王小明，潘 曼，魏 強(qiáng)，2

（1.中國艦船研究設(shè)計(jì)中心，武漢430064；2.船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢430064）

0 引 言

夾層板不僅具有比強(qiáng)度高、比剛度高的優(yōu)點(diǎn)，還具有吸聲隔振的效果，一直以來就是工程關(guān)注的焦點(diǎn)和科學(xué)研究的熱點(diǎn)。夾層板中的芯層可設(shè)計(jì)性非常強(qiáng)，可以是PVC泡沫、玻璃纖維、金屬薄片等，這種特點(diǎn)為夾層板的工程應(yīng)用提供了更多選擇。其中，金屬薄片又有很多的形式，可以是波紋型（V型）、I 型、Y 型、O 型、Z 型等。長期以來，面板與芯層的連接加工技術(shù)制約著金屬夾層板的生產(chǎn)效率；近年來，工程師們將激光焊接技術(shù)應(yīng)用到金屬夾層板的生產(chǎn)制造中，使得金屬夾層板的生產(chǎn)加工更加便捷精準(zhǔn)。關(guān)于它的工程應(yīng)用，人們對(duì)它充滿期待，前景看好，航空航天、船舶海洋工程都是其應(yīng)用的方向[1-2]。關(guān)于波紋夾層板的彎曲問題，在長期的研究探索中逐漸形成了兩個(gè)研究方向：第一個(gè)研究方向是把波紋夾層板等效成正交異性板，然后按照正交異性薄板的彎曲求解；第二個(gè)研究方向是根據(jù)一階剪切變形理論模型，分別計(jì)算上下面板的變形能和芯層的變形能，然后采用最小勢能原理，列出波紋夾層板的平衡微分方程[3]。第一個(gè)研究方向中等效方式又可以分為兩類：一類是運(yùn)用變形等效或者能量等效的原理求解芯層的等效彈性模量或者等效剛度[4-9]，夾層板就等效成層合板，上下面板是各向同性板，芯層是正交異性板；另一類是根據(jù)芯層的實(shí)際形狀，不需要單獨(dú)求解芯層的等效參數(shù)，直接根據(jù)整體變形等效的方法求解整體彎曲剛度和剪切剛度[10-18]，夾層板整體等效成正交異性板。整體等效方式最為著名的是Libove等[11]的等效剛度方法，后來，F(xiàn)ung和Tan等在Libove的等效剛度法基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了Z 型、C 型和V 型夾層板的等效剛度[12-15]。Chang 等[19]采用了Libove 的方法計(jì)算出等效剛度后，研究了夾層板內(nèi)力、變形與夾層板的截面參數(shù)之間的變化規(guī)律；Wang等[7]把波紋夾層板芯層看作正交異性體，采用“同外力，等變形”的方法分別求解了芯層三個(gè)方向的等效彈性常數(shù)，最后采用正交異性板理論計(jì)算了夾層板的位移，與有限元算法比較，差別小于5%。文獻(xiàn)[20]提出波紋夾層板在垂直波紋母線的平面內(nèi)，其抗剪剛度無限大，垂直于波紋方向平面內(nèi)的抗剪剛度為有限值；在這一前提下，推導(dǎo)了波紋夾層板的彎曲微分方程，但是并未介紹如何計(jì)算垂直波紋方向平面內(nèi)的抗剪剛度。實(shí)際工程應(yīng)用中，為了達(dá)到理想的強(qiáng)度和剛度，必然會(huì)將波紋夾層板的整體厚度、上下面板厚度和芯層板厚度都增大，倘若夾層板的整體厚度達(dá)到厚板的范疇，則不能忽略芯層的抗剪作用，即不能采用經(jīng)典薄板理論，也不能采用一階剪切變形理論，因?yàn)橐浑A剪切變形理論不滿足上下自由表面條件，這時(shí)，應(yīng)該采用高階剪切變形理論求解。目前，關(guān)于波紋夾層板彎曲問題的文獻(xiàn)多數(shù)是采用正交異性薄板理論或者一階剪切變形理論算法，采用高階剪切變形理論求解方法的公開文獻(xiàn)很少。對(duì)于大厚度的波紋夾層板彎曲問題，倘若不采用高階理論算法，將導(dǎo)致計(jì)算誤差偏大。因此，有必要研究大厚度波紋夾層板的高階剪切變形理論求解方法，為工程設(shè)計(jì)和計(jì)算提供指導(dǎo)。本文提出一種“同外力，等能量”的等效方法計(jì)算波紋芯層等效彈性參數(shù)；求出等效彈性參數(shù)之后，把夾層板等效成層合板，應(yīng)用高階剪切變形理論，列出波紋夾層板的彎曲微分方程，應(yīng)用傅立葉級(jí)數(shù)法求解該方程，最終確定變形和應(yīng)力。

