?？杉?郭志偉 陳鴻

1) (同濟大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，上海 200092)

2) (同濟大學(xué)物理科學(xué)與工程學(xué)院，教育部先進(jìn)微結(jié)構(gòu)材料重點實驗室，上海 200092)

1 引言

量子力學(xué)一般情況下用于描述一個封閉的物理系統(tǒng)，所有可觀測的物理量均需要用厄米線性算符表示.從能量守恒的角度來看，系統(tǒng)的本征能量是實數(shù)，通常由一個厄米哈密頓量的本征值來描述[1].然而，當(dāng)由有效哈密頓量描述的封閉系統(tǒng)與周圍環(huán)境發(fā)生能量交換時，厄米物理系統(tǒng)的動力學(xué)就變成了非厄米動力學(xué)，而且一般認(rèn)為非厄米系統(tǒng)沒有實數(shù)的本征值[2].早在1998 年，Bender 和Boettcher[3]提出，具有宇稱時間(parity-time，PT)對稱性的非厄米系統(tǒng)在發(fā)生相變前系統(tǒng)具有純實數(shù)的能譜，并且這一非厄米系統(tǒng)能譜的相變點被稱為奇異點(exceptional point，EP)[4].非厄米系統(tǒng)EP 最大的特點是兩個或多個本征值和相關(guān)本征矢量同時合并，這是由非相干效應(yīng)和相干效應(yīng)的競爭所產(chǎn)生的，所以在厄米系統(tǒng)中并不存在物理對應(yīng)[4，5].

最近，非厄米哈密頓量和相關(guān)的EPs 還被推廣到光學(xué)[6-9]、聲學(xué)[10-12]、電路[13-15]等開放經(jīng)典波系統(tǒng)中，用于探索更加豐富的物理性質(zhì)及應(yīng)用.EP會引起諸多違反直覺的現(xiàn)象，如損耗誘導(dǎo)透明[16]、單向反射[17]、動態(tài)無線電能傳輸[13，18]、非對稱模式轉(zhuǎn)換[19，20]等.此外，非厄米系統(tǒng)EP 具有的諸多新奇物理特性還包括:1)一個N階EP 通常對應(yīng)于一個開N次方的能級間距 Δf ∝δ1/n，其中的δ為參數(shù)空間里EP 附近的微擾，所以高階EP 為提升傳感器件的靈敏度提供了一個很好的解決方案[21，22].最近，通過將非厄米物理與拓?fù)湮锢硐嘟Y(jié)合，拓?fù)溥吔鐟B(tài)實現(xiàn)的非厄米系統(tǒng)EP 也被進(jìn)行了深入的研究，并用于構(gòu)造對結(jié)構(gòu)內(nèi)部漲落免疫，但對外界環(huán)境變化敏感的新型拓?fù)鋫鞲衅骷23，24].2)非厄米系統(tǒng)的EP 對應(yīng)于參數(shù)空間構(gòu)成黎曼面的分叉奇點.當(dāng)系統(tǒng)在參數(shù)空間里環(huán)繞EP 發(fā)生絕熱演化時，初始態(tài)會發(fā)生模式轉(zhuǎn)換，同時獲得確定的幾何相位，這一非厄米系統(tǒng)EP 的拓?fù)涮匦砸参巳藗兊膹V泛關(guān)注，并已經(jīng)在耦合腔[12]、波導(dǎo)[25，26]以及超表面[27]中得到了廣泛研究.3)對于雙諧振的非厄米系統(tǒng)，EPs 還具有一個非常有趣的特性，就是其自正交的本征矢量[28，29].基于回音廊諧振器中的順時針和逆時針傳播模式，系統(tǒng)EP 這一合并點處確定的手性態(tài)已經(jīng)被證實對應(yīng)于一種“維度缺失”[30].

