沙智華，馮琳琳，馬付建，宋秀瑩，王紫光，張生芳

（1.大連交通大學，大連 116028；2.徐州徐工礦業(yè)機械有限公司，徐州 221000）

復雜曲面多軸聯(lián)動數(shù)控加工中，由于機床旋轉(zhuǎn)軸運動的影響，相鄰刀位點的刀具軌跡并非理想插補直線段，而是連接該直線段的一條空間曲線，兩者之間的差值稱為非線性誤差。非線性誤差的存在會嚴重影響曲面的加工精度，因此國內(nèi)外學者針對非線性誤差的分析及補償開展了很多研究。目前針對非線性誤差的研究大多針對四軸、五軸聯(lián)動數(shù)控機床，補償原理通常為對刀位點數(shù)據(jù)進行密化，主要方法有步長控制法、誤差離散化及中值插補法等。Banks等[1]提出了面向非線性、時變問題的完全非線性誤差方程，并利用輔助誤差方程對離散化誤差進行了逐點估計。楊旭靜等[2]分析了線性插補旋轉(zhuǎn)軸引起的在與走刀方向垂直的平面內(nèi)的非線性誤差及其影響因素。代子陽等[3]提出了刀位中點線性加密法，該方法可以預測最大誤差的產(chǎn)生位置，實現(xiàn)對五軸數(shù)控加工中非線性誤差的有效控制。高東強等[4]分析了四軸聯(lián)動數(shù)控機床的運動特點，并獲得最大非線性誤差計算公式，確定了影響誤差的主要因素，提出通過步長控制減小非線性誤差。陳健金等[5]分析了非線性誤差的產(chǎn)生原理，進而建立了能控制非線性誤差的誤差與旋轉(zhuǎn)軸角度間運算關(guān)系。Qazani等[6]為獲得最小非線性誤差速率，通過圖像處理試驗驗證了Tustin和非線性誤差方程的求解結(jié)果。王妮娜等[7]建立了自主研發(fā)的五軸聯(lián)動機床非線性誤差模型，并通過中值插補法進行誤差控制。張陽等[8]分析了非線性誤差的起因并驗證了一種基于時間分割法的插補算法。李杰等[9]通過誤差建模系統(tǒng)性地分析了五軸數(shù)控機床空間定位精度改善方法。王玉濤等[10]通過對刀具姿態(tài)進行插補優(yōu)化算法，有效提高了零件表面質(zhì)量。

目前針對復雜曲面六軸數(shù)控加工非線性誤差方面的研究非常有限，限制了相關(guān)復雜曲面加工精度的提升。本文以圓盤刀六軸五聯(lián)動數(shù)控加工蜂窩芯復雜曲面為例，分析了非線性誤差的產(chǎn)生機理及其影響因素，提出拋物線函數(shù)法進一步完善誤差模型，利用自適應線性化法對非線性誤差進行高效判斷和補償。

1 六軸五聯(lián)動數(shù)控加工非線性誤差建模

圖1是圓盤刀六軸五聯(lián)動數(shù)控加工時XOZ平面上相鄰刀位點之間的刀具軌跡示意圖。其中，P0、P1為刀具軌跡上的相鄰刀位點坐標，U0、U1為對應刀軸矢量，直線Q（t）為刀位點從P0運動到P1的理想線性插補軌跡。當數(shù)控系統(tǒng)進行線性插補計算時，實際刀具軌跡會與理想插補軌跡產(chǎn)生偏差，生成如L（t）所示空間曲線，兩者之間的最大偏移量即為近似的最大非線性誤差值，用Emax表示。

圖1 非線性誤差產(chǎn)生機理Fig.1 Generation mechanism of nonlinear error

設圖1中相鄰刀位點的坐標數(shù)據(jù)為P0（x0，y0，z0，i0，j0，k0）和P1（x1，y1，z1，i1，j1，k1），且機床各控制軸的運動分量分別為（X0，Y0，Z0，A0，C0）和（X1，Y1，Z1，A1，C1），則線性插補時刀具從P0到P1擺動過程的插補軌跡方程為式（2）（t為時間參數(shù)）。

設相鄰刀位點P0和P1構(gòu)成的方向矢量為α，實際擺動路徑L（t）上任意點到線性插補路徑Q（t）的距離為H（t），通過矢量法表示H（t）為

以圓盤刀六軸五聯(lián)動數(shù)控加工蜂窩芯復雜曲面的刀具路徑規(guī)劃如圖2所示。借助Matlab，基于式（2）得到的其中一條實際刀具軌跡與理想線性插補軌跡之間的偏差如圖3所示。

圖2 蜂窩芯復雜曲面數(shù)控加工刀具路徑Fig.2 Tool path for CNC machining of complex surface of honeycomb core

