?？杉?郭志偉 陳鴻

1) (同濟(jì)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，上海 200092)

2) (同濟(jì)大學(xué)物理科學(xué)與工程學(xué)院，教育部先進(jìn)微結(jié)構(gòu)材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092)

1 引言

量子力學(xué)一般情況下用于描述一個(gè)封閉的物理系統(tǒng)，所有可觀測(cè)的物理量均需要用厄米線性算符表示.從能量守恒的角度來(lái)看，系統(tǒng)的本征能量是實(shí)數(shù)，通常由一個(gè)厄米哈密頓量的本征值來(lái)描述[1].然而，當(dāng)由有效哈密頓量描述的封閉系統(tǒng)與周圍環(huán)境發(fā)生能量交換時(shí)，厄米物理系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)就變成了非厄米動(dòng)力學(xué)，而且一般認(rèn)為非厄米系統(tǒng)沒(méi)有實(shí)數(shù)的本征值[2].早在1998 年，Bender 和Boettcher[3]提出，具有宇稱時(shí)間(parity-time，PT)對(duì)稱性的非厄米系統(tǒng)在發(fā)生相變前系統(tǒng)具有純實(shí)數(shù)的能譜，并且這一非厄米系統(tǒng)能譜的相變點(diǎn)被稱為奇異點(diǎn)(exceptional point，EP)[4].非厄米系統(tǒng)EP 最大的特點(diǎn)是兩個(gè)或多個(gè)本征值和相關(guān)本征矢量同時(shí)合并，這是由非相干效應(yīng)和相干效應(yīng)的競(jìng)爭(zhēng)所產(chǎn)生的，所以在厄米系統(tǒng)中并不存在物理對(duì)應(yīng)[4，5].

最近，非厄米哈密頓量和相關(guān)的EPs 還被推廣到光學(xué)[6-9]、聲學(xué)[10-12]、電路[13-15]等開(kāi)放經(jīng)典波系統(tǒng)中，用于探索更加豐富的物理性質(zhì)及應(yīng)用.EP會(huì)引起諸多違反直覺(jué)的現(xiàn)象，如損耗誘導(dǎo)透明[16]、單向反射[17]、動(dòng)態(tài)無(wú)線電能傳輸[13，18]、非對(duì)稱模式轉(zhuǎn)換[19，20]等.此外，非厄米系統(tǒng)EP 具有的諸多新奇物理特性還包括:1)一個(gè)N階EP 通常對(duì)應(yīng)于一個(gè)開(kāi)N次方的能級(jí)間距 Δf ∝δ1/n，其中的δ為參數(shù)空間里EP 附近的微擾，所以高階EP 為提升傳感器件的靈敏度提供了一個(gè)很好的解決方案[21，22].最近，通過(guò)將非厄米物理與拓?fù)湮锢硐嘟Y(jié)合，拓?fù)溥吔鐟B(tài)實(shí)現(xiàn)的非厄米系統(tǒng)EP 也被進(jìn)行了深入的研究，并用于構(gòu)造對(duì)結(jié)構(gòu)內(nèi)部漲落免疫，但對(duì)外界環(huán)境變化敏感的新型拓?fù)鋫鞲衅骷23，24].2)非厄米系統(tǒng)的EP 對(duì)應(yīng)于參數(shù)空間構(gòu)成黎曼面的分叉奇點(diǎn).當(dāng)系統(tǒng)在參數(shù)空間里環(huán)繞EP 發(fā)生絕熱演化時(shí)，初始態(tài)會(huì)發(fā)生模式轉(zhuǎn)換，同時(shí)獲得確定的幾何相位，這一非厄米系統(tǒng)EP 的拓?fù)涮匦砸参巳藗兊膹V泛關(guān)注，并已經(jīng)在耦合腔[12]、波導(dǎo)[25，26]以及超表面[27]中得到了廣泛研究.3)對(duì)于雙諧振的非厄米系統(tǒng)，EPs 還具有一個(gè)非常有趣的特性，就是其自正交的本征矢量[28，29].基于回音廊諧振器中的順時(shí)針和逆時(shí)針傳播模式，系統(tǒng)EP 這一合并點(diǎn)處確定的手性態(tài)已經(jīng)被證實(shí)對(duì)應(yīng)于一種“維度缺失”[30].