本文聚焦于非厄米系統(tǒng)“維度缺失”的EP，對其正交態(tài)的手性進(jìn)行了系統(tǒng)性的研究.基于開口諧振環(huán)這一特殊的超構(gòu)材料諧振子，構(gòu)造了非厄米的光子系統(tǒng)，并通過改變諧振環(huán)的相對轉(zhuǎn)角實現(xiàn)了對耦合系數(shù)符號的靈活調(diào)控.進(jìn)而通過近場探測技術(shù)，探測系統(tǒng)達(dá)到EP 時開口諧振環(huán)的相位情況，完成了EP 手性翻轉(zhuǎn)的實驗觀測.利用轉(zhuǎn)角自由度實現(xiàn)負(fù)的耦合系數(shù)并觀察EP 的手性翻轉(zhuǎn)的研究結(jié)果不僅豐富了EP 在非厄米系統(tǒng)中的表現(xiàn)形式，而且也為諸如手性天線等光子器件的構(gòu)造提供了一個有效設(shè)計方案.

2 模型與方法

考慮一對共振原子近場耦合構(gòu)成的非厄米系統(tǒng)，如圖1 所示.基于耦合模理論，該系統(tǒng)的運動方程可以寫為

圖1 兩個共振原子近場耦合組成的二階非厄米系統(tǒng)Fig.1.A second-order non-Hermitian system composed of two coupled resonant atoms with near-field coupling.

該系統(tǒng)的哈密頓量可以表示為

為了簡化系統(tǒng)，假設(shè)f1=f2=f0以及γ1=γ2=γ0.此時求解哈密頓量H可以得到系統(tǒng)本征值和本征態(tài)分別為

在耦合系數(shù)κ和本征損耗因子Γ2構(gòu)成的參數(shù)空間內(nèi)，非厄米系統(tǒng)本征頻率實部和虛部的黎曼表面分別如圖2(a)和圖2(b)所示.從(4a)式和(4b)式可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，系統(tǒng)的本征值和本征矢同時合并，即對應(yīng)于此非厄米系統(tǒng)的EP.圖2 所示的黎曼面中，不同參數(shù)形成的EP 將連成兩條線，圖中按照手性分別用紅色實線和虛線進(jìn)行表示.

圖2 在耦合系數(shù) κ 和本征損耗因子 Γ2 構(gòu)成的參數(shù)空間內(nèi)，非厄米系統(tǒng)本征頻率 (a)實部和(b)虛部的黎曼表面Fig.2.The Riemannian surface of the (a) real part and (b)imaginary part of the eigenfrequency of the non-Hermitian system in the parameter space composed of the coupling coefficient κ and the intrinsic loss factor Γ2 .

從(5)式可以清楚地看到，純被動的二階系統(tǒng)中EP 的手性直接取決于兩個共振原子的耦合系數(shù)符號.當(dāng)κ＞0 和κ＜0 時，非厄米系統(tǒng)EP 的手性分別為右旋態(tài)(ψEP=(1，-i))和左旋態(tài)(ψEP=(1，+i)).

從上面的分析可以知道，對于沒有增益的非厄米系統(tǒng)而言，EP 的手性會隨著耦合系數(shù)的符號改變而翻轉(zhuǎn)，這為實際調(diào)控EP 的手性提供了一個有效手段.但是對于絕大多數(shù)光學(xué)振子而言，其耦合系數(shù)的符號都是正的.最近，研究者們提出可以在耦合的共振原子間引入附加振子，通過間接耦合的方式來實現(xiàn)負(fù)耦合[32-34].但間接耦合等效的負(fù)耦合不僅使系統(tǒng)變得復(fù)雜，而且不可避免地給系統(tǒng)帶來額外損耗.超構(gòu)材料的出現(xiàn)為方便地調(diào)控共振原子的耦合提供了可能，如雙曲諧振腔和零折率諧振腔實現(xiàn)的與腔體積無關(guān)的腔模[35].本文主要是基于開口諧振環(huán)這種特殊的超構(gòu)材料諧振子，通過旋轉(zhuǎn)振子間的相對開口角度，靈活地調(diào)控共振原子間耦合系數(shù)的符號，進(jìn)而用來觀測非厄米系統(tǒng)EP 位置隨耦合系數(shù)符號變化帶來的手性翻轉(zhuǎn)現(xiàn)象.

