夏群 鄧文基

(華南理工大學(xué)物理與光電學(xué)院，廣州 510641)

1 引言

眾所周知，物理系統(tǒng)總是與具有特殊頻率的驅(qū)動(dòng)發(fā)生共振，該特殊頻率接近或正是該系統(tǒng)的固有頻率(本征頻率).簡(jiǎn)諧振子的受迫振動(dòng)是有關(guān)共振效應(yīng)的原始模型[1]，其以簡(jiǎn)單的微分方程描述了共振的基本原理和主要特征，為分析其他復(fù)雜的共振現(xiàn)象提供了必要的概念和清晰的物理圖像.

根據(jù)量子輸運(yùn)的Landauer-Buttiker 理論[2，3]，樣品的電導(dǎo)簡(jiǎn)單地正比于費(fèi)米面附近電子的透射率，小量子系統(tǒng)的電導(dǎo)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的量子散射或量子隧穿問(wèn)題.介觀物理已經(jīng)揭示了各種小量子系統(tǒng)和人工微結(jié)構(gòu)中電子的能量本征值與電導(dǎo)峰之間存在類似的共振關(guān)系，即當(dāng)入射電子的能量接近小量子系統(tǒng)中電子的某個(gè)能量本征值，它的透射率顯著增大;進(jìn)一步研究還發(fā)現(xiàn)，改變引線與樣品之間的耦合強(qiáng)度，可以顯著地調(diào)控透射峰大小、形狀和中心能量的位置;電導(dǎo)測(cè)量為研究樣品的電子束縛態(tài)提供了一種可能方案[4-11].

通過(guò)電導(dǎo)測(cè)量確認(rèn)超導(dǎo)-半導(dǎo)體異質(zhì)納米線體系中的Majorana 準(zhǔn)粒子也涉及對(duì)Majorana 零模電導(dǎo)峰的進(jìn)一步研究和解讀[12，13].此外還研究了量子點(diǎn)與有限晶格耦合系統(tǒng)的電導(dǎo)性質(zhì)，并發(fā)現(xiàn)改變樣品-引線耦合強(qiáng)度將改變零能附近電導(dǎo)峰的數(shù)目[14，15];有限晶格與兩端引線之間的量子點(diǎn)或勢(shì)壘可以有效地調(diào)控樣品與引線之間的耦合強(qiáng)弱，并展示邊緣態(tài)與體態(tài)的不同響應(yīng);更簡(jiǎn)單有效地調(diào)控理想引線與晶格樣品耦合強(qiáng)度是改變引線與樣品最鄰近格點(diǎn)原子之間的躍遷能.

本文研究有限Su-Schriefer-Heeger(SSH)晶格[16]的體態(tài)和邊緣態(tài)的電導(dǎo)峰.有限SSH 晶格是能夠?qū)崿F(xiàn)拓?fù)湎嘧兒腕w態(tài)與邊緣態(tài)共存的最簡(jiǎn)單一維晶格模型，已經(jīng)得到了廣泛的研究[17-27].但是引線-樣品耦合強(qiáng)度對(duì)有限SSH 晶格電導(dǎo)峰的調(diào)制作用尤其是體態(tài)和邊緣態(tài)電導(dǎo)峰對(duì)耦合強(qiáng)度變化的不同響應(yīng)還沒(méi)有相關(guān)研究，有限SSH 晶格電導(dǎo)與能量本征值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系尚未被揭示.基于推廣的Bloch 定理[28，29]，本工作不僅提高了數(shù)值求解孤立有限SSH 晶格系統(tǒng)的能量本征值和電導(dǎo)問(wèn)題的效率，而且還得到系統(tǒng)電導(dǎo)和能量本征值的解析表達(dá)式，同時(shí)對(duì)已有的有限SSH 晶格的波函數(shù)[17]進(jìn)行進(jìn)一步簡(jiǎn)化;它們普遍適用于從弱耦合極限到強(qiáng)耦合極限的全參數(shù)空間，為揭示有限晶格的電導(dǎo)峰與束縛態(tài)能量之間錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系提供了可靠的保證.

