尹宜勇， 白翰欽， 曲從鋒， 劉 歡， 王國強， 王 通， 朱文佳

(1.中國農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院，北京 100083； 2.中國石油集團工程技術(shù)研究院有限公司，北京 102206)

頁巖氣革命已經(jīng)深刻改變了世界能源格局[1]，世界主要資源國都加大了頁巖氣勘探開發(fā)力度[2]，其開發(fā)需要大力發(fā)展水平井鉆完井技術(shù)[3]。傳統(tǒng)的水平井固井環(huán)節(jié)中，由于水平段水泥漿在上返環(huán)空時易出現(xiàn)流體流動性差、頂替效率較低等現(xiàn)象，導(dǎo)致水泥環(huán)存在局部虛空段，在壓裂液冷卻套管時會使得水泥虛空段中束縛高壓流體收縮，壓力急劇下降，進而導(dǎo)致長半徑水平井套變問題。而隨著振動理論的發(fā)展和不斷深入，研究者對振動技術(shù)在套管、鉆井液和水泥漿等方面的應(yīng)用進行了系統(tǒng)研究[4-7]，多種振動固井工具和裝備廣泛用于提升固井質(zhì)量[8-10]，這對于頁巖氣水平井固井質(zhì)量的提升有重要意義[11]。在振動技術(shù)的應(yīng)用中，實現(xiàn)共振是核心，而基頻即第一階固有頻率是共振作業(yè)的關(guān)鍵參數(shù)。需要對水平井套管柱基頻的求解方法進行研究，常規(guī)的計算方法難以與實際水平井套管柱相結(jié)合，且不易驗證，多偏向于理論性的規(guī)律研究，而相似模型理論很好地解決了這一問題。目前在管道固有頻率研究方面，常用的數(shù)值分析方法有伽遼金法[12-13]、微分變換法[14]、微分求積法[15-16]等。邢靜忠等[17]以懸跨管道靜彎曲撓度為振型函數(shù),用能量法求解了第一階固有頻率；張挺等[18]運用廣義有限差分法對輸流直管道進行離散，建立了管道振動微分方程，研究成果吻合良好。閆行等[19]假定井下管柱為長直管柱，研究得到了管柱振動效果變化規(guī)律。在相似模型理論研究方面，管志川等[20]將基于相似理論的物理模型應(yīng)用于石油工程問題，通過模型試驗獲得了可靠的試驗結(jié)果。陳喆等[21]運用所推導(dǎo)的動力學(xué)相似關(guān)系可以準確預(yù)估實際結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性。王永振等[22]基于縮比模型，對懸索跨越管橋結(jié)構(gòu)進行分析。傳統(tǒng)的管道頻率研究大都著眼于直管，少有關(guān)于頁巖氣工程中的彎曲套管柱振動特性的研究，且常規(guī)原型試驗代價過大，難以普遍應(yīng)用。筆者針對水平井中的懸臂彎曲管道，建立試驗?zāi)Ｐ?，結(jié)合質(zhì)量集中法對縮比試驗?zāi)Ｐ瓦M行離散，運用傳遞矩陣法對縮比管道模型的基頻進行求解，建立一種針對水平井彎曲管道的基頻數(shù)值計算模式。

1 水平井動力學(xué)縮比模型

運用物理模型相似理論，建立水平井套管柱縮比模型。

將水平井套管柱各項參數(shù)進行量綱化處理[23]，套管外徑D和套管長度l和套管內(nèi)徑d的量綱為L，彈性模量E、套管質(zhì)量M、套管密度ρ、截面慣性矩I、套管重力G、套管斜角α和固有頻率P的量綱分別為ML-1T-2、M、ML-3、L4、MLT-2、M0L0T0和T-1。這些物理量符合一定的函數(shù)關(guān)系式，即

f(D，d，l，E，M，ρ，I，G，α，P)=0.

(1)

影響水平井管道振動特性的參數(shù)有10個，為簡化求解過程，將量綱相等的量用統(tǒng)一量綱代替。則式(1)轉(zhuǎn)化為

f(l，E，M，ρ，I，F(xiàn)，T)=0.