開口諧振環(huán)作為一類具有高品質(zhì)因子的磁諧振器[36，37]，其陣列結(jié)構(gòu)具有較強的磁響應(yīng)，因而可以被用來構(gòu)造等效磁導(dǎo)率小于零的磁單負(fù)超構(gòu)材料[38].當(dāng)匹配等效介電常數(shù)小于零的人工微結(jié)構(gòu)時，還可以被用來構(gòu)造具有新奇負(fù)折射特性的左手材料等[39].除了實現(xiàn)等效介質(zhì)外，基于開口諧振環(huán)的一維耦合波導(dǎo)結(jié)構(gòu)還被證實具有磁誘導(dǎo)波的特性[40].特別是近年來，隨著拓?fù)涔庾訉W(xué)的飛速發(fā)展，開口諧振環(huán)還被廣泛用于構(gòu)造各種具有復(fù)雜耦合排布的拓?fù)淠Ｐ停⑼诰蚱渲胸S富的拓?fù)湮锢硖匦訹41-43].對于耦合的開口諧振環(huán)而言，環(huán)內(nèi)部的電流在開口處會積累電荷，這就導(dǎo)致了金屬環(huán)部分以及開口空隙位置可以分別等效為電感L及電容C.開口諧振環(huán)的諧振頻率為.另外，開口諧振環(huán)間的耦合κ總是包含有電耦合κE及磁耦合κH兩部分，并且可以通過等效電路參數(shù)獲得[41]:

其中，M和K分別為開口諧振環(huán)之間的互感和互容.通過調(diào)節(jié)開口諧振環(huán)的相對轉(zhuǎn)角就可以靈活地調(diào)控電耦合κE和磁耦合κH占總耦合的權(quán)重.

本文主要圍繞開口諧振環(huán)相對轉(zhuǎn)角為θ=180°和θ=0°這兩種特殊的構(gòu)型開展研究.當(dāng)開口諧振環(huán)相對轉(zhuǎn)角為θ=180°時，磁耦合占主導(dǎo)(|κH|＞|κE|)，兩個環(huán)內(nèi)的電流反向，所以開口諧振環(huán)實現(xiàn)的是負(fù)耦合[44].由于近場耦合會導(dǎo)致系統(tǒng)的模式發(fā)生劈裂，兩個環(huán)內(nèi)同相位的對稱模式處于高頻，而兩個環(huán)內(nèi)反相位的反對稱模式處于低頻，如圖3(a)所示.另一方面，當(dāng)開口諧振環(huán)相對轉(zhuǎn)角為θ=0o時，電耦合占主導(dǎo)(|κH|＜|κE|)，兩個環(huán)內(nèi)的電流同向，所以開口諧振環(huán)實現(xiàn)的是正耦合.由于近場耦合效應(yīng)，此時同樣會導(dǎo)致系統(tǒng)的模式發(fā)生劈裂.然而不同于圖3(a)，對于正耦合的兩個開口諧振環(huán)來說，兩個環(huán)內(nèi)同相位的對稱模式處于高頻，而兩個環(huán)內(nèi)反相位的反對稱模式處于低頻，如圖3(b)所示.對比圖3(a)和圖3(b)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)開口諧振環(huán)的相對轉(zhuǎn)角發(fā)生變化時，耦合系數(shù)的符號也將發(fā)生變化，進(jìn)而導(dǎo)致了近場耦合模式劈裂的兩個模式的對稱性發(fā)生互換.對于由開口諧振環(huán)構(gòu)造的非厄米系統(tǒng)而言，當(dāng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的非厄米參量使得系統(tǒng)模式從劈裂演化到合并的EP 時，就可以用來觀察耦合系數(shù)符號的變化對EP 對應(yīng)手性態(tài)的影響.

