劉國強 劉婧

1) (中國科學(xué)院電工研究所,北京 100190)

2) (中國科學(xué)院大學(xué)電子電氣與通信工程學(xué)院,北京 100049)

經(jīng)典電磁場互易定理(即洛倫茲互易定理)作為電磁學(xué)重要的理論之一,被廣泛應(yīng)用于通信、天線信號傳輸和電磁成像等諸多領(lǐng)域,它是一種“能量型”互易定理.已有研究用微分形式擴展“Rumsey 反應(yīng)”的概念,使其同時包含了洛倫茲力密度反應(yīng)和功率密度反應(yīng)項.進(jìn)一步有研究從麥克斯韋方程組導(dǎo)出了動量互易定理.動量互易定理與洛倫茲互易定理一樣,既可以用于理論分析,也可以解決實際應(yīng)用問題.因此利用洛倫茲互易定理可導(dǎo)出惠更斯原理,本文利用動量互易定理導(dǎo)出惠更斯原理.

1 引言

1896 年,洛倫茲[1]提出的經(jīng)典電磁互易定理是電磁學(xué)重要理論之一,它將兩個獨立的電磁場聯(lián)系起來,反映了兩組場源之間的能量相互作用.洛倫茲互易定理在電磁場理論分析和實際應(yīng)用中發(fā)揮了重要作用,如可為論證波導(dǎo)元件和天線的互易性提供基礎(chǔ)[2],可用于確定波導(dǎo)和空腔諧振器中波型間的正交性[3],也常用于電磁成像等圖像重建問題的求解[4,5].

此后百余年間,人們陸續(xù)被發(fā)展了一些新的電磁互易定理,包括頻率域和時間域的互易定理,如Feld-Tai 互易定理[6,7]和互能定理[8,9]等.

上述定理均為“能量型”互易定理.事實上,電磁場除了具有能量還具有動量,因此從兩組場源的相互作用關(guān)系來看,除了能量作用關(guān)系,還應(yīng)當(dāng)有動量作用關(guān)系.2020 年,Lindell 等[10]采用微分形式對“Rumsey 反應(yīng)”的概念進(jìn)行了拓展,導(dǎo)出了時空統(tǒng)一形式的廣義反應(yīng)密度.它對應(yīng)的吉普斯矢量形式為

廣義反應(yīng)密度同時包含了洛倫茲力密度反應(yīng)和功率密度反應(yīng),其中洛倫茲力密度反應(yīng)為空間項,功率密度反應(yīng)為時間項,(1)式中 e4為時間基.

同年,Liu 等[11,12]從麥克斯韋方程組導(dǎo)出了兩組反映電磁場源之間動量相互作用關(guān)系的定理,分別為

式中,I 為單位并矢,ρ,J,B,E,H 和 D 分別為電荷密度、電流密度、磁通密度、電場強度、磁場強度和電通密度,下角標(biāo)1 和2 代表兩組電磁場.

這兩組動量互易定理是對洛倫茲互易定理和Feld-Tai 互易定理的擴展,與能量型互易定理一樣,可在工程實際應(yīng)用中發(fā)揮重要作用,例如,在醫(yī)學(xué)磁聲電成像中利用動量互易定理進(jìn)行圖像重建[12],亦可成為電磁場理論分析的重要工具,例如,通過動量互易定理導(dǎo)出惠更斯原理.

惠更斯原理是一個比較特殊的電磁原理,它深刻揭示了波的形成和波的本質(zhì).惠更斯原理是將波前上的每一點作為一個新的波源,根據(jù)這些源在波傳播方向上所產(chǎn)生場的疊加找出傳播規(guī)律.惠更斯原理提供了一種電磁場簡化分析方法,可以不用考慮實際源分布,只需在閉合面上設(shè)置與實際源等效的惠更斯源來簡化分析.前人用洛倫茲互易定理可以導(dǎo)出惠更斯原理[13],本文利用動量互易定理導(dǎo)出惠更斯原理,說明了一些經(jīng)典電磁理論相互之間存在內(nèi)在聯(lián)系.