本工作描述了有限SSH 晶格的緊束縛模型，并給出單電子Schrodinger 方程，以及有關(guān)能量本征值問(wèn)題和量子散射問(wèn)題的主要公式;集中研究了邊緣態(tài)和體態(tài)對(duì)引線-樣品耦合強(qiáng)度變化的不同響應(yīng).

2 模型和公式

在緊束縛近似下，晶格中單電子波函數(shù)的定態(tài)Schrodinger 方程可普遍寫作:

其中εα和tα，β分別是α格點(diǎn)的座能量和從格點(diǎn)α到β的躍遷能，下標(biāo)α遍歷所有格點(diǎn)，〈α，β〉表示對(duì)格點(diǎn)β的求和限于格點(diǎn)α的最近鄰.

考察一段孤立的有限SSH 晶格，如圖1(a)所示，n標(biāo)識(shí)原胞序數(shù).該系統(tǒng)由N個(gè)完整原胞組成，每個(gè)原胞包含A，B兩個(gè)不等價(jià)的格點(diǎn)，座能量均設(shè)為εA=εB=0，其中tv和tw分別是原胞內(nèi)和原胞間最近鄰格點(diǎn)的躍遷能，取正實(shí)數(shù)值.圖1(b)為研究電導(dǎo)和量子散射問(wèn)題的示意圖，樣品兩端分別接入半無(wú)限長(zhǎng)引線，n≤0 和n≥2N+1 分別標(biāo)識(shí)左右兩端半無(wú)限長(zhǎng)引線中的格點(diǎn).設(shè)理想引線中的躍遷能為1，座能量為 0，引線與樣品最近鄰原子間的躍遷能稱為引線-樣品耦合強(qiáng)度，記作t0，1=t2N，2N+1=τ，是調(diào)控電導(dǎo)峰的大小和形狀的重要參數(shù).

圖1 (a)有限SSH 晶格示意圖;(b)引線和有限SSH 晶格耦合系統(tǒng)示意圖.紅色圓點(diǎn)表示A 原子，藍(lán)色表示B 原子，黃色表 示引線 中的原 子，tv 表示原 胞內(nèi)躍遷能，t w 表 示原胞間躍遷能Fig.1.(a) Schematic diagram of the finite SSH lattice;(b)schematic diagram of lead and finite SSH lattice coupling system.The red dot represents the A atom，the blue dot represents the B atom，and the yellow dot represents the atom in the lead;tv indicates the intracell hopping，and tw indicates intercell hopping.

2.1 有限SSH 晶格的體態(tài)與邊緣態(tài)

考慮有限SSH 晶格中電子的能量本征值問(wèn)題，Schrodinger 方程(1)改寫為

其中原胞序數(shù)n=1，2，···，N，且附加邊條件:

根據(jù)推廣的Bloch 定理[28，29]，方程(2)的嘗試解可設(shè)為

其中φA和φB分別是波函數(shù)在A和B格點(diǎn)處的概率幅，k是依賴于能量本征值E的待定參數(shù).將(4)式代入方程(2)可得:

對(duì)應(yīng)給定波矢k可得到正負(fù)兩個(gè)能量本征值:

相應(yīng)的本征態(tài)波函數(shù)滿足:

與理想無(wú)限系統(tǒng)不同，有限系統(tǒng)中本征態(tài)的波矢可以是復(fù)數(shù)，即k=β+iα，其中β和α分別表示波矢的實(shí)部和虛部，且(6)式可以改寫為

不難證明[17]:若要保證能量本征值為實(shí)數(shù)，波矢的取值必須受到進(jìn)一步的限制，即

1) 或者波矢為實(shí)數(shù)，α=0 .此時(shí)由(8)式得到的能量本征值均處于理想無(wú)限晶格的能帶中，可以嘗試將波矢分別為k和-k的這樣兩個(gè)能量簡(jiǎn)并的行波線性組合為具有同一本征能量的駐波，即:

代入邊界條件(3)式，可得:

這意味著:

它不僅可以給出波矢k的量子化條件:

而且還給出相應(yīng)束縛態(tài)波函數(shù)的解析表達(dá)式:

這是隨空間周期振蕩的體態(tài)波函數(shù)，其中C為歸一化常數(shù).