圖3 開口諧振環(huán)不同相對轉(zhuǎn)角下的耦合情況 (a)開口諧振環(huán)相對夾角為 θ=180° 時的負(fù)耦合;(b)開口諧振環(huán)相對夾角為θ=0° 的正耦合Fig.3.The coupling of the split-ring resonator under different relative rotation angles:(a) The negative coupling when the relative rotation angle of the split-ring resonators is θ=180° ;(b) the positive coupling when the relative rotation angle of the split-ring resonators is θ=0° .

3 結(jié)果與討論

3.1 頻譜以及本征值測量

在微帶線平臺上構(gòu)建了基于開口諧振環(huán)構(gòu)造的耦合系數(shù)符號可調(diào)的非厄米系統(tǒng)，并用于實驗觀測EP 的手性態(tài)的翻轉(zhuǎn)現(xiàn)象.典型的工作于微波頻段的微帶傳輸線為一種由底部金屬襯底、中間電介質(zhì)層以及上表面具有特定圖案的金屬結(jié)構(gòu)組成的三明治結(jié)構(gòu).在微波光子學(xué)領(lǐng)域，利用加載集總電路元件的微帶線平臺是實現(xiàn)多樣化電磁諧振單元和特殊晶格的理想平臺.此外，由于微帶線平臺具有平面化和開放性的優(yōu)點，可以方便地獲得系統(tǒng)的振幅和相位信息.到目前為止，許多高性能的微帶結(jié)構(gòu)已經(jīng)被構(gòu)建，以調(diào)控各種新穎的光學(xué)響應(yīng)，并實現(xiàn)一些特殊場景的應(yīng)用，如超透鏡[45，46]、近場光子路由[47]、遠(yuǎn)程原子相互作用[48]、以及拓?fù)涔庾訉W(xué)[49，50].

本文通過在微帶線上表面刻蝕出開口諧振環(huán)的金屬結(jié)構(gòu)，構(gòu)造了第2 節(jié)介紹的開口諧振環(huán)相對轉(zhuǎn)角不同時實現(xiàn)的耦合系數(shù)符號不同的兩類非厄米系統(tǒng).其中磁耦合占主導(dǎo)(θ=180o)及電耦合(θ=0°)占主導(dǎo)的兩類非厄米系統(tǒng)分別如圖4(a)和圖4(b)所示.文中使用的板材為FR4 的微帶線基板，相對介電常數(shù)為εr=4.35，厚度為t=1.6 mm，基板損切角為 t anθ=0.009 .微帶線的金屬損耗可以被忽略，對應(yīng)的電導(dǎo)率為 5 .8×107S/m .在實驗中，激勵信號由矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀(Agilent N5222A)產(chǎn)生，并通過微帶波導(dǎo)輸入到系統(tǒng).具體來說，信號從矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀的輸入端輸出，并通過同軸電纜由50 Ω 阻抗的SubMiniature version A(SMA)接頭連接寬度為3.5 mm 的微帶波導(dǎo)的上下導(dǎo)體(接頭的內(nèi)芯接觸上表面金屬，接頭的接地端連接微帶線的底層金屬)，從而把探測信號輸入系統(tǒng).類似的方法在微帶波導(dǎo)的另一側(cè)接入SMA 接頭，并通過矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀的輸出端接收探測信號，實現(xiàn)對樣品傳輸特性的測試.為了方便表述，把通過微帶波導(dǎo)輸入的入射波Sine-iωt直接近場耦合激勵的開口諧振環(huán)稱為“共振原子1”.微帶波導(dǎo)與“共振原子1”的間距為h=0.2 mm.而把僅能通過近場耦合κ被“共振原子1”間接激勵的開口諧振環(huán)稱為“共振原子2”.實驗中開口諧振環(huán)的幾何結(jié)構(gòu)是完全相同的，幾何參數(shù)分別為半徑r=12 mm，元件間距s=4 mm，線寬w=0.3 mm，開口縫寬g=0.8 mm.開口諧振環(huán)的分布式電感和加載的集總電容分布為L=457 nH 和C=2.7 pF，確定的開口諧振環(huán)的共振頻率為f0=0.9 GHz.在開口諧振環(huán)中均加載了集總的可調(diào)電阻元件用以調(diào)節(jié)共振原子的本征損耗Γi=0.018+0.001Ri(i=1，2).此外，在開口諧振環(huán)相對轉(zhuǎn)角為θ=180°對應(yīng)的負(fù)耦合系統(tǒng)及θ=0°對應(yīng)的正耦合系統(tǒng)中，“共振原子1”和“共振原子2”的間距分別為x1=2 mm，x2=0.2 mm，相應(yīng)的耦 合系數(shù) 分別為κ1=-0.0154 GHz，κ2=0.011 GHz.