本文聚焦于非厄米系統(tǒng)“維度缺失”的EP，對(duì)其正交態(tài)的手性進(jìn)行了系統(tǒng)性的研究.基于開(kāi)口諧振環(huán)這一特殊的超構(gòu)材料諧振子，構(gòu)造了非厄米的光子系統(tǒng)，并通過(guò)改變諧振環(huán)的相對(duì)轉(zhuǎn)角實(shí)現(xiàn)了對(duì)耦合系數(shù)符號(hào)的靈活調(diào)控.進(jìn)而通過(guò)近場(chǎng)探測(cè)技術(shù)，探測(cè)系統(tǒng)達(dá)到EP 時(shí)開(kāi)口諧振環(huán)的相位情況，完成了EP 手性翻轉(zhuǎn)的實(shí)驗(yàn)觀測(cè).利用轉(zhuǎn)角自由度實(shí)現(xiàn)負(fù)的耦合系數(shù)并觀察EP 的手性翻轉(zhuǎn)的研究結(jié)果不僅豐富了EP 在非厄米系統(tǒng)中的表現(xiàn)形式，而且也為諸如手性天線等光子器件的構(gòu)造提供了一個(gè)有效設(shè)計(jì)方案.

2 模型與方法

考慮一對(duì)共振原子近場(chǎng)耦合構(gòu)成的非厄米系統(tǒng)，如圖1 所示.基于耦合模理論，該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以寫為

圖1 兩個(gè)共振原子近場(chǎng)耦合組成的二階非厄米系統(tǒng)Fig.1.A second-order non-Hermitian system composed of two coupled resonant atoms with near-field coupling.

該系統(tǒng)的哈密頓量可以表示為

為了簡(jiǎn)化系統(tǒng)，假設(shè)f1=f2=f0以及γ1=γ2=γ0.此時(shí)求解哈密頓量H可以得到系統(tǒng)本征值和本征態(tài)分別為

在耦合系數(shù)κ和本征損耗因子Γ2構(gòu)成的參數(shù)空間內(nèi)，非厄米系統(tǒng)本征頻率實(shí)部和虛部的黎曼表面分別如圖2(a)和圖2(b)所示.從(4a)式和(4b)式可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的本征值和本征矢同時(shí)合并，即對(duì)應(yīng)于此非厄米系統(tǒng)的EP.圖2 所示的黎曼面中，不同參數(shù)形成的EP 將連成兩條線，圖中按照手性分別用紅色實(shí)線和虛線進(jìn)行表示.

圖2 在耦合系數(shù) κ 和本征損耗因子 Γ2 構(gòu)成的參數(shù)空間內(nèi)，非厄米系統(tǒng)本征頻率 (a)實(shí)部和(b)虛部的黎曼表面Fig.2.The Riemannian surface of the (a) real part and (b)imaginary part of the eigenfrequency of the non-Hermitian system in the parameter space composed of the coupling coefficient κ and the intrinsic loss factor Γ2 .

從(5)式可以清楚地看到，純被動(dòng)的二階系統(tǒng)中EP 的手性直接取決于兩個(gè)共振原子的耦合系數(shù)符號(hào).當(dāng)κ＞0 和κ＜0 時(shí)，非厄米系統(tǒng)EP 的手性分別為右旋態(tài)(ψEP=(1，-i))和左旋態(tài)(ψEP=(1，+i)).

