福建省晉江市季延初級中學(xué) 陳合輝

數(shù)形結(jié)合思想是目前初中數(shù)學(xué)教學(xué)運(yùn)用得最為廣泛的數(shù)學(xué)思維，能夠有效幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)思維模式，提高其數(shù)學(xué)成績，同時(shí)也可以活躍課堂氛圍，提高課堂效率。因此，我們有必要深入研究數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)當(dāng)中的運(yùn)用，以期做得更好。

一、數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵與特點(diǎn)

（一）數(shù)形結(jié)合的基本內(nèi)涵

筆者認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合實(shí)際上就是借助直觀的圖形來解決抽象的代數(shù)問題。數(shù)與形之間應(yīng)該是一一對應(yīng)的，兩者相輔相成，是數(shù)學(xué)事物的兩個(gè)不同方面。利用數(shù)形結(jié)合思維去解決數(shù)學(xué)問題，能夠使復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識簡單化，讓抽象的數(shù)學(xué)語言具象化，將數(shù)學(xué)的抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合起來，通過兩者的不停轉(zhuǎn)換來解決數(shù)學(xué)問題。目前，數(shù)形結(jié)合的思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用較為廣泛，是初中數(shù)學(xué)的一種重要數(shù)學(xué)思維。德國著名數(shù)學(xué)家希爾伯特有一句名言：“方法是數(shù)學(xué)的行動，思維是數(shù)學(xué)的靈魂?！币虼?，我們要重視數(shù)形結(jié)合思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中的應(yīng)用。

（二）數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)

大部分?jǐn)?shù)學(xué)語言是具有抽象性的，但數(shù)形結(jié)合則具有直觀性、形象性的特點(diǎn)。一些抽象的數(shù)學(xué)語言可以通過具象的圖形表達(dá)出來，讓人能夠直觀地理解抽象的數(shù)學(xué)語言所要表達(dá)的意思。

圖1

通過直觀的圖像，我們很容易得出a的取值范圍。這就是數(shù)形結(jié)合的直觀性和形象性。

二、初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的困境

（一）抽象概念增多，學(xué)生找不到有效學(xué)習(xí)方法

初中數(shù)學(xué)所學(xué)的內(nèi)容更多，像函數(shù)、方程式、概率統(tǒng)計(jì)等知識模塊，都需要學(xué)生有較強(qiáng)的邏輯思維能力和抽象思維能力。但初中生受認(rèn)知水平和年齡特點(diǎn)的制約，思維能力不足，導(dǎo)致他們難以充分理解抽象的數(shù)學(xué)語言，在解題時(shí)往往找不到切入點(diǎn)，思維陷入困境，解題困難，慢慢地喪失對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。因此，這就需要教師對學(xué)生進(jìn)行有效引導(dǎo)，幫助學(xué)生建立解題思維，迅速找到解題的切入點(diǎn)，幫助學(xué)生攻克解題困難。

（二）教師教學(xué)方式落后，學(xué)生喪失學(xué)習(xí)興趣

當(dāng)前初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方式較為單一，通常是教師講解數(shù)學(xué)概念，然后講解例題，再給學(xué)生布置練習(xí)，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果。這樣固定單一的教學(xué)方式，容易使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)倦怠感，同時(shí)也不利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，增強(qiáng)數(shù)學(xué)思維能力。學(xué)生感受不到數(shù)學(xué)的趣味性，自然而然就會喪失學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。因此，探索新穎有效的教學(xué)方式，在課堂上融入數(shù)形結(jié)合思想對激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣有著重要的作用。

三、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的重要作用

（一）將復(fù)雜的知識簡單化，降低數(shù)學(xué)理解難度

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式有利于使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化、抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，讓學(xué)生可以借助圖形去理解抽象的數(shù)學(xué)語言。這種教學(xué)方式，有利于幫助學(xué)生快速找到解題思路，攻克難點(diǎn)。學(xué)生一旦掌握了解題思路，摸到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的竅門，就能夠靠自己解決許多數(shù)學(xué)難題，從而產(chǎn)生成就感，愛上數(shù)學(xué)。例如，數(shù)形結(jié)合的思想可應(yīng)用在“一次函數(shù)”的學(xué)習(xí)當(dāng)中。教師在教授“一次函數(shù)”時(shí)，先通過畫函數(shù)圖像來幫助學(xué)生理解函數(shù)的概念。接著，教師再布置練習(xí)，讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法去解決一次函數(shù)的問題。例如，一次函數(shù)y=x-9的圖像經(jīng)過哪個(gè)象限？如果學(xué)生充分理解并牢記教師講過的一次函數(shù)圖像性質(zhì)，就可以直接根據(jù)圖像性質(zhì)，由k＞0和b＜0，得出圖像過一、三、四象限；若不記得圖像的性質(zhì)，也可以利用數(shù)形結(jié)合的方法，畫出圖像，找到答案。