2) 或者β=(2m+1)π/2，其中m為任意整數(shù).此時(shí)由(8)式得到的能量本征值均將處于理想無(wú)限晶格的兩個(gè)能帶之間的禁帶中，依然可以嘗試將(9)式中波矢分別為k=π/2+iα和k=-π/2-iα的兩個(gè)能量簡(jiǎn)并的本征波函數(shù)線性組合為具有相同能量且滿足邊條件(3)式的本征態(tài)，其波矢的量子化條件更新為

波函數(shù)為

這是典型的邊緣態(tài)波函數(shù)，主要集中分布在有限晶格的兩端，并隨深入晶格的距離指數(shù)衰減.

3) 或者β=mπ .此時(shí)由式(8)得到的能量本征值均處于理想無(wú)限晶格上能帶的上方或者下能帶的下方，并且任何兩個(gè)這樣能量簡(jiǎn)并的能量本征態(tài)都無(wú)法線性疊加得到滿足邊條件式(3)的波函數(shù).

改變SSH 晶格中原胞內(nèi)和原胞間的最近鄰格點(diǎn)躍遷能tv和tw的值可以實(shí)現(xiàn)拓?fù)淞孔酉嘧?，但包含N個(gè)完整原胞的有限SSH 晶格中電子正交歸一能量本征態(tài)的總數(shù)總是保持為 2N.若tv ＞tw，則方程(12)在開(kāi)區(qū)間 (0，π/2) 內(nèi)的N個(gè)實(shí)數(shù)解k1，k2，···，kN可按(9)式疊加成 2N個(gè)能量本征態(tài)，方程(14)沒(méi)有非零解;若tv ＜tw，方程(12)在開(kāi)區(qū)間 (0，π/2) 內(nèi)只有N-1 個(gè)實(shí)數(shù)解，它們?nèi)匀豢梢园?9)式線性疊加得到 2 (N -1) 個(gè)能量本征體態(tài)波函數(shù)，此時(shí)缺失的2 個(gè)能量本征態(tài)正是(15)式給出的邊緣態(tài)，方程(14)恰好存在一對(duì)大小相等、符號(hào)相反的實(shí)數(shù)解.不難想象，體態(tài)和邊緣態(tài)迥然不同的波函數(shù)形式將以顯著不同的方式影響其對(duì)應(yīng)的透射峰和電導(dǎo)峰.

2.2 SSH 晶格的電導(dǎo)

根據(jù)Landauer-Buttiker 公式:

計(jì)算電導(dǎo)需要考慮圖1(b)所示“引線-樣品-引線”系統(tǒng)中電子的散射問(wèn)題，分別以左右兩端理想引線作為源和漏的電子庫(kù).在緊束縛近似下，理想引線中電子的能量本征方程為

入射電子能量-波矢色散關(guān)系為

引線中的波函數(shù)可一般地設(shè)為

其中r和s分別是反射系數(shù)和透射系數(shù)，由左右引線與SSH 晶格耦合處，即n=0，1，2N，2N+1 格點(diǎn)的Schrodinger 方程確定，即:

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，已假設(shè)左右兩端引線與樣品的耦合強(qiáng)度相同，即t0，1=t2N，2N+1=τ.將(9)和(19)式中的電子波函數(shù)代入(20)式不僅可以極大地簡(jiǎn)化數(shù)值計(jì)算，而且還可得到透射系數(shù)的解析表達(dá)式，即:

其中

對(duì)左端理想引線中能量為E的入射電子，它的實(shí)波矢k0由(18)式所確定;進(jìn)入樣品后，電子的波矢k一般是復(fù)數(shù)，可以具有非零的虛部，由色散關(guān)系(6)式或(8)式確定.可以嚴(yán)格證明:在τ→0 弱耦合極限下，測(cè)量電導(dǎo)峰可以精確地確定有限SSH晶格中電子的全部束縛態(tài)能量本征值，包括全部體態(tài)和邊緣態(tài).

若入射電子的能量處于理想SSH 晶格的兩個(gè)能帶中，即:

則波矢k取實(shí)數(shù).由(21)和(22)式可知，若要，必須c3=0，恰好給出包含N個(gè)完整原胞的有限SSH 晶格中體態(tài)波矢k的量子化條件(12).所以，在弱耦合極限下，只有當(dāng)入射電子的能量恰好等于有限SSH 晶格體態(tài)能量本征值時(shí)才發(fā)生共振透射.

