孟 瑋，胡文超，李 超，張學(xué)良

（1.北礦機(jī)電科技有限責(zé)任公司市場(chǎng)部，北京 100160；2.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧沈陽(yáng) 110819）

振動(dòng)現(xiàn)象在生活中隨處可見，對(duì)人類生活以及社會(huì)生產(chǎn)活動(dòng)影響很大。振動(dòng)在一些方面給生產(chǎn)及生活帶來很多危害，如振動(dòng)會(huì)加劇機(jī)械零件的疲勞損耗，影響設(shè)備的使用壽命及工作效率；共振會(huì)造成橋梁和高樓坍塌破壞，對(duì)人類生命安全財(cái)產(chǎn)造成損害等。但振動(dòng)也給人們生活帶來很多益處，如利用振動(dòng)理論研制出的多種振動(dòng)設(shè)備改善了工作質(zhì)量，極大地提高了設(shè)備生產(chǎn)效率，增加了生產(chǎn)收益。

振動(dòng)同步作為振動(dòng)的一個(gè)重要研究方向，一直吸引著眾多科研人員對(duì)其進(jìn)行深入研究。Blekhman 等［1-2］首次提出了雙機(jī)驅(qū)動(dòng)振動(dòng)機(jī)同步理論，并對(duì)自同步物理機(jī)制做出了詳細(xì)解釋。Inoue 等［3］研究了雙電機(jī)驅(qū)動(dòng)的激振器的2 倍頻和3 倍頻同步運(yùn)動(dòng)。Balthazar 等［4-5］對(duì)柔性剛體上非理想雙機(jī)及四機(jī)同步運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了研究。隨后，我國(guó)學(xué)者聞邦椿等［6-7］開始研究振動(dòng)同步利用，發(fā)明了大量振動(dòng)同步設(shè)備，成功地將振動(dòng)同步理論應(yīng)用于工程實(shí)踐中；趙春雨等［8］提出了改進(jìn)小參數(shù)平均法，并通過此方法得到含有擾動(dòng)參數(shù)的頻率捕獲方程，進(jìn)一步完善了振動(dòng)同步理論；張學(xué)良等［9］研究了雙機(jī)驅(qū)動(dòng)圓柱滾子振動(dòng)同步傳動(dòng)理論以及多機(jī)驅(qū)動(dòng)多質(zhì)體同步理論，根據(jù)工作頻率對(duì)固有頻率的比值大小將共振區(qū)域劃分為多個(gè)區(qū)間，得到各個(gè)共振區(qū)域的動(dòng)力學(xué)特性。

本文建立了雙機(jī)自同步驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型和運(yùn)動(dòng)微分方程，從理論上詳細(xì)研究了系統(tǒng)的同步性和穩(wěn)定性，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性做出數(shù)值分析，給出了振動(dòng)系統(tǒng)在不同共振區(qū)域的仿真結(jié)果。

1 振動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型和運(yùn)動(dòng)微分方程

雙機(jī)自同步驅(qū)動(dòng)三質(zhì)體振動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型如圖1 所示，隔振質(zhì)體通過隔振彈簧與地基連接，2個(gè)工作質(zhì)體分別由導(dǎo)向板-彈簧組件與隔振質(zhì)體連接，其中2 組主振彈簧與水平方向的夾角分別為β、π-β。2 個(gè)激振器分別由各自的感應(yīng)電機(jī)驅(qū)動(dòng)，繞各自旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，且旋向相反，旋轉(zhuǎn)相位角分別為φ1、φ2。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為2 個(gè)工作質(zhì)體分別在x、y方向的振動(dòng)以及隔振質(zhì)體在y方向的振動(dòng)。

圖1 雙機(jī)自同步驅(qū)動(dòng)三質(zhì)體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of a vibrating system with three rigid frames driven by self- synchronization of two exciters

