簡蕾酈

(貴州省遵義市第四中學 貴州 遵義 563000)

函數(shù)思想就是用變量對應的觀點思考問題，緊扣定義，利用圖像和性質分析問題、轉化問題，進而使問題得以解決。自函數(shù)出現(xiàn)之后，數(shù)學家們在探索問題、進行科研的時候，就會產(chǎn)生運用函數(shù)思維的意識，并在使用中可以讓更多問題迎刃而解。據(jù)此，數(shù)學家總結了這種思維意識的共同點，即變化的量與不變的量之間存有一定關系，并借助變量這一要素解決數(shù)學問題，這就是函數(shù)思想。在此可以通過發(fā)現(xiàn)問題，依據(jù)問題的數(shù)學特征建立關系式，在此過程中挖掘隱含條件，能夠構建數(shù)學函數(shù)的模型，最后通過解答函數(shù)模型，解決問題。

1.近幾年高考試卷對函數(shù)思想考察的分析

1.1 對函數(shù)思想體現(xiàn)形式的分析。經(jīng)過對近幾年高考試卷中函數(shù)思想有關問題體現(xiàn)形式的分析，發(fā)現(xiàn)關于此類問題的呈現(xiàn)一目了然，有的是直接給出函數(shù)性質、圖像、等量關系，有的是需要進一步思考才能想到是要運用函數(shù)思想解決、有的函數(shù)思想則是直接隱藏在題干中。

此問題中的函數(shù)思想是通過外顯形式呈現(xiàn)的，題干中，直接給出了函數(shù)的等量關系、周期、定義域等信息，只需要使用函數(shù)思想中的周期性特點，分析分段函數(shù)的表達式，列出關于a的方程，然后求解。

經(jīng)過對近幾年高考試卷中函數(shù)思想問題的分析，發(fā)現(xiàn)外顯形式的問題數(shù)量與內(nèi)隱形式的問題相差不多，如2021年外顯與內(nèi)隱形式的問題數(shù)量分別為6道和5道。

1.2 對函數(shù)思想考察內(nèi)容的分析。經(jīng)過對近五年數(shù)學高考試卷進行詳細的分析，發(fā)現(xiàn)在導數(shù)、解三角形、概述概念、平面解析幾何、基本初等函數(shù)、數(shù)列等知識模塊中，都有滲透方程思想，其中基本初等函數(shù)領域中對于函數(shù)思想考察的題目數(shù)量最多，還有部分題型是此基本初等函數(shù)與其他知識模塊中知識的結合。經(jīng)過對各知識模塊中對函數(shù)思想的考察，可知高考試卷中在下面幾方面中考察學生的函數(shù)思想。分別為：基本初等函數(shù)問題中函數(shù)思想的考察，此考察學生對目標函數(shù)的概念、性質與圖像的掌握程度，函數(shù)中變量關系的分析；不等式的應用中，考察函數(shù)思想，需要學生有轉換視角，即在不等式中，能夠提取等量關系與函數(shù)關系，然后借助函數(shù)的形式表現(xiàn)出來，讓問題更加明朗；數(shù)列中函數(shù)思想的考察，即借助求解數(shù)列的某些性質、通項公式，此也都與函數(shù)有一定聯(lián)系。另外，還可引導學生用函數(shù)的眼光看數(shù)列，就像一種特殊的函數(shù)，其中定義域為正整數(shù)集，在此就可利用函數(shù)思想解決一些數(shù)列問題；導數(shù)的應用中函數(shù)思想的考察，導數(shù)是數(shù)學高考試題中的重難點，一般考察的是學生對函數(shù)、導數(shù)的單調性的認知，是否能借助導數(shù)，求解函數(shù)的最值與極值問題。此就是在導數(shù)問題解答中運用函數(shù)思想。

1.3 對函數(shù)思想考察要求的總體分析。經(jīng)過對近幾年高考試題中函數(shù)思想的考察分析，可以將對學生函數(shù)思想的考察，分為下面幾個水平：水平一，對于高中階段接觸的幾種函數(shù)，了解概念、基礎性質、圖像等知識。可以用函數(shù)解決簡單的數(shù)學問題，初步了解函數(shù)思想的價值與作用。水平二，在涉及函數(shù)思想的相關問題中，能夠提煉出題干中已知量與未知量，知道兩者的關系，進一步將復雜的數(shù)量關系簡單化，能夠使用對應的函數(shù)性質，解決數(shù)學問題[1]。水平三，能夠在綜合情境中，通過題目的文字信息，挖掘出隱藏的函數(shù)知識，如性質、等量關系等，以此擴展函數(shù)性質，將數(shù)學問題，轉換成函數(shù)問題，能夠構建新的方程，創(chuàng)造性的運用函數(shù)思想解決實際問題。

