蘇嘉頔 彭勇波 寧超列，*

（1.同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海 200092；2.同濟(jì)大學(xué)上海防災(zāi)救災(zāi)研究所，上海 200092）

0 引 言

近幾十年來，隨著我國城鎮(zhèn)化過程的快速發(fā)展，為滿足大量涌入城市居住的人們生產(chǎn)、生活需要，建筑行業(yè)得到極大程度的發(fā)展，大量建筑結(jié)構(gòu)涌現(xiàn)，城市擴(kuò)張迅速[1]。與此同時，我國地處環(huán)太平洋地震帶和歐亞地震帶交匯處，是世界上地震災(zāi)害最為頻發(fā)的地區(qū)之一。因此，在這些人口高密度聚集的城市區(qū)域，一旦發(fā)生破壞性的地震災(zāi)害，將造成重大的經(jīng)濟(jì)損失和人員傷亡。鑒于此，圍繞現(xiàn)代城市區(qū)域建筑群開展地震易損性分析，對于減輕地震災(zāi)害風(fēng)險，提高城市抗震防災(zāi)韌性具有十分重要的意義。

然而，由于我國各地城市普遍缺乏歷史震害調(diào)查資料，因此數(shù)值解析方法是開展區(qū)域建筑群地震易損性分析的主要手段之一。在數(shù)值解析方法中，建筑結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算模型和地震動選波/生成方法是研究的關(guān)鍵。在建筑結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算模型中，剪切層模型是目前結(jié)構(gòu)彈塑性時程動力響應(yīng)分析的主流模型[2]。然而，剪切層模型不能反映群體建筑中多層和高層結(jié)構(gòu)的彎剪耦合動力響應(yīng)特征[3]。在能夠反映彎剪耦合動力響應(yīng)特征的結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算模型中[4-7]，又存在模型參數(shù)眾多、參數(shù)標(biāo)定困難甚至無法標(biāo)定的難題，造成這些模型應(yīng)用極其不便。而在地震動選波/生成方法中[8-9]，已有的研究大多采用確定性的方式，較難全面和準(zhǔn)確地反映地震動隨機(jī)性的影響。

因此，本文圍繞區(qū)域建筑地震易損性分析，提出了一類模型參數(shù)較少、計(jì)算速度快，且能夠反映彎剪耦合動力響應(yīng)特征的結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算模型。同時，為了全面和準(zhǔn)確反映地震動隨機(jī)性的影響，通過引入物理隨機(jī)地震動模型，結(jié)合概率密度演化理論，建立了一類適用于區(qū)域建筑地震易損性分析的新方法。

1 結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算模型

根據(jù)已有的剪切型層模型[2-4]和連續(xù)型彎剪層模型[5-6]，同時考慮控制模型參數(shù)的數(shù)量，本文將建筑結(jié)構(gòu)簡化為一組彈塑性剪切層彈簧和一根彈性彎曲梁，建立了一類改進(jìn)的彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算模型，如圖1所示。其中，剪切層彈簧用于表征結(jié)構(gòu)的剪切變形，能夠進(jìn)入彈塑性變形。彎曲彈性梁用于表征結(jié)構(gòu)的彎曲變形，僅能夠處于彈性變形。同時，模型假設(shè)結(jié)構(gòu)每一層的質(zhì)量均集中于樓面。與經(jīng)典的剪切性層模型一致，剪切層彈簧的各質(zhì)點(diǎn)通過非線性剪切彈簧連接，剪切層彈簧只傳遞剪力和橫向位移。彎曲彈性梁通過彈性桿連接，彈性桿可以傳遞剪力、彎矩、位移和轉(zhuǎn)角。剪切層彈簧和彎曲彈性梁之間通過剛性鏈桿連接。剛性鏈桿可以約束各層的橫向位移保持一致。

圖1 彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算模型Fig.1 Bending-shear coupled structural simplified computation model

因此，根據(jù)動力平衡條件，剪切層彈簧的運(yùn)動控制微分方程可表示為

式中：Ms為剪切層彈簧的質(zhì)量矩陣；Cs為剪切層彈簧的阻尼矩陣；Fs為恢復(fù)力向量；Ps為剪切層彈簧承擔(dān)的地震荷載；U為結(jié)構(gòu)各層的水平位移時程；?為水平速度時程；?為水平加速度時程。

