王海芳，李廣宇，李鳴飛，崔陽陽，陳曉波

（1.東北大學秦皇島分?？刂乒こ虒W院，河北秦皇島 066004；2.西南技術(shù)物理研究所制量與控制系統(tǒng)研究部，四川成都 610041）

踝關(guān)節(jié)是人體的主要承重關(guān)節(jié)，在人行走、奔跑、跳躍過程中起到穩(wěn)定平衡的重要作用，也是人體下肢關(guān)節(jié)中比較容易損傷的部位［1］。患者如果不能得到及時治療和康復(fù)訓(xùn)練，將會造成二次損傷，嚴重時更會造成功能缺陷。隨著機器人技術(shù)在康復(fù)領(lǐng)域的應(yīng)用與研究，踝關(guān)節(jié)康復(fù)機構(gòu)將會把機器人技術(shù)應(yīng)用到患者康復(fù)治療中。

國外，Rutgers 大學設(shè)計了一種具有6 個轉(zhuǎn)動自由度的踝關(guān)節(jié)康復(fù)機器人，由于自由度過多的問題所以不能精確控制［2］。意大利的Saglia 等［3-4］研發(fā)了一種只有2 個自由度的3-UPS/U 踝關(guān)節(jié)康復(fù)機器人，該機構(gòu)受自由度限制不能完成踝關(guān)節(jié)的所有運動。土耳其薩班哲大學Satici等［5］設(shè)計了一種基于力反饋的穿戴式可重構(gòu)外骨骼機器人。國內(nèi)，王從哲等［6］設(shè)計了一種3-RUS/RRR 型冗余踝關(guān)節(jié)康復(fù)機器人，并分析了機構(gòu)的運動學。禹潤田等［7］提出了一種適用于踝關(guān)節(jié)康復(fù)的3-DOF 繩驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)，設(shè)計了等效球面副，但是采取冗余驅(qū)動，給控制帶來了難度。李劍峰等［8］提出一種并聯(lián)2-UPS/RRR 的踝關(guān)節(jié)康復(fù)機構(gòu)，雖然沒有冗余自由度，但設(shè)備采用剛性驅(qū)動，剛性桿件作為主動支鏈產(chǎn)生的慣性沖擊可能給患者造成二次傷害［9］，不如柔性結(jié)構(gòu)對人體更友好。

綜上所述，對于康復(fù)器械采用剛性連桿傳遞動力容易產(chǎn)生剛性沖擊的問題，以及采用冗余增加了控制難度和成本的問題，本文設(shè)計了一種機構(gòu)旋轉(zhuǎn)中心與踝關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動中心相重合、滿足3 自由度的以閉環(huán)同步帶驅(qū)動的混聯(lián)式踝關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練機構(gòu)平臺。

1 機構(gòu)簡述及自由度分析

本文提出一種混聯(lián)式柔性踝關(guān)節(jié)康復(fù)機構(gòu)，如圖1所示，康復(fù)裝置實物如圖2所示，機構(gòu)組成主要包括底座、動平臺、約束支鏈、驅(qū)動電機、編碼器、帶輪支撐塊、連接塊、萬向球頭軸承、同步帶、同步帶輪。約束支鏈包括支撐軸、左支撐連桿、右支撐連桿、弧形連桿等結(jié)構(gòu)。其中，承重平臺在支撐軸的帶動下相對底座旋轉(zhuǎn)，以完成內(nèi)外旋運動；驅(qū)動電機通過同步帶帶動動平臺完成內(nèi)外翻和背跖屈運動。

圖1 康復(fù)機構(gòu)總體結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Overall structural model of rehabilitation institutions

圖2 康復(fù)裝置實物Fig.2 Physical map of the rehabilitation device

機構(gòu)的組成結(jié)構(gòu)決定機構(gòu)的自由度，本文研究的踝關(guān)節(jié)康復(fù)機構(gòu)的同步帶在張緊后具有剛性，因此，可以把同步帶驅(qū)動側(cè)等效為兩端為球副、中間為移動副的支鏈［13］，另一側(cè)可以等效為兩端為球副、中間為彈簧（彈簧可等效為移動副）的支鏈。對機構(gòu)進行自由度計算，采用修正的Kutzabach-Grubler公式：

式中：M為自由度數(shù)；d為機構(gòu)階數(shù)；n為構(gòu)件數(shù)目；g為運動副數(shù)目；fi為第i個運動副的自由度數(shù)；v為虛約束；ζ為局部自由度。

