胡悅，曾然，徐思遠，陳偉強，李浩珍，，楊淑娜，李齊良，羊亞平

（1 杭州電子科技大學(xué) 通信工程學(xué)院，杭州 310018）

（2 同濟大學(xué)物理科學(xué)與工程學(xué)院 先進微結(jié)構(gòu)材料教育部重點實驗室，上海 200092）

0 引言

微觀粒子的van der Waals–Casimir 和Casimir-Polder 效應(yīng)一直是近年來深入研究的課題。電磁場的零點能量子漲落會導(dǎo)致van der Waals 力［1］，1948年CASIMIR H 在理論上指出，邊界表面的變化導(dǎo)致電磁場零點能的擾動，宏觀上可以觀察到作用在物體上的力［2］。對于各向異性媒質(zhì)，Casimir 力可能隨媒質(zhì)之間的相對方向而變化，這種變化導(dǎo)致了相對旋轉(zhuǎn)，稱為Casimir 扭矩［3-5］。目前關(guān)于Casimir 效應(yīng)的研究已經(jīng)涉及到多種各向異性材料，例如雙折射材料［6-7］、特異材料［8-10］和各向異性拓撲絕緣體［11］等，測量轉(zhuǎn)矩的實驗裝置［12-15］也被提出。CASIMIR H 和POLDER D 還給出了原子和理想導(dǎo)體板之間的力，在宏觀板邊界的存在下，處于基態(tài)或激發(fā)態(tài)的原子會受到Casimir-Polder 力的影響；而在各向異性媒質(zhì)邊界和原子之間，同樣會產(chǎn)生Casimir-Polder 旋轉(zhuǎn)扭矩。這類量子真空誘導(dǎo)扭矩是量子光學(xué)領(lǐng)域的重要研究課題之一，在物理化學(xué)、原子光學(xué)和腔量子電動力學(xué)等眾多領(lǐng)域中都具有重要影響，并且在納米技術(shù)中的許多潛在應(yīng)用里同樣發(fā)揮作用，例如構(gòu)造原子力顯微鏡或反射原子光學(xué)元件［16-17］。

飽和鐵氧體是近年來不斷發(fā)展的一種具有鐵磁性的非金屬復(fù)合氧化物材料，其電阻率和介電性能等方面要優(yōu)于常規(guī)金屬磁性材料，鐵氧體被廣泛應(yīng)用于衛(wèi)星通信設(shè)備、精密儀器、控制技術(shù)等通信電子領(lǐng)域［18］以及光子晶體［19］等光學(xué)材料中。鐵氧體在較高的頻率范圍內(nèi)具有較大的磁導(dǎo)率，因此鐵氧體在高頻弱電領(lǐng)域也具有廣泛的用途。另一方面，微波吸波材料作為一種新型材料在節(jié)能減排，人工智能和軍工技術(shù)等方向發(fā)揮著重要的作用，而鐵氧體材料既具備磁吸收能力又具備電吸收能力，并且其在吸波層厚度和頻帶寬度等方面優(yōu)于其他吸波材料，因此鐵氧體吸波材料也是現(xiàn)階段的熱門研究材料［20-21］。由于鐵氧體的獨特電磁特性，其附近原子的Casimir 效應(yīng)和Casimir-Polder 效應(yīng)與其他材料環(huán)境相比必然有較大不同，目前對于飽和鐵氧體附近產(chǎn)生的Casimir 排斥效應(yīng)和平衡回復(fù)效應(yīng)［22］以及多層鐵氧體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的Casimir 扭矩［23］已進行了研究分析。由于鐵氧體具有外場受控特性，進而可以通過外磁場來控制原子的Casimir-Polder 扭矩，本文將對二能級原子與飽和鐵氧體材料板之間的Casimir-Polder 扭矩進行計算和討論，給出原子位置、躍遷頻率、鐵氧體所處外場強度對扭矩的影響，并計算分析在一定微擾下旋轉(zhuǎn)扭矩的平衡穩(wěn)定性。

1 Casimir-Polder 扭矩理論計算

考慮一個二能級原子位于一塊飽和鐵氧體板附近的情況，如圖1所示，原子位置為rA=(0，0，zA)，z軸分量為zA(zA>0)。圖中實線箭頭為Casimir-Polder 扭矩方向，虛線箭頭表示xoz平面上誘導(dǎo)旋轉(zhuǎn)的方向。

圖1 二能級原子和飽和鐵氧體材料表面間Casimir-Polder 扭矩示意圖Fig.1 Schematic diagram of Casimir-Polder torque between a two-level atom and saturated ferrite material surface