類似地，根據(jù)動力平衡條件，彎曲彈性梁的運(yùn)動控制微分方程可表示為

式中：Mb為彎曲彈性梁的質(zhì)量矩陣；Cb為彎曲彈性梁的阻尼矩陣；Kb為彈性剛度矩陣；Pb為彎曲彈性梁承擔(dān)的地震荷載。

將式（1）和式（2）相加，可得：

因此：

其中，M代表結(jié)構(gòu)的整體質(zhì)量矩陣：

式中：mi和Ji（i=1，2，…，N）分別為結(jié)構(gòu)第i層的質(zhì)量和慣性矩；N為結(jié)構(gòu)層數(shù)；C為阻尼矩陣，可采用瑞利阻尼；Kb為彎曲彈性梁的整體剛度矩陣，可通過建立和疊加結(jié)構(gòu)各層的單元彎曲剛度矩陣獲得。

結(jié)構(gòu)各層的單元彎曲剛度矩陣為

式中：H為層高；EI為結(jié)構(gòu)每層的抗彎剛度。

另一方面，P為結(jié)構(gòu)的外荷載向量：

Fs為由剪切層彈簧提供的水平恢復(fù)力向量：

式中，fsi為剪切層彈簧的恢復(fù)力，由相應(yīng)的滯回模型確定。

考慮復(fù)雜的滯回模型將使得簡化計(jì)算模型的參數(shù)眾多且難以標(biāo)定。因此，采用Steelman和Hajjar提出的滯回模型描述[10]，如圖2所示。相比其他的滯回模型，該滯回模型僅包括三個參數(shù)：剪切剛度GA、剪切屈服轉(zhuǎn)角?和退化參數(shù)τ。因此，該滯回模型具有參數(shù)較少、標(biāo)定簡單且計(jì)算方便的優(yōu)勢。其中，退化參數(shù)τ反映了建筑結(jié)構(gòu)耗能能力的退化，代表實(shí)際滯回環(huán)面積與理想滯回環(huán)面積的比。

圖2 滯回模型Fig.2 Hysteresis model

2 模型參數(shù)校準(zhǔn)

綜上所述，本文建立的彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算模型共有7個參數(shù)，如表1所示，分別為：等效層質(zhì)量m、層高H、彎曲剛度EI、剪切剛度GA、轉(zhuǎn)動慣量J、滯回模型參數(shù)τ和剪切屈服轉(zhuǎn)角?。顯然，這7個模型參數(shù)的取值與建筑材料、結(jié)構(gòu)類型、建筑年代和抗震設(shè)防水平等因素相關(guān)。不同的模型參數(shù)取值，表征不同的建筑結(jié)構(gòu)，使得地震動力響應(yīng)特征具有顯著差異。

表1 彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算模型參數(shù)Table 1 Bending-shear coupled structural simplified computation model parameters

2.1 參數(shù)敏感性分析

為使本文建立的彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算模型具有良好的適用性，開展參數(shù)敏感性分析，進(jìn)一步減少需要標(biāo)定的模型參數(shù)數(shù)量。根據(jù)模型試算，首先設(shè)定7個模型參數(shù)的范圍，如表1所示。然后，采用修正的Morris篩選法對每個參數(shù)的敏感性進(jìn)行判斷。修正的Morris篩選法對每個自變量以固定的步長依次變化[11]，計(jì)算相應(yīng)的靈敏度判別因子S，表達(dá)式為

式中：Yi為模型第i次運(yùn)行的計(jì)算結(jié)果；Yi+1為模型第i+1次運(yùn)行的計(jì)算結(jié)果；Y0為模型取基準(zhǔn)參數(shù)時的計(jì)算結(jié)果；Pi為第i次模型運(yùn)算時的參數(shù)取值；Pi+1為第i+1次模型運(yùn)算時的參數(shù)取值；P0為模型的基準(zhǔn)參數(shù)取值；n為模型的運(yùn)行次數(shù)。

以結(jié)構(gòu)的最大頂層位移和最大層間位移角為判別指標(biāo)，獲得7個模型參數(shù)的靈敏度判別因子S，如圖3所示?？梢?，在給定的模型參數(shù)區(qū)間范圍內(nèi)，剪切剛度GA最為敏感，其次為等效層質(zhì)量m和層間高度H。彎曲剛度EI、剪切屈服轉(zhuǎn)角?、轉(zhuǎn)動慣量J和滯回模型參數(shù)τ屬于低靈敏度參數(shù)。

圖3 模型參數(shù)敏感性分析Fig.3 Sensitivity analysis of model parameters

2.2 參數(shù)校準(zhǔn)步驟

因此，固定結(jié)構(gòu)的彎曲剛度EI=1.5×109N·m2，剪切屈服轉(zhuǎn)角?=0.2%，轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量比J/m=1，滯回模型參數(shù)τ=0.3，建立其他參數(shù)的校準(zhǔn)步驟，具體如下：