從上面的分析可以知道，對(duì)于沒(méi)有增益的非厄米系統(tǒng)而言，EP 的手性會(huì)隨著耦合系數(shù)的符號(hào)改變而翻轉(zhuǎn)，這為實(shí)際調(diào)控EP 的手性提供了一個(gè)有效手段.但是對(duì)于絕大多數(shù)光學(xué)振子而言，其耦合系數(shù)的符號(hào)都是正的.最近，研究者們提出可以在耦合的共振原子間引入附加振子，通過(guò)間接耦合的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)負(fù)耦合[32-34].但間接耦合等效的負(fù)耦合不僅使系統(tǒng)變得復(fù)雜，而且不可避免地給系統(tǒng)帶來(lái)額外損耗.超構(gòu)材料的出現(xiàn)為方便地調(diào)控共振原子的耦合提供了可能，如雙曲諧振腔和零折率諧振腔實(shí)現(xiàn)的與腔體積無(wú)關(guān)的腔模[35].本文主要是基于開(kāi)口諧振環(huán)這種特殊的超構(gòu)材料諧振子，通過(guò)旋轉(zhuǎn)振子間的相對(duì)開(kāi)口角度，靈活地調(diào)控共振原子間耦合系數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而用來(lái)觀測(cè)非厄米系統(tǒng)EP 位置隨耦合系數(shù)符號(hào)變化帶來(lái)的手性翻轉(zhuǎn)現(xiàn)象.

開(kāi)口諧振環(huán)作為一類具有高品質(zhì)因子的磁諧振器[36，37]，其陣列結(jié)構(gòu)具有較強(qiáng)的磁響應(yīng)，因而可以被用來(lái)構(gòu)造等效磁導(dǎo)率小于零的磁單負(fù)超構(gòu)材料[38].當(dāng)匹配等效介電常數(shù)小于零的人工微結(jié)構(gòu)時(shí)，還可以被用來(lái)構(gòu)造具有新奇負(fù)折射特性的左手材料等[39].除了實(shí)現(xiàn)等效介質(zhì)外，基于開(kāi)口諧振環(huán)的一維耦合波導(dǎo)結(jié)構(gòu)還被證實(shí)具有磁誘導(dǎo)波的特性[40].特別是近年來(lái)，隨著拓?fù)涔庾訉W(xué)的飛速發(fā)展，開(kāi)口諧振環(huán)還被廣泛用于構(gòu)造各種具有復(fù)雜耦合排布的拓?fù)淠Ｐ?，并挖掘其中豐富的拓?fù)湮锢硖匦訹41-43].對(duì)于耦合的開(kāi)口諧振環(huán)而言，環(huán)內(nèi)部的電流在開(kāi)口處會(huì)積累電荷，這就導(dǎo)致了金屬環(huán)部分以及開(kāi)口空隙位置可以分別等效為電感L及電容C.開(kāi)口諧振環(huán)的諧振頻率為.另外，開(kāi)口諧振環(huán)間的耦合κ總是包含有電耦合κE及磁耦合κH兩部分，并且可以通過(guò)等效電路參數(shù)獲得[41]:

其中，M和K分別為開(kāi)口諧振環(huán)之間的互感和互容.通過(guò)調(diào)節(jié)開(kāi)口諧振環(huán)的相對(duì)轉(zhuǎn)角就可以靈活地調(diào)控電耦合κE和磁耦合κH占總耦合的權(quán)重.