按照經(jīng)典扭矩的定義，作用于某偶極子的光學(xué)扭矩來源于其偶極矩與所處電磁場量的矢積。其中，將偶極矩與電磁場推廣到量子化的算子［24］，即可以得到量子光學(xué)扭矩表達式為

式中，F(xiàn)nk為展開的場模，是湮滅算符，由海森堡運動方程給出，為系統(tǒng)哈密頓量。如果考慮到馬爾科夫近似，可以表示為［25］

式中，和分別為量子光學(xué)扭矩的共振部分和非共振部分，即為Casimir-Polder 扭矩，對應(yīng)系統(tǒng)初態(tài)處于原子基態(tài)，因為其包括真空漲落場全頻段模式的貢獻，可通過系統(tǒng)的格林函數(shù)張量［27］來描述二能級原子系統(tǒng)的Casimir-Polder 扭矩為

其中對此非共振部分的扭矩進行了虛頻變換，ω→iξ。存在宏觀飽和鐵氧體界面邊界的環(huán)境下格林張量G可表示為

式中，r為鐵氧體反射系數(shù)，它是入射極化和反射極化的混合，下標(biāo)s 和p 分別表示垂直極化和平行極化，z表示點源與界面的垂直距離，k‖表示波矢的平行分量，k⊥表示波矢的垂直分量。單位向量eσ+和eσ′-分別表示入射波極化和反射波極化，與坐標(biāo)系矢量的關(guān)系為

再將格林函數(shù)代入式（3），并選取典型的原子偶極矩計算二能級原子和飽和鐵氧體板之間的Casimir-Polder 扭矩。

1）當(dāng)選取原子偶極矩為

即圓極化偶極矩，極化面為xoy平面。經(jīng)計算推導(dǎo)可得，各方向的扭矩為

以及τNx=τNy=0。

2）當(dāng)選取原子偶極矩為

即xoz平面內(nèi)的圓極化偶極矩。該偶極矩下的各方向的扭矩為

以及τNx=τNz=0。

3）當(dāng)選取yoz平面內(nèi)圓極化偶極矩時

可類似地得到，y、z方向上扭矩為零，即τNy=τNz=0，而x方向上扭矩與式（10）中的τNy(zA)幅值相同但符號相反。另外，計算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)選取原子偶極矩為線極化時，Casimir-Polder 扭矩為零。

2 數(shù)值計算與分析

介質(zhì)的電磁響應(yīng)受介電常數(shù)ε和磁導(dǎo)率μ共同影響，當(dāng)ε>μ時，介質(zhì)表現(xiàn)出強電特性，當(dāng)ε<μ時，介質(zhì)表現(xiàn)出強磁特性。鐵氧體是具有強磁特性的各向異性介質(zhì)材料，即在鐵氧體周圍各個方向上施加不同強度的磁場時，鐵氧體的磁導(dǎo)率會隨著外加磁場的強度和方向而改變。當(dāng)鐵氧體材料磁飽和時，可通過式（14）來調(diào)節(jié)鐵氧體的磁導(dǎo)率：

式中，ωex=γHex，其中Hex為外加磁場的強度，γ為旋磁比，即自旋磁矩和自旋角動量的比值；參量ωm=4πMS，其中MS為飽和磁化強度。通常情況下，典型鐵氧體的介電常數(shù)的值在12～16 之間，而飽和磁化強度的值為135 G 到239 G 之間，旋磁比率的取值為1.8×107s-1G-1。本文涉及的頻率將均以鐵氧體的特征頻率ωm為參考單位，而所涉及到的長度距離則以其相應(yīng)波長為參考單位

首先考察不同的原子躍遷頻率下，原子位置對二能級原子和鐵氧體之間Casimir-Polder 扭矩的影響，如圖2。本文選取鐵氧體的介電常數(shù)為12，并且取扭力的單位為τ0=1/(128π2λ2m)。取外場特征頻率參數(shù)為ωex=5ωm，圖2（a）、（b）四種不同顏色的線分別代表原子躍遷頻率為0.5ωm，1.0ωm，2.0ωm，3.0ωm。圖2（a）顯示了二能級原子的偶極矩為d=(1 i 0)T時，原子和鐵氧體之間的Casimir-Polder 扭矩隨著原子位置的變化情況，此時原子和鐵氧體之間只有z方向上的Casimir-Polder 扭矩，原子和材料板的距離較近時，扭矩幅值很大，隨著距離的增加，扭矩逐漸減小至0，這是由于原子距離材料板越遠，Casimir-Polder 作用勢越小，因此旋轉(zhuǎn)扭矩效應(yīng)越弱，這也類似于其他Casimir 壓力作用或Casimir-Polder 相互作用力的規(guī)律。圖2（b）是二能級原子偶極矩為d=(1 0 i)T的情況，此時只存在y方向上的Casimir-Polder 扭矩，隨著原子與材料板的間距逐漸增大，扭矩急劇變小直至為0。y軸上產(chǎn)生的扭矩方向為負，這和原子偶極矩的選取有關(guān)，同時，原子偶極矩的選取也會影響扭矩的幅值，偶極矩為d=(1 0 i)T的情況下扭矩的幅值相對來說更強一些。從這些變化曲線也可以看出在不同的原子頻率下，扭矩的距離依賴性大致都是上述的遞減趨勢；而當(dāng)頻率越高，Casimir-Polder 扭矩越小。