（1）等效層質(zhì)量m：根據(jù)樓面恒載和活載取值估算。

（2）層間高度H：由結(jié)構(gòu)基本屬性參數(shù)獲得或估算。

（3）剪切剛度GA：首先，根據(jù)建筑結(jié)構(gòu)類型和建筑高度H估算獲得結(jié)構(gòu)的一階自振周期。然后，假設(shè)彎曲剛度EI與剪切剛度GA的比值[12]，通過不斷調(diào)整剪切剛度GA，使得結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算模型的一階自振周期與估算結(jié)果相等。

2.3 模型校準(zhǔn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證模型和上述參數(shù)校準(zhǔn)過程的準(zhǔn)確性，本文開展了彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算模型與精細(xì)有限元模型分析結(jié)果的對比。以一棟六層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)為例，如圖4所示，各層的樓面恒載為3.5 kN/m2，活載為2.0 kN/m2，混凝土樓板的厚度為 120 mm，柱構(gòu)件為 C400×400，配筋率為1.2%，梁構(gòu)件為B200×400，頂部和底部的配筋率為0.6%。鋼筋采用HRB400，混凝土采用C35，采用OpenSEES程序建立精細(xì)有限元模型，具體過程見文獻(xiàn)[13]。

圖4 鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)Fig.4 Reinforced concrete frame structure

在基礎(chǔ)上，從美國太平洋地震工程中心的地震動數(shù)據(jù)庫中任意選擇三條地震動記錄作為輸入（EQ1、EQ2和EQ3）。圖5給出了不同地震動作用下本文建立的彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算模型與精細(xì)有限元模型最大層間位移角沿層高分布的對比?？梢?，本文建立的彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算模型計(jì)算結(jié)果與精細(xì)有限元模型的計(jì)算結(jié)果基本相同。層間位移角沿層高的分布呈現(xiàn)先大后小的趨勢，表明本文建立的彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算模型能夠準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)的彎剪耦合變形。同時，在計(jì)算過程中，本文建立的彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算模型平均用時僅需1.5 s，而精細(xì)有限元模型的計(jì)算用時為1 min。因此，本文建立的彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算模型可以大幅度縮短計(jì)算時間，這對區(qū)域建筑的地震動力響應(yīng)計(jì)算具有十分重要的意義。

圖5 最大層間位移角對比Fig.5 Comparison of maximum inter-story drift

3 地震易損性分析

增量動力分析方法（Incremental Dynamic Analysis，IDA）是一類基于彈塑性動力時程響應(yīng)分析的地震易損性分析方法，其基本思想是輸入地震動強(qiáng)度逐級增大的同一地震動，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行多次彈塑性動力時程響應(yīng)分析，獲得結(jié)構(gòu)在不同地震動強(qiáng)度作用下的最大地震動力響應(yīng)，從而較為全面地評估建筑結(jié)構(gòu)的抗震性能。IDA曲線反映了結(jié)構(gòu)從初始彈性階段到彈塑性階段，直至失穩(wěn)倒塌的結(jié)構(gòu)破壞全過程。然而，傳統(tǒng)的IDA方法一般針對設(shè)定場地，通過選取或人工模擬方式，獲得若干條地震動開展結(jié)構(gòu)的地震動力時程響應(yīng)分析。這種方式不能全面、精細(xì)地反映地震動的隨機(jī)性特征。為了合理考慮地震作用的隨機(jī)性，李杰等近年來提出了基于物理的隨機(jī)地震動模型和概率密度演化理論，開展了建筑結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)隨機(jī)分析與可靠度評價，揭示了地震動隨機(jī)性在復(fù)雜非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的傳播[14-15]。因此，本文采用物理隨機(jī)地震動模型，結(jié)合概率密度演化理論，開展上述彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算模型的地震易損性分析，并與常規(guī)研究方法進(jìn)行對比。

3.1 分析流程

圖6給出了基于物理隨機(jī)地震動模型和概率密度演化理論開展地震易損性分析的流程[19-20]?？梢?，分為四個步驟：

圖6 基于物理隨機(jī)地震動模型和概率密度演化理論開展地震易損性分析的流程Fig.6 Flowchart of seismic fragility analysis based on physical random earthquake ground motion model and probability density evolution method