1 芯層等效彈性模量和泊松比

關(guān)于芯層等效彈性參數(shù)的計(jì)算方法很多，Bartolozzi[8-9]等推導(dǎo)的方法被諸多學(xué)者采用，在文獻(xiàn)[8-9]中推導(dǎo)出的芯層為正弦曲線的波紋板的等效模量。Cheon 和Park 等[5-6]采用了“同外力，等能量”的等效方法推導(dǎo)正弦波紋的等效剛度。本文則采用“同外力，等能量”的等效方法推導(dǎo)V 形波紋的等效彈性模量和泊松比。波紋夾層板和坐標(biāo)系如圖1所示，x軸沿著芯層的母線方向，y軸沿著芯層的波紋方向，z軸垂直于xoy平面，指向下方；xoy平面位于夾層板芯層的中面。z＜0一側(cè)的面板叫上面板，z＞0一側(cè)的面板叫下面板。上面板厚度為tt，下面板厚度為tb，芯層板厚tc，芯層凈高h(yuǎn)c，芯層周期長度為lc，芯層半周期斜面邊長為l。芯層傾斜面與面板夾角為θ。分析時(shí)，以x方向長度為單位長度作為研究對(duì)象。

圖1 夾層板與坐標(biāo)系統(tǒng)Fig.1 Sandwich panel and coordinate system

1.1 yz平面等效模量

在夾層板芯層頂點(diǎn)施加一水平力F，頂點(diǎn)將發(fā)生微小的水平位移δ（如圖2 所示）。將這個(gè)物理模型單獨(dú)研究，選取其中的半單元芯層（圖2中的①）進(jìn)行分析，如圖3 所示。為了保證芯層與純剪切狀態(tài)等效，則在芯層頂點(diǎn)加載水平載荷F時(shí)，芯層上方頂點(diǎn)（圖3中的B點(diǎn)）不能有垂向位移，下方的頂點(diǎn)（圖3中的A點(diǎn)）不能發(fā)生彎曲轉(zhuǎn)角。這就意味著A點(diǎn)是固定鉸支座，提供水平方向和豎直方向的支反力，B點(diǎn)是活動(dòng)鉸支座，僅提供豎直方向的支反力，簡化后的物理模型如圖3 所示。為了簡化公式推導(dǎo)，把坐標(biāo)系原點(diǎn)移到下方芯層頂點(diǎn)的位置，同時(shí)轉(zhuǎn)換視角，以符合坐標(biāo)習(xí)慣。

圖2 芯層xz面剪切變形Fig.2 Core sheets shear deformation in xz plane

研究中認(rèn)為，芯層沿x方向（垂直于紙面方向），長度為單位長度，根據(jù)芯層的平衡條件，容易求出下方頂點(diǎn)的位置處支反力R=Ftan(θ)。

根據(jù)圖3的坐標(biāo)系，容易得出芯層①中心線方程為

圖3 計(jì)算力學(xué)模型Fig.3 Mechanics model for calculating

因?yàn)檩d荷作用在芯層上方頂點(diǎn)B的位置，則芯層的受力狀態(tài)相當(dāng)于二力桿，即芯層內(nèi)力只有軸力，沒有剪力和彎矩。

芯層①中的軸力（拉為正，壓為負(fù)）表示為

以上表明芯層中僅存在軸力，則芯層半單元中的總應(yīng)變能為

式中，L為半周期芯層橫截面中心線，如芯層①的中心線，l為芯層①的長度，A為橫截面面積，即A=tc。與芯層單元等效的模型如圖4所示，則等效模型的應(yīng)變能為

