韋碧鵬，黎會(huì)蘭，蒙 仁

（1.柳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣西 柳州 545006；2.北部灣大學(xué)，廣西 欽州 535011）

0 引言

為了增加商品的銷量，通過降低商品的價(jià)格來增加利潤的方式簡稱為“薄利多銷”。在現(xiàn)實(shí)生活中，很多商家都是通過這種策略來擴(kuò)大銷售的。根據(jù)彈性分析理念，如果商品價(jià)格下降，那么富有彈性商品的需求量將會(huì)增加，其增加的幅度將會(huì)大于商品價(jià)格下降的幅度，從而使得所產(chǎn)生的利潤增加，“薄利多銷”的方式在實(shí)際生產(chǎn)經(jīng)營活動(dòng)中已經(jīng)被廣泛應(yīng)用。本文以2019年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽E題為例，對“薄利多銷”所產(chǎn)生的問題進(jìn)行分析和研究。

問題一：問題中給出了商場2016年11月30日到2019年1月2日（以下簡稱“促銷時(shí)間”）的銷售流水?dāng)?shù)據(jù)，計(jì)算其每天的營業(yè)額和利潤率（注意：由于復(fù)雜因素的影響，所得到非打折商品成本價(jià)的數(shù)據(jù)是不完備的，一般情況下，零售商的利潤率為20%～40%)。

問題二：根據(jù)對題目的理解，建立合適的指標(biāo)和商場打折力度的數(shù)學(xué)模型，并對商場促銷時(shí)間每天的打折力度進(jìn)行計(jì)算。

問題三：運(yùn)用題目所給數(shù)據(jù)，分析打折力度與銷售額、利潤率之間的關(guān)系。

問題四：在問題三的基礎(chǔ)上，根據(jù)商品的大類進(jìn)行區(qū)分，分析打折力度與銷售額、利潤率之間的關(guān)系。

1 問題一模型的建立與求解

1.1 原始數(shù)據(jù)的預(yù)處理

問題一要計(jì)算出商場每天的營業(yè)額和利潤率，首先要建立數(shù)據(jù)匹配的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用SQL Server2014軟件[1]把促銷時(shí)間的商品銷售流水記錄表進(jìn)行整合，得到銷售流水記錄原始表，共1221855條數(shù)據(jù)。通過觀察銷售流水記錄表，發(fā)現(xiàn)銷售流水記錄原始表不屬于完備的數(shù)據(jù)，存在著不完備的數(shù)據(jù)現(xiàn)象。一方面，銷售記錄原始表中存在著顧客未完成的訂單數(shù)據(jù)（96664條數(shù)據(jù)），這些數(shù)據(jù)對于問題的處理沒有任何意義，因此，需要對未完成訂單數(shù)據(jù)進(jìn)行剔除。另一方面，銷售流水記錄原始表中存在著大量的商品成本價(jià)格缺失，缺失數(shù)據(jù)占總數(shù)據(jù)的64.1%。舍棄這些數(shù)據(jù)對結(jié)果的準(zhǔn)確性將造成較大影響。經(jīng)過對問題和數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，本研究將對成本缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行修復(fù)，其中數(shù)據(jù)缺失情況分為以下三種：單件商品銷售記錄中從未出現(xiàn)過成本價(jià)；單件商品銷售記錄中出現(xiàn)過成本價(jià)，但仍存在成本價(jià)缺失；單件商品銷售記錄中沒有成本價(jià)缺失。

針對以上三種情況，研究使用SQL Server2014軟件將從未出現(xiàn)過成本價(jià)的數(shù)據(jù)、出現(xiàn)過成本價(jià)但仍存在成本價(jià)缺失、沒有成本價(jià)缺失的數(shù)據(jù)分別取出，得到從未出現(xiàn)成本價(jià)表、出現(xiàn)成本價(jià)表、未缺失成本價(jià)表，接著對從未出現(xiàn)成本價(jià)表、出現(xiàn)成本價(jià)表進(jìn)行以下處理[2-3]。

對出現(xiàn)過成本價(jià)的商品以成本價(jià)為目標(biāo)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行去重，得到商品出現(xiàn)過成本價(jià)的信息，再根據(jù)成本價(jià)信息求出利潤率的均值，以利潤率均值為標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算并填充相同商品中成本為空的數(shù)據(jù)。

