劉海平，申大山，王 添

（北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，北京 100083）

引言

非線性動(dòng)力吸振器（Nonlinear Dynamic Vibration Absorber，NDVA），又可稱為非線性吸振器，作為一類(lèi)典型的非線性振動(dòng)抑制裝置，以其減振頻帶寬、魯棒性好、未對(duì)主振系的動(dòng)態(tài)響應(yīng)引入新的諧振峰等優(yōu)點(diǎn)受到持續(xù)廣泛的關(guān)注，其非線性特征多以非線性剛度形式呈現(xiàn)。研究發(fā)現(xiàn)，非線性吸振器能夠在較寬頻率范圍內(nèi)有效吸收主振系的振動(dòng)能量，且利用阻尼元件將其耗散［1-3］。

Roberson［4］采用具有線性和立方耦合剛度的非線性吸振器構(gòu)成的彈簧元件，并將其附加于單自由度結(jié)構(gòu)，通過(guò)與線性吸振器相比，在正弦激勵(lì)下，上述非線性吸振器具有更寬的減振頻帶。Vakakis［5］將含有本質(zhì)非線性剛度，可以將振動(dòng)能量從主振系單向不可逆地傳遞至耗能元件的非線性吸振器命名為非線性能量阱（Nonlinear Energy Sink，NES）。Zhang 等［6］在非線性能量阱中加入慣容器，通過(guò)對(duì)比主振系的頻響特性和能量傳遞性能，發(fā)現(xiàn)其振動(dòng)控制效果得到顯著提升。Zang 等［7］在非線性吸振器中加入杠桿放大機(jī)構(gòu)，系統(tǒng)傳遞率得到明顯降低。Gendelman 等［8］將多個(gè)非線性吸振器串聯(lián)安裝，在保證非線性吸振器總質(zhì)量不變的條件下，相比單個(gè)非線性吸振器呈現(xiàn)更優(yōu)的抑振效果。上述研究重點(diǎn)是從理論角度討論非線性吸振器的振動(dòng)控制效果，僅將非線性吸振器的彈簧元件簡(jiǎn)化為理想非線性剛度，未考慮非線性吸振器的具體實(shí)現(xiàn)形式。

考慮工程實(shí)際，非線性吸振器的非線性彈簧元件有多種可行的實(shí)現(xiàn)形式，例如：柔性索［9］、彈性薄片梁［10-12］、斜置螺旋彈簧［13］等。其中，彈性薄片梁作為非線性彈簧元件，因其性能穩(wěn)定，不存在材料蠕變等問(wèn)題而得到關(guān)注與研究。Nayfeh 等［14］對(duì)屈曲梁線性模態(tài)振動(dòng)進(jìn)行了理論分析和實(shí)驗(yàn)研究。Winter等［15］設(shè)計(jì)了由兩個(gè)葉片組成的歐拉彈簧隔振器，通過(guò)調(diào)整其彎曲剛度比，可以使隔振系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)極低的動(dòng)剛度。充分利用歐拉屈曲梁顯著的非線性特征，劉興天等［10］提出一種具備“高靜低動(dòng)”特征的準(zhǔn)零剛度隔振器，理論分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證均表明其具備極佳的低頻減隔振性能。在此基礎(chǔ)上，劉興天等［11］利用上述準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)，首先提出歐拉屈曲梁非線性吸振器的設(shè)想，并初步完成穩(wěn)態(tài)激勵(lì)條件下的頻響特性分析。劉海平等［16］分別考慮穩(wěn)態(tài)載荷和瞬態(tài)載荷激勵(lì)條件下歐拉屈曲梁非線性吸振器的響應(yīng)特性，較為全面地研究了此類(lèi)非線性吸振器的振動(dòng)抑制效果。相比線性吸振器，歐拉屈曲梁非線性吸振器在有效抑制主頻振動(dòng)響應(yīng)的同時(shí)，在其他頻段不會(huì)引起新的諧振峰，并且有效抑振頻帶更寬。