本文主要圍繞開(kāi)口諧振環(huán)相對(duì)轉(zhuǎn)角為θ=180°和θ=0°這兩種特殊的構(gòu)型開(kāi)展研究.當(dāng)開(kāi)口諧振環(huán)相對(duì)轉(zhuǎn)角為θ=180°時(shí)，磁耦合占主導(dǎo)(|κH|＞|κE|)，兩個(gè)環(huán)內(nèi)的電流反向，所以開(kāi)口諧振環(huán)實(shí)現(xiàn)的是負(fù)耦合[44].由于近場(chǎng)耦合會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的模式發(fā)生劈裂，兩個(gè)環(huán)內(nèi)同相位的對(duì)稱模式處于高頻，而兩個(gè)環(huán)內(nèi)反相位的反對(duì)稱模式處于低頻，如圖3(a)所示.另一方面，當(dāng)開(kāi)口諧振環(huán)相對(duì)轉(zhuǎn)角為θ=0o時(shí)，電耦合占主導(dǎo)(|κH|＜|κE|)，兩個(gè)環(huán)內(nèi)的電流同向，所以開(kāi)口諧振環(huán)實(shí)現(xiàn)的是正耦合.由于近場(chǎng)耦合效應(yīng)，此時(shí)同樣會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的模式發(fā)生劈裂.然而不同于圖3(a)，對(duì)于正耦合的兩個(gè)開(kāi)口諧振環(huán)來(lái)說(shuō)，兩個(gè)環(huán)內(nèi)同相位的對(duì)稱模式處于高頻，而兩個(gè)環(huán)內(nèi)反相位的反對(duì)稱模式處于低頻，如圖3(b)所示.對(duì)比圖3(a)和圖3(b)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)開(kāi)口諧振環(huán)的相對(duì)轉(zhuǎn)角發(fā)生變化時(shí)，耦合系數(shù)的符號(hào)也將發(fā)生變化，進(jìn)而導(dǎo)致了近場(chǎng)耦合模式劈裂的兩個(gè)模式的對(duì)稱性發(fā)生互換.對(duì)于由開(kāi)口諧振環(huán)構(gòu)造的非厄米系統(tǒng)而言，當(dāng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的非厄米參量使得系統(tǒng)模式從劈裂演化到合并的EP 時(shí)，就可以用來(lái)觀察耦合系數(shù)符號(hào)的變化對(duì)EP 對(duì)應(yīng)手性態(tài)的影響.

圖3 開(kāi)口諧振環(huán)不同相對(duì)轉(zhuǎn)角下的耦合情況 (a)開(kāi)口諧振環(huán)相對(duì)夾角為 θ=180° 時(shí)的負(fù)耦合;(b)開(kāi)口諧振環(huán)相對(duì)夾角為θ=0° 的正耦合Fig.3.The coupling of the split-ring resonator under different relative rotation angles:(a) The negative coupling when the relative rotation angle of the split-ring resonators is θ=180° ;(b) the positive coupling when the relative rotation angle of the split-ring resonators is θ=0° .

3 結(jié)果與討論

3.1 頻譜以及本征值測(cè)量

在微帶線平臺(tái)上構(gòu)建了基于開(kāi)口諧振環(huán)構(gòu)造的耦合系數(shù)符號(hào)可調(diào)的非厄米系統(tǒng)，并用于實(shí)驗(yàn)觀測(cè)EP 的手性態(tài)的翻轉(zhuǎn)現(xiàn)象.典型的工作于微波頻段的微帶傳輸線為一種由底部金屬襯底、中間電介質(zhì)層以及上表面具有特定圖案的金屬結(jié)構(gòu)組成的三明治結(jié)構(gòu).在微波光子學(xué)領(lǐng)域，利用加載集總電路元件的微帶線平臺(tái)是實(shí)現(xiàn)多樣化電磁諧振單元和特殊晶格的理想平臺(tái).此外，由于微帶線平臺(tái)具有平面化和開(kāi)放性的優(yōu)點(diǎn)，可以方便地獲得系統(tǒng)的振幅和相位信息.到目前為止，許多高性能的微帶結(jié)構(gòu)已經(jīng)被構(gòu)建，以調(diào)控各種新穎的光學(xué)響應(yīng)，并實(shí)現(xiàn)一些特殊場(chǎng)景的應(yīng)用，如超透鏡[45，46]、近場(chǎng)光子路由[47]、遠(yuǎn)程原子相互作用[48]、以及拓?fù)涔庾訉W(xué)[49，50].

