周君武，楊 航，2，覃立仁，2，梁國全

（1.東風柳州汽車有限公司；2.廣西科技大學機械與汽車工程學院，廣西 柳州 545000）

隨著社會的發(fā)展，人們對交通工具的要求越來越高，因此汽車的智能化發(fā)展是必然趨勢。軌跡跟蹤作為智能汽車的關鍵技術，國內外學者對其進行了大量研究，目前主要的軌跡跟蹤控制算法有純跟蹤控制、前輪反饋控制、線性二次型調節(jié)控制、模型預測控制。純跟蹤控制根據(jù)預瞄朝向和預瞄點的距離來計算轉彎半徑和前輪轉角，但是該方法在系統(tǒng)的穩(wěn)定性和跟蹤性能上很難平衡。Stanley控制核心思想是基于前輪中心的路徑跟蹤偏差量對方向盤轉向控制量進行計算，相較于純跟蹤控制更適用于較高速場景，但是跟蹤精度仍然不高。線性二次型調節(jié)控制和模型預測控制是結合車輛模型和優(yōu)化理論的控制方法，近年來在自動駕駛領域得到了廣泛的應用，具有較高的跟蹤精度，其中模型預測控制相較于線性二次型調節(jié)控制可以添加更多的約束條件，具有更好的跟蹤效果。本文建立基于模型預測控制的軌跡跟蹤控制器，對模型預測控制在智能汽車上的應用做了一些仿真研究。

1 車輛運動學模型

車輛運動學模型從幾何學角度研究車輛的運動規(guī)律，包括車輛的空間位姿、速度等隨時間的變化。當車輛在良好路面上低速行駛時，一般不需要考慮車輛的操縱穩(wěn)定性等動力學問題，此時基于運動學模型設計的路徑跟蹤控制器具備可靠的控制性能。

描述車輛的運動通常涉及慣性導航系統(tǒng)所使用的慣性坐標系XOY和描述車體相對運動的車體坐標系xoy，如圖1所示。本文定義慣性坐標系的X軸指向東，Y軸指向北；定義車體坐標系x軸為車輛前方，y軸指向車輛左側；定義車輛橫擺角φ為車體坐標系x軸與慣性坐標系X軸之間的夾角，逆時針為正。

圖1 車輛運動學模型

我們首先定義（X，Y）和（X，Y）分別為車輛前軸中心和后軸中心在慣性坐標系下的坐標，V為車輛在后軸中心處的速度，l為軸距，R為后軸中心的瞬時轉向半徑，ω為車輛橫擺角速度，δ為前輪偏角。

在后軸行駛軸心（X，Y）處，速度為：

前后軸的運動學約束為：

由式（1）和（2）可得：

根據(jù)前后輪的幾何關系可得：

由式（3）和（4）可得橫擺角速度為：

由ω和車速V可得到轉向半徑R和前輪偏角δ：

由式（3）和（5）可得到車輛運動學模：

為了使公式統(tǒng)一規(guī)范化，我們使和為慣性坐標系下車輛在X軸和Y軸的速度，v為車輛后軸中心速度，則運動學模型為：

車輛運動學模型可看做一個輸入為u（v，δ）和狀態(tài)量為X（x，y，φ）的控制系統(tǒng)。其一般形式為：

假設參考系統(tǒng)已經(jīng)在期望路徑上完全通過，得到路徑上每個時刻的狀態(tài)量和控制量，對于參考系統(tǒng)每一時刻的狀態(tài)量和控制量滿足：

對系統(tǒng)一般形式在任意點處進行泰勒展開，只留一階項，忽略高階項，得到：

將式（11）和（10）兩式相減得到：

由上述可得：

向前歐拉離散化可得：

式中：T——采樣時間。

2 目標函數(shù)設計

目標函數(shù)的設計應該使得智能車輛能快速平穩(wěn)地跟蹤參考軌跡，因此，我們對系統(tǒng)的狀態(tài)誤差和控制增量誤差求和，使其取最小值，同時為了使目標函數(shù)便于轉換成標準二次型規(guī)劃進行求解，設計如下目標函數(shù)：

式中：N——預測時域；N——控制時域；Q、R——權重矩陣；ρ——權重系數(shù)，ε——松弛因子。其中，第一項反映了系統(tǒng)對參考軌跡的跟隨能力，第二項使得系統(tǒng)的控制過程更加平穩(wěn)，第三項為軟約束，保證目標函數(shù)可以得到可行解。

由式（15）可得：

可構造新的狀態(tài)空間：

為了使計算簡化，假設：

經(jīng)過推導計算可得系統(tǒng)的預測輸出表達式：

式中：

3 約束條件設計

本文在此對控制量極限和控制增量進行約束，控制量約束為：

控制增量約束為：

在每一周期對目標函數(shù)進行求解后，得到控制時域內的一系列控制輸入量：

將該控制序列中第一個控制增量作為輸入作用于系統(tǒng)，即：

進入下個控制周期后，重復上述過程，如此循環(huán)實現(xiàn)了對車輛的軌跡跟蹤控制。

4 Matlab/Sim ulink仿真

首先在Simulink中搭建運動學模型，然后將其封裝，建立基于運動學模型（圖2）和模型預測控制的軌跡跟蹤器（圖3）。

圖2 Simulink運動學模型

圖3 軌跡跟蹤器模型

這里采用五次多項式工況，對模型預測控制與Stanley控制的跟蹤效果進行仿真對比。如圖4、圖5所示。

圖4 軌跡跟蹤結果

圖5 橫向誤差對比

由仿真結果可知，當速度為20m/s時，建立的基于運動學模型和模型預測控制的軌跡跟蹤器的橫向誤差在-0.005~0.005之間，能夠準確地跟蹤期望軌跡，而Stanley控制的橫向誤差最大超過0.01，跟蹤效果較差。因此與Stanley控制相比，模型預測控制的跟蹤精度更高，橫向誤差更小。

5 結語

本文建立了車輛運動學模型，在Matlab/Simulink仿真平臺上驗證了基于模型預測控制的軌跡跟蹤器在速度為20m/s、五次多項式工況下的軌跡跟蹤效果良好，為模型預測控制在智能汽車上的發(fā)展墊定了一定基礎。