由此可見，數(shù)形結(jié)合思想能夠幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)語言，通過圖形輔助解題，降低數(shù)學(xué)的理解難度，從而提高解題的效率。

（二）增強(qiáng)數(shù)學(xué)的趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

初中的學(xué)生常常覺得，初中數(shù)學(xué)相比較小學(xué)數(shù)學(xué)來說更加枯燥無味，因?yàn)橛刑嗟某橄髷?shù)學(xué)語言，以及難以理解的數(shù)學(xué)概念公式。小學(xué)數(shù)學(xué)的題目通常是與圖形結(jié)合在一起的，較為直觀。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，有助于增強(qiáng)數(shù)學(xué)的趣味性。例如，可以引導(dǎo)學(xué)生去觀察生活，找出生活中蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合思想的例子。比如，體育課時(shí)班上學(xué)生的站位，還有運(yùn)動會時(shí)比賽選手跑步的行動軌跡、太陽在一天之內(nèi)的運(yùn)動路線等。

（三）提高教師的教學(xué)水平，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量

課堂是教師的舞臺，課堂效率是評價(jià)教師教學(xué)水平高低的重要指標(biāo)。教師要想在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)當(dāng)中進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想的有效滲透，首先要做的是加強(qiáng)自身的理論知識儲備，例如多學(xué)習(xí)一些新型教學(xué)方式，思考如何利用這些新的教學(xué)方式來引導(dǎo)學(xué)生更好地學(xué)習(xí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想去解決題目；其次，教師要潛心備課，深入研究教材，挖掘教材當(dāng)中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)也要了解學(xué)生不同階段、不同層次的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，進(jìn)行分層教學(xué)；最后，教師還要精心設(shè)計(jì)課堂教學(xué)活動，提高自身對課堂的把控能力，在活動中讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)感。在這一系列過程中，教師的教學(xué)能力會得到鍛煉，教學(xué)水平也會不斷提高，課堂效率自然也會提高。

四、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透的有效策略

（一）培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題的意識

思想是行動的先驅(qū)，首先要引導(dǎo)學(xué)生樹立運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問題的意識。在教學(xué)活動中，教師要通過兩方面來培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的意識。一方面，教師要充分利用教材，挖掘教材當(dāng)中蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合思想的例子，將數(shù)形結(jié)合思想滲透在課堂教學(xué)活動中的各個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生意識到數(shù)形結(jié)合思想對于自身解題的重要性。例如下面這道經(jīng)典題目：如圖2，在邊長為a的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分沿虛線剪開，拼成一個(gè)矩形，分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的乘法公式是 （用字母表示）。

圖2

這道題就是很典型的利用幾何圖形來解決“數(shù)與式”的題目。通過兩個(gè)直觀的圖形，不難發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖形的陰影面積相等，由此可得出公式a2-b2=（a+b）（a-b）。因此，在講解教材的題目時(shí)，教師就要引導(dǎo)學(xué)生做到“以形代數(shù)”。教師通過強(qiáng)化學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)思維，來幫助學(xué)生培養(yǎng)利用數(shù)形結(jié)合解題的意識。初中的學(xué)生已經(jīng)具備一定的圖形知識，只是他們常常會將學(xué)科知識與我們的日常生活割裂開，無法形成一個(gè)統(tǒng)一的思維整體。因此，要強(qiáng)化學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，其實(shí)生活中處處都是數(shù)學(xué)，處處都可以運(yùn)用到數(shù)形結(jié)合的思想。例如，在學(xué)生出操時(shí)，我們可以告知學(xué)生以某一同學(xué)為原點(diǎn)，可以形成一個(gè)坐標(biāo)系，還可以通過布置小任務(wù)，如“以小明同學(xué)為原點(diǎn)，處于坐標(biāo)系（5，8）的同學(xué)是誰？”，讓學(xué)生找出答案。這樣既在游戲中滲透了數(shù)形結(jié)合思想，又增強(qiáng)了數(shù)學(xué)的趣味性，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（二）發(fā)揮學(xué)生的主體作用，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