(2)

套管柱振動系統(tǒng)的量綱矩陣如表1所示。

表1 套管柱振動系統(tǒng)量綱矩陣

由量綱矩陣可得

M:a2+a3+a4+a6=0,

(3)

L:a1-a2-3a3+4a5+a6=0,

(4)

T: -2a2-2a6-a7=0.

(5)

由式(3)～(5)可以看出，未知量有7項，為提高求解效率，將未知量中的3項轉(zhuǎn)化為用其余4項表示的多項式。將式中的a1、a2和a3表示為含有a4、a5、a6、a7的函數(shù)，可得

a1=-3a4-4a5-2a6+a7,

(6)

(7)

(8)

選擇基本量綱為質(zhì)量[M]、長度[L]、時間[T]，故由式(6)～(8)可知相似準則數(shù)為7-3=4個。運用01取值法，將a4、a5、a6、a7依此取0或1,對a1、a2、a3進行計算，則有

當a4=1，a5=a6=a7=0時，a1=-3，a2=0，

a3=-1;

當a5=1，a4=a6=a7=0時，a1=-4，a2=0，

a3=0;

當a6=1，a4=a5=a7=0時，a1=-2，a2=-1，

a3=0;

依據(jù)π定理，可得表2。

表2 無量綱量分析

由相似準則第三定理，可得無量綱量表達式為

(9)

(10)

(11)

(12)

式(9)～(12)中右側(cè)即為相似準則，對于縮比模型與原型應(yīng)保持相似準則相等，表示為

(13)

(14)

(15)

(16)

式中，下標m和n分別表示縮比模型和原型的物理參數(shù)；C為原型與縮比模型的相似關(guān)系。

水平井套管柱振動特性的物理量之間的相似關(guān)系為

(17)

式中，CL和CI分別為原型與縮比模型的幾何參數(shù)比和截面慣性矩比；CE為原型使用材料與縮比模型使用材料的彈性模量比；CM和Cρ分別為原型材料與縮比模型材料的質(zhì)量比和密度比；CF為原型與縮比模型對應(yīng)力的參數(shù)比；CT為原型與縮比模型的固有頻率之比。

由式(16)可得固有頻率的相似變換算式為

(18)

式中，Tn和Tm分別為原型和縮比模型的固有頻率。

若取CL=10∶1，原型的主要材料為35CrMo；其性能參數(shù)為：彈性模量206 GPa,密度7.85 g /cm3，泊松比0.3，抗拉強度985 MPa，屈服強度835 MPa，硬度229 HB。

縮比模型管道材料選為06Cr19Ni10，其性能參數(shù)為：彈性模量193 GPa,密度7.93 g /cm3，泊松比0.28，抗拉強度520 MPa，屈服強度205 MPa，硬度187 HB。

將幾何尺寸參數(shù)、材料特性等參數(shù)代入式(18)中，可得實際工程中套管柱的固有頻率Tn與縮比模型的固有頻率Tm之間的對應(yīng)比例為

若原型材料為35CrMo，模型材料為06Cr19Ni10，原型與模型的尺寸比為10∶1，原型管道與試驗?zāi)Ｐ凸艿拦逃蓄l率相似比可確定為9.63。則可通過相似模型對頁巖氣管道的振動特性進行研究，利用相似轉(zhuǎn)換關(guān)系式將相似模型振動特性轉(zhuǎn)換為原型振動特性，并應(yīng)用于振動固井工程實際。

2 縮比模型基頻求解方法

2.1 縮比模型簡化

水平井套管柱縮比模型屬于連續(xù)系統(tǒng)，通過質(zhì)量集中法對縮比模型進行簡化。集中質(zhì)量法又稱為凝聚參數(shù)法或集中質(zhì)量-彈簧法，是一種應(yīng)用離散思想對細長的桿件或纜索等對象進行分段處理的方法。段與段之間通過有質(zhì)量的節(jié)點連接，段是沒有質(zhì)量的且被看作是剛體或彈性體。對縮比模型的離散如圖1所示。