圖2 二能級原子和鐵氧體之間Casimir-Polder 扭矩隨原子距界面位置的變化曲線（插圖：較短距下的曲線）Fig.2 The Casimir-Polder torque between two-level atom and ferrite plate versus atomic position（insets：the curves at shorter distances）

為驗證圖2中扭矩隨頻率影響變化的單調(diào)性，取固定的原子位置，考察頻率連續(xù)變化下Casimir-Polder扭矩受到的影響，結(jié)果如圖3所示，四條不同顏色曲線分別表示原子與材料板間距為0.2λm，0.3λm，0.5λm，1.0λm。圖3（a）為原子偶極矩d=(1 i 0)T的情況，隨著原子躍遷頻率的增加，Casimir-Polder 扭矩單調(diào)遞減至0，并且對于不同的原子位置，原子和材料板之間的間距越大，Casimir-Polder 扭矩越小。圖3（b）選取原子偶極矩為d=(1 0 i)T，y軸上的Casimir-Polder 扭矩方向為負，而幅值同樣隨頻率升高而衰減。也可以看到xoz平面內(nèi)的偶極子扭矩的幅值相對來說更強一些。Casimir-Polder 扭矩隨頻率變化表現(xiàn)的單調(diào)遞減行為，與原子與板距離的單調(diào)影響相似。

圖3 二能級原子和鐵氧體之間Casimir-Polder 扭矩隨原子躍遷頻率的變化曲線Fig.3 The Casimir-Polder torque between two-level atom and ferrite plate versus atomic transition frequency

飽和鐵氧體作為一種強磁性介質(zhì)，磁導(dǎo)率受外加磁場的影響，因此接下來考察不同的外磁場對二能級原子和鐵氧體之間Casimir-Polder 扭矩的影響。當(dāng)固定原子與材料板的間距為zA=0.5λm時，分別選取原子躍遷頻率為ω0=0.5ωm，ω0=1.0ωm，ω0=5.0ωm，計算得到的二能級原子和鐵氧體之間Casimir-Polder 扭矩隨外場特征頻率參數(shù)ωex的變化曲線如圖4。一般來看，Casimir-Polder 扭矩是隨鐵氧體的外加磁場的增強而變大的，從圖中也可以看出，隨著外磁場增強，z軸正方向上的扭矩和y軸負方向上的扭矩幅值都在逐漸增加并趨于一個飽和值，并且y方向上的扭矩比z方向略大。另外比較每個圖中的三條曲線可以看出，原子躍遷頻率較小時，扭矩幅值的變化曲線相對來說較平緩，原子頻率較大時，曲線會在某些特定位置呈現(xiàn)急劇變化。

圖4 二能級原子和鐵氧體之間Casimir-Polder 扭矩在不同原子頻率下隨ωex 的變化曲線Fig.4 The Casimir-Polder torque between the two-level atom and the ferrite as functions of ωex for different atomic transition frequencies

當(dāng)固定頻率為ω0=2.0ωm時，分別選取原子與材料板的間距為zA=0.1λm，zA=1.0λm，zA=5.0λm，計算得到二能級原子和鐵氧體之間Casimir-Polder 扭矩隨外磁場變化曲線如圖5。同樣隨著外磁場頻率的增加，Casimir-Polder 扭矩逐漸增加并趨于一個飽和值，并且很容易看出，原子距離鐵氧體越近時，扭矩幅值會在某些參數(shù)范圍出現(xiàn)急劇變化行為。

圖5 二能級原子和鐵氧體之間Casimir-Polder 扭矩在不同原子位置時隨ωex 的變化曲線Fig.5 The Casimir-Polder torque between the two-level atom and the ferrite as functions of ωex for different atomic position

實際上，隨著原子躍遷頻率增大或原子越向材料板靠近，Casimir-Polder 扭矩隨外磁場影響遞增的單調(diào)性在逐漸發(fā)生變化，這種變化是一種偏離線性單調(diào)的趨勢：在外磁場取某強度附近，或原子在某位置附近，扭矩會出現(xiàn)一種集中的急劇變化的傾向，其表明了非單調(diào)的拐點的傾向。但在圖4和圖5的結(jié)果曲線中，暫時還未出現(xiàn)非單調(diào)的變化性。若繼續(xù)增大原子躍遷頻率或減小原子與材料板的間距，就可以觀察到單調(diào)性的改變，如圖6。