（1）根據(jù)工程場地條件，采用物理隨機(jī)地震動模型模擬生成一系列地震動樣本，并確定其賦得概率。

（2）開展每條地震動樣本在給定地震動強(qiáng)度作用下的結(jié)構(gòu)動力時程響應(yīng)分析，得到表征結(jié)構(gòu)地震損傷的最大層間位移角。

（3）采用概率密度演化理論，獲得最大層間位移角的概率密度分布。同時，結(jié)合設(shè)定的最大層間位移角閾值，獲得結(jié)構(gòu)在給定地震動強(qiáng)度作用下的超越概率。

（4）調(diào)整地震動樣本的地面峰值加速度（簡稱PGA），得到結(jié)構(gòu)在不同地震動強(qiáng)度作用下的超越概率，最終生成地震易損性曲線。

3.2 隨機(jī)地震動模型

為客觀反映地震動幅值和頻譜的隨機(jī)性，本文采用的物理隨機(jī)地震動模型包括三個基本隨機(jī)變量：基巖白噪聲強(qiáng)度S0、場地卓越頻率ω0和場地等效阻尼比ξ0。模型具體細(xì)節(jié)，見文獻(xiàn)[15]。不失一般性，假設(shè)建筑結(jié)構(gòu)所在的工程場地抗震設(shè)防烈度為8度，基本地震加速度峰值均值為0.3g，場地土為Ⅲ類，場地特征周期為0.45 s。因此，根據(jù)物理隨機(jī)地震動模型的參數(shù)校準(zhǔn)結(jié)果，場地卓越頻率ω0的均值和標(biāo)準(zhǔn)差可取12rad/s和5.04rad/s；等效阻尼比ξ0的均值和標(biāo)準(zhǔn)差可取0.1和0.035。場地卓越頻率ω0和等效阻尼比ξ0均假定為服從對數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。基巖白噪聲強(qiáng)度S0假定為高斯過程，其傅立葉譜幅值為0.20m/s2，對應(yīng)的地面峰值加速度均值為0.11g。

針對上述三個基本隨機(jī)變量，采用切球選點(diǎn)方法模擬生成221條隨機(jī)地震動樣本[15]。其中任意2條地震動樣本的時程曲線，如圖7所示?？梢姡M生成的隨機(jī)地震動樣本具有較好的零均值特性和時域非平穩(wěn)性。

圖7 典型隨機(jī)地震動時程Fig.7 Time history of typical random ground motions

圖8給出了221條隨機(jī)地震動樣本的PGA的統(tǒng)計(jì)分布?？梢姡@221條隨機(jī)地震動樣本的PGA的均值為1.04 m/s2，標(biāo)準(zhǔn)差為0.34 m/s2，其直方圖近似服從對數(shù)正態(tài)分布假設(shè)。

圖8 隨機(jī)地震動PGA的統(tǒng)計(jì)分布Fig.8 Statistical distribution of peak ground acceleration of random ground motion

3.3 地震易損性曲線

由上可知，隨機(jī)地震動的PGA為一個隨機(jī)變量。因此，采用PGA均值表征地震動強(qiáng)度大小，表示為E[PGA]。根據(jù)圖6所示流程，對每條地震動樣本按PGA的均值同等調(diào)幅，由0.01g按照0.01g的間隔依次調(diào)幅至1.0g，獲得不同E[PGA]作用下結(jié)構(gòu)的最大層間位移角，即：對于每一個E[PGA]都有221個最大層間位移角。然后，采用等價極值事件準(zhǔn)則，基于概率密度演化理論，引入虛擬隨機(jī)過程[14]，獲得給定E[PGA]作用下結(jié)構(gòu)最大層間位移角的概率密度分布。

圖9給出了不同E[PGA]作用下結(jié)構(gòu)最大層間位移角的概率密度分布。可見，基于隨機(jī)地震動模型和概率密度演化理論可獲得不同E[PGA]作用下結(jié)構(gòu)最大層間位移角精確的概率密度分布。與傳統(tǒng)的對數(shù)正態(tài)分布假設(shè)對比，該精確分布在尾部區(qū)域具有一定的波動性。這種波動性在地震動強(qiáng)度E[PGA]較小時尤為明顯。隨著E[PGA]的增大，分布的波動性逐漸減小。

圖9 最大層間位移角的概率密度曲線Fig.9 Probability density curve of maximum inter-storey drift ratio

