張文宇，幸榮盈，李國東

（桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004）

0 引言

大數(shù)據(jù)時(shí)代的發(fā)展有利有弊，信息高速傳遞的時(shí)候也導(dǎo)致了大量的安全漏洞，越來越多的學(xué)者也將保護(hù)數(shù)據(jù)化的隱私問題當(dāng)成核心研究。與文字信息相比，數(shù)字圖像相鄰像素間的相關(guān)性較大、所含信息容量大并且數(shù)據(jù)冗余性強(qiáng)，所以數(shù)字圖像加密不適合應(yīng)用傳統(tǒng)加密技術(shù)（如AES 和DES）。而混沌系統(tǒng)有偽隨機(jī)性和初始值很敏感等特性，很適合用來圖像加密，而應(yīng)用混沌系統(tǒng)對圖像加密也成為現(xiàn)代科研的熱點(diǎn)。趙洪祥等人[1]針對以往的Henon 映射存在的混沌空間小，在加密時(shí)安全性低的問題，對傳統(tǒng)的Henon 映射進(jìn)行了創(chuàng)新，并利用創(chuàng)新型Henon 映射對圖像進(jìn)行加密，其采用分塊的方式對圖像進(jìn)行加密處理，很大程度上減少了算法的運(yùn)行時(shí)間；馬開運(yùn)等人[2]針對明文圖像與加密密鑰無關(guān)引起的安全性問題，提出了將Logistic 映射所迭代的混沌序列和明文圖像相結(jié)合生成的密鑰當(dāng)作三維Chen 系統(tǒng)迭代的初始值，再運(yùn)用Fisher-Yates 算法對圖像進(jìn)行置亂操作，該算法可以抵御大多數(shù)攻擊；Wang 等人[3]針對低維混沌系統(tǒng)安全性不高，設(shè)計(jì)了一個(gè)新型的六維混沌系統(tǒng)，結(jié)合比特置亂和DNA 編碼技術(shù)對圖像進(jìn)行加密；Xian 等人[4]提出一種基于螺旋變換的置亂方法，該方法在一次加密過程中可以引起所有像素點(diǎn)位置的變化，巧妙地簡化了圖像置亂過程。擴(kuò)散算法利用兩個(gè)混沌序列來提高擴(kuò)散過程的效率。

對圖像加密常用的操作主要有兩種：（1）置亂，即打亂圖像像素點(diǎn)的初始位置；（2）擴(kuò)散，即改變圖像像素值的大小。目前，針對應(yīng)用混沌系統(tǒng)進(jìn)行圖像加密算法設(shè)計(jì)研究中所存在的混沌系統(tǒng)低維、加密步驟過于簡單而使安全性低以及加密步驟過于繁瑣而導(dǎo)致的加密效率不高等問題，本文改進(jìn)了Clifford 系統(tǒng)，并利用改進(jìn)的Clifford系統(tǒng)對圖像進(jìn)行加密。先將原圖的像素圖像轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制，再分別對行和列進(jìn)行循環(huán)位移置亂，然后對所得圖像進(jìn)一步分塊置亂，最后利用混沌序列進(jìn)行擴(kuò)散。仿真實(shí)驗(yàn)所得結(jié)果表明該算法具有較高的安全性，可以抵抗各種典型攻擊。

1 Clifford 系統(tǒng)

目前，Lyapunov 指數(shù)可以用來鑒定一個(gè)系統(tǒng)是否混沌的。若該指數(shù)為正值，則說明這個(gè)系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)；若存在兩個(gè)及以上大于零的Lyapunov 指數(shù)，那么可以說這個(gè)系統(tǒng)是超混沌的[5-7]。

Clifford 系統(tǒng)的表達(dá)式如下：

當(dāng)給出式（2）的初始值時(shí)，系統(tǒng)（1）處于超混沌狀態(tài)。

此時(shí)，使用雅克比矩陣乘積方法計(jì)算出系統(tǒng)的近似Lyapunov 指數(shù)分別為0.0836、0.2924 和0.4518[5]。因此，可以將Clifford 系統(tǒng)用于圖像加密。利用式（2）的參數(shù)和初始值，將Clifford 系統(tǒng)迭代1 000 次的混沌吸引子圖如圖1 和圖2 所示。