本文通過(guò)在微帶線上表面刻蝕出開(kāi)口諧振環(huán)的金屬結(jié)構(gòu)，構(gòu)造了第2 節(jié)介紹的開(kāi)口諧振環(huán)相對(duì)轉(zhuǎn)角不同時(shí)實(shí)現(xiàn)的耦合系數(shù)符號(hào)不同的兩類非厄米系統(tǒng).其中磁耦合占主導(dǎo)(θ=180o)及電耦合(θ=0°)占主導(dǎo)的兩類非厄米系統(tǒng)分別如圖4(a)和圖4(b)所示.文中使用的板材為FR4 的微帶線基板，相對(duì)介電常數(shù)為εr=4.35，厚度為t=1.6 mm，基板損切角為 t anθ=0.009 .微帶線的金屬損耗可以被忽略，對(duì)應(yīng)的電導(dǎo)率為 5 .8×107S/m .在實(shí)驗(yàn)中，激勵(lì)信號(hào)由矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀(Agilent N5222A)產(chǎn)生，并通過(guò)微帶波導(dǎo)輸入到系統(tǒng).具體來(lái)說(shuō)，信號(hào)從矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀的輸入端輸出，并通過(guò)同軸電纜由50 Ω 阻抗的SubMiniature version A(SMA)接頭連接寬度為3.5 mm 的微帶波導(dǎo)的上下導(dǎo)體(接頭的內(nèi)芯接觸上表面金屬，接頭的接地端連接微帶線的底層金屬)，從而把探測(cè)信號(hào)輸入系統(tǒng).類似的方法在微帶波導(dǎo)的另一側(cè)接入SMA 接頭，并通過(guò)矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀的輸出端接收探測(cè)信號(hào)，實(shí)現(xiàn)對(duì)樣品傳輸特性的測(cè)試.為了方便表述，把通過(guò)微帶波導(dǎo)輸入的入射波Sine-iωt直接近場(chǎng)耦合激勵(lì)的開(kāi)口諧振環(huán)稱為“共振原子1”.微帶波導(dǎo)與“共振原子1”的間距為h=0.2 mm.而把僅能通過(guò)近場(chǎng)耦合κ被“共振原子1”間接激勵(lì)的開(kāi)口諧振環(huán)稱為“共振原子2”.實(shí)驗(yàn)中開(kāi)口諧振環(huán)的幾何結(jié)構(gòu)是完全相同的，幾何參數(shù)分別為半徑r=12 mm，元件間距s=4 mm，線寬w=0.3 mm，開(kāi)口縫寬g=0.8 mm.開(kāi)口諧振環(huán)的分布式電感和加載的集總電容分布為L(zhǎng)=457 nH 和C=2.7 pF，確定的開(kāi)口諧振環(huán)的共振頻率為f0=0.9 GHz.在開(kāi)口諧振環(huán)中均加載了集總的可調(diào)電阻元件用以調(diào)節(jié)共振原子的本征損耗Γi=0.018+0.001Ri(i=1，2).此外，在開(kāi)口諧振環(huán)相對(duì)轉(zhuǎn)角為θ=180°對(duì)應(yīng)的負(fù)耦合系統(tǒng)及θ=0°對(duì)應(yīng)的正耦合系統(tǒng)中，“共振原子1”和“共振原子2”的間距分別為x1=2 mm，x2=0.2 mm，相應(yīng)的耦 合系數(shù) 分別為κ1=-0.0154 GHz，κ2=0.011 GHz.