對從未出現(xiàn)過成本價(jià)的數(shù)據(jù)，將以相同的門店價(jià)利潤率為指標(biāo)，對未出現(xiàn)過成本價(jià)的數(shù)據(jù)進(jìn)行成本價(jià)計(jì)算并填充；對存在的有效打折商品，按促銷開始時(shí)間和結(jié)束時(shí)間為條件，商品編號為表示與銷售記錄表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行匹配，發(fā)現(xiàn)還存在有113條數(shù)據(jù)成本價(jià)為空，即可用折扣信息表在促銷時(shí)間內(nèi)對應(yīng)的商品成本價(jià)填充，且將門店價(jià)、銷售價(jià)及成本價(jià)之間不合理的數(shù)據(jù)進(jìn)行剔除（如成本價(jià)〉門店價(jià)）。

1.2 商場營業(yè)額和利潤率的模型與求解

使用SQL Server2014軟件將處理后的從未出現(xiàn)成本價(jià)表、出現(xiàn)成本價(jià)表以及未缺失成本價(jià)表進(jìn)行整合，最終得到完整銷售記錄表，總共1125132條數(shù)據(jù)，接著為計(jì)算出商場每天的營業(yè)額和利潤率建立營業(yè)額和利潤率相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，分別如下。

營業(yè)額數(shù)學(xué)模型：

利潤率數(shù)學(xué)模型：

根據(jù)模型（1）和模型（2），運(yùn)用SQL Server2014軟件進(jìn)行計(jì)算，得到每日營業(yè)額表和每日利潤率表，見表1所示。

表1 商品每日營業(yè)額表和每日利潤率表

2 問題二模型的建立與求解

針對問題二，要計(jì)算商場促銷時(shí)間每天的打折力度[4-5]，首先需要建立單件商品打折力度的數(shù)學(xué)模型，具體如下。

單件商品打折力度數(shù)學(xué)模型：

由于商場每天銷售的商品種類繁多，因此，要計(jì)算出商場每天的打折力度，有以下幾種方法：第一，計(jì)算出總的商品銷售額和總的商品門面價(jià)格，運(yùn)用模型（3）進(jìn)行求解，從而得出每天商場的折扣率；第二，運(yùn)用模型（3）把每天商場銷售每種商品的折扣率都計(jì)算出來，然后對其求平均值；第三，考慮商品的屬性不一樣和顧客的偏向問題，采用線性加權(quán)的方法，建立多個(gè)商品打折力度的數(shù)學(xué)模型，接著運(yùn)用問題一原始數(shù)據(jù)預(yù)處理所得到的完整銷售記錄表，從而得出每天商品的打折力度。

以上第一、第二種方法沒有考慮到商品的屬性不一樣和顧客的偏向問題，因此，采用線性加權(quán)的方法，建立多個(gè)商品打折力度的數(shù)學(xué)模型，具體如下。

其中T打折力度表示每天商場的打折力度，Mi表示第i種商品的門面價(jià)格，Xi表示第i種商品的銷售價(jià)格，Wi表示第i種商品的顧客偏好（即權(quán)重）。

結(jié)合模型（3），可以把模型（4）變?yōu)椋?/p>

為計(jì)算出每天的打折力度，根據(jù)顧客的偏好，本研究以顧客購買第i種商品的數(shù)量與當(dāng)天商品銷售總數(shù)量之比作為第i種商品的權(quán)重值，基于此，模型（5）可改進(jìn)如下：

其中，Si表示第i種商品的銷售數(shù)量，S表示當(dāng)天商品銷售的總數(shù)量。

運(yùn)用問題一原始數(shù)據(jù)預(yù)處理所得到的完整銷售記錄表，結(jié)合模型（6），可以得出商場促銷時(shí)間每天的打折力度，具體如表2所示。

表2 每天商場的打折力度

3 問題三模型的建立與求解

針對問題三，分析打折力度與其他兩個(gè)因素銷售額與利潤率的關(guān)系，以便從數(shù)據(jù)中挖掘出其隱含的信息。按照每天商品和單件商品兩個(gè)角度進(jìn)行分析，對打折力度、銷售額以及利潤率之間的關(guān)系進(jìn)行相關(guān)性分析和線性回歸擬合，最后運(yùn)用隨機(jī)數(shù)據(jù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型驗(yàn)證所得模型的正確性。

3.1 每天商品角度分析

通過運(yùn)用SQL serve2014軟件計(jì)算并篩選每天打折力度、每天商品銷售額、每天利潤率的數(shù)據(jù)，得到每天打折信息表（736條數(shù)據(jù)）。將每天打折信息表導(dǎo)入SPSS軟件，使用皮爾遜相關(guān)系數(shù)[6]進(jìn)行分析，得到如下結(jié)果。