圖1 Clifford 系統(tǒng)

圖2 Clifford 系統(tǒng)X、Y 方向相圖

由圖1 可以看出混沌吸引子中間是空心的，有一塊空白區(qū)域；圖2 是Clifford 系統(tǒng)在X、Y 方向的分布，可以看出混沌系統(tǒng)的分布并不均勻。

2 基于改進(jìn)Clifford 系統(tǒng)的偽隨機(jī)序列發(fā)生器設(shè)計(jì)

2.1 改進(jìn)的Clifford 系統(tǒng)

由于Clifford 系統(tǒng)的控制參數(shù)有5個(gè)，那么用其進(jìn)行混沌加密時(shí)所需設(shè)置的密鑰會比較多。所以針對Clifford系統(tǒng)混沌吸引子分布不均且初始參數(shù)較多這兩點(diǎn)問題，對Clifford 系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)，讓它的分布比較均勻并且減少控制系統(tǒng)的參數(shù)。改進(jìn)的Clifford 系統(tǒng)表達(dá)式如式（3）所示。

利用式（4）作為改進(jìn)Clifford 系統(tǒng)的迭代的初始值，圖3 是改進(jìn)Clifford 系統(tǒng)的混沌吸引子圖。

圖3 改進(jìn)Clifford 系統(tǒng)

由圖3 與圖4 可觀察到改進(jìn)的Clifford 系統(tǒng)在空間上的分布更加均勻、遍歷性更好。此時(shí)，計(jì)算出的系統(tǒng)近似的Lyapunov 指數(shù)為0.2213、0.2187、0.1878，說明改進(jìn)的Clifford 系統(tǒng)是超混沌系統(tǒng)，具有良好的混沌特性，適合用來進(jìn)行圖像加密。

圖4 改進(jìn)Clifford 系統(tǒng)X、Y 方向相圖

由圖1 可以看出混沌吸引子中間是空心的，有一塊空白區(qū)域，圖2 是Clifford 系統(tǒng)在X、Y 方向的分布，可以看出混沌系統(tǒng)的分布并不均勻。

2.2 偽隨機(jī)序列的獲取

為了增加密鑰敏感性，達(dá)到一圖一密的效果，將明文圖像和密鑰聯(lián)系起來，根據(jù)明文圖像得到混沌系統(tǒng)迭代的初始值。給定一個(gè)m×n 平面圖像A，計(jì)算A 中像素的均值m0，根據(jù)式（3）計(jì)算混沌系統(tǒng)（2）的初始值x1、x2、x3。

令混沌系統(tǒng)的初始控制參數(shù)為a=3.89，b=0.51，c=2.73，迭代混沌系統(tǒng)（3）200+m×n次，為了消除瞬態(tài)效應(yīng)，拋棄前200 個(gè)值生成3 個(gè)混沌序列X、Y 和Z，其中，每個(gè)混沌序列所包含m×n 個(gè)元素。為了解決混沌序列所存在的局部連續(xù)性問題，對混沌序列X 和Y 做離散化處理如式（6）和式（7）所示，得到T1和T2兩個(gè)混沌序列。選擇混沌序列T1的奇數(shù)項(xiàng)元素和T2的偶數(shù)項(xiàng)元素構(gòu)成序列D1。

并對于序列D1做以下處理：

將混沌序列X 的每個(gè)元素與混沌序列Y 的每個(gè)元素對應(yīng)相乘構(gòu)成混沌序列D2，選取D2的后8 個(gè)數(shù)構(gòu)成序列D3并對序列D3做以下處理：

其中，abs（·）表示取絕對值，fix（·）表示向0 靠近取整，ceil（·）表示向上取整，mod（·）是取模運(yùn)算。

3 基于改進(jìn)Clifford 系統(tǒng)的隨機(jī)分塊置亂算法設(shè)計(jì)

在混沌序列X 中選取前8 個(gè)偶數(shù)項(xiàng)元素組成一維向量XS=（xs1，xs2，xs3，xs4，xs5，xs6，xs7，xs8），并對序列XS進(jìn)行處理，如式（10）所示。