2.函數(shù)思想在數(shù)學教學中的應用

2.1 在數(shù)列教學中滲透函數(shù)思想。

2.1.1 在概念教學中滲透函數(shù)思想。高中數(shù)學課堂中對數(shù)列概念本質的教學滲透函數(shù)思想，可以助學生加強對數(shù)列概念的理解，另外還能鞏固函數(shù)思想。定義數(shù)列時，教材中指出，數(shù)列可以看成是以正整數(shù)集N+(或它的有限子集{1,2,…,n})為定義域的函數(shù)an=f(n)當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數(shù)值。只要教師帶領學生們想到這一層，就會從函數(shù)思想思考數(shù)列的概念，會發(fā)現(xiàn)數(shù)列實際上就是一個離散的函數(shù)，進一步加深對數(shù)列的記憶?；诖?，當學生掌握數(shù)列概念的時候，就會對函數(shù)思想有更多的認知。

2.1.2 在教授數(shù)列相關公式時滲透函數(shù)思想。對于高中數(shù)列部分的學習，同學們將主要學習兩類特殊數(shù)列——等差數(shù)列和等比數(shù)列，這兩類數(shù)列的定義、通項公式及其推導，前n項和公式及其推導都非常重要，教師在教授此過程知識的時候，引導學生將次與函數(shù)思維結合，引導學生從函數(shù)的角度探究前n項和與等差、等比數(shù)列通項公式，快速構建系統(tǒng)性知識脈絡。例如，學生在學習等差數(shù)列通項公式的內(nèi)容時，教師不妨引領學生，從以前學習的函數(shù)的角度分析數(shù)列，即將通項公式中的n當做自變量x，an做因變量y，所以等差數(shù)列的通項公式，就可看做一次函數(shù)y=kx+b，只是此處的x的取值范圍是正整數(shù)值。通過此，教師還可以引導學生掌握d在一次函數(shù)中的意義，即當自變量的數(shù)增加1，函數(shù)值的變化量為k。在此，還可以將公差d當做等差數(shù)列的斜率、導數(shù)與變化率。然后教師帶領學生畫出一次函數(shù)與等差數(shù)列的圖像，進一步知道等差數(shù)列的圖像，實際上就是在一條必經(jīng)點(1，a1)、斜率為d的直線上的，孤立的點。自此，若已知等差數(shù)列的首項和公差，就能結合直線的斜率方程，得到通項公式。如果知道等差出列的兩項，那么也結合直線的兩點方程，得到通項公式。

2.1.3 在例題講解中滲透函數(shù)思想。數(shù)列課堂例題講解環(huán)節(jié)中滲透函數(shù)思想是必要的，學生經(jīng)常會模仿教師們分析問題的過程，包括使用什么方法解題、書寫解題的步驟等。在此，教師在開展例題講解的時候，如果還使用傳統(tǒng)的常規(guī)講解法，不深入挖掘函數(shù)思想。那么學生在模仿下也不會深入思考，有時不能找到更簡單的方法解答問題。此與新課標提出的“重視數(shù)學思想的教學”理念是違背的，會讓學生在一定程度上，也忽視方程思想的運用?；诖?，在例題的講解中，教師不只要知道怎么進解，還要知道怎樣講才能揭示函數(shù)思想，加強對問題解答過程中，方法與思想的概括，讓學生能夠深刻的、更好的內(nèi)化函數(shù)思想。對于函數(shù)一章的例題講解，教師要先肯定學生的解題方法，然后深入引導，讓學生嘗試從函數(shù)的角度，再思考問題，使用函數(shù)思想解答問題。最后，將常規(guī)解答與使用函數(shù)思想解答問題的方法做比較，讓學生通過類比的方法，知道使用函數(shù)思想解題的好處，進而在后期做相關習題的時候，能夠嘗試使用函數(shù)思想解答，快速解答問題。