實(shí)際使用中，針對(duì)具備本質(zhì)非線性特征的非線性吸振器，為了克服重力場(chǎng)影響產(chǎn)生的靜態(tài)變形，可以采用水平安裝或者引入彈性補(bǔ)償元件有效抵消重力場(chǎng)對(duì)非線性吸振器的影響。從上述觀點(diǎn)出發(fā)，樓京俊等［17］考慮非線性吸振器垂向安裝條件下，通過(guò)引入弱線性彈簧元件作為彈性支撐，提出改進(jìn)非線性吸振器的模型。研究表明，相比本質(zhì)非線性吸振器，含弱線性剛度的非線性吸振器的有效工作頻帶更寬，抑振效果更好。其他關(guān)于安裝方式對(duì)非線性吸振器抑振性能的影響研究報(bào)道較少。綜上，經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展，針對(duì)非線性吸振器的理論研究已經(jīng)獲得豐富的成果，為實(shí)際應(yīng)用奠定了很好的基礎(chǔ)。但是，從工程實(shí)際出發(fā)，非線性吸振器的具體實(shí)現(xiàn)形式以及可能的影響因素研究尚顯不足。

本文在前期研究基礎(chǔ)上，以歐拉屈曲梁非線性吸振器為研究對(duì)象，考慮實(shí)際安裝約束分別建立非線性吸振器彈性支撐未接地、彈性支撐接地以及僅彈性支撐中彈簧元件接地三類(lèi)動(dòng)力學(xué)模型，采用復(fù)變量-平均法分別給出上述三類(lèi)模型的頻能方程和頻響函數(shù)表達(dá)式。通過(guò)對(duì)比研究，確定較優(yōu)的安裝方式，并評(píng)估其振動(dòng)抑制效果。

1 歐拉屈曲梁非線性吸振器建模

僅由歐拉屈曲梁構(gòu)建的非線性吸振器模型如圖1所示。初始狀態(tài)下，每根歐拉屈曲梁長(zhǎng)度為L(zhǎng)，設(shè)在水平位置時(shí)，模型處于平衡狀態(tài)。由于歐拉屈曲梁含有負(fù)剛度和非線性剛度，屬于一類(lèi)典型的非線性吸振器。

圖1 歐拉屈曲梁非線性吸振器Fig.1 Schematic of the NVDA with Euler-buckled beams

考慮研究?jī)?nèi)容的完整性，首先，建立單根歐拉屈曲梁模型如圖2所示。初始狀態(tài)下，單根歐拉屈曲梁中間初始撓度為q0，在軸向載荷P作用下，其軸向末端位移為y。

圖2 單根歐拉屈曲梁模型Fig.2 Schematic of single Euler-buckled beam model

軸向載荷P與軸向末端位移y之間的關(guān)系為：

式中Pe=EI(π/L)2為歐拉屈曲梁臨界載荷；L，E，I分別為歐拉屈曲梁未變形時(shí)的長(zhǎng)度、材料彈性模量和梁截面慣性矩。

根據(jù)單根歐拉屈曲梁的軸向力-位移關(guān)系式（1），可以得到由歐拉屈曲梁構(gòu)建的非線性吸振器（參見(jiàn)圖1）的垂向力-位移關(guān)系式。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，采用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)可得到力-位移關(guān)系的近似表達(dá)式［10］：

2 含非線性吸振器耦合動(dòng)力系統(tǒng)建模

歐拉屈曲梁屬于雙穩(wěn)定狀態(tài)結(jié)構(gòu)，在兩個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)之間存在非穩(wěn)定狀態(tài)，因此，需要增加輔助彈性支撐保證非線性吸振器的工作穩(wěn)定性并補(bǔ)償重力引起的位移。為了系統(tǒng)研究彈性支撐及安裝方式對(duì)非線性吸振器有效性的影響。本部分分別提出并建立三類(lèi)非線性吸振器模型：（1）彈性支撐未接地；（2）彈性支撐接地；（3）僅彈簧元件接地，如圖3所示。由圖可見(jiàn)，M為主振系慣性質(zhì)量，K為主振系彈性系數(shù)，c1為主振系阻尼系數(shù)；m為非線性吸振器的慣性質(zhì)量，k為彈性支撐的彈性系數(shù)，c2為彈性支撐的阻尼系數(shù)；f=f0cos(ωt)為外部激勵(lì)力。