令d=max（B1（2i-1），B1（2i））+1，其中，max（·）是取最大值函數(shù)，i=1，2，3，4，d 是一個(gè)1×4 的一維向量。

利用將圖像分為9 個(gè)尺寸不同的矩陣塊，具體分塊模型如圖5 所示。

圖5 分塊模型

在混沌序列Y 中選取前9 個(gè)奇數(shù)項(xiàng)元素組成一維向量YS=（ys1，ys2，ys3，ys4，ys5，ys6，ys7，ys8，ys9），然后對YS中的元素進(jìn)行升序排列，記其索引序列為S0，再將S0按照一列接一列的方式重構(gòu)成3×3 大小的索引矩陣S，使用索引矩陣S 對矩陣塊進(jìn)行置亂操作，具體塊置亂情況如圖6 所示。

圖6 塊間置亂

依次統(tǒng)計(jì)每一個(gè)矩陣塊中奇數(shù)像素的個(gè)數(shù)u1和偶數(shù)像素的個(gè)數(shù)u2，如果u1＞u2，則對其矩陣塊中的元素按照列逆時(shí)針循環(huán)移動(dòng)一位；如果u1＜u2，則對其矩陣塊中的元素按照行順時(shí)針循環(huán)移動(dòng)一位。把每一個(gè)矩陣塊內(nèi)部的像素點(diǎn)按照一列接一列的方式重構(gòu)成一維行向量。再將所有的行向量組合成一個(gè)大小為1×mn 的一維行向量，最后將這個(gè)一維向量重構(gòu)成大小為m×n 的矩陣Q，則Q 為置亂后的圖像。

4 加密算法設(shè)計(jì)

4.1 加密算法

（1）基于原圖像素矩陣A 計(jì)算混沌系統(tǒng)的初始值，并將A 轉(zhuǎn)化為一維向量P=（p1，p2，…，pm×n）。

（2）將P 轉(zhuǎn)為二進(jìn)制矩陣得到矩陣A1，A1第i 行行向量按照順時(shí)針循環(huán)移動(dòng)B1（i）個(gè)位置得到A2，再將A2第j 列列向量按照順時(shí)針循環(huán)移動(dòng)B2（j）個(gè)位置得到矩陣A3。

（3）把A3轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制矩陣，并將按照一列接一列的方式將其重構(gòu)為大小為m×n 的矩陣A4，利用向量d將A4劃分為9 個(gè)大小不同的矩陣塊，用上述的隨機(jī)分塊置亂算法對A4進(jìn)行像素置亂得到A5。

（4）對混沌序列Z 進(jìn)行以下處理：

其中，floor（·）表示向下取整。將T3重構(gòu)成一個(gè)m×n 大小的混沌矩陣F 進(jìn)行擴(kuò)散變換，具體操作如下所示：

則H 為最終的密文圖像，其中⊕表示異或操作，圖7是本文加密算法的流程圖。

圖7 加密流程圖

4.2 解密算法

解密算法是加密算法的逆過程，先由密文圖像像素矩陣H 與F 進(jìn)行異或運(yùn)算，然后對擴(kuò)散后的圖像進(jìn)行分塊置亂的逆運(yùn)算，再將所得矩陣轉(zhuǎn)成二進(jìn)制進(jìn)行循環(huán)位移逆操作，最后把二進(jìn)制矩陣轉(zhuǎn)成十進(jìn)制矩陣就是最終解出來的明文圖像。

5 仿真實(shí)驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證本文加密算法的安全性，選擇256×256 的“Lena”“Cameraman”“Airplane”圖像，明文圖像如圖8（a）、（b）、（c）所示，密文圖像如圖8（d）、（e）、（f）所示。加密后的密文圖像呈現(xiàn)出雪花狀的噪聲信號形式，完全看不出原圖的特征。

圖8 仿真結(jié)果

5.1 密鑰空間

本文中，明文圖像像素均值m0和混沌系統(tǒng)控制參數(shù)a、b、c 組成了算法的密鑰。若m0全部可取的值為m0′，并且使用精度1016來估計(jì)，則密鑰空間可達(dá)1048×m0′。由此可見本文算法的密鑰空間足夠大。