對于本康復(fù)機構(gòu)，機構(gòu)的階數(shù)為6，等效后的機構(gòu)共有12個構(gòu)件、15個運動副、31個自由度、4個局部自由度。將上述數(shù)據(jù)代入式（1）可得

因此，本文研究的混聯(lián)式柔性踝關(guān)節(jié)康復(fù)機構(gòu)有3 個自由度，在兩條驅(qū)動同步帶和第一電機的協(xié)調(diào)控制下，可實現(xiàn)動平臺的單一康復(fù)運動或復(fù)合運動，實現(xiàn)踝關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練的要求。

2 運動學分析

2.1 位置反解

機構(gòu)位置反解可描述為：當給定動平臺的位姿(θ1，θ2，θ3)，求解兩根驅(qū)動端同步帶的長度li(i=1，2)和第1 電機的轉(zhuǎn)角?。對于機構(gòu)內(nèi)外旋角度θ3由第1 電機唯一決定，第1 電機通過錐齒輪組把運動傳遞給約束支鏈，由于錐齒輪組的傳動比為1，忽略傳動過程中的誤差，所以有?=θ3。在求解機構(gòu)的位置反解時，只需考慮在上動平臺下側(cè)的萬向球頭軸承和同步帶輪之間的同步帶長度變化、動平臺位姿的關(guān)系即可。

建立如圖3所示的坐標系，參考坐標系O0x0y0z0在承重平臺的中心，坐標系O1x1y1z1和O2x2y2z2分別設(shè)定在兩個轉(zhuǎn)軸上，坐標系O3x3y3z3在上動平臺的中心。

圖3 并聯(lián)機構(gòu)坐標系變化Fig.3 Parallel mechanism coordinate system change diagram

利用D-H 連桿坐標描述法求解坐標系之間的連桿變換矩陣，從固定坐標系O0x0y0z0到運動坐標系O3x3y3z3的連桿變換矩陣為

從連桿變換矩陣式（3）可以得到動平臺位置和姿態(tài)，點P在固定坐標系O0x0y0z0中的位置坐標為

旋轉(zhuǎn)矩陣為

根據(jù)封閉矢量法原理，建立封閉矢量環(huán)OPBi Ai，其中，O為承重平臺中心，P為上動平臺中心，Ai為同步帶與同步帶輪的連接點，Bi為同步帶與萬向球頭軸承的連接點，Ai Bi為同步帶長度，i=1，2。

由封閉矢量圖及機器人學的坐標變換關(guān)系，同步帶矢量可表示為

在豎直左右方向上，各矢量分別為

則同步帶矢量l1為

在豎直前后方向上，各矢量分別為

代入求解得

2.2 位置正解

圖4 牛頓迭代法求解機構(gòu)位置正解的流程Fig.4 Flow chart of Newton iterative method to solve the forward solution of mechanism position

為了驗證建立模型的正確性，首先給定動平臺的特定姿態(tài)，其次根據(jù)位置反解模型求得驅(qū)動同步帶的長度；然后利用牛頓迭代法，先選取3 組通過位置反解所得的結(jié)果作為初值，在Matlab 中編程得到機構(gòu)在該情況下動平臺的姿態(tài)；最后位置正反解計算結(jié)果見表1、表2。

表1 位置反解計算結(jié)果Tab.1 The calculation result of the inverse displacement

表2 位置正解計算結(jié)果Tab.2 The calculation result of the forward displacement

通過機構(gòu)位置正反解模型計算結(jié)果對比可以看出，當設(shè)定誤差限為δ=10-6時，姿態(tài)角的最大誤差為0.001 4°，表明通過封閉矢量法求得的位置反解模型和通過牛頓迭代法求得的位置正解模型的正確性。

2.3 雅可比矩陣的建立

對于同步帶驅(qū)動的柔性并聯(lián)機構(gòu)，其速度雅可比矩陣可定義為：動平臺轉(zhuǎn)動角速度與驅(qū)動同步帶長度變化速度的變換關(guān)系。下面用求導(dǎo)法得到速度反解雅可比矩陣，位置反解方程對時間求導(dǎo)得