若電子的能量處于兩個(gè)能帶之間的禁帶中，即:

則k=(2m+1)π/2+iα，(21)和(22)式將分別改寫為

同理，若要透射系數(shù)不為零，再次給出包含N個(gè)完整原胞的有限SSH 晶格中邊緣態(tài)波矢k的量子化條件(14).換句話說(shuō)，在弱耦合極限下，只有當(dāng)入射電子的能量恰好等于有限SSH 晶格邊緣態(tài)能量時(shí)才能通過(guò)指數(shù)衰減型透射產(chǎn)生透射峰.

若入射電子的能量處于SSH 晶格上能帶的上方或下能帶的下方，即:

則k=mπ +iα;透射系數(shù)的解析表達(dá)式(21)和(22)將改寫為

此時(shí)，在τ→0 弱耦合極限下，透射系數(shù)始終為零，無(wú)對(duì)應(yīng)的電導(dǎo)峰.

有趣的是，透射系數(shù)解析表達(dá)式(21)可以改寫為

若入射電子能量處于SSH 晶格禁帶內(nèi)，則必須滿足

才有可能到達(dá)右端引線.若入射電子的能量處于SSH 晶格上能帶的上方或下能帶的下方，總有c1/=0，即在τ→+∞強(qiáng)耦合極限下，透射系數(shù)始終為0，無(wú)對(duì)應(yīng)的電導(dǎo)峰.

對(duì)比(12)和(14)式，它們分別是包含N個(gè)完整原胞的孤立SSH 晶格體態(tài)和邊緣態(tài)的波矢k的量子化條件，不難看出式(31)和(32)分別是由N -1 個(gè)完整原胞構(gòu)成的有限SSH 晶格的體態(tài)和邊緣態(tài)的波矢k的量子化條件，但調(diào)換了原胞內(nèi)和原胞間最近鄰躍遷能，即tv?tw.當(dāng)然，也可以更簡(jiǎn)單地由原來(lái)包含N個(gè)完整原胞的SSH 晶格去掉左右兩端原子得到這個(gè)新的有限SSH 晶格.所以，在τ→∞強(qiáng)耦合極限下，只有能量恰好等于不包含兩端原子的有限SSH 晶格的體態(tài)或邊緣態(tài)的能量本征值的入射電子才能透射到有限SSH 晶格樣品的另一側(cè).

有限SSH 晶格電導(dǎo)峰和能量本征值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系類似于共振效應(yīng)，當(dāng)入射電子能量與樣品的能量本征值一致時(shí)就會(huì)發(fā)生共振透射.但是引線與SSH 晶格的耦合會(huì)影響樣品的能量本征值，導(dǎo)致樣品的能量本征值與孤立晶格的能量本征值不一致.不難理解，耦合強(qiáng)度越弱影響越小，對(duì)于弱耦合極限，這種影響可以忽略不計(jì)，因此電導(dǎo)峰的位置與孤立晶格的能量本征值精確對(duì)應(yīng);對(duì)于強(qiáng)耦合極限，相當(dāng)于SSH 晶格左右端點(diǎn)并入引線，形成一個(gè)少了一個(gè)原胞的新的SSH 晶格，新晶格與新引線相當(dāng)于弱耦合，所以強(qiáng)耦合極限下，電導(dǎo)峰是與新晶格的能量本征值相對(duì)應(yīng)的.在中間耦合區(qū)，電導(dǎo)峰和孤立晶格的能量本征值不再有對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而導(dǎo)致電導(dǎo)峰位置發(fā)生偏移并且展寬變形.

3 電導(dǎo)峰的耦合強(qiáng)度效應(yīng)

改變引線-樣品耦合強(qiáng)度將顯著地影響樣品電導(dǎo)峰的大小、形狀和位置.上一節(jié)解析地討論了在τ →0 弱耦合極限和τ→∞強(qiáng)耦合極限下的電導(dǎo)譜，若要進(jìn)一步定量地研究電導(dǎo)峰的耦合強(qiáng)度效應(yīng)，則需要采用數(shù)值計(jì)算方法;不失代表性，本文只給出N=10 的數(shù)值結(jié)果.