皮爾遜相關(guān)系數(shù)：

表3 每天商品打折力度、銷售額以及利潤率的相關(guān)性

從表3可知，每天商品的打折力度與商品利潤率的皮爾遜相關(guān)性值為-0.685，它們具有負(fù)相關(guān)性，每天商品的打折力度與商品銷售額的皮爾遜相關(guān)性值為0.431，它們存在著一定的關(guān)聯(lián)。通過觀察每天商品的打折力度、商品利潤率以及商品銷售額的顯著性關(guān)系，發(fā)現(xiàn)它們之間存在著非常顯著的關(guān)系?；诖耍狙芯窟\(yùn)用回歸分析法建立相應(yīng)的回歸分析模型[7]，具體如下。

將每天打折信息表導(dǎo)入SPSS軟件中，運(yùn)用回歸分析中的逐步回歸分析法對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到每天商品的打折力度、商品利潤率以及商品銷售額的關(guān)系模型：

為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性，隨機(jī)抽取50條樣本數(shù)據(jù)對模型（7）進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果如圖1所示。

圖1 模型（7）預(yù)測值與真實(shí)值數(shù)據(jù)對比

通過圖1檢驗(yàn)結(jié)果可知，研究建立的模型（7）通過了檢驗(yàn)，即模型（7）能夠表示每天商品的打折力度、商品利潤率以及商品銷售額的關(guān)系。

為進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性，研究運(yùn)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對每天商品信息作進(jìn)一步分析，使用python3.7編程語言調(diào)用tensorflow2.0建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，將每天打折信息表導(dǎo)入后，以銷售額、利潤率作為自變量，打折力度作為因變量，建立多元線性回歸模型。初始化兩個(gè)權(quán)重：model.add(layers.Dense(1,input_dim=2))，接著使用adam優(yōu)化算法與均方差編譯模型：model.compile(optimizer='adam',loss='mse')，將模型配置好后即可對模型進(jìn)行數(shù)據(jù)訓(xùn)練。將每天打折信息表代入模型訓(xùn)練（model.fit(x,y,epochs=1000)），訓(xùn)練次數(shù)為1000。訓(xùn)練結(jié)束后發(fā)現(xiàn)模型的損失函數(shù)沒有得到飽和的趨勢，但是，已經(jīng)被降到了很低的值，隨機(jī)代入一條數(shù)據(jù)進(jìn)行檢測。

圖2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對隨機(jī)一條數(shù)據(jù)檢測結(jié)果

由上圖中可知，預(yù)測的打折力度為0.09276434，對模型作進(jìn)一步檢測，隨機(jī)取10條數(shù)據(jù)，得出以下情況。

表4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對商品打折力度的預(yù)測值

從上表中，得到模型的預(yù)測值和真實(shí)值較為接近，即從另外的角度驗(yàn)證了模型（7）的正確性。

3.2 單件商品角度分析

與上述方法相同，運(yùn)用SQL serve2014軟件將每件商品的打折力度、商品銷售額以及商品利潤率的數(shù)據(jù)求出，將數(shù)據(jù)導(dǎo)入SPSS軟件中，對單件商品的打折力度、商品銷售額以及商品利潤率進(jìn)行相關(guān)性分析，得到如下結(jié)果。

圖3 單件商品打折力度、銷售額以及利潤率的相關(guān)性

從圖3可知，單件商品的打折力度與單件商品利潤率的皮爾遜值為-0.328，它們的關(guān)系呈負(fù)相關(guān)。單件商品的打折力度與單件商品銷售額的皮爾遜值為0.016，其顯著性大于0.01，顯著性不強(qiáng)，基于此，研究對數(shù)據(jù)進(jìn)行矩陣散點(diǎn)圖分析，得到如下結(jié)果。

圖4 單件商品打折力度、銷售額以及利潤率的矩陣散點(diǎn)圖

首先，運(yùn)用SQL Server2014軟件對完整銷售記錄表的商品信息表以類目的形式進(jìn)行匹配，從而得到各類目下的銷售記錄表。接著，從一級類目、二級類目和三級類目的角度分別對打折力度與銷售額、利潤率進(jìn)行相關(guān)性分析，建立對應(yīng)的關(guān)系模型。

研究先對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，使用SQL Server2014軟件求出每件商品的利潤率、打折力度、銷售額，得到每件商品打折信息表（共7325條數(shù)據(jù)）。接著，將商品打折信息表和商品的信息類目進(jìn)行數(shù)據(jù)匹配，發(fā)現(xiàn)一些數(shù)據(jù)與商品的信息類目表數(shù)據(jù)無法匹配，即商品打折信息表中的一些商品信息查詢不到。為得到完整的數(shù)據(jù)表，將舍去這些數(shù)據(jù)，最終得到以類目進(jìn)行分類的數(shù)據(jù)（共6570條數(shù)據(jù)）。