圖1 縮比模型離散化示意圖

2.2 傳遞矩陣推演

2.2.1 點矩陣

對于縮比模型的無曲率變化部分，取離散段中的第i個子系統(tǒng)，對子系統(tǒng)中特征單元i進行力學(xué)分析。如圖2、3所示，對無曲率變化的子系統(tǒng)li、li+1及特征單元i進行受力分析。

圖2 縮比模型無曲率變化離散形式子系統(tǒng)

對于特征單元i，其質(zhì)量為mi，忽略其轉(zhuǎn)動慣量，只作橫向簡諧振動。由位移連續(xù)條件，可得特征單元i左右兩側(cè)撓度ω和角度θ關(guān)系式為

(19)

(20)

結(jié)合圖3受力分析與振動力學(xué)原理，可得

圖3 第i個特征單元受力分析(無曲率變化)

(21)

(22)

(23)

式中，f為系統(tǒng)固有頻率。

將式(23)代入式(22)，得

(24)

聯(lián)立式(19)～(21)和(24)，轉(zhuǎn)化為矩陣形式，可得

(25)

式(25)中，等號兩側(cè)的兩個列向量分別為特征單元i左右兩側(cè)的狀態(tài)向量，右側(cè)中的矩陣即為縮比模型的無曲率變化部分的點矩陣[D]i。

同理，如圖4、5所示，對有曲率變化處的子系統(tǒng)li、li+1及特征單元i進行受力分析。

圖4 縮比模型有曲率變化離散形式子系統(tǒng)

圖5 第i個特征單元受力分析(有曲率變化)

由圖4、5可得特征單元關(guān)系式為

(26)

(27)

(28)

(29)

式中，α為折彎處特征單元i的折彎角。

聯(lián)立式(26)～(29)，轉(zhuǎn)化為矩陣形式，可得

(30)

其中等號兩側(cè)的兩個列向量分別為特征單元i左右兩側(cè)的狀態(tài)向量，右側(cè)中的矩陣即為前文中的點矩陣[D]i。

2.2.2 場矩陣

如圖6所示，結(jié)合離散段中的第i個子系統(tǒng)(li)，進行該系統(tǒng)在長度-撓度坐標系中左右兩端的受力分析。

圖6 第i個子系統(tǒng)受力分析

由于整個物理系統(tǒng)經(jīng)過集中質(zhì)量法的離散處理后，子系統(tǒng)段的自身質(zhì)量忽略不計，故可得

(31)

(32)

其中

li=xixi-1.

式中，li為單元系統(tǒng)長度。

均勻梁的彎曲變形表達式為

(33)

式中，M(x)為截面彎矩。

由式(31)可得，

(34)

故可得

(35)

(36)

設(shè)x=xi，代入式(36)，可得xi處的位移θi(x)和撓度ωi(x)，由此可推出子系統(tǒng)左右兩端的撓度與轉(zhuǎn)角為

(37)

(38)

將式(31)、(32)、(37)和(38)聯(lián)立，并將聯(lián)立式轉(zhuǎn)化為矩陣形式，可得

(39)

其中等號兩側(cè)的兩個列向量分別為子系統(tǒng)i左右兩端的狀態(tài)向量，右側(cè)中的列陣即為前文中的場傳遞矩陣[S]i。

2.2.3 總傳遞矩陣

由懸臂梁形式下的點矩陣[D]i和場矩陣[S]i，將式(25)、(30)分別代入式(39)，可得第i個和第i-1個特征單元右側(cè)的兩個狀態(tài)向量的關(guān)系式為

(40)

懸臂梁條件下直管部分傳遞矩陣[T]i為

(41)

懸臂梁條件下彎管部分傳遞矩陣[T]i為

[T]i=

(42)

對于懸臂梁形式的離散結(jié)構(gòu)，只要能求出各段的傳遞矩陣[T]i，即可建立梁上各點狀態(tài)向量之間的關(guān)系，最后得到總傳遞關(guān)系[T]。

2.3 基頻求解

2.3.1 邊界條件

(43)

由第三行和第四行得

(44)

(45)