首先考察tv=tw的SSH 晶格，此時(shí)它退化為包含偶數(shù)(2N)個(gè)原子的簡(jiǎn)單晶格，所有格點(diǎn)的最近鄰躍遷能相同，記作t.由Bloch 定理可得簡(jiǎn)單晶格的色散關(guān)系為

受邊條件限制，波矢只能取 2N個(gè)分離值，即:

且相應(yīng)的定態(tài)波函數(shù)為

以及與式(21)類似的簡(jiǎn)單晶格透射系數(shù)公式，即:

圖2 給出了躍遷能t=0.8，包含 2N=20 個(gè)格點(diǎn)的簡(jiǎn)單晶格的電導(dǎo)譜.若非特別關(guān)注耦合強(qiáng)度效應(yīng)，通常直接將理想引線連接到樣品兩端，即取τ=1 .此時(shí)電導(dǎo)峰與孤立系統(tǒng)束縛態(tài)能量本征值的關(guān)系并不十分明確，雖然電導(dǎo)峰出現(xiàn)在本征能量附近，但偏差大，尖峰也不明晰，如圖2(a)所示.耦合強(qiáng)度減弱可以調(diào)控電導(dǎo)峰變窄;當(dāng)τ=0.3 時(shí)，20 個(gè)電導(dǎo)峰已經(jīng)足夠尖銳并與孤立系統(tǒng)的能量本征值一一對(duì)應(yīng)，如圖2(b)所示.反之，耦合強(qiáng)度增大，電導(dǎo)峰再次變窄;當(dāng)τ=3 時(shí)，18 個(gè)電導(dǎo)峰已足夠尖銳并與包含 2N -2=18 個(gè)原子的簡(jiǎn)單晶格的18 個(gè)能量本征值一一對(duì)應(yīng)，如圖2(c)所示.

圖2 不同耦合強(qiáng)度有限簡(jiǎn)單晶格的電導(dǎo)譜，其中格點(diǎn)數(shù)2N=20，躍遷能 t=0.8Fig.2.Conductance spectrum of the finite simple lattice with different coupling strengths，where the number of sizes 2N=20，hopping t=0.8 .

再考慮tv ＜tw的情形，此時(shí)有限SSH 晶格是最簡(jiǎn)單的拓?fù)浣^緣體，除了 2N -2 個(gè)體態(tài)之外，還會(huì)在零能附近出現(xiàn)一對(duì)邊緣態(tài).與圖2(a)類似，在τ=1 的常規(guī)耦合情形下，圖3(a)中的電導(dǎo)峰不夠尖銳，而且明顯偏離體態(tài)能量本征值;更嚴(yán)重的是，在零能附近看不到邊緣態(tài)的任何電導(dǎo)峰信號(hào).但若耦合強(qiáng)度足夠弱，例如取τ=0.3，電導(dǎo)峰變窄并靠近能量本征值，與邊緣態(tài)對(duì)應(yīng)的電導(dǎo)峰雖然很低，但已清晰可見(jiàn)，如圖3(b)所示.相反的，若耦合強(qiáng)度足夠大，例如取τ=3，電導(dǎo)峰也會(huì)變得尖銳而明晰，但是零能附近不再出現(xiàn)邊緣態(tài)電導(dǎo)峰，如圖3(c)所示.這與2.2 節(jié)的分析一致，因?yàn)樵趶?qiáng)耦合極限下，電導(dǎo)峰反映的是去掉首尾兩個(gè)原子的有限SSH 晶格的束縛態(tài)能量本征值，而不是原來(lái)包含N個(gè)完整原胞的SSH 晶格;由于tv?tw對(duì)調(diào)，新的有限SSH 晶格沒(méi)有零能附近的邊緣態(tài).

作為對(duì)比，圖3(d)—(f)分別給出了tv=1，tw=0.7，即tv ＞tw情形的計(jì)算結(jié)果.此時(shí)由N=10 個(gè)原胞構(gòu)成的有限SSH 晶格沒(méi)有邊緣態(tài)，但是去掉首尾兩個(gè)格點(diǎn)后，實(shí)現(xiàn)了tv?tw對(duì)調(diào)，由N -1=9個(gè)原胞構(gòu)成的新的有限SSH 晶格擁有一對(duì)零能附近的邊緣態(tài).