5.2 統(tǒng)計(jì)分析

5.2.1 直方圖

明文圖像像素灰度值的分布普遍都具有一定的特點(diǎn)。因此，若圖像像素灰度值分布得越勻稱表明算法越有效。圖9 是Lena 圖像明文和密文的直方圖。圖9（a）反映出像素值分布的平滑、均勻程度都很差；而圖9（b）密文圖像像素直方圖分布比較平緩，分布均勻。由此看出本文算法不會輕易被破解。

圖9 明密文圖像直方圖

5.2.2 相鄰像素相關(guān)性分析

若加密后圖像相鄰像素對的相關(guān)系數(shù)幾乎為0，那么說明算法的置亂功效不錯(cuò)。

圖10 是Lena 明文和密文圖像相鄰像素在水平方向上的分布情況。由圖10（a）可以看出明文圖像相鄰像素對基本分布在一條直線上，說明相鄰像素的相關(guān)性很強(qiáng)；而圖10（b）密文圖像相鄰像素對均勻分布在矩形區(qū)域內(nèi)，說明相鄰像素對間幾乎沒有相關(guān)性。

圖10 明密文圖像水平方向相關(guān)分布情況

表1 是本文算法加密后的Lena 圖像相鄰像素對之間的相關(guān)系數(shù)，加密后圖像相鄰像素的相關(guān)系數(shù)基本接近于0，說明本文算法可以進(jìn)行有效的加密。

表1 相關(guān)系數(shù)

5.3 信息熵分析

信息熵反映圖像信息的不確定性[6]，計(jì)算公式為：

其中，p（i）表示像素灰度值為i 出現(xiàn)的概率。對于一幅8 bit的灰度圖像，信息熵理論值為8。表2 給出了應(yīng)用本文算法對Lena 和Airplane 進(jìn)行加密得到的信息熵，相較于其他文獻(xiàn)更接近于8。由此可見，本文算法加密的圖像能抵御熵攻擊。

表2 信息熵

5.4 差分攻擊測試

差分攻擊是檢驗(yàn)算法對明文敏感性的重要分析法。一般用像素變化率（NPCR）來度量加密算法對明文圖像的敏感程度，NPCR 的計(jì)算公式如下：

其中，M 表示原始圖像的寬，N 表示原始圖像的長。對于有效加密算法，NPCR 值理論上接近0.996 1[7]。表3 是Lena 圖像加密不同次數(shù)所計(jì)算的NPCR 值。

由表3 可知本文算法的NPCR 平均值為99.5949%，本文算法對明文圖像敏感，能夠有效地抵抗差分攻擊。

表3 明文敏感性測試結(jié)果

6 結(jié)論

本文提出了一種基于改進(jìn)Clifford 系統(tǒng)的圖像加密新算法，對Clifford 系統(tǒng)做出改進(jìn)，從混沌吸引子圖和Lyapunov指數(shù)說明改進(jìn)的Clifford 系統(tǒng)的混沌特性。利用改進(jìn)的Clifford 系統(tǒng)所迭代的3 個(gè)混沌序列對圖像進(jìn)行加密。首先，將明文圖像轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制，分別對行和列進(jìn)行循環(huán)位移操作；然后將圖像化分為9 個(gè)大小不同的矩陣塊，矩陣塊的大小是根據(jù)混沌序列的元素變化而變化的，并且結(jié)合混沌序列的索引序列進(jìn)行塊間置亂；再利用循環(huán)位移對每個(gè)塊內(nèi)的像素點(diǎn)進(jìn)行置亂，既保證了每個(gè)像素點(diǎn)發(fā)生變化，又提高了處理圖像的效率；最后，利用剩余的混沌序列與置亂后的圖像進(jìn)行異或運(yùn)算得到最終的密文圖像。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果以及安全性分析表明，該算法具有以下特點(diǎn)：（1）改進(jìn)的Clifford 系統(tǒng)具有良好的混沌特性，其生成的混沌序列可用于圖像加密領(lǐng)域；（2）可以抵抗各種攻擊，不會被攻擊者輕易破解，具有較高的安全性。