根據(jù)牛頓第二定理，分別給出圖3 不同耦合動(dòng)力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：

圖3 不同安裝方式的非線性吸振器耦合系統(tǒng)模型Fig.3 Schematic of the NDVA coupling system models with different installation methods

模型1：彈性支撐未接地：

模型2：彈性支撐接地：

模型3：僅彈簧元件接地：

為了便于分析，引入無(wú)量綱化參數(shù)：

通過(guò)無(wú)量綱化處理，公式（3）～（5）對(duì)應(yīng)不同模型的運(yùn)動(dòng)微分方程變換為：

模型1：彈性支撐未接地：

模型2：彈性支撐接地：

模型3：僅彈簧元件接地：

3 穩(wěn)態(tài)解析解

3.1 頻率能量方程

非線性吸振器對(duì)線性主振系的振動(dòng)控制主要通過(guò)耦合系統(tǒng)發(fā)生內(nèi)共振的方式實(shí)現(xiàn)。上述內(nèi)共振形式共分為主共振、亞諧共振和拍振三種類(lèi)型，且各類(lèi)型共振形式隨著系統(tǒng)能量水平變化而被激發(fā)。其中，最常見(jiàn)且控制效果最明顯的為主共振。目前，頻能圖作為有效的分析工具被廣泛應(yīng)用于研究非線性吸振器的振動(dòng)控制效果。非線性振動(dòng)系統(tǒng)的頻能圖在一定程度上可以看作是線性振動(dòng)系統(tǒng)中的幅頻特性曲線在非線性振動(dòng)系統(tǒng)中的一個(gè)拓展，它反映了非線性系統(tǒng)內(nèi)各階非線性模態(tài)之間的耦合作用，同時(shí)也反映了非線性系統(tǒng)的各種內(nèi)共振分布規(guī)律［18-19］。

本部分使用復(fù)變量-平均法［20-22］，重點(diǎn)研究非線性吸振器與主振系之間發(fā)生1∶1主共振時(shí)的動(dòng)態(tài)特性。

首先，定義復(fù)變量：

頻能圖僅適用于保守系統(tǒng)，故需將方程中阻尼項(xiàng)和外部激勵(lì)項(xiàng)忽略掉；然后，引入復(fù)變量。通過(guò)化簡(jiǎn)，可得主振系慣性質(zhì)量的振幅和主振系慣性質(zhì)量與非線性吸振器間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)幅值，分別采用A和B表示。對(duì)應(yīng)圖3 給出不同耦合動(dòng)力系統(tǒng)模型的響應(yīng)幅值，分別得到：

模型1：彈性支撐未接地：

模型2：彈性支撐接地：

模型3：僅彈簧元件接地，該工況與模型2 對(duì)應(yīng)頻能曲線的表達(dá)式相同，故不再贅述。保守系統(tǒng)的能量與頻率之間的關(guān)系如下式所示：

3.2 頻響方程

使用復(fù)變量-平均法求解頻響函數(shù)［23-28］，以彈性支撐未接地模型為例，將第3.1 節(jié)定義的復(fù)變量引入式（3），得到：

引入變量φ1=a1+ib1，φ2=a2+ib2，其中a1，b1，a2，b2均為時(shí)間t的函數(shù)。分離實(shí)部和虛部，求出a1，b1，a2，b2后代入式（12）可求出頻響方程［29-31］：