圖6 二能級原子與鐵氧體間的相對Casimir-Polder 扭矩隨ωex 的變化曲線Fig.6 The relative Casimir-Polder torque between the two-level atom and the ferrite as functions of ωex

圖6對z方向和y方向的計算都采用了相對扭矩的幅值：即圖中的曲線都顯示非單調(diào)行為，在原子位置和原子躍遷頻率都不同的情況下，隨著外磁場的增大，Casimir-Polder 扭矩一般會先減弱再增強，呈現(xiàn)了一個隨外磁場強度影響的“拐點”（而實際上某些曲線是存在兩個拐點的，即還有一個從遞增到遞減的微弱變化）。也就是說，在外磁場強度取某值前后，扭矩增強或減弱的變化受磁場的影響是相反的。這表明：當(dāng)用Casimir-Polder 扭矩效應(yīng)來調(diào)控原本固有或已存在的某原子旋轉(zhuǎn)態(tài)時，如果在如圖曲線拐點的外磁場強度對應(yīng)的扭矩恰好可以抵消原子固有旋轉(zhuǎn)態(tài)的話，那么此時再調(diào)整外場強度，增大或減小該強度，都可以使原子向相同方向旋轉(zhuǎn)。

以上考慮的二能級原子皆為理想的圓極化偶極子，若假設(shè)偶極子極化平面受到某種微擾，以xoy面的偶極子為例，使得偶極矩變?yōu)榧礃O化平面從xoy面傾斜了一個微小偏轉(zhuǎn)角度±Δ。通過計算發(fā)現(xiàn)，此時z方向上的扭矩大小并沒有受到偏角擾動的影響，但z方向不再是唯一的扭矩方向，以x方向為例，將由于偏角擾動而產(chǎn)生如下非零扭矩

此時，固定原子與材料板的間距zA=1.0λm，外磁場ωex=5ωm，考慮原子躍遷頻率對Casimir-Polder 扭矩x分量的影響，計算結(jié)果如圖7。觀察圖中曲線可以發(fā)現(xiàn)，偶極矩主要在xoy平面，但沿著z軸有一個較小的分量，當(dāng)偶極矩的z分量為sin( ±Δ)時，沿著x軸就會出現(xiàn)一個相應(yīng)的負（正）扭矩，該扭矩將極化平面推回xoy平面，從而保持一種平衡狀態(tài)——即盡管原子偶極矩極化平面受到微小角度擾動，使得Casimir-Polder 扭矩的方向偏離該平面，但是扭矩還是具有回歸原旋轉(zhuǎn)平面的趨勢。

圖7 圓極化偶極子極化平面受到微小角度±Δ 擾動下的Casimir-Polder 扭矩隨原子頻率變化曲線Fig.7 The Casimir-Polder torque versus atomic transition frequency under the perturbation of ±Δ on the circular polarization plane

3 結(jié)論

本文對二能級原子和飽和鐵氧體材料板之間Casimir-Polder 扭矩進行了計算，通過旋轉(zhuǎn)扭矩在量子化電磁場下的形式和格林張量求得Casimir-Polder 扭矩的具體表達式。研究了鐵氧體材料板附近原子的扭矩在二能級原子的特征參數(shù)、所加外場以及偶極子所受微擾等因素影響下的行為。分析結(jié)果表明，Casimir-Polder 扭矩隨原子位置和頻率的變化分別都表現(xiàn)單調(diào)遞減特性，而鐵氧體所處環(huán)境的外磁場強度可以影響扭矩變化的單調(diào)性，扭矩隨外磁場的變化曲線會呈現(xiàn)非單調(diào)的拐點。因此，當(dāng)用這種扭矩效應(yīng)來調(diào)控某原子固有旋轉(zhuǎn)態(tài)時，如果在曲線拐點對應(yīng)的扭矩恰好可以抵消固有旋轉(zhuǎn)態(tài)，那么此時再調(diào)增或調(diào)減外場強度，都可以使原子向相同方向旋轉(zhuǎn)。另外，一定的角度微擾下的圓極化偶極子，其扭矩具有回歸原旋轉(zhuǎn)平面趨勢的平衡穩(wěn)定性。Casimir-Polder 扭矩可在一些例如加速二能級系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)態(tài)或?qū)⑵淅鋮s至量子基態(tài)等實際應(yīng)用中發(fā)揮重要作用，而采用飽和鐵氧體作為原子附近宏觀邊界的方案對原子的Casimir-Polder 扭矩提供了一種外場操控性。