圖3 完整原胞數(shù) N=10 時(shí)有限SSH 晶格的電導(dǎo)譜(a)—(c)躍遷能 t v=0.7，t w=1 ，τ=1，0.3，3 ;(d)—(f)躍遷能 t v=1，t w=0.7，τ=1，0.3，3.Fig.3.Conductance spectrum of the finite SSH lattice with the number of cells N=10 :(a) —(c) t v=0.7，tw=1，τ=1，0.3，3 ;(d)—(f) t v=1，tw=0.7，τ=1，0.3，3. .

由2.2 節(jié)的解析討論可知，在τ→0 弱耦合極限或者τ→∞強(qiáng)耦合極限下，有限晶格的電導(dǎo)峰才會(huì)變得非常尖銳，并反映相應(yīng)有限SSH 晶格的體態(tài)和邊緣態(tài)的能級(jí)結(jié)構(gòu).實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬當(dāng)然不會(huì)取τ→0 或τ→∞極限，但只要耦合強(qiáng)度足夠弱，例如τ=0.01，或足夠強(qiáng)，例如τ=15，電導(dǎo)譜的尖峰結(jié)構(gòu)已經(jīng)與其理想極限相差無(wú)幾，如圖4 所示.

圖4 弱耦合與強(qiáng)耦合極限下，N=10 時(shí)有限SSH 晶格的電導(dǎo)譜 (a)(b) t v=0.7，tw=1 ;(c) (d) tv=1，tw=0.7Fig.4.Conductance spectrum of the finite SSH lattice under the weak coupling limit and strong coupling limit with N=10 :(a) (b) t v=0.7，tw=1 ;(c)(d) t v=1，tw=0.7 .

電導(dǎo)峰對(duì)耦合強(qiáng)度變化的不同響應(yīng)還是甄別體態(tài)和邊緣態(tài)的重要途徑.圖5 專門展示了耦合強(qiáng)度對(duì)特定體態(tài)和邊緣態(tài)電導(dǎo)峰形狀、大小和位置的不同調(diào)控過(guò)程.圖5(a)和(b)展示了包含N=10個(gè)原胞且躍遷能tv=0.7，tw=1 的SSH 晶格中能量本征值E=0.4344 的一個(gè)體態(tài)電導(dǎo)峰隨耦合強(qiáng)度的演變.當(dāng)τ=0.01 時(shí)，尖銳的電導(dǎo)峰精確地與此能量對(duì)應(yīng);耦合強(qiáng)度增大到τ=0.5，這一尖峰變寬但中心位置仍然可以標(biāo)示出能量本征值;耦合強(qiáng)度達(dá)到常規(guī)值τ=1，電導(dǎo)峰已經(jīng)變得很寬并且明顯偏離能量本征值;耦合強(qiáng)度繼續(xù)增大到τ=2，電導(dǎo)峰已經(jīng)再次收窄并偏移到E=0.3717，這是不包含兩端原子的新孤立系統(tǒng)的能量本征值;當(dāng)τ增大到25 時(shí)，電導(dǎo)峰已經(jīng)變得非常尖銳并十分精確地標(biāo)示出這一新的能量本征值，如圖5(b)所示.

圖5 有限SSH 晶格電導(dǎo)峰隨耦合強(qiáng)度的變化，原胞數(shù) N=10 (a)(b) t v=0.7，t w=1 晶格的體態(tài)電導(dǎo)峰從弱耦合到強(qiáng)耦合τ=0.01，0.5，1，2，25 的變遷;(c) t v=0.7，t w=1 晶格在 弱耦合情形 τ=0.01，0.11，0.21，0.31 下的邊 緣態(tài)電導(dǎo)峰;(d) t v=1，tw=0.7 晶格在強(qiáng)耦合情形 τ=3，5，10，50 下的邊緣態(tài)電導(dǎo)峰Fig.5.The conductance peaks of the finite SSH lattice varies with the coupling strength for N=10 :(a)(b) t v=0.7，tw=1，τ=0.01，0.5，1，2，25，the conductance peaks of the bulk states varies with the coupling strength from weak coupling to strong coupling;(c) t v=0.7，t w=1 τ=0.01，0.11，0.21，0.31，the conductance peaks of the edge states varies with the coupling strength under the weak coupling limit;(d) t v=1，t w=0.7，τ=3，5，10，50，the conductance peaks of the edge states varies with the coupling strength under the strong coupling limit.