圖3 刀具軌跡仿真Fig.3 Tool path simulation

從上述刀位文件中選取10個連續(xù)刀位點，可求取出9個采樣段的非線性誤差分布曲線，如圖4所示。可以看出，非線性誤差的最大值出現(xiàn)在t=0.5處。

圖4 非線性誤差分布Fig.4 Nonlinear error distribution

基于圖4中非線性誤差分布曲線，根據(jù)中點及端點數(shù)據(jù)求取拋物線方程和正弦方程，3條曲線數(shù)據(jù)對比如圖5所示。經(jīng)過計算可知，正弦函數(shù)曲線和拋物線曲線與非線性誤差分布曲線的數(shù)據(jù)擬合度分別為0.9492和0.9994。由于拋物線曲線可實現(xiàn)非線性誤差的準確直觀表達，且易于實現(xiàn)，有助于提高分析效率，因此，可以應用拋物線曲線表示非線性誤差分布。

圖5 曲線擬合度對比Fig.5 Comparison of curve fitting

通過拋物線曲線表示非線性誤差變化規(guī)律的具體表達式為

式中，i為插補次數(shù)（i= 0，1，2，3，…，n）；ni為函數(shù)中點最大值，即不同i下的非線性誤差的最大值；m為標準拋物線函數(shù)方程的x軸偏移量，位置隨插補次數(shù)的變化而變化。

根據(jù)插補公式中t值變化范圍為0～1，選擇在未插補狀態(tài)下（i= 0，m= 0.5）逼近非線性誤差，可得

端 點 處Q（0）=Q（1）= 0，中點處Q（0.5）=n0，幅值n0即采樣段內(nèi)非線性誤差最大值。若n0>Emax，則需要在采樣程序段中點進行一次插補，此時i=1，t值的變化范圍變?yōu)?～0.5，最大非線性誤差值為幅值Q（0.25）=n1。若n1Emax，則在超出誤差允值的程序段內(nèi)繼續(xù)插補，直到插補段內(nèi)非線性誤差的最大值在誤差允值Emax以下。

2 非線性誤差的影響因素

通過分析非線性誤差模型，得到兩種主要影響因素： （1）刀具半徑和轉(zhuǎn)角變化量； （2）機床結(jié)構(gòu)參數(shù)，即擺動中心點到刀具底部中心點的有效擺動距離。

2.1 刀具半徑和轉(zhuǎn)角變化量的影響

六軸五聯(lián)動數(shù)控加工葉片曲面通過C擺頭逆時針旋轉(zhuǎn)90°后旋轉(zhuǎn)A擺頭實現(xiàn)曲面加工。圖6為在XOZ平面內(nèi)分析A擺頭的轉(zhuǎn)動規(guī)律，P0、P1、P2為刀具底部中心點，h0、h1、h2為刀觸點，θ0、θ1、θ2為對應的轉(zhuǎn)角，R為圓盤刀刀具半徑。將當前刀位分解為平行于XOZ平面和YOZ平面的兩個分量，可求兩個坐標平面內(nèi)由刀軸轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的合成非線性誤差。

圖6 A軸旋轉(zhuǎn)下的非線性誤差Fig.6 Nonlinear error under A-axis rotation

對于A軸旋轉(zhuǎn)下的非線性誤差計算，假設刀位點坐標為P0（xp0，zp0）、P1（xp1，zp1）和P2（xp2，zp2），刀觸點坐標為h0（xh0，zh0）、h1（xh1，zh1）和h2（xh2，zh2），根據(jù)圖示三角函數(shù)關(guān)系可得刀位點、刀觸點及轉(zhuǎn)角的變換方程，即

對刀觸點函數(shù)進行二次求導得

可知，θ1的正負決定了Zh1″的正負。在Zh1″= 0時，求取極值點條件為

極值點為θ1=（θ2+θ0）/2，即在插補段中點處取得最大非線性誤差值，則EAmax的表達式為

同理，可求得YOZ平面內(nèi)C軸旋轉(zhuǎn)的非線性誤差|ECmax|，A擺頭與C擺頭的旋轉(zhuǎn)軸線正交，合成非線性誤差為

對式（10）進行仿真，得到圖7所示結(jié)果，圓盤刀刀具半徑和轉(zhuǎn)角變化量都與非線性誤差有關(guān)，非線性誤差隨刀具半徑和轉(zhuǎn)角變化量的增加而增加。

圖7 最大非線性誤差仿真結(jié)果Fig.7 Maximum nonlinear error simulation results

2.2 機床結(jié)構(gòu)的影響

非線性誤差不僅與六軸五聯(lián)動數(shù)控機床運動坐標變換矩陣密切相關(guān)，還與機床擺動中心點在工件坐標系中的位置矢量有關(guān)。不同數(shù)控機床的擺動中心點到圓盤刀刀具中心點的距離不同，即有效擺動長度不同。下面通過建立有效擺動長度的誤差模型來分析非線性誤差。