圖4 計(jì)算等效均質(zhì)模型Fig.4 Equivalent homogenous model for calculating

根據(jù)外力相等，應(yīng)變能相等的原理，式（3）與式（4）相等，即可算出。

1.2 x方向等效彈性模量

均勻等效模型的應(yīng)變能為

1.3 等效模量和

圖5 計(jì)算力學(xué)模型Fig.5 Mechanics model for calculating

原模型與等效模型具有相同的剪切應(yīng)變能，即式（9）與式（10）相等，求出。

圖6 計(jì)算力學(xué)模型Fig.6 Mechanics model for calculating

1.4 y方向等效彈性模量

設(shè)想芯層和等效均質(zhì)模型均受到彎矩M作用后在yz平面內(nèi)彎曲（如圖7和圖8所示），則兩者的彎曲應(yīng)變能應(yīng)當(dāng)相等。夾層板芯層的應(yīng)變能為

圖7 計(jì)算力學(xué)模型Fig.7 Mechanics model for calculating

圖8 計(jì)算等效均質(zhì)模型Fig.8 Equivalent homogenous model for calculating y

等效均質(zhì)模型的彎曲應(yīng)變能為

根據(jù)變形能相等，即式（13）與式（14）相等，求出

1.5 泊松比和

1.2節(jié)中的受力狀態(tài)正好是x方向受均勻拉力，則x方向的應(yīng)變?yōu)?/p>

沿芯層傾斜方向的應(yīng)變?yōu)?/p>

沿y方向的應(yīng)變?yōu)?/p>

正交異性體彈性模量與泊松比滿足方程

2 夾層板彎曲方程

2.1 位移模式

關(guān)于板的高階理論有多種表達(dá)形式，本文采用Touratier提出的正弦函數(shù)表達(dá)式[21-22]。夾層板的坐標(biāo)系統(tǒng)如圖1所示，則夾層板的位移模式可以表示成

式中，h為整個(gè)夾層板厚度，即h=hc+tt+tb。

2.2 本構(gòu)方程

夾層板的正應(yīng)變和剪應(yīng)變可以采用彈性力學(xué)幾何方程表達(dá)式求解：

上下面板是各向同性板，本構(gòu)方程直接采用各向同性體的胡克定律，上下面板的正應(yīng)力和剪應(yīng)力可以表示為

式（30）-（32）中，E、G和μ分別代表上下面板材料的彈性模量、剪切模量和泊松比。這里并沒有考慮面板的橫向剪應(yīng)力是注意到上下面板處于遠(yuǎn)離中和軸位置，根據(jù)式（28）和式（29）計(jì)算的剪應(yīng)變很小，可以忽略不計(jì)。

芯層等效為正交異性板，則其應(yīng)力可以表達(dá)為

2.3 最小勢能原理

根據(jù)最小勢能原理，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，則它的位移必然使得整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)勢（動(dòng)能與勢能之差）達(dá)到最小值。對(duì)于夾層板的靜力分析，則系統(tǒng)沒有動(dòng)能，僅有勢能。勢能包括兩部分，一部分是系統(tǒng)的應(yīng)變能，另一部分是外力的功。

式中，A表示夾層板所在的xoy平面范圍，U1和W1分別表示應(yīng)變能面密度和單位面積上外力所做的功，δ表示變分。

系統(tǒng)的應(yīng)變能包括三部分，分別是上、下面板應(yīng)變能和芯層應(yīng)變能。

其中，

對(duì)于作用在坐標(biāo)(x0,y0)的集中力，可以表達(dá)成為

式中，δ為狄拉克函數(shù)。

集中力所做的功為

對(duì)于式（36），根據(jù)變分法，令

則式（36）的歐拉方程為

系數(shù)A1、B1、C1等與夾層板的截面參數(shù)相關(guān)。該方程非常復(fù)雜，篇幅太長，不便于把系數(shù)表達(dá)式全部列出，在末尾附錄A中給出了方程推導(dǎo)過程的Mathematica程序。