式(45)為關(guān)于f2的多項式方程，通過對此方程的求解可獲得水平井縮比物理模型的固有頻率。

2.3.2 實例計算

為驗證所提出的基于傳遞矩陣法的基頻計算方法的準確性，對縮比模型進行數(shù)值計算，并與后續(xù)模態(tài)試驗結(jié)果進行比對。

如圖7所示，針對懸臂梁形式，分別對不同離散狀態(tài)的3種對比模型和縮比模型進行基頻計算，離散質(zhì)量點數(shù)依次為7、9、15、15。

圖7 試驗?zāi)Ｐ碗x散狀態(tài)

對于圖7中(c)和(d)，同為15個質(zhì)量點的離散狀態(tài)，其中圖7中(c)為等曲率對比試驗?zāi)Ｐ?，離散為等角度變化的15個質(zhì)量點；圖7中(d)為縮比模型，將彎曲部分離散成7個質(zhì)量點，等角度變化；直桿部分離散為8個質(zhì)量點，無角度變化。

本算例依據(jù)縮比模型進行計算，其基本參數(shù)為：模型外徑D=16 mm，內(nèi)徑d=14 mm，模型總長L=1 000 mm，離散轉(zhuǎn)角θ分別取45°、30°和15°，材料彈性模量E=196 GPa，材料密度ρ=7.93 kg/m3。

對3種不同離散程度的對比試驗?zāi)Ｐ瓦M行離散計算，然后對縮比模型連續(xù)管道進行計算，分別得到不同離散狀態(tài)下的基頻，計算結(jié)果如表3所示。

表3 數(shù)值計算基頻

3 試 驗

3.1 試驗平臺搭建

縮比模型振動特性試驗平臺總體結(jié)構(gòu)如圖8所示。

圖8 縮比模型振動特性試驗平臺

設(shè)計搭建縮比模型參數(shù)如表4所示。

表4 縮比模型參數(shù)

3.2 模態(tài)試驗結(jié)果

試驗平臺搭建如圖9所示，主要使用的儀器有DASP V11振動數(shù)據(jù)采集分析儀、加速度傳感器、振動敲擊錘、數(shù)據(jù)傳輸線、控制電腦等。

圖9 試驗現(xiàn)場及設(shè)備

如表5所示，通過對3種對比模型和縮比模型的管道進行敲擊試驗，獲得了對比模型和縮比模型的基頻。

表5 三種對比模型和縮比模型的基頻

對比傳遞矩陣法對縮比模型基頻的數(shù)值求解結(jié)果，如表6所示。由表6可知，傳遞矩陣法能夠有效求解縮比模型的固有頻率，誤差均小于5%，精度滿足工程要求。同時對比離散程度，如圖10所示，發(fā)現(xiàn)隨著管道離散質(zhì)量點數(shù)增加，數(shù)值計算結(jié)果與實際連續(xù)體的試驗結(jié)果不斷接近，離散質(zhì)量點數(shù)從7、9至15、15，數(shù)值計算結(jié)果與試驗結(jié)果誤差從114%、89.9%、44.1%縮小至2.3%，計算精度逐漸提高。

表6 試驗與計算結(jié)果誤差

圖10 計算誤差變化趨勢

4 結(jié) 論

(1)傳遞矩陣法求解獲得的基頻與試驗測得的數(shù)據(jù)較接近，誤差小于10%，計算精度滿足工程要求，此方法可以對縮比管道的基頻進行有效求解。

(2)隨著管道離散質(zhì)量點數(shù)增加，離散系統(tǒng)越小，數(shù)值計算結(jié)果越精確，與連續(xù)彎曲管道試驗結(jié)果越接近；對比不同質(zhì)量點數(shù)的數(shù)學(xué)模型，離散模型越接近試驗?zāi)Ｐ?，?shù)值計算結(jié)果精度明顯提升，誤差降低至2.3%。

(3)通過振動試驗驗證了所提出方法的可行性與準確性；當前模型相似理論發(fā)展較成熟，對于數(shù)千米套管，可依據(jù)相似理論建立理論模型，無需實體模型即可完成計算。