成守堯，陳占壽*，娘毛措，汪肖陽

（1.青海師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，青海 西寧 810008；2.藏語智能信息處理及應(yīng)用國家重點實驗室，青海 西寧 810008）

變點是指隨機(jī)序列或過程中的某個位置或時刻，變點前、后的觀測值或數(shù)據(jù)服從不同的模型。變點問題早期應(yīng)用于工業(yè)質(zhì)量控制，后在其他領(lǐng)域中有所發(fā)展，如金融、經(jīng)濟(jì)、計算機(jī)、氣象學(xué)、流行病學(xué)等，引起廣泛關(guān)注。近年來，各種統(tǒng)計模型中的變點問題得到了較為深入的研究，主要變點類型有均值變點、方差變點、趨勢項變點等。本文主要研究時間序列模型趨勢項變點的檢驗問題，其早期研究可參見文獻(xiàn)[1]。HU?KOVá等[2]基于極大似然方法構(gòu)造了檢驗趨勢項變點的統(tǒng)計量，并采用Bootstrap方法近似計算了統(tǒng)計量的臨界值。秦瑞兵等[3]基于最小二乘估計殘差構(gòu)造了累積和（cumulative sum，CUSUM）型統(tǒng)計量檢驗趨勢項變點。JIANG等[4]提出了同時檢驗和估計趨勢項變點的SN-NOT方法，將自正則化方法與NOT算法[5]相結(jié)合，不僅顯著提升了檢驗效率和估計精度，而且將其成功應(yīng)用于多個國家新冠病毒感染確診人數(shù)趨勢變化分析。TAN等[6]提出了一種基于加權(quán)經(jīng)驗特征函數(shù)的方法，將其用于估計分布函數(shù)變點，并提出了一種參數(shù)自適應(yīng)驅(qū)動選擇方法，以選取合適的參數(shù)。上述均在獨立或短記憶模型的假設(shè)下研究變點，而有關(guān)長記憶時間序列模型變點的研究較少。

分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動[7]具有長記憶性，其長記憶性由Hurst指數(shù)刻畫。分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動可近似擬合具有長記憶性的數(shù)據(jù)，如水文數(shù)據(jù)、金融數(shù)據(jù)等，故其在水文[8]、金融[9-10]等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。WENGER 等[11]提出了固定帶寬的CUSUM檢驗并將其用于長記憶時間序列均值變點。長記憶時間序列模型變點檢驗方法與最新研究成果可參見文獻(xiàn)[12]。基于Wilcoxon 秩檢驗方法的穩(wěn)健性，WANG[13]研究了長記憶時間序列模型分布函數(shù)變點的檢驗問題，DEHLING等[14]提出了檢驗長記憶時間序列均值變點的 Wilcoxon秩方法，BETKEN[15]進(jìn)一步提出了自正則化的Wilcoxon秩方法檢驗長記憶時間序列均值變點，由于自正則化方法避免了長期方差估計，在使用時更簡便。WENGER等[16]通過改進(jìn)長期方差的估計提出了一種修正的Wilcoxon秩檢驗方法。

本文先對觀測序列做一階差分，再基于差分序列構(gòu)造Wilcoxon秩統(tǒng)計量，以檢驗分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動趨勢項變點，在原假設(shè)下推導(dǎo)檢驗統(tǒng)計量的極限分布，并用數(shù)值模擬方法得到檢驗統(tǒng)計量的臨界值。模擬結(jié)果表明，除Hurst指數(shù)較大情況外，給出的臨界值均能很好地控制經(jīng)驗水平，且經(jīng)驗勢隨樣本量的增大逐漸趨近于1，說明本文提出的檢驗分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動趨勢項變點的統(tǒng)計量是一致統(tǒng)計量。此外，模擬研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)樣本量較大時，本文方法對截距項變點和方差變點是穩(wěn)健的，即當(dāng)趨勢項不存在變點時，截距項變點和方差變點對檢驗幾乎無影響，經(jīng)驗水平仍接近檢驗水平；當(dāng)趨勢項存在變點時，截距項變點對經(jīng)驗勢的影響很小，而當(dāng)樣本量較小時，經(jīng)驗勢隨方差變點的增加而降低，但隨樣本量的增多，經(jīng)驗勢仍可趨于1。這意味著用本文方法做趨勢項變點檢驗時，當(dāng)數(shù)據(jù)中不存在趨勢項變點但存在截距項或方差變點時，不會拒絕不存在趨勢項變點的原假設(shè)，而當(dāng)數(shù)據(jù)中存在趨勢項變點時，不論是否存在截距項或方差變點，只要樣本量足夠大均能檢測到趨勢項變點。在實例分析中，對1854—1989年北半球經(jīng)季節(jié)調(diào)整后的1632個月均氣溫數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，檢驗結(jié)果表明，數(shù)據(jù)中不存在趨勢項變點，這進(jìn)一步驗證了已有研究結(jié)論。