實(shí)驗(yàn)測(cè)得的θ=180°對(duì)應(yīng)的非厄米系統(tǒng)的傳輸譜線如圖4(c)所示.當(dāng)開(kāi)口諧振環(huán)中的電阻為R1=R2=0 Ω 時(shí)，由于兩個(gè)開(kāi)口諧振環(huán)的近場(chǎng)耦合，兩個(gè)劈裂的諧振模式將具有不同的本征頻率.保持“共振原子1”中的電阻R1=0 Ω 不變，當(dāng)“共振原子2”中的電阻R2逐漸增大時(shí)，由于非相干效應(yīng)的增強(qiáng)，兩個(gè)劈裂的共振峰將逐漸靠近.可以清楚地看到，當(dāng)電阻增大到R2=12 Ω 時(shí)(Γ2=0.031 GHz)，兩個(gè)共振模式發(fā)生合并，即對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的EP1(|Γ2|/2≈|κ|=0.0154)，如圖4(c)的箭頭所示.類似地，圖4(d)為實(shí)驗(yàn)測(cè)得的θ=0o對(duì)應(yīng)的非厄米系統(tǒng)的傳輸譜線.此時(shí)，系統(tǒng)的EP 出現(xiàn)在電阻增大到R2=6 Ω 時(shí)(Γ2=0.024 GHz)，兩個(gè)共振模式發(fā)生合并，即對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的EP2(|Γ2|/2≈|κ|=0.011)，如圖4(d)的箭頭所示.

圖4 開(kāi)口諧振環(huán)相對(duì)夾角為 (a) θ=180° 和(b) θ=0° 時(shí)構(gòu)造的非厄米系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)樣品圖;(c) θ=180° 和(d) θ=0° 對(duì)應(yīng)的非厄米系統(tǒng)中，調(diào)節(jié)集總電阻的阻值 R2 時(shí)測(cè)得的透射譜Fig.4.Sample photos of the non-Hermitian system with relative rotation angle between split-ring resonators is (a) θ=180° and (b)θ=0° ;The corresponding transmittance spectrum of the non-Hermitian system with (c) θ=180° and (d) θ=0° as a function of lumped resistance R2 .

為了更加直觀地展示非厄米系統(tǒng)本征模式的演化以及EP，圖5 給出了本征模式隨著不同本征損耗因子Γ2而發(fā)生的改變.對(duì)于θ=180°對(duì)應(yīng)的非厄米系統(tǒng)得到的本征頻率譜中，可以清晰地觀察到系統(tǒng)中劈裂的兩個(gè)共振頻率的實(shí)部隨本征損耗因子Γ2的增加而逐漸靠近，并在EP1 合并為一個(gè)簡(jiǎn)并模式，如圖5(a)的上部分所示.相對(duì)應(yīng)的本征頻率的虛部也是在EP1 位置發(fā)生從模式簡(jiǎn)并到劈裂的相變，如圖5(b)的下部分所示.圖中理論計(jì)算的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)測(cè)試的結(jié)果分別用實(shí)線和點(diǎn)來(lái)表示，可以發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果可以很好地符合.類似地，θ=0°對(duì)應(yīng)的非厄米系統(tǒng)得到的本征頻率譜中，本征頻率的實(shí)部和虛部分別如圖5(b)的上部分和下部分所示.同樣可以觀察到劈裂的兩個(gè)共振頻率隨 Γ2的增加而逐漸靠近，并在EP2 合并.對(duì)比圖5(a)和圖5(b)系統(tǒng)，可以發(fā)現(xiàn)開(kāi)口諧振環(huán)相對(duì)轉(zhuǎn)角不同的兩個(gè)非厄米系統(tǒng)，隨著Γ2增加，系統(tǒng)本征值均可以在各自的EP 實(shí)現(xiàn)模式的合并.需要特別說(shuō)明的是，由于|κ1|＞|κ2|，所以θ=180°對(duì)應(yīng)的非厄米系統(tǒng)相比θ=0°對(duì)應(yīng)的非厄米系統(tǒng)需要更大的損耗因子Γ2來(lái)達(dá)到EP.

