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        空氣的浮力與不連續(xù)性對密立根油滴實(shí)驗(yàn)測量值影響的定量分析

        2022-07-29 05:44:36劉宇飛
        物理通報(bào) 2022年8期
        關(guān)鍵詞:測量實(shí)驗(yàn)

        劉宇飛

        (桂林理工大學(xué)理學(xué)院 廣西 桂林 541008)

        劉小良

        (中南大學(xué)物理與電子學(xué)院 湖南 長沙 410083)

        密立根油滴實(shí)驗(yàn)最先是由美國的物理學(xué)家密立根(R.A.Millikan)設(shè)計(jì)出來的,用以測定基本電荷的電荷量并證實(shí)電荷的量子化現(xiàn)象[1].實(shí)驗(yàn)中先測量出大量帶電油滴所帶的電荷量值,然后采用逐差法或作圖法計(jì)算出基本電荷的電荷量,或者說電子的電荷量[2~4].此外,隨著基本電荷電荷量測量精度的大大提高,已經(jīng)得到公認(rèn)的基本電荷的電荷量值為e=(1.602 177 33±0.000 000 49)×10-19C[5],目前,許多大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中,倒驗(yàn)法也被普遍使用[6,7].測量油滴所帶的電荷量有兩種基本方法:一種是動(dòng)態(tài)法,首先測出帶電油滴在未加外場時(shí)在空氣中勻速下落的速度,然后測量外加適當(dāng)與重力相反的電場力時(shí)帶電油滴勻速上升的速度,最后再由力的平衡方程得出帶電油滴的電荷量;另一種方法是靜態(tài)法,也叫平衡法,首先外加一個(gè)適當(dāng)?shù)碾妶隽εc帶電油滴的重力平衡,然后撤除電場力使油滴在重力和空氣對它的粘滯阻力下達(dá)到勻速下落狀態(tài),測出其勻速下落速度,最后根據(jù)力的平衡方程得到油滴的帶電荷量[8~10].相對來說靜態(tài)測量法原理簡單,操作比較容易,數(shù)據(jù)處理方便,因此,成為大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中常選的實(shí)驗(yàn)方法,本論文的討論主要是基于靜態(tài)測量法.為了實(shí)驗(yàn)的方便,一些常用實(shí)驗(yàn)方法中常將油滴所受空氣浮力忽略,甚至忽略空氣的不連續(xù)性對空氣粘滯系數(shù)的影響,這樣就導(dǎo)致了測量結(jié)果的系統(tǒng)誤差,已經(jīng)有部分文獻(xiàn)對此有過定性或不同程度的定量分析[11,12],但仍然存在促進(jìn)其嚴(yán)謹(jǐn)性空間.本文將從理論上嚴(yán)格推導(dǎo)空氣浮力與空氣的不連續(xù)性對油滴帶電荷量的影響,并定量化不計(jì)空氣浮力與空氣的不連續(xù)性對測量結(jié)果造成的相對誤差.

        1 不計(jì)空氣浮力與不連續(xù)性時(shí)油滴的電荷量

        在忽略空氣浮力與空氣的不連續(xù)性前提下,靜態(tài)測量法獲取帶電油滴的處理過程可以簡述如下.

        調(diào)節(jié)油滴盒兩極板之間的電壓,使油滴處于平衡狀態(tài),可得到平衡方程

        (1)

        其中q,U,d,m和g分別是油滴電荷量、極板之間的電勢差、極板之間的距離、油滴質(zhì)量和重力加速度.要獲得油滴電荷量需要獲取油滴的質(zhì)量,然而此處油滴的質(zhì)量太小,無法用天平等直接方法稱量,需要采用間接的方法獲得.

        考慮到在表面張力作用下,油滴呈現(xiàn)為球體狀,可以將油滴的質(zhì)量表達(dá)為如下形式

        (2)

        其中ρ和r分別是油滴的質(zhì)量密度和油滴的半徑.

        為了獲得油滴的半徑值,關(guān)閉加在油滴盒兩極板之間的電壓,此時(shí)油滴在重力作用下首先呈加速下落,然后會(huì)受到一個(gè)大小與油滴下落速度成正比的空氣的粘滯阻力,最后油滴的受力達(dá)到平衡后會(huì)呈勻速下落狀態(tài).根據(jù)斯托克斯定律,可以寫出該狀態(tài)下的平衡方程

        6πrηv=mg

        (3)

        其中η為空氣的粘滯系數(shù),v為油滴勻速下落時(shí)的速度.