寫成矩陣形式為

其中，

式（13）可以簡寫為

則并聯(lián)機構(gòu)的速度反解雅可比矩陣J為

3 運動性能分析

3.1 工作空間分析

本文研究的踝關(guān)節(jié)康復(fù)機構(gòu)，關(guān)注其姿態(tài)工作空間，即表3 中動平臺沿3 個方向轉(zhuǎn)動所能夠達到的角度范圍。研究混聯(lián)式柔性踝關(guān)節(jié)康復(fù)機構(gòu)的工作空間，從內(nèi)外旋單元和并聯(lián)機構(gòu)兩方面入手，其中內(nèi)外旋單元在執(zhí)行機構(gòu)運動時沒有結(jié)構(gòu)限制，滿足踝關(guān)節(jié)實現(xiàn)內(nèi)外旋運動的極限范圍，需要對并聯(lián)機構(gòu)進行工作空間分析。

表3 踝關(guān)節(jié)最大允許角度Tab.3 Maximum allowable ankle angle

影響并聯(lián)機構(gòu)工作空間的因素有驅(qū)動端同步帶長度約束、連桿干涉約束以及轉(zhuǎn)動副轉(zhuǎn)角約束，即需滿足如下約束條件：

選取上動平臺中心點為參考點，當給定并聯(lián)機構(gòu)的運動參數(shù)及約束范圍，通過基于運動學位置反解方程的數(shù)值離散搜索法，可得到參考點所有可能達到的點的集合。求解過程如圖5所示。

圖5 基于數(shù)值離散搜索法的工作空間求解過程Fig.5 Solution process of workspace based on the numerical discrete search method

設(shè)定驅(qū)動端同步帶長度li(i=1，2)約束范圍為30～300 mm，轉(zhuǎn)角θ1和轉(zhuǎn)角θ2約束范圍為-45°～45°。利用此搜索法可以把轉(zhuǎn)動副轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)的所有轉(zhuǎn)角進行驗證，滿足驅(qū)動端同步帶長度約束條件的所有轉(zhuǎn)角組成了并聯(lián)機構(gòu)的工作空間。通過Matlab 對上述求解過程進行編程，可得到θ1、θ2的運動范圍如圖6所示。

圖6 并聯(lián)機構(gòu)工作空間求解結(jié)果Fig.6 Solving results of parallel manipulator workspace

由圖可知，θ1、θ2的工作范圍能夠滿足踝關(guān)節(jié)在實現(xiàn)背跖屈、內(nèi)外翻運動的極限范圍，表明本文所設(shè)計的機構(gòu)能夠滿足對踝關(guān)節(jié)進行康復(fù)治療的要求。

3.2 可操作度分析

可操作度可以表達對于動平臺的位置和姿態(tài)控制的靈敏度［11］。本文研究的并聯(lián)機構(gòu)只具有繞固定中心轉(zhuǎn)動的2轉(zhuǎn)動自由度，其可操作度的表達式為

式中：w為機構(gòu)的可操作度；J為機構(gòu)的雅可比矩陣。

對并聯(lián)機構(gòu)在可達姿態(tài)工作空間上的每一個獨立點進行可操作性分析，根據(jù)并聯(lián)機構(gòu)的工作空間分析可知θ1、θ2的工作范圍在（-45°～45°），需要在該運動范圍內(nèi)確定可操作度的取值是否存在突變或者不連續(xù)情況。因此，通過Matlab 將可操作度w與θ1、θ2的關(guān)系表示出來，得到可操作度w的變化情況如圖7所示。

圖7 可操作度w的變化情況Fig.7 Changes in operability w

由圖7可知，并聯(lián)機構(gòu)的可操作度在1～5之間變化緩慢，無零值點，表明機構(gòu)具有良好的可操作性能。

4 結(jié)語

本文提出一種混聯(lián)式柔性踝關(guān)節(jié)康復(fù)機構(gòu)，該機構(gòu)具有3 個轉(zhuǎn)動自由度，能實現(xiàn)踝關(guān)節(jié)的單一轉(zhuǎn)動運動（背跖屈運動、內(nèi)外旋運動、內(nèi)外翻運動）及復(fù)合運動。通過機構(gòu)性能分析，結(jié)果表明所設(shè)計的機構(gòu)在各個方向上的運動可以達到踝關(guān)節(jié)康復(fù)運動所需的運動范圍，并聯(lián)機構(gòu)在工作空間內(nèi)具有良好的可操作性和靈活性，混聯(lián)式踝關(guān)節(jié)康復(fù)機構(gòu)能夠滿足踝關(guān)節(jié)康復(fù)運動治療的要求。