根據(jù)Lagrange方程得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中：M1=m1；M2=m2；M3=m3+m01+m02；J0i為激振器i的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，J0i=m0ir2；m0i、r分別為激振器i的偏心塊質(zhì)量和偏心半徑；kiy為彈簧i在y方向的剛度；fiy為彈簧i在y方向的阻尼系數(shù)；Tei為電機(jī)i的電磁輸出轉(zhuǎn)矩。

2 2個(gè)激振器的同步及同步狀態(tài)下的穩(wěn)定性分析

根據(jù)模型，可以假定2 個(gè)工作質(zhì)體的質(zhì)量相等，即M1=M2=M0，不平衡轉(zhuǎn)子質(zhì)量設(shè)定為m02=ηm01。同時(shí)假定2 個(gè)激振器的平均相位為φ，相位差為2α，則2個(gè)激振器的相位為

式中：

2.1 2個(gè)激振器實(shí)現(xiàn)同步運(yùn)轉(zhuǎn)的條件

由式（1）的前5 個(gè)方程可得系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M，剛度矩陣K以及特征方程為

假定兩組主振彈簧的彈簧剛度相同，即k1y=k2y=k0，由于系統(tǒng)阻尼對(duì)系統(tǒng)影響很小，可以忽略不計(jì)［6-7］。當(dāng)Δ(ω2)=0時(shí)，求得系統(tǒng)的固有頻率為

式（3）中第3個(gè)方程對(duì)時(shí)間t求2階導(dǎo)后，將其代入式（1）的后2個(gè)方程中，并兩邊同時(shí)在0 ～2π上對(duì)φ求積分，整理后，兩電機(jī)的平均力矩平衡方程為

即任意兩電機(jī)無(wú)量綱電磁輸出轉(zhuǎn)矩之差的絕對(duì)值小于或等于其無(wú)量綱耦合轉(zhuǎn)矩的最大值。

2.2 2個(gè)激振器同步狀態(tài)下的穩(wěn)定性判據(jù)

系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能為

系統(tǒng)在單個(gè)周期內(nèi)的平均動(dòng)能和勢(shì)能為

系統(tǒng)在單個(gè)周期內(nèi)的哈密頓平均作用幅值I為

根據(jù)哈密頓原理［6］，兩激振器同步狀態(tài)下的穩(wěn)定相位差2αˉ對(duì)應(yīng)于哈密頓最小作用幅值，則系統(tǒng)穩(wěn)定同步運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，I應(yīng)該滿足如下條件：

式（12）是2 個(gè)激振器同步狀態(tài)下的穩(wěn)定性判據(jù)。滿足式（8）和式（12）的穩(wěn)定相位差解記為2αˉ*。H是系統(tǒng)的穩(wěn)定能力系數(shù)，H越大，系統(tǒng)穩(wěn)定能力越強(qiáng)。

3 系統(tǒng)穩(wěn)定特性的數(shù)值分析

根據(jù)上述理論結(jié)果，本章對(duì)系統(tǒng)同步狀態(tài)下的穩(wěn)定相位差和穩(wěn)定能力進(jìn)行數(shù)值上的討論，進(jìn)一步揭示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。

設(shè)定2個(gè)電機(jī)型號(hào)一致，其對(duì)應(yīng)參數(shù)為三相鼠籠式，50 Hz，380 V，6級(jí)，0.75 kW，額定轉(zhuǎn)速980 r/min。電機(jī)內(nèi)部參數(shù)為轉(zhuǎn)子電阻Rr=3.40 Ω，定子電阻Rs=3.35 Ω，互感Lm=164 mH，轉(zhuǎn)子電感Lr=170 mH，定子電感Ls=170 mH，電機(jī)軸阻尼系數(shù)f01=f02=0.05。振動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)為m1=m2=1 500 kg，m3=2 000 kg，m01=m02=10 kg，M3=m3+m01+m02=2 020 kg，k1y=k2y=20 000 kN/m，k3y=10 kN/m，r=0.15 m。將參數(shù)代入式（5）中，計(jì)算得到系統(tǒng)固有頻率ω1=116 rad/s，ω2=182 rad/s，ω3很小不予考慮。