假設已知刀位點坐標Pm1和Pm2及對應數(shù)控代碼Qm1和Qm2如下：

Pm1（xm1，ym1，zm1，im1，jm1，km1）；

Pm2（xm2，ym2，zm2，im2，jm2，km2）；

Qm1（Xm1，Ym1，Zm1，Am1，Cm1）；

Qm2（Xm2，Ym2，Zm2，Am2，Cm2）。

取t= 0.5時的新代碼Qmt反求得新刀位點Pmt，通過后置處理算法得刀位點與有效擺動長度Lm的關(guān)系式，即：

任意選取相鄰刀位數(shù)據(jù)及對應數(shù)控代碼數(shù)據(jù)如下：

Pm（133.3881，0，8.1205，–0.0585，0，0.9983）；

Pm2（36.2549，0，8.2580，–0.0375，0，0.9993）；

Qm1（X33.3881–0.0526·Lm，Y0，Z8.1205+0.9986·Lm，A–3.3528，C90）；

Qm2（X36.2549–0.0338·Lm，Y0，Z8.2580+0.9994·Lm，A–2.1501，C90）。

根據(jù)上述運動分量值可以求出t=0.5時的機床各軸運動分量及新刀位點坐標，代入非線性誤差模型中得到插補段內(nèi)的最大非線性誤差Emax與機床有效擺動長度Lm的關(guān)系式，即：

根據(jù)式（12）所示變換方程進行仿真，得到最大非線性誤差值與有效擺動長度Lm的關(guān)系曲線如圖8（a）所示，根據(jù)正弦函數(shù)法得到同一采樣段在不同Lm值下的非線性誤差分布曲線如圖8（b）所示?？梢钥闯?，在同一插補程序段內(nèi)，最大非線性誤差值Emax與機床結(jié)構(gòu)參數(shù)Lm近似呈線性關(guān)系，并隨著機床結(jié)構(gòu)參數(shù)Lm的增加而增加，所以合理選擇機床結(jié)構(gòu)參數(shù)也可以減小非線性誤差。

圖8 非線性誤差值與有效擺動長度的關(guān)系Fig.8 Relationship between nonlinear error and effective swing length

3 非線性誤差的控制方案驗證

3.1 非線性誤差控制方法選擇

從改變非線性誤差的分布和控制采樣程序段內(nèi)刀軸矢量的角度變化兩方面考慮，主要有切觸點法向偏置法、線性化法和自適應線性化法3種非線性誤差的控制方法。蜂窩芯復雜曲面結(jié)構(gòu)件尺寸大、加工步驟多、刀位數(shù)據(jù)量大，對所有程序段進行線性插補分割會大大增加計算難度，影響機床的插補能力，因此選用自適應線性化法對復雜曲面結(jié)構(gòu)件進行非線性誤差控制。

3.2 非線性誤差控制方案仿真驗證

在六軸五聯(lián)動加工葉片曲面往復銑削刀位源文件中隨機選取25個刀位點的刀具路徑，利用Matlab對24個程序段進行非線性誤差分析，誤差分布如圖9所示，插補前采樣程序段的非線性誤差大部分在6μm以上，誤差均值高達17.15μm。本試驗最大非線性誤差允許范圍為5μm，需要對每個采樣段進行插補得到新的刀位點分布，重新進行非線性誤差校驗。

圖9 插補前最大非線性誤差分布Fig.9 Maximum nonlinear error distribution before interpolation

圖10（a）為選取局部程序段在插補前后的非線性誤差分布對比，在超差程序段內(nèi)進行了刀位密化。如圖10（b）所示，插補后，超差程序段的最大非線性誤差值分布均在5μm以下，整體誤差均值降低到2.27μm，接近86.76%；誤差標準差從1.348μm變?yōu)?.209μm，降低近84.5%，符合非線性誤差控制要求，對比仿真結(jié)果，非線性誤差控制策略有效。

圖10 插補前后非線性誤差的分布趨勢Fig.10 Distribution trend of nonlinear error before and after interpolation

4 結(jié)論

針對六軸五聯(lián)動數(shù)控加工中線性插補運動和旋轉(zhuǎn)軸的非線性運動產(chǎn)生的非線性誤差問題，建立了理論非線性誤差模型，并提出拋物線函數(shù)法完善了模型。通過理論和仿真驗證出最大非線性誤差的產(chǎn)生位置、分布趨勢及影響因素，利用自適應線性化法控制非線性誤差，并以六軸五聯(lián)動數(shù)控加工蜂窩芯復雜曲面為例進行非線性誤差補償，仿真結(jié)果顯示采樣段的誤差標準差降低近84.5%。