1 模型與主要結(jié)果

2 數(shù)值模擬

表1 極限分布的上α分位數(shù)Table 1 Upper α quantile of the limit distribution

然后，研究統(tǒng)計量W n的有限樣本性質(zhì)。在式（1）中，由于假設(shè)截距項β0t是不變的，不失一般性，假設(shè)β0t=0，β1=1，即在無變點原假設(shè)下考慮數(shù)據(jù)：

的生成過程。在備擇假設(shè)下，數(shù)據(jù)生成過程為

取樣本容量n=50，100，300，500，趨勢項跳躍度Δ=0.05，0.10，考慮變點出現(xiàn)在靠前位置、中間位置、靠后位置3種情況，即取趨勢項變點位置參數(shù)λ=0.25，0.50，0.75。表2和表3分別為經(jīng)驗水平值和經(jīng)驗勢的模擬結(jié)果，所有模擬結(jié)果均在α=0.05檢驗水平下經(jīng)1000次循環(huán)得到。

表2 統(tǒng)計量Wn的經(jīng)驗水平值Table 2 The empirical size of statisticWn

表3 統(tǒng)計量Wn的經(jīng)驗勢Table 3 The empirical power of statisticWn

由表2知，當(dāng)Hurst指數(shù)較小時，經(jīng)驗水平值能被較好地控制，且樣本量越大，經(jīng)驗水平值越接近于0.05，這是因為隨著樣本量的增加，檢驗統(tǒng)計量Wn的經(jīng)驗分布越接近于其極限分布。然而，當(dāng)H=0.9時，經(jīng)驗水平值出現(xiàn)了較明顯的失真，幾乎達(dá)α的2倍，這是因為此時數(shù)據(jù)有很強(qiáng)的長記憶性，需要更大的樣本量才能較好地控制經(jīng)驗水平。

由表3知，隨著樣本量的增加，經(jīng)驗勢增大，且除了樣本量較少的情況外，經(jīng)驗勢幾乎能達(dá)到1。這說明統(tǒng)計量Wn是檢驗趨勢項變點的一致統(tǒng)計量。隨著Hurst指數(shù)增加，經(jīng)驗勢也增大。變點出現(xiàn)在中間位置λ=0.50的經(jīng)驗勢較變點出現(xiàn)在靠前位置λ=0.25或靠后位置λ=0.75的經(jīng)驗勢大，即變點越靠近中間位置越容易被檢驗到，這符合大部分后驗檢驗統(tǒng)計量的特點。隨著趨勢項跳躍度Δ的增加，經(jīng)驗勢也隨之增大，這符合直觀邏輯，因為趨勢項跳躍度越大，兩組數(shù)據(jù)的差異越明顯，越容易檢驗出趨勢項變點。

上述模擬均假設(shè)截距項β0t與誤差項的方差是固定不變的，但在實際問題中可能存在截距項變點和誤差項方差變點，此時可通過數(shù)值模擬分析截距項變點或誤差項方差變點對檢驗統(tǒng)計量的影響?？紤]數(shù)據(jù)：

的生成過程。假設(shè)截距項β0t在改變前、后的值分別為 0和β0，取β0=0.5，2.0；誤差項的方差變化由σ控制，σ在改變前、后的值分別為1和σ′，取σ′=0.5，2.0。同樣，模擬結(jié)果均在α=0.05檢驗水平下經(jīng)1000次循環(huán)得到，進(jìn)一步假設(shè)變點出現(xiàn)在[0.5n]處，討論以下4種情況。