采用其他安裝方式時(shí)的非線性吸振器耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型相應(yīng)的頻響方程詳見(jiàn)文后附錄。為了驗(yàn)證解析解的正確性，采用四階龍格-庫(kù)塔法計(jì)算得到的數(shù)值解進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，如圖4所示。由圖可見(jiàn)，計(jì)算結(jié)果一致性較好，滿足精度要求。

圖4 解析解與數(shù)值解對(duì)比Fig.4 Comparison of analytical and numerical solutions

4 動(dòng)力學(xué)特性及抑振效果

本文研究重點(diǎn)在于分析不同安裝方式對(duì)歐拉屈曲梁非線性吸振器有效性的影響，故具體設(shè)計(jì)參數(shù)參考文獻(xiàn)［16-17］，如表1所示。需要說(shuō)明，文獻(xiàn)中所列參數(shù)均為優(yōu)化后結(jié)果，故本論文不涉及最優(yōu)化設(shè)計(jì)相關(guān)工作。結(jié)合第3 節(jié)已給出不同耦合系統(tǒng)頻率能量方程和頻響函數(shù)，對(duì)上述三種不同安裝方式的歐拉屈曲梁非線性吸振器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性及抑振效果展開(kāi)討論。

表1 設(shè)計(jì)參數(shù)值Tab.1 Design parameter values

4.1 頻能圖

圖5 給出不同安裝方式非線性吸振器耦合系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的頻能圖。由圖可見(jiàn)，在定義的頻率范圍內(nèi)對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行遍歷計(jì)算，可以得到兩條不同的脊線?？紤]非線性吸振器穩(wěn)定性，引入彈性支撐導(dǎo)致非線性吸振器的剛度出現(xiàn)線性項(xiàng)，對(duì)應(yīng)耦合系統(tǒng)頻能曲線呈現(xiàn)兩個(gè)互不相交的分支。其中，上分支對(duì)應(yīng)一階非線性模態(tài)，代表主振系與非線性吸振器之間的反向運(yùn)動(dòng)；下分支對(duì)應(yīng)二階非線性模態(tài)，代表主振系與非線性吸振器之間的同向運(yùn)動(dòng)?？梢钥闯?，一階非線性模態(tài)的振動(dòng)頻率出現(xiàn)下飽和現(xiàn)象，隨著能量的減小，振動(dòng)頻率收斂于固定值。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，受安裝方式影響，彈性支撐未接地情況頻率變化范圍較寬，彈性支撐接地情況頻率變化范圍較窄。

圖5 不同模型對(duì)應(yīng)的頻能圖Fig.5 Frequency-energy plots for different models

4.2 頻響曲線

本部分給出不同安裝方式非線性吸振器對(duì)應(yīng)耦合系統(tǒng)主振系的頻響曲線，進(jìn)而重點(diǎn)討論安裝方式變化對(duì)其抑振效果的影響。

圖6 給出歐拉屈曲梁非線性吸振器采用不同安裝方式對(duì)應(yīng)的主振系頻響曲線。通過(guò)安裝彈性支撐，歐拉屈曲梁非線性吸振器工作狀態(tài)保持穩(wěn)定，故主振系頻響曲線未出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象等典型的非穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特征。其中，彈性支撐未接地時(shí)，歐拉屈曲梁非線性吸振器抑振效果最好。此外，引入彈性支撐的歐拉屈曲梁非線性吸振器不僅可以有效抑制主振系的頻響幅值；而且，未在其他頻點(diǎn)引入新的諧振峰。這也是此類(lèi)非線性吸振器的突出優(yōu)勢(shì)。

圖6 不同模型對(duì)應(yīng)的主振系頻響曲線Fig.6 Frequency response curves of the main vibrational system for different models

根據(jù)上述分析結(jié)果，后面內(nèi)容重點(diǎn)針對(duì)彈性支撐未接地對(duì)應(yīng)的歐拉屈曲梁非線性吸振器動(dòng)力耦合系統(tǒng)展開(kāi)討論。