圖5 實(shí)驗(yàn)觀測(cè)當(dāng) Γ2 變化時(shí)，開(kāi)口諧振環(huán)相對(duì)夾角為 (a) θ=180° 和(b) θ=0° 構(gòu)成的非厄米系統(tǒng)的本征頻率實(shí)部(上圖)和虛部(下圖)Fig.5.Experimental measured the eigenfrequeies of the non-Hermitian system as a function of Γ2 when the relative rotation angle between split-ring resonators is (a) θ=180° and(b) θ=0° .The upper and lower rows denote the real part and imaginary part，respectively.

3.2 EP 的手性測(cè)量與表征

3.1 小節(jié)已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)了耦合系數(shù)符號(hào)不同的兩個(gè)非厄米系統(tǒng)均可以通過(guò)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的本征損耗因子Γ2實(shí)現(xiàn)EP.本小節(jié)進(jìn)一步通過(guò)高阻抗磁探針(直徑為8 mm)在實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)本征頻率處系統(tǒng)內(nèi)兩個(gè)開(kāi)口諧振環(huán)的相位差 Δφ=φ1-φ2來(lái)對(duì)EP的手性進(jìn)行表征，其中的φ1和φ2分別表示在“共振原子1”及“共振原子2”中測(cè)得的相位.圖6 給出了開(kāi)口諧振環(huán)相對(duì)轉(zhuǎn)角θ=180°(上圖)和θ=0°(下圖)對(duì)應(yīng)的非厄米系統(tǒng)的相位差，其中實(shí)線和點(diǎn)分別為理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果.從圖6 可以清楚地看到，當(dāng)本征損耗因子Γ2比較小時(shí)，θ=180°對(duì)應(yīng)的非厄米系統(tǒng)劈裂的本征頻率在低頻是對(duì)稱態(tài)(Δφ0°)，在高頻是反對(duì)稱態(tài)(Δφ180°).隨著本征損耗因子Γ2增大，系統(tǒng)的本征模式在EP1 合并，此時(shí)模式是自正交的(Δφ90°).考慮到正交態(tài)的手性，可以確定θ=180°對(duì)應(yīng)的非厄米系統(tǒng)EP1 是手性態(tài)ψEP=(1，-i) 右旋的.然而對(duì)于θ=0°對(duì)應(yīng)的非厄米系統(tǒng)，其在本征損耗因子Γ2比較小時(shí)，劈裂的本征頻率在低頻是反對(duì)稱態(tài)(Δφ-180°)，在高頻是對(duì)稱態(tài)(Δφ0°).隨著本征損耗因子Γ2增大，系統(tǒng)的本征模式在EP2 合并，此時(shí)模式同樣是自正交的(Δφ-90°).但是考慮到正交態(tài)的手性，可以確定θ=180°對(duì)應(yīng)的非厄米系統(tǒng)EP2 是手性態(tài)ψEP=(1，+i) 左旋的.圖6 所示的結(jié)果清楚地展示了非厄米系統(tǒng)通過(guò)改變耦合系數(shù)的符號(hào)可以實(shí)現(xiàn)EP 位置的手性翻轉(zhuǎn).當(dāng)系統(tǒng)增益可以通過(guò)外場(chǎng)控制時(shí)，還可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)EP 手性態(tài)的主動(dòng)調(diào)控[23].

圖6 實(shí)驗(yàn) 測(cè)得開(kāi)口諧振環(huán)相對(duì)夾角為 θ=180° (上圖)和 θ=0° (下圖)構(gòu)成的非厄米系統(tǒng)中，不同的本征損耗因子 Γ2 兩個(gè)振子的相位差 Δφ=φ1-φ2Fig.6.Measured phase difference between two resonant atoms Δ φ=φ1-φ2 for different intrinsic loss factor Γ2 in the non-Hermitian systems exhibiting the intrinsic chirality of EP.The upper and lower figures denote the relative rotation angle between split-ring resonators is θ=180°and θ=0°，respectively.