3 彎曲方程與求解

對(duì)于x方向長為a，y方向長為b的四邊簡支的夾層板，邊界條件為

可以設(shè)方程（47）-（49）的解為雙傅立葉級(jí)數(shù)形式

其實(shí)，式（51）-（53）已經(jīng)滿足了式（50）的邊界條件。

集中力P作用點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，y0），可以把集中力展開成雙傅立葉級(jí)數(shù)：

將式（51）-（54）代入式（47）-（49），然后比較兩邊的系數(shù)，可以分別求出上述式（51）-（53）中雙傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)wmn、gmn和hmn。

4 夾層板的應(yīng)力

求出夾層板的變形之后，還需要繼續(xù)求解夾層板的應(yīng)力。

將第3章中求出的三個(gè)未知函數(shù)?x、?y和w對(duì)應(yīng)代入到式（30）-（32）中則可以求出夾層板上下面板的應(yīng)力。

芯層的實(shí)際應(yīng)力則不能直接由式（33）-（35）求出，也沒有方法準(zhǔn)確求出，這是等效方法的共同點(diǎn)。夾層板彎曲問題，最大正應(yīng)力一定出現(xiàn)在上下面板上。

5 算例與討論

5.1 薄板模型

夾層板四邊簡支，長邊a=2000 mm，短邊b=1500 mm，上下面板厚度tt=tb=3 mm，芯層板厚度tc=2 mm，芯層凈高度hc=40 mm，芯層周期間距l(xiāng)c=50 mm，上下面板和夾心都是同樣材料，彈性模量E=Ec=2.1×105MPa，泊松比μ=0.3。集中力作用于上面板的中心點(diǎn)，作用點(diǎn)的坐標(biāo)為（1000,750），集中力的大小為P=2×104N。計(jì)算模型即為在圖1的基礎(chǔ)上增加四邊簡支邊界條件和板中心增加集中力作用。

為了形成對(duì)比，驗(yàn)證方法的準(zhǔn)確性，分別用2種方法計(jì)算這個(gè)算例。方法1：本文計(jì)算方法，雙傅里葉級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)迭代到m=n=15，此時(shí)位移和應(yīng)力（遠(yuǎn)離載荷作用點(diǎn)的應(yīng)力）均收斂；方法2：ANSYS 有限元計(jì)算方法，面板和芯層都采用Shell 181單元，網(wǎng)格劃分成19 200個(gè)單元。

構(gòu)件的變形和強(qiáng)度是工程關(guān)注的焦點(diǎn)，最關(guān)注的則是最大變形量和最大應(yīng)力，以及出現(xiàn)的具體位置。上述算例中，根據(jù)構(gòu)件和載荷的對(duì)稱性，最大變形和最大應(yīng)力可能出現(xiàn)在板的中心點(diǎn)。位移的級(jí)數(shù)表達(dá)式（51）-（53）是收斂的，一般m、n分別取到5 之后則變化非常小。應(yīng)力表達(dá)式（30）～（32）在集中載荷作用點(diǎn)附近是不收斂的，應(yīng)力為無限大，這一性質(zhì)與單層板是相類似的。因此不能試圖去比較x=a/2和y=b/2位置處的應(yīng)力分布。

上述2種計(jì)算方法的結(jié)果中y=b/2和x=a/2兩個(gè)典型位置的位移分布如圖9和圖10所示；4個(gè)典型位置的應(yīng)力分布如圖11～14所示。

由圖9和圖10可以看出，上述2種方法關(guān)于位移的計(jì)算結(jié)果極為接近，誤差普遍很小。圖11和圖13 中關(guān)于x向應(yīng)力的分布，本文方法計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果也吻合一致。圖12 和圖14 中關(guān)于y向應(yīng)力的分布，本文方法是光滑曲線，而有限元計(jì)算結(jié)果則是周期振蕩的曲線，本文方法正好是有限元方法振蕩波峰的插值光滑連線。經(jīng)過反復(fù)的試算發(fā)現(xiàn)，振蕩的周期與網(wǎng)格尺寸沒有關(guān)系，僅與夾層板的截面參數(shù)有關(guān)，并且振蕩周期等于夾層板波紋芯層周期。

圖9 y=b/2位置處的位移Fig.9 Deflection at y=b/2

圖10 x=a/2位置處的位移Fig.10 Deflection at x=a/2

圖11 y=b/3位置處下面板下表面x向應(yīng)力Fig.11 x direction stress of bottom facesheet lower surface at y=b/3