4.3 與線性吸振器對(duì)比

本部分重點(diǎn)討論安裝傳統(tǒng)線性吸振器和歐拉屈曲梁非線性吸振器對(duì)主振系振動(dòng)響應(yīng)的抑制效果。根據(jù)第4.2 節(jié)計(jì)算結(jié)果，彈性支撐未接地時(shí)，歐拉屈曲梁非線性吸振器抑振效果最好。本部分選擇該方案作為研究對(duì)象。

圖7 給出不同類(lèi)型吸振器對(duì)應(yīng)的主振系頻響曲線。可見(jiàn)，兩類(lèi)吸振器均可在主振系諧振頻率實(shí)現(xiàn)有效抑制響應(yīng)峰值的目標(biāo)。但是，傳統(tǒng)線性吸振器在原系統(tǒng)諧振頻率兩側(cè)引入新的諧振峰；歐拉屈曲梁非線性吸振器除了可以有效抑制諧振頻率主振系的響應(yīng)峰值，在其他頻段則未產(chǎn)生任何負(fù)面影響。

圖7 不同類(lèi)型吸振器對(duì)應(yīng)的頻響曲線Fig.7 Frequency response curves for different types of dynamic vibration absorbers

4.4 時(shí)域響應(yīng)

根據(jù)第4.3 節(jié)研究?jī)?nèi)容，歐拉屈曲梁非線性吸振器可以顯著抑制主振系諧振峰值，并且在諧振頻率附近未引入新共振峰，拓寬了工作頻帶；而且，在其他頻段未產(chǎn)生負(fù)面影響，即未在低頻段引入新的諧振峰，在高頻段振動(dòng)響應(yīng)未被放大。

實(shí)際中，環(huán)境激勵(lì)呈現(xiàn)多頻寬頻特征，為了全面了解歐拉屈曲梁非線性吸振器的抑振效果，以下重點(diǎn)在時(shí)間域討論其受多頻穩(wěn)態(tài)激勵(lì)的振動(dòng)控制效果。

具體計(jì)算過(guò)程：針對(duì)安裝不同類(lèi)型非線性吸振器耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，采用四階龍格-庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到各部分的時(shí)域響應(yīng)位移曲線。

假設(shè)系統(tǒng)所受外激勵(lì)F=∑cos（ωt），ω=21，32，42，52，63，71，84 rad/s 為多頻力激勵(lì)對(duì)應(yīng)圓頻率。計(jì)算得到在時(shí)間域多頻力激勵(lì)條件下安裝不同類(lèi)型非線性吸振器耦合系統(tǒng)各部分位移響應(yīng)曲線如圖8所示。由圖可見(jiàn)，非線性吸振器振動(dòng)抑制效果優(yōu)于線性吸振器。

圖8 時(shí)域位移曲線Fig.8 Displacement curves in time domain

5 影響因素分析

相比傳統(tǒng)線性吸振器，歐拉屈曲梁非線性吸振器設(shè)計(jì)參數(shù)眾多，其中，初始撓度q0、長(zhǎng)度L以及斜置傾角θ為新增設(shè)計(jì)變量，故本部分重點(diǎn)針對(duì)上述三個(gè)新增參數(shù)對(duì)安裝歐拉屈曲梁非線性吸振器耦合系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響進(jìn)行分析。

5.1 初始撓度q0的影響

其他參數(shù)保持不變（參見(jiàn)表1），初始撓度q0在［1×10-4m，3.5×10-3m］區(qū)間內(nèi)變化，得到主振系幅頻特性云圖如圖9所示。q0在7×10-4～2.1×10-3m 范圍內(nèi)變化時(shí)，主振系諧振峰對(duì)應(yīng)頻率比位于0.90～0.95 之間，且q0約為1.3×10-3m 時(shí)，主振系頻響峰值最大。當(dāng)q0小于7×10-4m 或大于2.1×10-3m 時(shí)，主振系諧振峰會(huì)出現(xiàn)在頻率比1～1.05 之間。此外，初始撓度q0在［5×10-4m，7×10-4m］和［2.1×10-3m，2.3×10-3m］區(qū)間取值，主振系諧振峰存在較小值，即初始撓度q0存在最優(yōu)值。