初中數(shù)學(xué)有一個(gè)模塊是學(xué)習(xí)立體幾何知識，在這個(gè)模塊里，教師就更容易引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問題。同時(shí)，教師要發(fā)揮學(xué)生的主體作用，將課堂還給學(xué)生。教師要向?qū)W生呈現(xiàn)數(shù)學(xué)有趣好玩的一面，才可以激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的探究欲和好奇心。例如，在學(xué)習(xí)棱柱這一知識點(diǎn)時(shí)，教師要摒棄傳統(tǒng)的教學(xué)方式，不能單單按照課本上的概念講解理論知識，這不利于學(xué)生對知識點(diǎn)的理解和記憶。教師可以帶領(lǐng)學(xué)生利用卡紙，一起制作一個(gè)棱柱。在每一步的制作過程中，教師就可以滲透知識點(diǎn)的講解，這樣就可以提高學(xué)生對棱柱的認(rèn)識，加深記憶。例如，棱柱的一個(gè)特點(diǎn)是所有的側(cè)棱長度相同。所以學(xué)生在制作棱柱的時(shí)候，就要思考如何才能成功做出一個(gè)棱柱，那肯定要先理解透徹棱柱的特點(diǎn)。再者，在學(xué)生制作的過程中，教師也要發(fā)揮引導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生去觀察和思考平面圖形和立體圖形之間的關(guān)系，找到兩者之間的聯(lián)系，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，最后通過練習(xí)，再強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想在立體幾何當(dāng)中的運(yùn)用。

（三）利用小組合作方式，有效地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

小組合作是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中一個(gè)有效的教學(xué)方式。學(xué)生獨(dú)立解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，很容易產(chǎn)生思維局限性，卡在某一個(gè)解題步驟無法繼續(xù)，從而會浪費(fèi)大量的時(shí)間去解決這一道題目。解決這一問題的有效方式就是運(yùn)用小組合作的方法。俗話說：“三個(gè)臭皮匠，勝過一個(gè)諸葛亮?！币虼耍踔袛?shù)學(xué)教師可以在課堂教學(xué)當(dāng)中讓學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，合作探究解決一個(gè)人無法解決的數(shù)學(xué)問題。在帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)不等式解的知識時(shí)，教師可以通過小組合作的方式，讓學(xué)生有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想。例如，通過小組合作，寫出7個(gè)不等式3x-5＞3的解，這類題目都可以通過小組合作得到答案。同時(shí)，還可以讓小組內(nèi)討論，在解不等式的過程中有什么感受和見解。思維能力較強(qiáng)的學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)，其實(shí)不等式是可以有無數(shù)的解的，而在某些限定條件下，不等式也可以只有一個(gè)解。這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的自主思考能力，提高他們的數(shù)學(xué)思維。

（四）加強(qiáng)練習(xí)，定期總結(jié)數(shù)形結(jié)合思想的解題方法

數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)思維能力的學(xué)科，必須通過不斷練習(xí)來強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。因此，學(xué)生要想將數(shù)形結(jié)合思想掌握并熟練運(yùn)用，一定要加強(qiáng)練習(xí)，才能常學(xué)常新，不斷提高自己的數(shù)學(xué)思維能力，突破思維的局限性。另外，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會總結(jié)和復(fù)習(xí)。數(shù)學(xué)題可以有千萬種變化，但其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維和解題思路通常是不變的。因此，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生提高自身的歸類總結(jié)能力，對“換湯不換藥”的數(shù)學(xué)題目進(jìn)行分類總結(jié)，對運(yùn)用過的數(shù)形結(jié)合方法進(jìn)行復(fù)習(xí)，確保自己能夠一眼就看透題目的本質(zhì)。這樣學(xué)生才可以將數(shù)形結(jié)合的思想銘記于心，熟用于題目。教師也要定期帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)和復(fù)習(xí)一個(gè)階段所學(xué)的知識點(diǎn)，做到溫故而知新。利用課后作業(yè)、堂上測驗(yàn)等方法對學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)成果的檢驗(yàn)，確保學(xué)生熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用。

數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化。初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)提高自身對教材的整體把握，挖掘教材當(dāng)中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想，在教學(xué)過程中有意滲透并鼓勵學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想去解決問題，不僅能夠拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)其養(yǎng)成良好的解題思維習(xí)慣，還能夠促使教師不斷提高自身的教學(xué)水平和教研能力，做到破而后立，常教常新，樹立與時(shí)俱進(jìn)的思想意識，同時(shí)也為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展提供了一些思路。