在此基礎(chǔ)上，將建筑結(jié)構(gòu)的損傷狀態(tài)劃分為四個等級，分別為輕微破壞狀態(tài)、中等破壞狀態(tài)、嚴(yán)重破壞狀態(tài)和毀壞狀態(tài)[16]。其中，輕微破壞狀態(tài)的最大層間位移角閾值取1/550；中等破壞狀態(tài)、嚴(yán)重破壞狀態(tài)和毀壞狀態(tài)的最大層間位移角閾值分別取輕微破壞狀態(tài)閾值的2倍、4倍和10倍。圖10給出了不同E[PGA]作用下結(jié)構(gòu)的地震易損性曲線?？梢?，當(dāng)E[PGA]為0.1g時，該結(jié)構(gòu)有50%左右的概率發(fā)生輕微或中等以上的破壞，基本不會發(fā)生嚴(yán)重破壞；當(dāng)E[PGA]為0.2g時，輕微破壞難以避免，同時有70%的可能性發(fā)生中等破壞，40%左右的概率發(fā)生嚴(yán)重破壞；當(dāng)E[PGA]達(dá)到0.3g時，結(jié)構(gòu)有50%以上的概率發(fā)生嚴(yán)重破壞；當(dāng)E[PGA]達(dá)到0.6g時，嚴(yán)重破壞難以避免。

圖10 地震易損性曲線Fig.10 Seismic fragility curve

3.4 結(jié)果對比分析

為驗(yàn)證本文建立方法計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，進(jìn)一步開展與已有研究方法計(jì)算結(jié)果的對比。因本文采用的結(jié)構(gòu)為一棟6層鋼筋混凝土框架，因此搜集已有文獻(xiàn)中6層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)的地震易損性曲線，如圖11所示。其中，盧飛[17]采用PKPM軟件對一棟6層三跨鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行精細(xì)有限元建模，并基于對數(shù)正態(tài)分布假定，計(jì)算獲得了以PGA為地震動強(qiáng)度指標(biāo)的地震易損性曲線。楊碩[18]采用MSC.MARC軟件對一棟6層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了地震易損性研究，獲得了以PGA為地震動強(qiáng)度指標(biāo)的地震易損性曲線。采用F偏差對比不同破壞狀態(tài)下三條曲線的差異性，可得：輕微破壞、中等破壞、嚴(yán)重破壞和毀壞狀態(tài)下本文獲得的地震易損性曲線與盧飛、楊碩等人獲得的地震易損性曲線相差較小，F(xiàn)偏差分別為1.455 3與1.520 8、1.415 2與1.329 4、1.203 4與1.131 5、0.909 5與2.542 0。

圖11 地震易損性曲線對比Fig.11 Comparison of seismic fragility curves

4 結(jié) 論

圍繞區(qū)域建筑地震易損性分析需求，提出了一個模型參數(shù)較少、計(jì)算速度快、能夠反映彎剪耦合效應(yīng)的結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算模型。同時，考慮地震動隨機(jī)性的影響，基于物理隨機(jī)地震動模型和概率密度演化理論，建立了一種適用于群體建筑地震易損性分析的新方法。主要研究結(jié)論如下：

（1）建立的彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算模型僅需標(biāo)定三個模型參數(shù)：剪切剛度GA、等效層質(zhì)量m和層間高度H，即能較好反映建筑結(jié)構(gòu)在地震作用下的彎剪耦合動力響應(yīng)特征，計(jì)算結(jié)果與精細(xì)有限元模型計(jì)算結(jié)果吻合良好。相比精細(xì)有限元模型，本文模型的計(jì)算效率提高了近40倍，這對大規(guī)模群體建筑地震易損性分析具有十分重要的意義。

（2）基于物理隨機(jī)地震動模型和概率密度演化理論開展建筑結(jié)構(gòu)地震易損性分析，能夠更加精細(xì)和全面地反映地震動隨機(jī)性對建筑結(jié)構(gòu)地震損傷特征的影響。其中，不同地震動強(qiáng)度作用下結(jié)構(gòu)最大層間位移角的概率密度分布與傳統(tǒng)的對數(shù)正態(tài)分布假設(shè)存在一定的偏差。隨著地震動強(qiáng)度增大，這種偏差逐漸減小。

需要指出的是，本文采用的是IDA方法開展建筑結(jié)構(gòu)的地震易損性分析。這一方法需要增量調(diào)幅隨機(jī)地震動樣本強(qiáng)度，因此計(jì)算量仍較大。為了降低計(jì)算量，同時保證每個樣本點(diǎn)均屬于隨機(jī)動力計(jì)算，可進(jìn)一步采用云圖法，結(jié)合物理隨機(jī)地震動模型生成建筑結(jié)構(gòu)的地震易損性曲線。