圖9 不同q0值對(duì)應(yīng)主振系頻響曲線Fig.9 Frequency response curves of the main vibrational system for different q0

5.2 長(zhǎng)度L 的影響

其他參數(shù)保持不變（參見(jiàn)表1），僅在區(qū)間［0.01 m，0.06 m］內(nèi)改變L值，得到主振系幅頻特性云圖如圖10所示。當(dāng)L在0.019～0.06 m 范圍內(nèi)變化時(shí)，在頻率比1～1.05 內(nèi)出現(xiàn)共振峰，且隨L的減小共振峰呈現(xiàn)“先減小后增大”的變化趨勢(shì)；而且，當(dāng)L約為0.019 m 時(shí)，主振系頻響幅值最?。蝗绻鸏繼續(xù)減小，共振峰頻率比移向0.92～0.96 區(qū)間；隨著L繼續(xù)減小，主振系頻響幅值急劇上升。對(duì)比可見(jiàn)，長(zhǎng)度L的最優(yōu)值位于區(qū)間［0.019 m，0.022 m］，相應(yīng)系統(tǒng)諧振峰值最小。

圖10 不同L 值對(duì)應(yīng)主振系頻響曲線Fig.10 Frequency response curves of the main vibrational system for different L

5.3 斜置傾角θ 的影響

其他參數(shù)保持不變（參見(jiàn)表1），當(dāng)斜置傾角θ在區(qū)間［5°，25°］變化，主振系幅頻特性云圖如圖11所示。當(dāng)斜置傾角大于10°時(shí)，主振系諧振峰頻率比位于1～1.05 區(qū)間；隨斜置傾角的減小而呈現(xiàn)“先減小后增大”的變化趨勢(shì)；當(dāng)斜置傾角約為10°時(shí)，主振系頻響幅值最?。浑S著斜置傾角繼續(xù)減小，主振系諧振峰值急劇增大且向低頻發(fā)生移動(dòng)。對(duì)比可見(jiàn)，斜置傾角也存在最優(yōu)值位于區(qū)間［10°，14°］，對(duì)應(yīng)主振系諧振峰值最小。

圖11 不同θ 值對(duì)應(yīng)主振系頻響曲線Fig.11 Frequency response curve of the main vibrational system for different θ

6 總 結(jié)

為了研究基于歐拉屈曲梁非線性吸振器安裝方式對(duì)其振動(dòng)抑制效果的影響，本文分別提出彈性支撐未接地、彈性支撐接地和僅彈簧元件接地三類(lèi)耦合系統(tǒng)模型。采用復(fù)變量-平均法，獲得不同模型對(duì)應(yīng)頻響函數(shù)，進(jìn)而得到系統(tǒng)的頻能方程。通過(guò)與傳統(tǒng)線性吸振器對(duì)比，以及主要設(shè)計(jì)參數(shù)的影響分析，綜合分析并評(píng)價(jià)歐拉屈曲梁非線性吸振器振動(dòng)抑制效果。根據(jù)計(jì)算結(jié)果，具體得出以下結(jié)論：

（1）在三類(lèi)非線性吸振器模型中，采用彈性支撐未接地方式安裝的歐拉屈曲梁非線性吸振器的振動(dòng)抑制效果最好；

（2）相比于傳統(tǒng)線性吸振器，歐拉屈曲梁非線性吸振器不僅可以有效抑制主振系的諧振峰值，且對(duì)其他頻段的振動(dòng)響應(yīng)未產(chǎn)生負(fù)面影響；

（3）對(duì)比主振系頻響幅值，歐拉屈曲梁非線性吸振器的主要設(shè)計(jì)參數(shù)初始撓度q0，長(zhǎng)度L和斜置傾角θ均存在最優(yōu)值。

附 錄：

模型1：彈性支撐未接地：

模型2：彈性支撐接地：

模型3：僅彈簧元件接地：