陳 陣，李元松，楊毛毛，陶文華，占森方

(武漢工程大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，湖北 武漢 430073)

0 前 言

拉-壓桿模型是由桁架模型發(fā)展來的一種針對混凝土構(gòu)件中應(yīng)力擾動區(qū)設(shè)計(jì)的一種類桁架模型的配筋計(jì)算方法。它的主要原理是通過由拉桿、壓桿和節(jié)點(diǎn)三部分組成的理想桁架來近似模擬混凝土結(jié)構(gòu)中力的傳遞路徑，進(jìn)而對結(jié)構(gòu)進(jìn)行配筋設(shè)計(jì)[1]。從最初的Monier采用箍筋加固結(jié)構(gòu)，從平面桁架模型到軟化桁架模型，拉-壓桿模型配筋方法不斷地發(fā)展完善，逐漸成為了一種被廣泛接受使用的混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法[2-3]，現(xiàn)已被多個(gè)國家納入規(guī)范體系中。常見的拉-壓桿模型構(gòu)建方法有傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)法、應(yīng)力跡線法、荷載路徑法、拓?fù)鋬?yōu)化法等[4-5]。拉-壓桿模型由于只需滿足平衡條件和屈服準(zhǔn)則，不需考慮固體力學(xué)中的應(yīng)變協(xié)調(diào)，因此對于一個(gè)給定的問題，拉-壓桿模型的構(gòu)形并不唯一，這也是傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)法與應(yīng)力跡線法等方法建立的拉-壓桿模型的正確性常常受限于設(shè)計(jì)人員的直覺和經(jīng)驗(yàn)的原因。

拓?fù)鋬?yōu)化法的應(yīng)用使得這一現(xiàn)狀發(fā)生了轉(zhuǎn)變，設(shè)計(jì)人員可以通過拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果構(gòu)建拉-壓桿模型，這大大減少了傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)方法中人為因素的干擾[6]。常見的優(yōu)化方法包括變密度法、水平集法等方法[7-8]。此類拓?fù)鋬?yōu)化方法為隱式求解法，求解結(jié)果都是基于像素或是基于節(jié)點(diǎn)的，因此結(jié)果邊界模糊，具有棋盤格現(xiàn)象，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建拉-壓桿模型也不夠準(zhǔn)確，大連理工大學(xué)郭旭教授及其團(tuán)隊(duì)通過多年的研究提出了一種基于可移動變形組件(moving morphable components，簡稱MMC)的拓?fù)鋬?yōu)化方法。作為一種顯式的拓?fù)鋬?yōu)化方法，該方法的基本思想是將組件作為表達(dá)結(jié)構(gòu)拓?fù)涞幕締卧?，通過組件的移動、變形、交叉和重疊來模擬結(jié)構(gòu)拓?fù)涞淖兓?，從而得到最?yōu)的拓?fù)鋄9-11]。由于MMC法拓?fù)鋬?yōu)化是基于組件而不是單元，因此設(shè)計(jì)變量更少求解效率更高，另一方面組件是通過顯示拓?fù)浜瘮?shù)描述，優(yōu)化后的結(jié)果邊界清晰，不存在灰度單元，可以直接由拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果構(gòu)建拉-壓桿模型，減少了設(shè)計(jì)者的參與和修改。喬文正等[12-13]對基MMC法構(gòu)建拉-壓桿模型做出了系列的研究，對牛腿、開洞深梁等構(gòu)建了相應(yīng)的模型。

本文對MMC拓?fù)鋬?yōu)化法的原理與優(yōu)化步驟等進(jìn)行歸納介紹，并以某一深梁為研究對象，基于可移動變形組件框架，利用有限元分析和靈敏度分析求解設(shè)計(jì)域的結(jié)構(gòu)場，更新設(shè)計(jì)變量，通過求解體積約束下柔度最小的優(yōu)化問題，得到最佳拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果并構(gòu)建深梁的拉-壓桿模型并通過Abaqus軟件優(yōu)化進(jìn)行對比。以某一深梁的實(shí)例驗(yàn)證了基于MMC拓?fù)鋬?yōu)化法構(gòu)建拉-壓桿模型的可行性與簡便性。