        聯(lián)立式(1)~(3),可將油滴的電荷量表述為

        (4)

        2 不計(jì)空氣浮力與不連續(xù)性時(shí)油滴的電荷量測量結(jié)果的誤差分析

        2.1 空氣浮力對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響

        由于該實(shí)驗(yàn)是在大氣環(huán)境下進(jìn)行的,油滴必然會(huì)受到空氣浮力的作用,上述平衡方程(1)和(3)必須考慮油滴所受的空氣浮力

        (5)

        其中ρ′為空氣的質(zhì)量密度.容易得到,當(dāng)計(jì)入空氣對油滴的浮力時(shí),式(4)中的ρ需要修正為ρ-ρ′,即計(jì)入空氣浮力前后ρ的增量為Δρ=-ρ′,于是由式(4)的微分,可以得到q的增量

        (6)

        2.2 空氣的不連續(xù)性對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響

        當(dāng)將空氣視為連續(xù)均勻介質(zhì)時(shí),空氣的粘滯系數(shù)為常數(shù),由方程(2)、(3)可得出油滴的半徑表達(dá)式

        (7)

        由于油滴的半徑非常接近于常溫下空氣分子的平均自由程,此時(shí)的空氣不能視為連續(xù)均勻介質(zhì),其粘滯系數(shù)需要修正為

        (8)

        其中p為空氣壓強(qiáng),b為修正系數(shù).將修正后的粘滯系數(shù)取代方程(3)中的粘滯系數(shù) ,再和式(1)、(2)聯(lián)立可得到油滴的半徑和油滴帶電荷量為

        (9)

        (10)

        由式(10)容易看出,當(dāng)忽略空氣的不連續(xù)性時(shí),相當(dāng)于其中的修正系數(shù)b取0值,式(10)即轉(zhuǎn)化為式(4).當(dāng)計(jì)入空氣的不連續(xù)性時(shí),b的增量為

        Δb=b-0=b

        由式(10)的微分,可以得到q的增量

        秦鐵崖伸手示意:“這是刑部趙大人交給我的差事,現(xiàn)在交差。我已給老仙翁說好,騰一座小院出來,專供你表姐居住?!闭f罷拱手告辭。

        (11)

        對應(yīng)的相對誤差為

        (12)

        已知油滴的密度以及其他各參數(shù)值分別為

        p=1.01×105Pa

        b=8.22×10-3Pa·m

        g=9.79 m·s-2

        η=1.83×10-5kg·m-1·s-1

        而油滴的勻速下落速度基于實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果,這里可以取

        v=7.5×10-5m·s-1

        將全部參數(shù)代入式(11),可以得到Δq為負(fù)值,意味著若不考慮空氣的不連續(xù)性時(shí)將高估油滴的帶電荷量,并且可以計(jì)算出此時(shí)的相對誤差約為15.2%,因此,為了提高實(shí)驗(yàn)的精度,在測量油滴的帶電荷量時(shí)必須考慮空氣的不連續(xù)性的影響,需要對空氣的粘滯系數(shù)進(jìn)行修正.

        鑒于式(10)處理起來有點(diǎn)困難,比較方便的處理方法是將修正后的粘滯系數(shù)式(8)代入式(4)得

        (13)

        并且在數(shù)據(jù)處理時(shí),將油滴的半徑r用式(7)代入.

        可以證明這種處理方法對由于空氣的不連續(xù)性引起的系統(tǒng)誤差的消除上,與采用式(10)有幾乎等價(jià)的效果.由式(4)和(13),可得

        (14)

        于是有

        (15)

        將已知參數(shù)代入后可以得到該相對誤差值約為12%,與基于式(10)得到的15.2%比較接近,已經(jīng)基本包含了空氣的不連續(xù)性對油滴電荷量的影響.

        如果同時(shí)考慮空氣的浮力與空氣的不連續(xù)性,則油滴帶電荷量的精確表達(dá)式可寫為

        (16)

        該式可以充分消除油滴電荷量測量值中因浮力和空氣的不連續(xù)性所導(dǎo)致的系統(tǒng)誤差.相應(yīng)地,油滴電荷量的近似表達(dá)式(13)可以修正為

        (17)

        3 結(jié)束語

        在密立根油滴實(shí)驗(yàn)中,如果不計(jì)入空氣浮力和空氣的不連續(xù)性,會(huì)對油滴帶電荷量的測量結(jié)果產(chǎn)生系統(tǒng)誤差.在典型參數(shù)設(shè)置之下,可以發(fā)現(xiàn),忽略空氣浮力產(chǎn)生的相對誤差不超過0.1%,對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響是比較微小的,所以無論在靜態(tài)法還是動(dòng)態(tài)法中,都可以忽略油滴所受的空氣浮力.然而當(dāng)忽略空氣的不連續(xù)性、不均勻性時(shí),產(chǎn)生的相對誤差可以達(dá)到15.2%,導(dǎo)致測量結(jié)果有大的偏離,因此,在實(shí)驗(yàn)中必須考慮空氣的不連續(xù)性對空氣的粘滯系數(shù)的影響,從而提高油滴帶電荷量測量的精度.

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