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        利用配方法求值

        2022-07-25 02:48:28程曉莉徐衛(wèi)國
        數(shù)理天地(初中版) 2022年9期
        關(guān)鍵詞:三項式等式整數(shù)

        程曉莉 徐衛(wèi)國

        配方法是解題中經(jīng)常使用的一種方法,如果在解題的過程中,善于使用一些技巧,就能達到迅速配方的目的,從而使問題得到解決.

        1 直接配方

        例1 實數(shù)a,b,c滿足a2+6b=-17,b2+8c=-23,c2+2a=14,則a+b+c=.

        分析 將三個等式相加,進行配方,再根據(jù)完全平方的非負(fù)性,求出a,b,c的值,從而求出它們的和.

        解 將三個等式相加,整理得

        (a2+2a+1)+(b2+6b+9)+(c2+8c+16)=0,

        即(a+1)2+(b+3)2+(c+4)2=0,

        所以a=-1,b=-3,c=-4,

        所以a+b+c=-8.

        2 先拆項重組再配方

        例2 若M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13(x,y是實數(shù)),則M的值一定是()

        (A)正數(shù).(B)負(fù)數(shù).

        (C)零.(D)整數(shù).

        分析 先將原多項式拆項、重組再配方,轉(zhuǎn)化成三個完全平方的和的形式,然后就其結(jié)果進行合理分析、推斷,可得出結(jié)論.

        解 因為

        M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13

        =2(x2-4xy+4y2)+(x2-4x+4)+

        (y2+6y+9)

        =2(x-2y)2+(x-2)2+(y+3)2

        ≥0,

        且x-2y,x-2,y+3這三個數(shù)不能同時為0,所以M>0.

        故選(A).

        3 先添項再配方

        例3 已知實數(shù)a,b,x,y滿足ax+by=3,ay-bx=5,則(a2+b2)·(x2+y2)的值為.

        分析 將所求多項式展開后添項,就能得到兩個完全平方的和的形式,再將已知條件代入即可.

        解 原式=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2

        =(a2x2+2abxy+b2y2)+(a2y2-2abxy+b2x2)

        =(ax+by)2+(ay-bx)2

        =33+52

        =34.

        4 先消元再配方

        例4 已知a,b,c是整數(shù),且a-2b=4,ab+c2-1=0,求a+b+c的值.

        分析 先用代入法消去a,再配方后根據(jù)整數(shù)的性質(zhì)求出b,c的值,從而使問題得以解決.

        解 把a=2b+4代入ab+c2-1=0,

        得b(2b+4)+c2-1=0,

        配方得2(b+1)2+c2=3.

        因為a,b,c是整數(shù),

        所以(b+1)2=1,且c2=1.

        所以b取0,-2時,c相應(yīng)取±1,

        從而a+b+c的值可以是3,-3,5,-1.

        5 先引入?yún)?shù)再配方

        例5 若x-1=y+12=x-23,則x2+y2+z2可取得的最小值為()

        (A) 3. (B)5914. (C)92. (D) 6.

        分析 已知連等式,可以考慮引入?yún)?shù)k,把x,y,z用k的代數(shù)式表示,則x2+y2+z2轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的二次三項式,運用配方法求其最小值.

        解 設(shè)x-1=y+12=z-23=k,

        則x=k+1,

        y=2k-1,z=3k+2,

        所以原式=(k+1)2+(2k-1)2+(3k+2)2

        =14k2+10k+6

        =14k+5142+5914.

        故選(B).

        6 先選擇主元再配方

        例6 若x,y是實數(shù),且m=x2-4xy+6y2-4x-4y,確定m的最小值.

        分析 選擇x為主元,將條件等式重新整理成關(guān)于x的二次三項式,再配方求m的最小值.

        解 因為m=x2-4(y+1)x+6y2-4y

        =x2-4(y+1)x+(2y+2)2+6y2-4y-(2y+2)2

        =(x-2y-2)2+2(y-3)2-22.

        當(dāng)x-2y-2=0且y-3=0,即x=8且y=3時,m取最小值,其值為-22.

        練習(xí)

        1.已知實數(shù)a,b,c滿足a2+2b=7,b2-2c=-1,c2-6a=-17,則a+b+c的值等于()

        (A) 2.(B) 3.(C) 4.(D) 5.

        2.若a,b為有理數(shù),且2a2-2ab+b2+4a+4=0,則a2b+ab2=()

        (A)-8.(B)-16.(C) 8.(D)16.

        3.已知a-b=4,ab+c2+4=0,則a+b=()

        (A) 4.(B) 0.(C) 2.(D)-2.

        答案 1.(B).2.(B).3.(B).

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