情況1在無趨勢項變點原假設(shè)下，β0t在[0.5n]處由 0變?yōu)棣?；

情況2在無趨勢項變點原假設(shè)下，σ在[0.5n]處由 1變?yōu)棣摇洌?/p>

情況3在有趨勢項變點備擇假設(shè)下，β0t在[0.5n]處由 0變?yōu)棣?；

情況4在有趨勢項變點備擇假設(shè)下，σ在[0.5n]處由 1變?yōu)棣摇洹?/p>

由于情況3和情況4假設(shè)存在趨勢項變點，因此考慮取趨勢項變點位置參數(shù)λ=0.50，趨勢項跳躍度Δ=0.10。

情況1的模擬結(jié)果見表4，由表4知，該結(jié)果與表2中的模擬結(jié)果很接近，說明截距項β0t變點對經(jīng)驗水平值基本無影響。由于統(tǒng)計量Wn是基于一階差分?jǐn)?shù)據(jù)構(gòu)造的，而截距項變點對一階差分?jǐn)?shù)據(jù)的影響僅體現(xiàn)在變點上，因此統(tǒng)計量Wn對截距項變點穩(wěn)健是預(yù)期結(jié)果。

表4 情況1統(tǒng)計量Wn的經(jīng)驗水平值Table 4 The empirical size of statistic Wnin case 1

情況2的模擬結(jié)果見表5，由表5知，當(dāng)樣本量較大時，σ的改變對經(jīng)驗水平值的影響較??；當(dāng)H較大時，σ的改變會使得經(jīng)驗水平值略微增加，但除了H=0.9的情況外，基本上在可接受范圍內(nèi)。因此可以認(rèn)為，在樣本量較大時，本文方法對方差變點也是穩(wěn)健的。

表5 情況2統(tǒng)計量Wn的經(jīng)驗水平值Table 5 The empirical size of statistic Wnin case 2

由表6知，情況3的模擬結(jié)果與表3中Δ=0.10，λ=0.50的模擬結(jié)果很接近，表明截距項β0t變點對經(jīng)驗勢基本無影響。這亦是因為統(tǒng)計量Wn是基于一階差分?jǐn)?shù)據(jù)所構(gòu)造的，而截距項變點對一階差分?jǐn)?shù)據(jù)的影響只體現(xiàn)在變點上，所以統(tǒng)計量Wn對截距項變點是穩(wěn)健的。情況4的模擬結(jié)果見表7，由表3中 Δ=0.10，λ=0.50的模擬結(jié)果知，當(dāng)樣本量較小時，隨著方差的增加，經(jīng)驗勢明顯減小。這是因為方差增加，使得誤差項在數(shù)據(jù)中的占比增加，導(dǎo)致趨勢項的改變對數(shù)據(jù)的影響降低。在樣本量足夠大時，經(jīng)驗勢仍趨于1，因此可以認(rèn)為，在較大樣本量下，本文方法對方差變點同樣是穩(wěn)健的。

表6 情況3統(tǒng)計量Wn的經(jīng)驗勢Table 6 The empirical power of statistic Wnin case 3

表7 情況4統(tǒng)計量Wn的經(jīng)驗勢Table 7 The empirical power of statistic Wnin case 4

3 實例分析

將本文方法用于分析1854—1989年北半球經(jīng)季節(jié)調(diào)整的月均氣溫，共1632個觀測值，結(jié)果如圖1所示。

圖1 1854—1989年北半球經(jīng)季節(jié)調(diào)整的月均氣溫Fig.1 Seasonally adjusted monthly deviations of the northern hemisphere temperature from 1854 to 1989

首先，對原始序列Yt使用局部whittle估計法，得到其Hurst指數(shù)的估計值=0.6939，接近于0.7，此時在α=0.05處的臨界值約為0.247。然后，對原始數(shù)據(jù)Yt做一階差分得到序列Xt，基于序列Xt計算得到的檢驗統(tǒng)計量為0.0374，小于臨界值0.247，因此認(rèn)為該組數(shù)據(jù)中不存在趨勢項變點。

此前已有不少研究對該數(shù)據(jù)集進(jìn)行了分析，并得到不同結(jié)論，如DEO等[23]認(rèn)為數(shù)據(jù)存在趨勢項變點，WANG[24]則認(rèn)為沒有足夠的證據(jù)證明序列中存在趨勢項變點，SHAO[25]通過檢驗認(rèn)為序列存在均值變點。

4 結(jié) 論

關(guān)于趨勢項變點的檢驗問題，在獨立或短記憶模型假設(shè)下的研究較多，而在長記憶模型下的研究較少。本文研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動趨勢項變點的檢驗問題，提出了一種Wilcoxon秩檢驗方法，基于觀測數(shù)據(jù)的一階差分序列構(gòu)造了Wilcoxon秩統(tǒng)計量。在原假設(shè)下推導(dǎo)了檢驗統(tǒng)計量的極限分布。數(shù)值模擬結(jié)果驗證了本文方法在有限樣本下的有效性，且在樣本量足夠大的情況下對截距項變點和方差變點穩(wěn)健。