圖12 x=a/4位置處下面板下表面y向應(yīng)力Fig.12 y direction stress of bottom facesheet lower surface at x=a/4

圖13 y=b/4位置處上面板上表面x向應(yīng)力Fig.13 x direction stress of top facesheet upper surface at y=a/4

圖14 x=a/4位置處上面板上表面y向應(yīng)力Fig.14 y direction stress of top facesheet upper surface at x=a/4

實(shí)際上，x向應(yīng)力隨y坐標(biāo)變化時(shí)，也表現(xiàn)出圖12 和圖14 的振蕩特性，并且與圖12 和圖14 一樣，面板與芯層頂點(diǎn)交匯的位置出現(xiàn)波峰，頂點(diǎn)中心的位置則出現(xiàn)波谷。這種振蕩正是非連續(xù)芯層對(duì)面板的反作用力所致。

應(yīng)力沿波紋方向分布表現(xiàn)出振蕩性質(zhì)，文獻(xiàn)[3]也有相同的結(jié)論。目前解析法尚無法構(gòu)造出夾層板的位移模型，使得其同時(shí)滿足芯層板兩側(cè)的自由表面條件、上下面板的自由表面條件和芯層頂點(diǎn)與面板間的位移（應(yīng)力）單值條件，因此解析法計(jì)算的結(jié)果也就不可能出現(xiàn)與有限元結(jié)果完全一致的振蕩周期和振蕩振幅。文獻(xiàn)[3]中的載荷是均布載荷，文中采用了整體應(yīng)力與局部應(yīng)力疊加的方式計(jì)算上面板應(yīng)力，即夾層板彎曲應(yīng)力作為整體應(yīng)力，兩邊芯層頂點(diǎn)固支板彎曲應(yīng)力作為局部應(yīng)力。均布載荷工況下，這種算法計(jì)算的上面板應(yīng)力分布與有限元結(jié)果吻合一致。對(duì)于本文中集中載荷，這種方法則無法使用，因?yàn)榧休d荷作用在芯層頂點(diǎn)時(shí)，局部應(yīng)力不存在；倘若集中載荷作用點(diǎn)并非是芯層頂點(diǎn)，則僅一塊局部板存在局部應(yīng)力，也不能表現(xiàn)出周期振蕩性質(zhì)。對(duì)于下面板應(yīng)力，上述疊加方法也是無效的，文獻(xiàn)[3]并沒有討論下面板的應(yīng)力，圖12顯示下面板應(yīng)力沿波紋方向分布也存在振蕩性質(zhì)。

5.2 厚板模型

夾層板四邊簡支，長邊a=2000 mm，短邊b=1500 mm，上下面板厚度tt=tb=10 mm，芯層板厚度tc=8 mm，芯層凈高度hc=300 mm，芯層周期間距l(xiāng)c=50 mm，上下面板和夾心都是同樣材料，彈性模量E=Ec=2.1×105MPa，泊松比μ=0.3。集中力作用于上面板的中心點(diǎn)，作用點(diǎn)的坐標(biāo)為（1000，750），集中力的大小為P=2×106N。

同樣采用5.1 節(jié)中的2 種方法計(jì)算夾層板的位移，不過在方法1 中，為了保證應(yīng)力的收斂性，雙傅里葉級(jí)數(shù)的迭代項(xiàng)數(shù)更多，達(dá)到m=n=25。圖15～20 分別列出了與5.1 節(jié)中薄板對(duì)應(yīng)位置處的位移和應(yīng)力分布。

圖15 厚板y=b/2位置處的位移Fig.15 Deflection of thick plate at y=b/2

圖16 厚板x=a/2位置處的位移Fig.16 Deflection of thick plate at x=a/2

圖17 厚板y=b/3位置處下面板下表面x向應(yīng)力Fig.17 Bottom facesheet lower surface x direction stress at y=b/3 for thick plate

圖18 厚板x=a/4位置處下面板下表面y向應(yīng)力Fig.18 Bottom facesheet lower surface y direction stress at x=a/4 for thick plate