實驗測得的θ=180°對應(yīng)的非厄米系統(tǒng)的傳輸譜線如圖4(c)所示.當(dāng)開口諧振環(huán)中的電阻為R1=R2=0 Ω 時，由于兩個開口諧振環(huán)的近場耦合，兩個劈裂的諧振模式將具有不同的本征頻率.保持“共振原子1”中的電阻R1=0 Ω 不變，當(dāng)“共振原子2”中的電阻R2逐漸增大時，由于非相干效應(yīng)的增強，兩個劈裂的共振峰將逐漸靠近.可以清楚地看到，當(dāng)電阻增大到R2=12 Ω 時(Γ2=0.031 GHz)，兩個共振模式發(fā)生合并，即對應(yīng)于系統(tǒng)的EP1(|Γ2|/2≈|κ|=0.0154)，如圖4(c)的箭頭所示.類似地，圖4(d)為實驗測得的θ=0o對應(yīng)的非厄米系統(tǒng)的傳輸譜線.此時，系統(tǒng)的EP 出現(xiàn)在電阻增大到R2=6 Ω 時(Γ2=0.024 GHz)，兩個共振模式發(fā)生合并，即對應(yīng)于系統(tǒng)的EP2(|Γ2|/2≈|κ|=0.011)，如圖4(d)的箭頭所示.

圖4 開口諧振環(huán)相對夾角為 (a) θ=180° 和(b) θ=0° 時構(gòu)造的非厄米系統(tǒng)實驗樣品圖;(c) θ=180° 和(d) θ=0° 對應(yīng)的非厄米系統(tǒng)中，調(diào)節(jié)集總電阻的阻值 R2 時測得的透射譜Fig.4.Sample photos of the non-Hermitian system with relative rotation angle between split-ring resonators is (a) θ=180° and (b)θ=0° ;The corresponding transmittance spectrum of the non-Hermitian system with (c) θ=180° and (d) θ=0° as a function of lumped resistance R2 .

為了更加直觀地展示非厄米系統(tǒng)本征模式的演化以及EP，圖5 給出了本征模式隨著不同本征損耗因子Γ2而發(fā)生的改變.對于θ=180°對應(yīng)的非厄米系統(tǒng)得到的本征頻率譜中，可以清晰地觀察到系統(tǒng)中劈裂的兩個共振頻率的實部隨本征損耗因子Γ2的增加而逐漸靠近，并在EP1 合并為一個簡并模式，如圖5(a)的上部分所示.相對應(yīng)的本征頻率的虛部也是在EP1 位置發(fā)生從模式簡并到劈裂的相變，如圖5(b)的下部分所示.圖中理論計算的結(jié)果和實驗測試的結(jié)果分別用實線和點來表示，可以發(fā)現(xiàn)實驗測試結(jié)果與理論計算結(jié)果可以很好地符合.類似地，θ=0°對應(yīng)的非厄米系統(tǒng)得到的本征頻率譜中，本征頻率的實部和虛部分別如圖5(b)的上部分和下部分所示.同樣可以觀察到劈裂的兩個共振頻率隨 Γ2的增加而逐漸靠近，并在EP2 合并.對比圖5(a)和圖5(b)系統(tǒng)，可以發(fā)現(xiàn)開口諧振環(huán)相對轉(zhuǎn)角不同的兩個非厄米系統(tǒng)，隨著Γ2增加，系統(tǒng)本征值均可以在各自的EP 實現(xiàn)模式的合并.需要特別說明的是，由于|κ1|＞|κ2|，所以θ=180°對應(yīng)的非厄米系統(tǒng)相比θ=0°對應(yīng)的非厄米系統(tǒng)需要更大的損耗因子Γ2來達(dá)到EP.