圖5(c)和(d)分別展示了拓?fù)浜屯負(fù)淦接沟膬蓚€(gè)有限SSH 晶格在弱耦合極限和強(qiáng)耦合極限下邊緣態(tài)電導(dǎo)峰隨耦合強(qiáng)度的變化.如所周知[16，17]，tv ＜tw的SSH 晶格具有一對(duì)零能附近的邊緣態(tài)，而tv ＞tw的SSH 晶格沒(méi)有邊緣態(tài).圖5(c)展示了弱耦合情形τ=0.01，0.11，0.21，0.31 下，tv=0.7，tw=1的有限SSH 晶格中一對(duì)能量本征值E=±0.0145的邊緣態(tài)電導(dǎo)峰逐步變寬、變低、逐漸消失的過(guò)程.由于能量本征值是偶函數(shù)，所以電導(dǎo)峰也是關(guān)于零能位置對(duì)稱分布的，兩個(gè)邊緣態(tài)對(duì)應(yīng)的電導(dǎo)峰位置十分接近并且位于零能位置的兩側(cè)，由于耦合強(qiáng)度的增大，兩個(gè)電導(dǎo)峰逐漸靠近并展寬，電導(dǎo)峰的位置逐漸重疊，當(dāng)位置重疊時(shí)，兩個(gè)電導(dǎo)峰就會(huì)逐漸合并以致出現(xiàn)雙峰結(jié)構(gòu)，隨著耦合強(qiáng)度進(jìn)一步變大雙峰逐漸合并成一個(gè)峰，然后逐漸變低，最后消失.相反地，圖5(d)展示了強(qiáng)耦合情形τ=3，5，10，50下，原本沒(méi)有邊緣態(tài)的tv=1，tw=0.7 的有限SSH晶格電導(dǎo)譜中如何逐漸涌現(xiàn)出一對(duì)能量本征值E=±0.0207 的邊緣態(tài)電導(dǎo)峰的過(guò)程.根據(jù)前面的分析，這不是錯(cuò)誤的電導(dǎo)峰信號(hào)，但它們屬于去掉首尾兩個(gè)原子后的新SSH 晶格.相對(duì)于包含N個(gè)原胞的樣品，剩下只有N-1 個(gè)完整原胞的SSH 晶格已經(jīng)對(duì)調(diào)了原胞內(nèi)和原胞間的躍遷能，的確擁有這樣一對(duì)邊緣態(tài)，并在強(qiáng)耦合極限下顯示出自己各自的電導(dǎo)峰.

4 結(jié)論

本文研究了引線-樣品耦合強(qiáng)度對(duì)有限晶格電導(dǎo)譜的調(diào)控，求解了有限SSH 晶格電導(dǎo)和束縛態(tài)能量本征值的解析表達(dá)式，確認(rèn)了電導(dǎo)峰與能量本征值的對(duì)應(yīng)關(guān)系.雖然在理想引線直接連接樣品的常規(guī)操作下，電導(dǎo)峰與孤立系統(tǒng)束縛態(tài)能量本征值的關(guān)系是模糊不精確的，但在弱耦合極限下，電導(dǎo)峰可以顯示孤立系統(tǒng)全部體態(tài)和邊緣態(tài)，電導(dǎo)峰與能量本征值精確地一一對(duì)應(yīng);在強(qiáng)耦合極限下，電導(dǎo)峰再次變得尖銳并清晰地展示不包含兩端原子的有限SSH 晶格的全部能量本征態(tài).通過(guò)觀察電導(dǎo)峰大小、形狀和位置對(duì)耦合強(qiáng)度變化的不同響應(yīng)可以判斷有限SSH 晶格邊緣態(tài)的存在，并且對(duì)體態(tài)和邊緣態(tài)做出甄別.

猜測(cè)有關(guān)結(jié)論可以推廣到其他不同類型的有限晶格系統(tǒng)，甚至通過(guò)調(diào)節(jié)樣品-引線的耦合強(qiáng)度可以更好地探測(cè)超導(dǎo)-半導(dǎo)體異質(zhì)納米線體系中Majorana 零模的電導(dǎo)峰信號(hào).