàn)自己的研究成果與數(shù)學(xué)觀點。在提升寫作能力的同時，有助于知識納入其已有的認(rèn)知圖式，促進(jìn)學(xué)習(xí)的縱深發(fā)展。

三、“拓展欄目”促使教師向“研究者”轉(zhuǎn)型

（一）教師的研究是實現(xiàn)“拓展欄目”教育功能的前提

“拓展欄目”是課程開發(fā)的顯性文本成果，凝聚著課程開發(fā)者的智慧，雖然具有重要的教育價值，但這些價值能否得到兌現(xiàn)，在很大程度上則取決于教師能否依據(jù)“拓展欄目”本身的特性，準(zhǔn)確地闡釋“拓展欄目”的內(nèi)涵，并結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平，進(jìn)行合理甄選與改造，使“拓展欄目”中的教學(xué)資源從學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為易于學(xué)生理解的教育形態(tài)。換言之，如果沒有教師自身的深入研究與再創(chuàng)造，“拓展欄目”難以發(fā)揮其固有的價值。

例如，“閱讀與思考”中的“中國古代數(shù)學(xué)家求數(shù)列和的方法”，這則材料包含了“古代數(shù)列名題”“沈括、楊輝、劉徽等古代數(shù)學(xué)家的故事”“隙積術(shù)、垛積術(shù)等數(shù)列求和的方法”，不僅涉及的知識面非常廣泛，而且還蘊含著豐富的數(shù)學(xué)文化元素，但遺憾的是教材只提供了不到兩頁的篇幅來呈現(xiàn)上述內(nèi)容，“蜻蜓點水”式行文表達(dá)導(dǎo)致學(xué)生即使“閱讀”了材料，也無法理解“我國古代數(shù)列求和”到底是怎么一回事。這就要教師去研究與材料相關(guān)的文獻(xiàn)資料，厘清古代數(shù)列求和的來龍去脈，揭示隙積術(shù)、垛積術(shù)、招差術(shù)的原理及聯(lián)系。當(dāng)然，這只是第一步，接下去更為重要的是還要研究如何把材料中的內(nèi)容以適合學(xué)生認(rèn)知邏輯順序進(jìn)行整合，從而能夠讓學(xué)生讀懂材料所表達(dá)的意思，體會所蘊含的數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)原理。

教師是課程的直接實施者，理論與實踐的落差使得課程與教學(xué)理論常常難以預(yù)測高度復(fù)雜的課堂情境中所出現(xiàn)的問題。這便要求教師在已有的專業(yè)知識的基礎(chǔ)上不斷進(jìn)行創(chuàng)造性的探索，將研究融合于實踐，以應(yīng)對教學(xué)實踐中的具體問題［5］。

（二）“拓展欄目”為教師提供了研究的方向

滿足教學(xué)常規(guī)，信奉“經(jīng)驗主義”是制約教師成為研究者的一個重要因素。一方面受傳統(tǒng)“教教材”理念的影響，導(dǎo)致教師認(rèn)為自己沒有成為研究者的必要；另一方面，雖然數(shù)學(xué)教材也在更新?lián)Q代，但知識結(jié)構(gòu)、核心內(nèi)容沒有發(fā)生根本改變，對于具備了一定從教經(jīng)驗的教師來說，教材的主體知識早已了然于胸，甚至“閉著眼睛也能教”，從而產(chǎn)生了“已經(jīng)沒有什么可以研究”的錯覺。而“拓展欄目”由于長期處在遺忘的角落，長期被人無視，這反而使它成為教材的“神秘之境”，成為值得研究的領(lǐng)域與對象。比如，對于“祖暅原理與柱體、錐體的體積”“牛頓法——用導(dǎo)數(shù)方法求方程近似解”這兩個材料，教師能夠解釋其中的數(shù)學(xué)原理，但缺乏對原理產(chǎn)生的歷史背景的了解，所以需要研究數(shù)學(xué)史；又比如，“孟德爾遺傳規(guī)律”“貝葉斯公式與人工智能”這兩個材料，教師對概率論盡管非常熟悉，但對于生物遺傳學(xué)與人工智能卻知之甚少，所以需要進(jìn)行跨學(xué)科研究。

（三）“拓展欄目”進(jìn)課堂驅(qū)動教師的研究行為

教師研究動力一部分源于自我發(fā)展的愿景，即教師要堅信：只有通過研究，才能發(fā)現(xiàn)學(xué)科的思想與價值，引導(dǎo)學(xué)生利用知識的有意義建構(gòu)而產(chǎn)生智慧，還有一部分就是源于外部力量的驅(qū)使。實踐性是教師研究的本質(zhì)特征，教師研究就是要解決教學(xué)中遇到的實際問題，以解決實際問題、改進(jìn)教學(xué)實踐、提高教學(xué)質(zhì)量為價值取向［6］。盡管“拓展欄目”具有很高的研究價值，但如果僅僅停留在教師自我賞析的階段而沒有進(jìn)入課堂，就無法真正發(fā)揮“拓展欄目”的教學(xué)價值，形成課堂效益，就沒有足夠的動力驅(qū)動教師的研究行為。因此，如何以“拓展材料”為素材打造出精彩的數(shù)學(xué)課才是研究的目標(biāo)。

例如，“中國古代數(shù)學(xué)家求數(shù)列和的方法”，涉及了三種求高階等差數(shù)列和的“術(shù)”，一節(jié)課時間是很難讓學(xué)生理解全部“術(shù)”的文化精髓的。經(jīng)過分析，發(fā)現(xiàn)“隙積術(shù)”與“招差術(shù)”不適合在課堂中詳細(xì)展開，只有“垛積術(shù)”，往上可追溯到等差數(shù)列求和公式，往下可以遷移拓展為“裂項求和法”，跟學(xué)生的已有經(jīng)驗聯(lián)系緊密，具有較大的教學(xué)價值。教師以“垛積術(shù)”為研究對象，在明確“垛積術(shù)”來龍去脈的基礎(chǔ)上，可以按照“認(rèn)識‘垛’—計算‘垛’—優(yōu)化‘垛’的算法”的邏輯順序展開教學(xué)。教師不僅為學(xué)生帶來了一場數(shù)學(xué)文化盛宴，而且也讓自己的研究成果轉(zhuǎn)化為課堂的效果，在實現(xiàn)了研究的價值的同時也進(jìn)一步激勵教師的研究行為。

教師研究的領(lǐng)域與對象當(dāng)然不止是教材，但不可否認(rèn)作為知識濃縮、智慧結(jié)晶的教材理應(yīng)成為教師的研究重點，尤其是“拓展欄目”更是有待開發(fā)的“寶藏”，對于教師教材觀念的形成、教材理解能力與用教材水平的提升具有不可估量的作用。對“拓展欄目”的研究可以促使教師從單一的教書匠、課程的傳遞者、知識的消費者，轉(zhuǎn)變?yōu)榻虒W(xué)教育的研究者?！?/p>