圖5 實驗觀測當(dāng) Γ2 變化時，開口諧振環(huán)相對夾角為 (a) θ=180° 和(b) θ=0° 構(gòu)成的非厄米系統(tǒng)的本征頻率實部(上圖)和虛部(下圖)Fig.5.Experimental measured the eigenfrequeies of the non-Hermitian system as a function of Γ2 when the relative rotation angle between split-ring resonators is (a) θ=180° and(b) θ=0° .The upper and lower rows denote the real part and imaginary part，respectively.

3.2 EP 的手性測量與表征

3.1 小節(jié)已經(jīng)在實驗上觀測了耦合系數(shù)符號不同的兩個非厄米系統(tǒng)均可以通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)的本征損耗因子Γ2實現(xiàn)EP.本小節(jié)進(jìn)一步通過高阻抗磁探針(直徑為8 mm)在實驗中觀測本征頻率處系統(tǒng)內(nèi)兩個開口諧振環(huán)的相位差 Δφ=φ1-φ2來對EP的手性進(jìn)行表征，其中的φ1和φ2分別表示在“共振原子1”及“共振原子2”中測得的相位.圖6 給出了開口諧振環(huán)相對轉(zhuǎn)角θ=180°(上圖)和θ=0°(下圖)對應(yīng)的非厄米系統(tǒng)的相位差，其中實線和點分別為理論計算結(jié)果與實驗測試結(jié)果.從圖6 可以清楚地看到，當(dāng)本征損耗因子Γ2比較小時，θ=180°對應(yīng)的非厄米系統(tǒng)劈裂的本征頻率在低頻是對稱態(tài)(Δφ0°)，在高頻是反對稱態(tài)(Δφ180°).隨著本征損耗因子Γ2增大，系統(tǒng)的本征模式在EP1 合并，此時模式是自正交的(Δφ90°).考慮到正交態(tài)的手性，可以確定θ=180°對應(yīng)的非厄米系統(tǒng)EP1 是手性態(tài)ψEP=(1，-i) 右旋的.然而對于θ=0°對應(yīng)的非厄米系統(tǒng)，其在本征損耗因子Γ2比較小時，劈裂的本征頻率在低頻是反對稱態(tài)(Δφ-180°)，在高頻是對稱態(tài)(Δφ0°).隨著本征損耗因子Γ2增大，系統(tǒng)的本征模式在EP2 合并，此時模式同樣是自正交的(Δφ-90°).但是考慮到正交態(tài)的手性，可以確定θ=180°對應(yīng)的非厄米系統(tǒng)EP2 是手性態(tài)ψEP=(1，+i) 左旋的.圖6 所示的結(jié)果清楚地展示了非厄米系統(tǒng)通過改變耦合系數(shù)的符號可以實現(xiàn)EP 位置的手性翻轉(zhuǎn).當(dāng)系統(tǒng)增益可以通過外場控制時，還可以實現(xiàn)系統(tǒng)EP 手性態(tài)的主動調(diào)控[23].