1 MMC法優(yōu)化原理

1.1 優(yōu)化原理

以往的拓?fù)鋬?yōu)化方法例如水平集法、SIMP法等，其原理都是通過材料將整個(gè)結(jié)構(gòu)填充，然后通過不斷迭代去除非必要的部分來實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化，由于它們自身的優(yōu)化特性，優(yōu)化結(jié)果往往是基于像素或是水平集函數(shù)隱式描述的。MMC法基本思想是用一些可以移動、變形的組件作為結(jié)構(gòu)拓?fù)涞幕締卧?，在MMC框架下，組件可以自由地移動、覆蓋、融合和消失，因此可以通過改變其幾何特征參數(shù)，和施加在結(jié)構(gòu)上相應(yīng)的工況進(jìn)行優(yōu)化，得到結(jié)構(gòu)的最佳拓?fù)浣Y(jié)果，其結(jié)果邊界清晰明了，有助于設(shè)計(jì)人員進(jìn)一步設(shè)計(jì)工作。

1.2 結(jié)構(gòu)拓?fù)浜瘮?shù)描述

每個(gè)組件的描述方程都是顯示的，可以由變量x，y通過一定函數(shù)關(guān)系表達(dá)[12]，此處給出結(jié)構(gòu)拓?fù)浜瘮?shù)，采用二次變厚度組件作為結(jié)構(gòu)基本單元，如圖1所示。

圖1 組件結(jié)構(gòu)示意圖

(1)

(2)

(3)

式中，L為組件在x′方向上的半長；(x0,y0)表示第i個(gè)組件中心點(diǎn)的坐標(biāo);θi表示第i個(gè)組件沿逆時(shí)針方向的角度；p是一個(gè)比較大的偶數(shù)，一般取p= 6，t1i,t2i,t3i表示第i個(gè)組件二次變化的3個(gè)寬度；組件的設(shè)計(jì)變量可以表示為di=(xoi,yoi,Li,t1i,t2i,t3i,θi)。

2 MMC法拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)流程

在確定結(jié)構(gòu)大小、邊界條件以及荷載狀況下，以結(jié)構(gòu)柔度最小為目標(biāo)，結(jié)構(gòu)體積為約束，通過MMC拓?fù)鋬?yōu)化法建立優(yōu)化模型，以有限元和靈敏度進(jìn)行準(zhǔn)確的數(shù)值分析，采用可移動漸進(jìn)線算法(MMA算法)更新設(shè)計(jì)變量，求解拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型的算法流程如圖2所示。

圖2 MMC拓?fù)鋬?yōu)化程序設(shè)計(jì)流程圖

3 數(shù)值算例

深梁作為典型的不符合平截面假定的一類鋼筋混凝土構(gòu)件，選擇一深梁作為實(shí)例進(jìn)行優(yōu)化。本文的研究是在張維聲[11]研究基礎(chǔ)上進(jìn)行的，假設(shè)結(jié)構(gòu)處于平面應(yīng)力狀態(tài)，幾何、材料及荷載等參數(shù)均采用無量綱形式，厚度取單位1，材料彈性模量E為1，泊松比v為0.3，加載大小均為單位荷載。構(gòu)建的拉-壓桿模型中，拉桿為實(shí)線、壓桿為虛線。

深梁梁高取1.0 m，寬取1.0 m，梁上作用荷載F為100 kN，網(wǎng)格劃分為50×50，材料體積分?jǐn)?shù)約束上限為0.4，深梁結(jié)構(gòu)及對應(yīng)荷載情況下的拉-壓桿模型如圖3所示?；贛MC拓?fù)鋬?yōu)化與Abaqus拓?fù)鋬?yōu)化進(jìn)行對比。