2 理論模型

設(shè)實際電流源和磁流源分別為 Je1和 Jm1,電荷源和磁荷源分別為ρe1和ρm1.做閉合面Sh,該閉合面圍成的區(qū)域為Vh.

設(shè)P為Sh外 一點,在P點放 入IΔl的電 流元,可看作電流I分布在體積為 ΔV的小導(dǎo)體圓柱電流段V2,eP為圓柱上表面A的單位法向方向矢量,也是電流密度的方向.當(dāng)圓柱體積趨于零時,電流段的電流密度為

式中δ(r-rP) 是三維δ函數(shù),其量綱是 m-3.

電流段等效為圓柱V2的上表面A和下表面B分布等量異種面電荷的電偶極子.當(dāng)IΔl為1 A·m時,該電流段即為單位電偶極子點源,可表示為

根據(jù)電流連續(xù)性定理可知,圓柱V2的上下表面滿足

于是,圓柱V2的上下表面的面電荷為

式中ω為角頻率,矢徑 rP在圓柱的上下表面分別化為 rA和 rB.做一個包圍P點和Sh面的閉合面S,體積為V,如圖1 所示.

圖1 實際的電流源、磁流源、電荷源和磁荷源產(chǎn)生的場Fig.1.Fields generated by the actual current,magnetic current,charge sources and magnetic charge sources.

由于ρ2只分布在V2范圍,故ρ2E1在區(qū)域V中的積分等于它在區(qū)域V2中的積分,即

面電荷可看作載荷層厚度h趨于零而載荷體密度趨于無限時二者乘積的極限值,即有:

將(7)式和(9)式代入(8)式,有

在區(qū)域V中,應(yīng)用動量互易定理,并利用δ函數(shù)性質(zhì),有

式中 E1(rP) 和 B1(rP) 分別為實際源產(chǎn)生的電場強度和磁通密度.

為確定Sh面上惠更斯源密度,將實際源拿走,在Sh面上放置等效的源 Jes,Jms,ρes和ρms,如圖2所示.

圖2 惠更斯面電流源、面磁流源、面電荷源和磁荷源產(chǎn)生的場Fig.2.Fields generated by the Huygens surface current,magnetic current,charge sources and magnetic charge sources.

等效的面流(或)源可看作載流層厚度h趨于零而載流(或荷)體密度趨于無限時二者乘積的極限值,即有

在區(qū)域V中,有

應(yīng)用動量互易定理,有

式中 Eh1(rP) 和 Bh1(rP) 是惠更斯面上的等效源產(chǎn)生的電場強度和磁通密度.

由于 Jes,Jms,ρes和ρms是實際源的等效源,必有

考慮到 eP方向的任意性,有

在Vh區(qū)域使用動量互易定理,有

(11)式和(16)式的體積分相等,有

利用(15)式,可知(14)式和(17)式的面積分相等,即

利用恒等式

有

將(19)式代入(18)式有

比較 (20)式兩端,可知惠更斯源密度為

(21)式和(15)式表示,對惠更斯面Sh外的場點P,要產(chǎn)生相同的磁通密度,Sh面上應(yīng)放置惠更斯面電流源 Jes、面磁流源 Jms、面電荷源ρes和面磁荷源ρms.對比洛倫茲互易定理導(dǎo)出的等效源,動量互易定理導(dǎo)出的等效源增加了面電荷源ρes和面磁荷源ρms,但在惠更斯面上,流源與荷源之間并非獨立,Jes和ρes以及 Jms和ρms分別可以通過電流連續(xù)性定理和磁流連續(xù)性定理聯(lián)系起來.

同理,若在點P放置單位磁偶極子,亦可以導(dǎo)出(21)式,類似于(15)式,可以導(dǎo)出:

聯(lián)合(21)式和(22)式可知,對惠更斯面Sh外的場點P,要產(chǎn)生相同的電通密度,Sh面上應(yīng)放置惠更斯面電流源 Jes、面磁流源 Jms、面電荷ρes和面磁荷ρms.

3 結(jié)論

本文利用動量互易定理導(dǎo)出了惠更斯原理,豐富了電磁場基礎(chǔ)理論,為惠更斯原理及其應(yīng)用提供了新的研究思路.