圖6 實驗 測得開口諧振環(huán)相對夾角為 θ=180° (上圖)和 θ=0° (下圖)構(gòu)成的非厄米系統(tǒng)中，不同的本征損耗因子 Γ2 兩個振子的相位差 Δφ=φ1-φ2Fig.6.Measured phase difference between two resonant atoms Δ φ=φ1-φ2 for different intrinsic loss factor Γ2 in the non-Hermitian systems exhibiting the intrinsic chirality of EP.The upper and lower figures denote the relative rotation angle between split-ring resonators is θ=180°and θ=0°，respectively.

最后利用CST(computer simulation technology)全場仿真軟件對開口諧振環(huán)相對轉(zhuǎn)角θ=180°和θ=0°對應(yīng)的兩種非厄米系統(tǒng)中EP 處手性態(tài)的能量振蕩演化進(jìn)行了仿真模擬，分別如圖7(a)和圖7(b)所示.圖7(a)所示的θ=180°對應(yīng)的非厄米系統(tǒng)中，以振蕩相位 0°為例，此時“共振原子1”相位超前“共振原子2”Δφ=90°.隨著振蕩相位的變化，系統(tǒng)的本征態(tài)發(fā)生演化，但是始終可以清楚地觀察到，系統(tǒng)中一個共振單元內(nèi)場強處于峰值時，另外一個共振單元內(nèi)能量將完全消失，說明了非厄米系統(tǒng)的EP 位置，兩個開口諧振環(huán)在振蕩演化過程中始終存在90°的相位差.然而對于圖7(b)所示的θ=0°對應(yīng)的非厄米系統(tǒng)中，同樣以振蕩相位 0°為例，“共振原子1”相位落后“共振原子2”Δφ=-90°.隨著振蕩相位的變化，系統(tǒng)的本征態(tài)發(fā)生演化，但是始終保持著固定的相位差.圖7 所示的結(jié)果更進(jìn)一步展示了在具有不同耦合系數(shù)符號的非厄米系統(tǒng)中，奇異點的手性態(tài)是發(fā)生了翻轉(zhuǎn)的.

圖7 全場數(shù)值仿真得到的開口諧振環(huán)相對夾角為 (a) θ=180° 和(b) θ=0° 構(gòu)成的非厄米系統(tǒng)中，EP 位置手性態(tài)的場分布仿真演化圖Fig.7.Full-wave numerical simulated evolution of field distribution for the non-Hermitian system with the relative rotation angle between split-ring resonators is (a) θ=180°and (b) θ=0° .

4 結(jié)論

本文提出了利用開口諧振環(huán)來研究非厄米系統(tǒng)中自正交EP 的手性翻轉(zhuǎn)現(xiàn)象.從雙諧振系統(tǒng)的耦合模理論出發(fā)建立的二階非厄米哈頓量分析得到了非厄米系統(tǒng)EP 的手性取決于耦合系數(shù)的符號.開口諧振環(huán)作為一種超構(gòu)材料諧振子，其耦合包含了互容提供的耦合系數(shù)為正的電耦合以及互感提供的耦合系數(shù)為負(fù)的磁耦合，為構(gòu)建不同耦合符號的非厄米系統(tǒng)提供了理想平臺.本文通過調(diào)節(jié)開口諧振環(huán)的相對轉(zhuǎn)角就可以靈活地調(diào)控總耦合系數(shù)的符號，并通過近場探測技術(shù)在實驗上觀測了非厄米系統(tǒng)奇異點的手性翻轉(zhuǎn)現(xiàn)象.所以微帶線平臺構(gòu)造的開口諧振環(huán)為實驗研究其他非厄米物理的新奇物理特性提供了一個很好的研究平臺.此外，本文對EP 手性態(tài)的實驗觀測一方面豐富了人們對于非厄米系統(tǒng)EP 的認(rèn)識.另外一方面，可靈活調(diào)控的自正交態(tài)在手性天線設(shè)計方面也具有一定的應(yīng)用價值.