(a)單荷載深梁

3.1 單荷載下深梁

圖4為單荷載下深梁優(yōu)化網(wǎng)格與結(jié)果，在MMC的優(yōu)化過程中，初始布局選擇8個(gè)組件，設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)為56個(gè)。伴隨著迭代次數(shù)的增加，這些組件通過移動、膨脹、收縮、相交和重疊來實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)拓?fù)涞淖兓罱K達(dá)到收斂要求。從圖中的優(yōu)化過程可以發(fā)現(xiàn)MMC優(yōu)化過程清晰明了、邊界光滑、求解效率快，沒有Abaqus優(yōu)化方法結(jié)果導(dǎo)致的模糊粗糙邊界。優(yōu)化結(jié)果為深梁中部所受荷載通過兩個(gè)壓桿傳遞到支座處，支座上方形成一根拉桿將兩根壓桿連接。

(a)MMC初始布局圖

(c)MMC拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

3.2 多荷載下深梁

圖5為受多荷載的深梁優(yōu)化過程。同理，在多荷載作用下深梁的MMC的優(yōu)化過程中，初始設(shè)計(jì)為32個(gè)組件，設(shè)計(jì)變量數(shù)為224個(gè)，通過設(shè)計(jì)變量不斷更新，最終達(dá)到目標(biāo)收斂要求，收斂結(jié)果見圖5(a)。MMC拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果清晰，設(shè)計(jì)者可以清晰明了，設(shè)計(jì)者可從拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中建立起結(jié)構(gòu)相應(yīng)的拉-壓桿模型。荷載向下通過壓桿傳遞到支座處，中間與下部區(qū)域存在拉桿保證橫向平衡。

而在Abaqus拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中，圖4(d)與圖5(b)可以清晰看到在靠近深梁底部處，無論是單荷載或是多荷載下，在深梁下部都缺少相應(yīng)的底部拉桿，造成這種結(jié)果的原因是多種的，此處不進(jìn)行討論。而基于MMC拓?fù)鋬?yōu)化法卻沒有這種現(xiàn)象，可以直接通過結(jié)果構(gòu)建拉-壓桿模型，這十分方便設(shè)計(jì)者去構(gòu)建結(jié)構(gòu)的拉-壓桿模型。但在MMC法中，組件的數(shù)量、大小及設(shè)置的循環(huán)次數(shù)等都會對結(jié)果產(chǎn)生較大影響，其中組件數(shù)量的影響最為關(guān)鍵，使用MMC法時(shí)要選擇合適的組件數(shù)量。

(a)MMC優(yōu)化結(jié)果

4 結(jié) 論

本文介紹了MMC法的優(yōu)化原理以及優(yōu)化步驟，通過將MMC拓?fù)鋬?yōu)化法應(yīng)用于深梁這一典型不符合平截面假定的構(gòu)件，研究了基于單荷載和多個(gè)荷載情況下深梁拉-壓桿模型的構(gòu)建，并將基于MMC法與Abaqus優(yōu)化建立拉-壓桿模型進(jìn)行對比得出以下的結(jié)論。

1)基于MMC拓?fù)鋬?yōu)化方法應(yīng)用于拉-壓桿模型構(gòu)建是可行的。

2)MMC法作為顯式的拓?fù)鋬?yōu)化方法，克服了隱式求解方法存在的中間密度單元，邊界鋸齒化等問題，拉-壓桿模型邊界光滑。

3)基于MMC法構(gòu)建拉-壓桿模型去除了單元格的影響，優(yōu)化結(jié)果可直接作為結(jié)構(gòu)相應(yīng)拉-壓桿模型，但使用時(shí)要注意組件的合理配置，而基于Abaqus所建立的拉-壓桿模型需要設(shè)計(jì)者更多的完善，基于MMC法構(gòu)建拉-壓桿模型更加方便設(shè)計(jì)者工作。

[ID:013410]