3.1 2個(gè)激振器間的穩(wěn)定相位差

根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)轉(zhuǎn)頻率與固有頻率的比值大小z1和z2，可將整個(gè)頻域劃分為3 個(gè)共振區(qū)域，其中z1=ωm0/ω1，z2=ωm0/ω2。3 個(gè)共振區(qū)域：①ω1和ω2的亞共振區(qū)（Ⅰ區(qū)），對(duì)應(yīng)于z1＜1，z2＜1；②ω1的過共振區(qū)和ω2的亞共振區(qū)（Ⅱ區(qū)），其中z1＞1，z2＜1；③ω1和ω2的過共振區(qū)（Ⅲ區(qū)），此時(shí)z1＞1，z2＞1。

不同共振區(qū)域內(nèi)兩個(gè)激振器間的穩(wěn)定相位差如圖2 所示。Ⅰ區(qū)的2αˉ*為180°，隨著運(yùn)轉(zhuǎn)頻率的增加，在接近共振頻率ω1處，2αˉ*由180°變化為0°。運(yùn)轉(zhuǎn)頻率繼續(xù)增加，進(jìn)入Ⅱ區(qū)，2αˉ*一直穩(wěn)定在0°。在Ⅲ區(qū)中，經(jīng)過共振頻率ω2后，2αˉ*由0° 變化為180°。

圖2 2個(gè)激振器之間的穩(wěn)定相位差Fig.2 Stable phase difference between two exciters

當(dāng)2αˉ*=0°時(shí)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形式：2 個(gè)工作質(zhì)體在x方向和y方向都有振動(dòng)，隔振質(zhì)體僅在y方向有振動(dòng)。當(dāng)2αˉ*=180°時(shí)，3 個(gè)質(zhì)體在x方向和y方向均沒有振動(dòng)，系統(tǒng)保持靜止?fàn)顟B(tài)，這是由于2個(gè)激振器的激振力相互抵消產(chǎn)生的情況。

3.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定能力

系統(tǒng)的穩(wěn)定能力系數(shù)如圖3 所示。圖中可見，系統(tǒng)在3 個(gè)共振區(qū)域的穩(wěn)定能力系數(shù)H都大于0，表明系統(tǒng)在整個(gè)共振區(qū)間都能保持一定的穩(wěn)定狀態(tài)。穩(wěn)定能力系數(shù)越大，系統(tǒng)穩(wěn)定能力越強(qiáng)。在共振點(diǎn)ω2處，穩(wěn)定能力系數(shù)達(dá)到最大值，表明系統(tǒng)在這一共振點(diǎn)處穩(wěn)定能力最強(qiáng)。

圖3 系統(tǒng)的穩(wěn)定能力系數(shù)Fig.3 Coefficient of stability ability of the system

4 仿真分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性，本章將基于運(yùn)動(dòng)微分方程，使用Runge-Kutta 程序?qū)φ駝?dòng)系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析。在上一章特性分析中，整個(gè)共振區(qū)域被劃分成3 部分，本章將通過改變k1y和k2y的值，討論3個(gè)區(qū)域的仿真結(jié)果。除了k1y和k2y以外，系統(tǒng)參數(shù)和電機(jī)參數(shù)與第3 章相一致，每個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)的仿真結(jié)果如圖4所示。

首先設(shè)置k1y=k2y=60 000 kN/m，得到Ⅰ區(qū)仿真結(jié)果。由圖4（a）可知，Ⅰ區(qū)仿真點(diǎn)處的電機(jī)轉(zhuǎn)速為983 r/min，計(jì)算得頻率比z1=0.51，對(duì)應(yīng)于圖2中的l1。由圖4（b）可知穩(wěn)態(tài)時(shí)兩激振器的相位差2α為180°。在圖4（c）中，電機(jī)運(yùn)行約25 s 后，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步穩(wěn)定運(yùn)行，3 個(gè)質(zhì)體在x和y方向均沒有位移，保持靜止?fàn)顟B(tài)。

