張 輝, 李應(yīng)岐，方曉峰，王 靜

(火箭軍工程大學(xué) 基礎(chǔ)部，陜西 西安 710025)

0 引言

在空間曲線學(xué)習(xí)中，常常會(huì)遇到一個(gè)特殊的空間圓周Γ，它是由球心為M(x0,y0,z0)、半徑為a(a>0)的空間球面與過球心M的平面A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0(A、B、C不全為零)相交所得，則此空間圓周Γ的一般方程為

在某些實(shí)際問題中，需要利用空間圓周Γ的參數(shù)方程方便求解，那么如何得到空間圓周Γ的參數(shù)方程呢？

1 空間圓周的參數(shù)方程

空間圓周Γ作為一類特殊的空間曲線[1-3]，為了求出Γ的參數(shù)方程，下面分3種情形進(jìn)行分析討論。

情形1系數(shù)A、B、C中一個(gè)不為零而其他兩個(gè)均為零。

不妨假設(shè)A≠0、B=0、C=0，則過球心M的平面方程為x-x0=0，將其代入球面方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=a2中得(y-y0)2+(z-z0)2=a2。記y=y0+acost、z=z0+asint，故空間圓周Γ的參數(shù)方程為

式中，0≤t<2π。對(duì)于A=0、B≠0、C=0和A=0、B=0、C≠0的兩種情形同理可得。

情形2系數(shù)A、B、C中兩個(gè)不為零而其他一個(gè)為零。

式中，0≤t<2π。對(duì)于A=0、B≠0、C≠0和A≠0、B=0、C≠0的兩種情形同理可得。

情形3系數(shù)A、B、C全不為零。

為方便求解，作平移變換

即得到一個(gè)新的空間圓周?！洌?/p>

下面先求解空間圓周?！涞膮?shù)方程，進(jìn)而得到空間圓周Γ的參數(shù)方程。因?yàn)?A,B,C)和(-A,-B,-C)都可以作為空間平面AX+BY+CZ=0的法向量，為研究方便起見，不妨假設(shè)C>0。

故空間圓周Γ的參數(shù)方程為

(1)

其中，0≤t<2π ，對(duì)于系數(shù)A、B、C全不為零時(shí)空間圓周Γ的參數(shù)方程的求解問題，還可以利用球面的參數(shù)方程解決。

由球面坐標(biāo)變換，記

0≤φ≤π，0≤θ<2π，代入方程AX+BY+CZ=0中得

Asinφcosθ+Bsinφsinθ+Ccosφ=0，

此時(shí)便有

其中，0≤θ<2π。

以上是從兩個(gè)不同角度分析得到空間圓周Γ的參數(shù)方程。此時(shí)需要關(guān)注的一個(gè)問題是，方法一中的參數(shù)t與方法二中的參數(shù)θ是否有內(nèi)在的聯(lián)系呢？為了研究此問題，從此空間圓周上一些特殊的點(diǎn)出發(fā)來尋找答案。令t=0，對(duì)應(yīng)空間圓周Γ上的點(diǎn)記為A，其坐標(biāo)為

且處在空間直角坐標(biāo)系第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅷ卦限內(nèi)。利用MATLAB可以描繪出此空間圓周Γ以及其上的關(guān)鍵點(diǎn)，如圖1所示。

圖1 球面x2+y2+z2=1與平面x+y+z=0相交所得的空間曲線Fig.1 Intersection curve of the sphere x2+y2+z2=1 and plane x+y+z=0

值得注意的是，空間圓周

圖2 空間曲線在xOy坐標(biāo)面上的投影曲線Fig.2 Projective curve in xOy coordinate surface

2 兩個(gè)應(yīng)用

對(duì)于情形3，利用所得的空間圓周Γ的參數(shù)方程(1)，通過計(jì)算可得

進(jìn)而

若將參數(shù)方程(1)看成空間某質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程，則該質(zhì)點(diǎn)是作勻速率為a、勻加速率為a的空間圓周運(yùn)動(dòng)。借助于圖1，可以看成該質(zhì)點(diǎn)從起始點(diǎn)(位置A)經(jīng)時(shí)間π/2運(yùn)動(dòng)到位置點(diǎn)D,再經(jīng)時(shí)間π/2運(yùn)動(dòng)到位置點(diǎn)E,又經(jīng)時(shí)間π/2運(yùn)動(dòng)到位置點(diǎn)G,最后經(jīng)時(shí)間π/2運(yùn)動(dòng)到起始點(diǎn)(位置A)，且從z軸正向來看按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)。也就是說，參數(shù)方程(1)中的參數(shù)t可以看成質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

其中，a>0，A、B、C全不為零。對(duì)于此問題，參數(shù)方程(1)中的參數(shù)t的取值范圍[0,2π]，利用化第一類曲線積分為定積分的方法可得

需注意的是，如果積分曲線Γ不是封閉空間圓周，但只要知道參數(shù)方程(1)中參數(shù)t的取值范圍，便可確定定積分的上限和下限進(jìn)而利用微積分基本公式來求解。

3 結(jié)語

本文研究了過球心的平面與球面相交所得空間圓周的參數(shù)方程問題，根據(jù)系數(shù)的取值特點(diǎn)分3種情形進(jìn)行了分析討論，并介紹了參數(shù)方程的物理意義以及在第一類曲線積分計(jì)算中的應(yīng)用。