王瑞星， 徐清華， 劉 爍， 吳克堅(jiān)

(空軍軍醫(yī)大學(xué) 基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院，陜西 西安 710032)

0 引言

變限積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)作為高等數(shù)學(xué)定積分的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，本質(zhì)是為了說(shuō)明任何連續(xù)函數(shù)總有原函數(shù)存在，并由此引出高等數(shù)學(xué)中極為重要的微積分基本定理，從而將微分與積分緊密地結(jié)合起來(lái)。但是查閱《高等數(shù)學(xué)》[1]教材以及數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的《數(shù)學(xué)分析》[2]教材，發(fā)現(xiàn)針對(duì)變限積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，大都只說(shuō)明了變上限積分函數(shù)的物理意義和幾何意義并給出這類(lèi)函數(shù)的求導(dǎo)定理及其證明過(guò)程，對(duì)于一般化的變限積分函數(shù)及其求導(dǎo)并沒(méi)有具體討論。然而，在實(shí)際教學(xué)與歷年競(jìng)賽、考研題目中，對(duì)于變限積分函數(shù)的求導(dǎo)經(jīng)常是考察的重難點(diǎn)，同時(shí)也是困擾學(xué)生的一個(gè)大難題。尤其對(duì)于變限積分函數(shù)的一般化求導(dǎo)公式，雖然公式形式簡(jiǎn)單，但是學(xué)生記憶起來(lái)比較困難，不易理解公式原理，不知如何推導(dǎo)。為此，周少波等[3]討論了含參量的變限積分函數(shù)的求導(dǎo)公式，但最終給出的求導(dǎo)公式是

仔細(xì)觀察這個(gè)公式，發(fā)現(xiàn)公式的右邊β′(x)f(β(x),t)和α′(x)f(α(x),t)應(yīng)該是β′(x)f(x,β(x))和α′(x)f(x,α(x))，而不應(yīng)該再有t的出現(xiàn)，因?yàn)楣阶筮吺菍?duì)t進(jìn)行積分。呂紀(jì)榮等[4]給出的求導(dǎo)公式也存在同樣的問(wèn)題，但他們的證明過(guò)程是完全正確的。張磊等[5]也分析了變限積分函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，而他們直接應(yīng)用了微積分基本公式給出了相應(yīng)的證明過(guò)程，與教材中這部分內(nèi)容的編排順序不相符合，不利于學(xué)生的理解。宋傳靜[6]比較系統(tǒng)地總結(jié)了變限積分函數(shù)由易到難的求導(dǎo)公式，但是對(duì)于公式并沒(méi)有作推導(dǎo)與證明。本文針對(duì)此類(lèi)問(wèn)題，給出變限積分函數(shù)更為一般化的求導(dǎo)公式，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義給出了詳細(xì)的證明過(guò)程，并重點(diǎn)結(jié)合部分考研、高數(shù)競(jìng)賽題目分析了其如何應(yīng)用，便于學(xué)生學(xué)習(xí)掌握。

1 積分上限函數(shù)的求導(dǎo)公式

定理1[1]如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么積分上限的函數(shù)

在[a,b]上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)

證明詳見(jiàn)《高等數(shù)學(xué)》教材[1]。

定理1的本質(zhì)是說(shuō)明連續(xù)函數(shù)總有原函數(shù)存在，并且其變上限積分就是其原函數(shù)之一，同時(shí)也揭示了定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系。在實(shí)際教學(xué)中，教師還應(yīng)該結(jié)合積分上限函數(shù)的物理意義和幾何意義進(jìn)一步分析講解，以便于學(xué)生加深理解。

解首先利用換元法對(duì)方程右邊的積分進(jìn)行簡(jiǎn)單變形，令x-t=u，則

利用定理1，對(duì)方程兩邊同時(shí)關(guān)于x求導(dǎo)得

(1)