圖4 Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)和Ⅲ區(qū)的仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results in regions Ⅰ，Ⅱand Ⅲ

然后減小彈簧剛度，使k1y=k2y=10 000 kN/m，得到Ⅱ區(qū)仿真結(jié)果。圖4（a）和（b）中所示，電機(jī)通電大約6 s后，Ⅱ區(qū)仿真點(diǎn)處電機(jī)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定在800 r/min附近，對(duì)應(yīng)頻率比z2=0.66，與圖2中l(wèi)2相對(duì)應(yīng)，該點(diǎn)處兩激振器的相位差穩(wěn)定在0°。由圖4（d）和（e）可知，穩(wěn)態(tài)時(shí)兩個(gè)工作質(zhì)體在x方向上都產(chǎn)生振動(dòng)，且振動(dòng)方向相反，其位移約為4.0 mm，在y方向上同向振動(dòng)，其位移約為4.0 mm。隔振質(zhì)體在x方向沒有振動(dòng)，在y方向的位移約為5.2 mm。

最后調(diào)整彈簧剛度為k1y=k2y=4 000 kN/m，通電大約7 s 后，電機(jī)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定在983 r/min，對(duì)應(yīng)頻率比z2=1.26，與圖2 中Ⅲ區(qū)內(nèi)l3相對(duì)應(yīng)。從圖4 中可以看出，兩激振器間穩(wěn)態(tài)相位差為180°，3個(gè)質(zhì)體在x和y方向均沒有振動(dòng)，系統(tǒng)呈靜止?fàn)顟B(tài)。

Ⅰ區(qū)仿真在40 s 處給電機(jī)2 施加π/4 干擾，Ⅱ區(qū)和Ⅲ區(qū)仿真在30 s 處施加同樣的干擾。施加干擾后，振動(dòng)系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)短暫的波動(dòng)，最終恢復(fù)到施加干擾前的穩(wěn)態(tài)，這表明系統(tǒng)抗干擾能力強(qiáng)，穩(wěn)定性高。

綜合以上結(jié)果，系統(tǒng)在Ⅱ區(qū)有較強(qiáng)的穩(wěn)定能力和較大的振動(dòng)幅值，滿足工程實(shí)際需求。

5 結(jié)論

通過理論、數(shù)值和仿真分析，得出以下結(jié)論：

（1）為保證系統(tǒng)的同步穩(wěn)定運(yùn)行，首先必須滿足2 個(gè)激振器實(shí)現(xiàn)同步運(yùn)轉(zhuǎn)的理論條件和同步狀態(tài)下的穩(wěn)定判據(jù)。

（2）系統(tǒng)的共振區(qū)域被2 個(gè)固有頻率劃分為3部分。在ω1和ω2的亞共振區(qū)（Ⅰ區(qū)）以及ω1和ω2的過共振區(qū)（Ⅲ區(qū)）內(nèi)，2 個(gè)激振器間穩(wěn)態(tài)相位差為180°，這時(shí)激振力相互抵消，系統(tǒng)呈靜止?fàn)顟B(tài)。在ω1的過共振區(qū)和ω2的亞共振區(qū)（Ⅱ區(qū)）內(nèi)，兩激振器間相位差穩(wěn)定在0°，2 個(gè)工作質(zhì)體和隔振質(zhì)體在y方向上為相對(duì)直線運(yùn)動(dòng)，在x方向上2 個(gè)工作質(zhì)體互為反向直線運(yùn)動(dòng)，隔振質(zhì)體無(wú)振動(dòng)。

（3）在類似模型的振動(dòng)機(jī)械設(shè)計(jì)中，系統(tǒng)的工作點(diǎn)應(yīng)選擇在圖2中的Ⅱ區(qū)，這種情況下工作質(zhì)體的振幅才能滿足實(shí)際工程需求，且有較強(qiáng)的穩(wěn)定性。