2.2 初等函數(shù)教學中函數(shù)思想的滲透。學生剛步入高中的時候就會接觸基本初等函數(shù)，而高考試卷中關于基本初等函數(shù)的試題，經(jīng)過千變?nèi)f化，更具深度與廣度[2]。如細胞分裂、人口增長等相關問題涉及指數(shù)型函數(shù)；溶液中PH值變化、地震時的地震級的破洞類問題涉及對數(shù)型函數(shù)；正方體的邊長和正方體體積的關系、氣體壓強與體積的關系等問題，涉及的是冪函數(shù)。由此可知基本函數(shù)的學習對學生們將來解決實際問題有重要意義。以對數(shù)與對數(shù)運算的教學為例，本節(jié)課的教學要建立在指數(shù)的教學上進行，因為是完全陌生的知識結構，所以更容易引入函數(shù)思想開展教學。近幾年的高考試卷中，數(shù)與對數(shù)的運算的習題也占有不小的比例，需要教師生重視，創(chuàng)建高效課堂。教學過程：情境導入，教師首先使用多媒體向學生展示細胞分裂的過程，緊接著提出疑問，請問經(jīng)過五次分裂后一個細胞變成了多少個呢？繼續(xù)追問，細胞個數(shù)達到512個需經(jīng)過幾次分裂呢？分裂次數(shù)如何表示你有什么好的想法嗎？在學生們完成問題的回答后，可以為對數(shù)概念進行定義，即ax=N(a>0，a≠1)，此時x就是以a為底，N的對數(shù)。在此，a就是底數(shù)，N是真數(shù)。然后教師對對數(shù)概念進行詳細的說明，如33=27就是以3為底，27的對數(shù)為3，在此將ax=N與33=27放在一起研究，就知道了指數(shù)與對數(shù)之間的關系。另外，如果一個對數(shù)的底數(shù)為10，此就是常用對數(shù)，直接基座log10N。在此要記住，并不是所有的指數(shù)都能轉化為對數(shù)式，只有a在大于零，不等于1的時候才可以。在學生們掌握對數(shù)式和指數(shù)式異同之后，就可做課后習題，在做題過程中，嘗試完成指數(shù)與對數(shù)式的互換，從指數(shù)的意義分析對數(shù)。

2.3 在不等式解題中滲透函數(shù)思想。利用函數(shù)思想解決高中數(shù)學中的不等式問題時，常常需借助函數(shù)圖像和整體換元等方法。

首先，函數(shù)的圖像一直是歷年來中考試卷中高頻出現(xiàn)的，在不等式問題的解答中使用函數(shù)圖像，可以讓問題變得更加直接與形象，即使是復雜的不等式問題，通過位置的呈現(xiàn)，會讓學生的觀察更具直觀性，將抽象的問題具體化。在此教師要教授學生掌握函數(shù)圖像的一般變化規(guī)律，可以從實際角度入手，簡化不等式問題的解題步驟。下面借助對應的不等式問題的講解，助學生更好的把握解題思維與過程。

分析，對于此問題的解答，可以通過作圖的形式，即做出y=2x-m和y=f(x)的圖像。分析題干中的條件，因為不等式f(x)≥2x-m恒成立，那么畫出函數(shù)y=2x-m的圖像，會發(fā)現(xiàn)其一直在y=f(x)的下側[3]。因此，當x=-2時，y=-m-4則小于等于0，可以得到m大于等于-4，由此可以得到實數(shù)m的取值范圍為[-4，+∞)

經(jīng)過本問題的分析，可知高中數(shù)學中不等式問題的解答多是和函數(shù)圖像結合的，可以結合不等式問題，繪制一個或者兩個對應的函數(shù)，在直角坐標系中根據(jù)圖像的位置關系，直接確定參數(shù)范圍?？偟膩碚f，借助數(shù)形結合的方法解決不等式問題，核心就構造函數(shù)，只要學生們感悟這一點，就可快速的解答不等式問題。

其次，函數(shù)思想是2022高考試卷解答中常用的思想，也是學生們解題時使用最頻繁的思維。在解答不等式問題的時候，函數(shù)思想的運用下，可以轉化題干中給出的信息，以此快速分析問題，解決問題，從不等式中數(shù)量關系著手，建立成熟的數(shù)學模型，然后解答。

最后，對于不等式中最值問題的研究，注重對式子的等價變形，高中階段的學生要在數(shù)量掌握基本初等函數(shù)的概念、性質、圖像基礎上，將不等式中的復雜的、不常見的函數(shù)轉化為基本函數(shù)，通過此為解題提供便捷[4]。在此，最常見的不等式形式是F(x)=f(x)-g(x)，大于或者小于零恒成立的題型，此也可以等價轉化為[f(x)]min>(或者<)[g(x)]min的最值問題。在解答此類問題的時候，要明確哪一個是自變量，哪一個是參數(shù)，這兩個量在特定情況系還可以互相轉化，所以在實際解答中，經(jīng)常是最值問題與恒成立的問題結合的形式呈現(xiàn)。

結論

函數(shù)是高中數(shù)學學習的主線，是高中數(shù)學最重要的內(nèi)容之一，學生學好函數(shù)，掌握函數(shù)思想，對他學好高中數(shù)學將產(chǎn)生巨大的促進作用。學生們在初中階段，雖然接觸過函數(shù)思想，但是到了高中，接觸的函數(shù)知識更多與更復雜，遇到相關問題不知如何用函數(shù)思想解答問題，就產(chǎn)生了畏懼感。通過本文對函數(shù)思想在高中數(shù)學教學中的運用，讓學生的解題有數(shù)學思想做支撐，將數(shù)學學習變得更有趣與豐富多彩。