2 廣義的變限積分函數(shù)求導(dǎo)公式

F′(x)=f[β(x)]β′(x)-f[α(x)]α′(x)。

證明由導(dǎo)數(shù)的定義可知，

再由

根據(jù)積分中值定理，存在0≤ξ≤1、0≤η≤1使得

所以有

3 廣義的含參變量的變限積分函數(shù)求導(dǎo)公式

證明由導(dǎo)數(shù)的定義可知，

再由

及定積分的可加性得

根據(jù)積分中值定理，存在0≤ξ≤1,0≤η≤1使得

f(x+Δx,β(x+ξΔx))(β(x+Δx)-β(x))-f(x+Δx,α(x+ηΔx))(α(x+Δx)-α(x))，

所以有

由于α(x),β(x)在區(qū)間[c,d]上可微，二元函數(shù)f(x,t)在區(qū)域D上連續(xù)，因此當(dāng)Δx→0時(shí)，有

綜上可得

至此，發(fā)現(xiàn)定理1和定理2的結(jié)論公式其實(shí)都是定理3的特例。定理3的求導(dǎo)公式更為一般化，可以囊括大部分變限積分函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，適用范圍更廣一些。在實(shí)際教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生的掌握情況，應(yīng)該對(duì)這部分知識(shí)點(diǎn)在教材的基礎(chǔ)上做必要的拓展與說(shuō)明，讓學(xué)生能更加輕松應(yīng)對(duì)不同類(lèi)型的題目。

所以

解2這里不再利用換元法，直接用洛必達(dá)法則和定理3得

解1利用定理2得

解2直接利用定理3，得

因此本題正確答案是A。

解利用定理3，將y看作x的函數(shù)，然后對(duì)

兩邊同時(shí)關(guān)于x求導(dǎo)得

所以，

解1首先利用換元法，令u=x2-t2，則

du=d(x2-t2)=-2tdt，

替換上下限和被積表達(dá)式，得

利用變限積分求導(dǎo)公式得

解2上面的解題方法用到了換元法，然后利用了定理2的結(jié)論，這里可以直接利用定理3得

解1首先利用換元法，令u=x-t，則

du=-dt,

解2上面的解題方法用到了換元法，然后利用了定理1，這里可以直接利用定理3得

解1首先利用換元法，令u=x-t，則

du=-dt，

由洛必達(dá)法則,得

解2解1用到了換元法，然后利用了定理1，這里可以直接利用定理3和洛必達(dá)法則，得

從上述歷年考研、競(jìng)賽題目的求解過(guò)程可以看出，如果能掌握定理1、2、3，就可以比較輕松地應(yīng)對(duì)這類(lèi)型題目，快速找到求解思路，而且也會(huì)大大簡(jiǎn)化求解過(guò)程，這也從一定程度上反映出變限積分函數(shù)求導(dǎo)公式的重要性。

4 結(jié)論

變限積分函數(shù)作為一類(lèi)特殊函數(shù)，其求導(dǎo)問(wèn)題一直倍受考研、各類(lèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的關(guān)注，而這一類(lèi)函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題往往是學(xué)生的一個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)，也是教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)?？紤]到現(xiàn)行教材中對(duì)這部分知識(shí)講解的深度與廣度，本文基于教材的指引，將變上限積分函數(shù)的求導(dǎo)公式進(jìn)一步推廣到廣義的變限積分函數(shù)的求導(dǎo)和廣義的含參變量的變限積分函數(shù)的求導(dǎo)，并基于導(dǎo)數(shù)的定義給出了詳細(xì)的推導(dǎo)證明過(guò)程，最后輔助部分考研、競(jìng)賽題目，說(shuō)明了廣義的變限積分函數(shù)求導(dǎo)公式的具體應(yīng)用。對(duì)變限積分函數(shù)的求導(dǎo)進(jìn)行了更深層次的探討，有助于學(xué)生理清這部分知識(shí)點(diǎn)的脈絡(luò)，提升對(duì)變限積分函數(shù)求導(dǎo)的宏觀把握，同時(shí)也可以幫助授課教師對(duì)這部分知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行歸納整理，進(jìn)一步提升授課質(zhì)量。