從一級類目的角度分析商品打折力度、商品銷售額以及商品利潤率的關(guān)系，將一級商品類目數(shù)據(jù)表導(dǎo)入SPSS軟件中，使用SPSS軟件的相關(guān)性分析功能，對商品打折力度、商品銷售額以及商品利潤率進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)它們之間的相關(guān)關(guān)系不強(qiáng)。運(yùn)用回歸模型檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)它們之間的顯著性指標(biāo)過高，因此，得不到一個(gè)好的線性規(guī)劃模型。

從二級類目的角度對其作相關(guān)性分析，發(fā)現(xiàn)商品打折力度與商品利潤率的皮爾遜值為-0.519，具有負(fù)相關(guān)性。然而，商品打折力度與商品銷售額沒有相關(guān)關(guān)系，因此，運(yùn)用SPSS對二級類目下的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸擬合，得到二級類目下的線性回歸模型：

從三級類目的角度分析，與二級類目的角度分析結(jié)論類似。發(fā)現(xiàn)商品打折力度與商品利潤率的皮爾遜值為-0.313，具有負(fù)相關(guān)性。然而，商品打折力度與商品銷售額沒有相關(guān)關(guān)系，因此，運(yùn)用SPSS對三級類目下的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸擬合，得到三級類目下的線性回歸模型：

從矩陣散點(diǎn)圖可以看出，單件商品打折力度、銷售額以及利潤率的關(guān)系都沒有呈現(xiàn)出明顯的線性關(guān)系。

4 問題四模型的建立與求解

在問題三的基礎(chǔ)上，根據(jù)商品的大類進(jìn)行區(qū)分，分析打折力度與銷售額、利潤率之間的關(guān)系。

將二級類目下的模型、三級類目下的模型以及模型7進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)商品類目下線性回歸模型的銷售額顯著性普遍偏高。隨機(jī)抽取50條數(shù)據(jù)，將三個(gè)模型代入進(jìn)行驗(yàn)證，將結(jié)果進(jìn)行線性圖繪制。

從上圖中可知，二級類目下的模型與原模型的折線圖幅度波動(dòng)較為接近，二級類目和三級類目間的數(shù)據(jù)十分接近，因此，得出每天的商品打折力度對二級類目下商品的打折力度影響不大的結(jié)論。

5 模型的分析、推廣及改進(jìn)

5.1 模型分析

薄利多銷模型的建立，有助于全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽工作的開展，對參賽學(xué)校和學(xué)生提高競賽水平具有一定的參考意義，為學(xué)生掌握大數(shù)據(jù)分析技術(shù)奠定了必要的基礎(chǔ)。薄利多銷模型的建立和分析，操作性強(qiáng)，便于實(shí)現(xiàn)，在大數(shù)據(jù)時(shí)代應(yīng)用價(jià)值高，對傳統(tǒng)實(shí)體店的運(yùn)營具有一定的指導(dǎo)意義。

5.2 模型推廣

該模型以大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽為背景，問題為實(shí)際問題，根據(jù)商場的銷售流水記錄、折扣信息表以及商品信息表，分別建立了薄利多銷的銷售額、利潤率以及打折力度的數(shù)學(xué)模型，分析它們之間的關(guān)系。模型可推廣到各大商場和電商平臺中，例如大潤發(fā)實(shí)體店、天貓、淘寶、京東等。

5.3 模型改進(jìn)

第一，在問題三中，檢驗(yàn)所建立的模型正確性時(shí)，隨機(jī)運(yùn)用少量的數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行檢驗(yàn)，雖然得到的結(jié)果比較好，但是，建議運(yùn)用大量的數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行檢驗(yàn)效果更好；第二，分析商品打折力度、商品銷售額以及商品利潤率之間的關(guān)系，如果能從時(shí)間的角度進(jìn)一步分析不同時(shí)段商品打折力度、商品銷售額以及商品利潤率的關(guān)系，其所得結(jié)果和應(yīng)用價(jià)值將會(huì)更好。

6 結(jié)語

薄利多銷是商家擴(kuò)大銷售的一種策略。為了研究薄利多銷的數(shù)學(xué)模型，本文結(jié)合2019年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽E題進(jìn)行研究，詳細(xì)地對商場薄利多銷的銷售流水記錄進(jìn)行分析和建模，分別得到了營業(yè)額和利潤率、商品打折力度、銷售額及利潤率的數(shù)學(xué)模型，且通過數(shù)據(jù)比較和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法驗(yàn)證提出模型的正確性和有效性，從而為商家促銷提供數(shù)據(jù)依據(jù)。