圖19 厚板y=b/4位置處上面板上表面x向應(yīng)力Fig.19 Top facesheet upper surface x direction stress at y=b/4 for thick plate

圖20 厚板x=a/4位置處上面板上表面y向應(yīng)力Fig.20 Top facesheet upper surface y direction stress at x=a/4 for thick plate

這一算例中，（hc+tt+tb）/b＞1/5，屬于厚板的范疇。目前，商業(yè)有限元計(jì)算軟件中，關(guān)于厚板的計(jì)算都采用一階剪切變形理論，因此，方法2 是采用一階剪切變形理論。在圖15～20 中，2 種方法的計(jì)算結(jié)果已經(jīng)不再保持薄板范疇的吻合狀態(tài)。位移分布和x向應(yīng)力分布在遠(yuǎn)離載荷作用點(diǎn)時(shí)，2種計(jì)算方法差別較小，越靠近中心，2種計(jì)算方法差別越大。y向應(yīng)力則僅在少數(shù)位置點(diǎn)2種計(jì)算方法結(jié)果保持一致，多數(shù)位置差別較大。兩種計(jì)算方法關(guān)于峰值有一個(gè)共同的特點(diǎn)：集中載荷作用下的厚夾層板，在平行于矩形板邊緣的橫剖面上，本文方法的位移峰值和應(yīng)力峰值都比有限元結(jié)果偏大。

方法2沿波紋方向的應(yīng)力分布依然表現(xiàn)出振蕩性，其振蕩的波幅僅在中心位置附近較大，遠(yuǎn)離中心則振幅很小。眾所周知，厚板單層板彎曲問題需要采用高階剪切理論或三維彈性理論計(jì)算，所以計(jì)算厚板波紋板彎曲問題也應(yīng)當(dāng)采用高階剪切變形理論。以本文計(jì)算方法結(jié)果為基準(zhǔn)，在上述算例中，有限元法位移峰值的差別為-16.3%，x向應(yīng)力峰值差別為-26.6%，y向應(yīng)力峰值差別為-55.4%。

6 結(jié) 論

本文通過將夾層板中間芯層等效成正交異性板，根據(jù)應(yīng)變能等效原理求解芯層各項(xiàng)等效彈性模量和泊松比。運(yùn)用高階剪切變形理論和最小勢能原理，推導(dǎo)夾層板的彎曲變形微分方程，然后采用雙傅里葉級(jí)數(shù)的方法求解該微分方程。

通過算例驗(yàn)證，在薄板范疇內(nèi)，本文方法計(jì)算的位移與有限元法結(jié)果吻合良好；本文方法計(jì)算的面板應(yīng)力在芯層頂點(diǎn)位置與有限元一致，其他位置則比有限元結(jié)果偏大；由于波紋芯層與上下面板的相互作用，上下面板彎曲應(yīng)力沿波紋方向分布表現(xiàn)出振蕩性，越靠近外載荷作用點(diǎn)，振蕩振幅越大，本文方法計(jì)算的應(yīng)力分布恰好是有限元法結(jié)果中振蕩波峰點(diǎn)的光滑連線。這一點(diǎn)對(duì)工程設(shè)計(jì)而言，計(jì)算結(jié)果是偏于安全的；這也說明薄板范圍內(nèi)的波紋夾層板，高階剪切變形理論計(jì)算結(jié)果與一階剪切變形理論結(jié)果是基本一致的。

通過算例驗(yàn)證，在厚板范疇內(nèi)，集中載荷作用下的夾層板位移分布和x向應(yīng)力分布在遠(yuǎn)離載荷作用點(diǎn)時(shí)，本文方法和有限元方法計(jì)算結(jié)果差別較小，越靠近中心，兩種計(jì)算方法差別越大；y向應(yīng)力則僅在少數(shù)位置點(diǎn)時(shí)本文方法與有限元方法結(jié)果保持一致，多數(shù)位置差別較大。在平行于矩形板邊緣的橫剖面上，對(duì)于位移和應(yīng)力的分布峰值而言，本文方法結(jié)果普遍大于有限元結(jié)果。因此，在工程設(shè)計(jì)中，推薦采用高階理論算法校核波紋夾層板的位移和應(yīng)力。