最后利用CST(computer simulation technology)全場(chǎng)仿真軟件對(duì)開(kāi)口諧振環(huán)相對(duì)轉(zhuǎn)角θ=180°和θ=0°對(duì)應(yīng)的兩種非厄米系統(tǒng)中EP 處手性態(tài)的能量振蕩演化進(jìn)行了仿真模擬，分別如圖7(a)和圖7(b)所示.圖7(a)所示的θ=180°對(duì)應(yīng)的非厄米系統(tǒng)中，以振蕩相位 0°為例，此時(shí)“共振原子1”相位超前“共振原子2”Δφ=90°.隨著振蕩相位的變化，系統(tǒng)的本征態(tài)發(fā)生演化，但是始終可以清楚地觀察到，系統(tǒng)中一個(gè)共振單元內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)處于峰值時(shí)，另外一個(gè)共振單元內(nèi)能量將完全消失，說(shuō)明了非厄米系統(tǒng)的EP 位置，兩個(gè)開(kāi)口諧振環(huán)在振蕩演化過(guò)程中始終存在90°的相位差.然而對(duì)于圖7(b)所示的θ=0°對(duì)應(yīng)的非厄米系統(tǒng)中，同樣以振蕩相位 0°為例，“共振原子1”相位落后“共振原子2”Δφ=-90°.隨著振蕩相位的變化，系統(tǒng)的本征態(tài)發(fā)生演化，但是始終保持著固定的相位差.圖7 所示的結(jié)果更進(jìn)一步展示了在具有不同耦合系數(shù)符號(hào)的非厄米系統(tǒng)中，奇異點(diǎn)的手性態(tài)是發(fā)生了翻轉(zhuǎn)的.

圖7 全場(chǎng)數(shù)值仿真得到的開(kāi)口諧振環(huán)相對(duì)夾角為 (a) θ=180° 和(b) θ=0° 構(gòu)成的非厄米系統(tǒng)中，EP 位置手性態(tài)的場(chǎng)分布仿真演化圖Fig.7.Full-wave numerical simulated evolution of field distribution for the non-Hermitian system with the relative rotation angle between split-ring resonators is (a) θ=180°and (b) θ=0° .

4 結(jié)論

本文提出了利用開(kāi)口諧振環(huán)來(lái)研究非厄米系統(tǒng)中自正交EP 的手性翻轉(zhuǎn)現(xiàn)象.從雙諧振系統(tǒng)的耦合模理論出發(fā)建立的二階非厄米哈頓量分析得到了非厄米系統(tǒng)EP 的手性取決于耦合系數(shù)的符號(hào).開(kāi)口諧振環(huán)作為一種超構(gòu)材料諧振子，其耦合包含了互容提供的耦合系數(shù)為正的電耦合以及互感提供的耦合系數(shù)為負(fù)的磁耦合，為構(gòu)建不同耦合符號(hào)的非厄米系統(tǒng)提供了理想平臺(tái).本文通過(guò)調(diào)節(jié)開(kāi)口諧振環(huán)的相對(duì)轉(zhuǎn)角就可以靈活地調(diào)控總耦合系數(shù)的符號(hào)，并通過(guò)近場(chǎng)探測(cè)技術(shù)在實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)了非厄米系統(tǒng)奇異點(diǎn)的手性翻轉(zhuǎn)現(xiàn)象.所以微帶線平臺(tái)構(gòu)造的開(kāi)口諧振環(huán)為實(shí)驗(yàn)研究其他非厄米物理的新奇物理特性提供了一個(gè)很好的研究平臺(tái).此外，本文對(duì)EP 手性態(tài)的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)一方面豐富了人們對(duì)于非厄米系統(tǒng)EP 的認(rèn)識(shí).另外一方面，可靈活調(diào)控的自正交態(tài)在手性天線設(shè)計(jì)方面也具有一定的應(yīng)用價(jià)值.